HƯỚNG DẪN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2015 MÔN TOÁN 12

CHUYÊN 1 KH O SÁT HÀM S VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Biên so n và s u t m: Ngô V n Khánh – GV tr ng THPT Nguy n V n C

1 Ch 1: Bài toán v ti p tuy n

= Û - + = Û - = Û = -êê

ê =êë+) Ph ng trình ti p tuy n t i c a (C) t i m (0; 5)

b) Vi t ph ng trình ti p tuy n v i (C) t i giao m c a (C) v i tr c tung.

0 0 0

( 0)2

Ví d 6: Vi t ph ng trình ti p tuy n v i th (C): 2

1

x y

+ T i ti p m M2(2; 4) thì y’(2) = -3 nên ti p tuy n có ph ng trình: y = - +3x 10

Tóm l i có hai ti p tuy n th a mãn yêu c u bài toán là: y = - - và3x 2 y = - + 3x 10

Tìm m ti p tuy n c a th (1) t i m có hoành b ng 1 c t các tr c Ox, Oy l n

t t i các m A và B sao cho di n tích tam giác OAB b ng 3

Ph ng trinh ti p tuy n c n tìm là y = -3(x- - Û = - +1) 2 y 3x 1

Ví d 10: Vi t ph ng trình ti p tuy n c a th hàm s y x= 3 -3x2 + (C) Bi t ti p1tuy n ó song song v i ng th ng y = 9x + 6

0 0

2

1(2 3)

x x x

Do OAB vuông t i O nên tan 1

4

OB A

êëKhi ó có 2 ti p tuy n th a mãn là:

1.3 D ng 3: Ti p tuy n i qua iêm

Cho th (C): y = f(x) Vi t ph ng trình ti p tuy n v i (C) bi t ti p tuy n i qua

1.4 D ng 4 M t s bài toán ti p tuy n nâng cao

Ví d 16: Tìm hai m A, B thu c th (C) c a hàm s : y x= -3 3x + sao cho2

ti p tuy n c a (C) t i A và B song song v i nhau và dài n AB = 4 2

Gi i:

i A a a( ; 3- +3a 2) , ( ;B b b3- +3b 2) ,a b¹ là hai m phân bi t trên (C).

x

-=+ sao cho ti ptuy n c a (C) t i A và B song song v i nhau và dài n AB = 2 10

Ti p tuy n t i A và B song song khi: '( ) '( ) 3 2 3 2

x

-=+ , bi t

ng kho ng cách t m I(-1; 2) n ti p tuy n là l n nh t

bi t ti p tuy n ó c t tr c hoành, tr c tung t ng ng t i các m A, B th a mãn

DOAB vuông cân t i g c t a O

Gi i:

i M x y là ti p m Ti p tuy n v i (C) t i M ph i th a mãn song song v i các( )0; 0

x+

=

- .a) Kh o sát s bi n thiên và v th (C) c a hàm s

b) Cho m M x y thu c th (C) Ti p tuy n c a (C) t i M o( ; )o o 0 c t các ti m c n c a(C) t i các m A và B Ch ng minh Mo là trung m c a n th ng AB

x+

=

- (C)a) Kh o sát s bi n thiên và v th (C) c a hàm s

b) Ch ng minh r ng m i ti p tuy n c a th (C) u l p v i hai ng ti m c n

t tam giác có di n tích không i

Gi i

a) làm

b) Gi s M ; 2

1

a a a

æ + ÷ö

çè - ø, B a -(2 1;1).6

x

-=

- .1) Kh o sát s bi n thiên và v th (C) c a hàm s

2) Cho M là m b t kì trên (C) Ti p tuy n c a (C) t i M t các ng ti m c n c a(C) t i A và B G i I là giao m c a các ng ti m c n Tìm t a m M sao cho

ng tròn ngo i ti p tam giác IAB có di n tích nh nh t

Ph ng trình ti p tuy n ( ) v i (C) t i M:

0 0

2 3

1 ( )

22

x

x x

-

-

-a gi-ao m A, B c a ( ) v i hai ti m c n là: 0 ( )

0 0

2 22; ; 2 2;2

11

- = - Û ê =êë

Do ó m M c n tìm là M(1; 1) ho c M(3; 3)

Ví d 24: Cho hàm s 2 1

1

x y

x

-=+ Tìm t a m M sao cho kho ng cách t m I -( 1;2)

x +

=+ Vi t ph ng trình ti p tuy n c a th (C), bi t r ng

ti p tuy n cách u hai m A(2; 4), B( 4; 2)

Gi i

G i x0 là hoành ti p m (x ¹ - ).0 1

0 2

0 0

2 1

1( 1)

x

x x

+

++ x-(x0+1)2y+2x20 +2x0+ =1 0

Ti p tuy n song song (trùng )AB ho c ti p tuy n i qua trung iêm c a AB

t i M c t hai tr c t a t i A, B sao cho tam giác OAB có di n tích b ng 1

( 1)

y x

=+

2 0

x

-=+ (C) Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i (C), tr c Oy

x +

=+ Bi t ti p tuy n

c) Tìm t t c các m thu c th hàm s sao cho ti p tuy n t i ó t o v i hai

ng ti m c n m t tam giác có chu vi nh nh t

Bài 11. Cho hàm s y x= + -3 1 m x( + ( )1) C Tìm m ti p tuy n c a ( ) m C t i giao m m

a nó v i tr c tung t o v i hai tr c t a m t tam giác có di n tích b ng 8

b) Tìm nh ng m M trên (C) sao cho ti p tuy n v i (C) t i M t o v i hai tr c t a

m t tam giác có tr ng tâm n m trên ng th ng 4x + y = 0

f x = và kí hi u x ( i i =1, 2, ) là cácnghi m c a nó

y x y

ìï =ïí

ïïî ho c '( ) 0

0)('

0

0

x y

x y

b/ u ki n hàm s có c c i t i x0:

0

0

'( ) 0' doi dau tu

y x

ìï =ïïí

-ïïî ho c ' (' ) 0

0 ) ( '

0

0

x y

x y

c/ u ki n hàm s có c c t u t i x0:

0

0

'( ) 0' doi dau tu

y x

ìï =ïïí

0 0

Û êêêêë

ng xét d u y’, t ó suy ra các m c c tr Nh ng quy t c 1 có nh c m là nó òi h i

ph i xét d u y’, u này không ph i bao gi c ng n gi n

u bài toán không yêu c u tìm m c c tr thì quy t c 1 là h i th a, khi ó ta s d ngquy t c 2 Song quy t c 2 c ng có nh c m là nhi u khi vi c tính y” là r t ph c t p, c

bi t khi không s d ng c trong tr ng h p f x =,( )0 ,,

0

( )

f x =0.

Quy t c 1 th ng c dùng cho các hàm a th c, hàm phân th c và tích các l y

th a Quy t c 2 th ng c s d ng cho các hàm l ng giác

30

Hàm s có c c i, c c ti u x1, x2 Û PT y’ = 0 có hai nghi m phân bi t là x1, x2

Û x2-2(m+1)x + = có hai nghi m phân bi t là3 0 x x 1, 2

é =ê

Û ê =êë

Do tính ch t c a hàm s trùng ph ng, tam giác ABC ã là tam giác cân r i, cho nên

th a mãn u ki n tam giác là vuông, thì AB vuông góc v i AC

+) CM tam giác ABC cân nh A T a trung m I c a BC là I(0 ; 1 – m4).

y é =êx m

= Û ê =êëHàm s có 3 c c tr Û y’ i d u 3 l n

Û ph ng trình y’ = 0 có 3 nghi m phân bi t Û m > 0

Û - = Û ê =êë(0 ; 0)

I O

Þ º ho c I(0 ; 2)

* V i I Oº (0 ; 0)

IA = R 2 2 4 2

01

1 5

2

1 52

m m

êê

ê - +

ê =êë

Ph ng trình (*) vô nghi m khi m > 0

y bài toán th a mãn khi m = 1 và m = 1 5

12

b) Tìm m hàm s có hai c c tr trên (0;+¥ )

c) Tìm m th hàm s có hai m c c tr n m v hai phía tr c tung

d) Tìm m th hàm s có hai m c c tr n m v hai phía tr c hoành

t tam giác vuông t i O.

Bài 14 Cho hàm s y = 2x3 + 9mx2 + 12m2x + 1, trong ó m là tham s Tìm t t c cácgiá tr c a m hàm s có c c i t i x , c c ti u t i xCT th a mãn: x2 = xCT

Bài 15 Cho hàm s y x= -3 3x2 +3 1( -m x) + +1 3m ( )C m Tìm m hàm s có c c

i, c c ti u, ng th i các m c c i và c c ti u cùng v i g c t a O t o thành m ttam giác có di n tích b ng 4

Bài 16 Cho hàm s y x= -3 3x2+3(1-m x2) +2m2-2m- (m là tham s )Tìm t t c1các giá tr c a tham s th c m hàm s ã cho có c c i, c c ti u; ng th i hai m c c

2 2

Bài 23 Cho hàm s y x= -4 2(m +1)x2+ (1), m là tham s m

a) Kh o sát s bi n thiên và v th hàm s (1) khi m = 1.

b) Tìm m th hàm s (1) có ba m c c tr A, B, C sao cho OA = BC, O là g c

a , A là c c tr thu c tr c tung, B và C là hai m c c tr còn l i

Bài 24 Cho hàm s y = - +x4 2mx2 -4 có th ( )C ( m mlà tham s th c)

a

Bài 32 Cho hàm s y = f x( )=x4 +2(m-2)x2+m2-5m+5

a) Kh o sát s bi n thiên và v th (C ) hàm s v i m = 1

b) Tìm các giá tr c a m th hàm s có các m c c i, c c ti u t o thành 1tam giác vuông cân

3 Ch 3: Bài toán t ng giao

3.1 Ki n th c c b n

3.1.1 Bài toán t ng giao t ng quát:

Cho hai th hàm s : y = f(x, m) và y = g(x,m) Hoành giao m c a hai th lànghi m c a ph ng trình

f(x, m) = g(x,m) (1)

Nh n xét: S nghi m c a (1) chính là s giao m c a hai th hàm s

Sau ó l p ph ng trình t ng giao c a d và (C)

3.1.2 Bài toán c b n:

Cho hai th hàm s : y = f(x, m) và d: y =ax+b

Hoành giao m c a hai th là nghi m c a ph ng trình f(x,m) = ax+b (1)

Chú ý:

+ u ng th ng d i qua m M(x0; y0) và có h s góc k thì ph ng trình d cóng: y – y0 = k(x – x0)

+ Khai thác t a giao iêm (M x y( ; )M M a (C) và d, ta c n chú ý: x là nghi m M

Chuy n ph ng trình hoành t ng giao v : g(x) = m

Khi ó s nghi m chính là s giao m c a th y = g(x) và ng th ng y = m

Th c hi n các b c t ng t nh bài t p 2, ta c th hàm s sau:

b)

x -3x + = Û - +m 0 x 3x + = +1 m 1

nghi m c a ph ng trình là s giao m c a th (C) v i ng th ng y=m+1

a vào th , ph ng trình có 4 nghi m phân bi t

2 2

y v i m i m thì ng th ng y = x – m c t th (C) t i hai m phân bi t.

Ví d 4.Cho hàm s y x= -3 3x2 +4 ( )C G i d là ng th ng i qua m A(- 1; 0) v i

s góc là k ( k thu c R) Tìm k ng th ng d c t (C) t i ba m phân bi t và haigiao m B, C (B, C khác A ) cùng v i g c t a O t o thành m t tam giác có di n tích

k

=+

y theo gi thi t:

3 2

th t i hai m phân bi t A, B sao cho di n tích tam giác OAB b ng 3

Gi iXét ph ng trinh hoành giao iêm c a d và (C):

D c t (C) t i 2 iêm phân bi tÛ (1) có hai nghi m phân bi t khác -1.

tr c Ox t i 4 m phân bi t sao cho hình ph ng gi i h n b i ( )C và tr c Ox có di n tích m

ph n phía trên tr c Ox b ng di n tích ph n phía d i tr c Ox

Gi i

th hàm s c t Ox t i 4 m phân bi t Û -x4 (m +1)x2 + = (1) có 4 nghi mm 0phân bi t

Gi i

Xét ph ng trình hoành giao m: x4-2(m+1)x2+2m+ =1 0 (1)

ng th ng y = -1 t (Cm) t i 4 m phân bi t có hoành nh h n 2 khi và ch khi

ph ng trình (*) có hai nghi m phân bi t khác 1 và nh h n 2

0 3 1 4

3 1 1

m m

m m

ìïï- < <

ïïí

ïï ¹

ïïîBài tâp ngh

a) Kh o sát s bi n thiên và v th hàm s khi m = 0

b) Tìm m th hàm s c t ng th ng D:y = - + t i 3 m phân bi tx 2(0;2)

A ; B; C sao cho tam giác MBC có di n tích 2 2 , v i (3;1).M

Bài 8 Cho hàm s y x= 3 +6x2 +9x +3 có th là (C) và hai m A( 1;3), B(1; 1)-

a)Kh o sát s bi n thiên và v th (C) c a hàm s ã cho

b)G i A, B là hai m c c tr c a th (C) Tìm t a các m M thu c (C) saocho tam giác MAB cân t i M

Bài 16 Cho hàm s y = x3- (m+1)x2 + (m - 1)x + 1Ch ng t r ng v i m i giá tr khác 0

a m, th c a hàm s c t tr c hoành t i ba m phân bi t A, B, C trong ó B, C cóhoành ph thu c tham s m Tìm giá tr c a m các ti p tuy n t i B, C song song

i nhau

Bài 17 Cho hàm s y x= -4 2(m+1)x2 +2m+ có th là (C1 m), m là tham s

a) Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s khi m = 0

b) Tìm m th (Cm) c t tr c hoành t i 3 m phân bi t u có hoành nh h n 3

Bài 18 Cho y =x4 -2(m+1)x2 +2m+1Tìm m th hàm s c t tr c hoành t i 4 mphân bi t có hoành l p thành c p s c ng

Bài 19 Cho hàm s : 2 3

2

x y

x +

=

- có th (C ).

a) Kh o sát s bi n thiên và v th ( C )

b) Tìm m ng th ng y = -2x + m c t th (C) t i hai m phân bi t A, Bsao cho tam giác OAB có di n tích b ng 3 (O là g c t a ).

x +

=+ có th là (C) Ch ng minh ng th ng d: y = -x + mluôn luôn c t th (C) t i hai m phân bi t A, B Tìm m n AB có dài nh nh t

Bài 24 Cho hàm s 2 1

1

x y

b) Tìm m (dm) c t (C) t i hai m phân bi t thu c cùng m t nhánh c a (C)

+

=

- .a) Kh o sát s bi n thiên và v th (C)

b) Ch ng minh r ng v i m i giá tr m thì trên (C) luôn có c p m A, B n m v hainhánh c a (C) th a mãn 0

ï - + =ïî

x

- +

=+ (C) Tìm s th c d ng m ng th ng( )d : 2x + - = c t (C) t i hai m A và B sao cho tam giác OAB có di n tích b ng2y 1 0

1 trong ó O là g c t a

Bài 30 Cho hàm s 2 1

1

x y

x

- +

=

- Tìm nh ng m trên (C) sao cho ti p tuy n v i (C) t i

m ó t o v i hai tr c t a m t tam giác có tr ng tâm cách tr c hoành m t kho ng

x +

=

- (1).G i I là giao m hai ti m c n c a (C), ng th ng( ) :d x - + =2y 5 0 t ( )C t i hai m A, B v i A có hoành d ng Vi t ph ng trình

các ti p tuy n c a( )C vuông góc v i IA.

Bài 32 Cho hàm s 2 1

1

x y

x

-=+ .Tìm a và b ng th ng (d): y ax b= + c t (C) t i hai

m phân bi t i x ng nhau qua ng th ng (D): x- + =2y 3 0

+Lây i x ng qua Oy v i

ph n th (C) b n ph iOy

.-1.

.

x y’

m x

yy'x

th có tâm i x ng là giao m I(1; -1) c a hai ti m c n.

b)Bi n lu n theo m s nghi m c a ph ng trình 1 ( )1

1

x

m x

a a

n

m

=log ( ) loga m n = a m +loga n loga m loga m loga n

-loglog

logc

a

c

b b

d) f x( )

a >b

- V i b £0, b t ph ng trình nghi m úng v i m i x D DÎ , là t p xác nh c a( )

f x

- V i b >0 :

+a > :1 a f x( ) > Ûb f x( )> loga b

+ 0< < :a 1 a f x( ) > Ûb f x( )<loga b.Bài 1 (TN) Gi i các ph ng trình sau:

9) 9x +9x+1+9x+2 < +4x 4x+1+4x+2 10) ( ) (1 ) 1

1

x x

6 13 6 0

2 ( )3

éê =ê

- + = Û ê

ê =êë

1 103

t t

ê =êê

Û êê = êë

Do ó - 1 log x 12 1 2

2 £ £ xb) Bpt ( )2 2 ( )2 2

Tính ch t 1: N u hàm f t ng (ho c gi m) trên kho ng (a;b) thì ph ng trình f(x)=k (k R)

có không quá m t nghi m trong kho ng (a;b)

Tính ch t 2: N u hàm f t ng (ho c gi m) trên kho ng (a;b) thì u, v (a,b) ta có

) log log log 11

a x + x + x = ) log5 log25 log0,2 1

t = Û x = Û = =x (th a mãn)

2 2

= - Û - + = Û ê =êë

3 3

3 log 3 3 27 ( )

t = Û x = Û =x = nhan

1 3 3 3

ìï > ï

x x

x

ìïï ïï

ìêï >

ïïêíêï - - =ïêïîë

2

x

Û =

é < ê

-Û - > -Û êê >

ë

Giao v i u ki n, ta c nghi m c a ph ng trình ã cho là x > 10.

log (5 2 ) log (5 2 ).log (5 2 ) log (2- x + - x x+ - x = x-5) +log (2x +1).log (5 2 )- x

2

log x + -1 log (3- -x) log (x-1) = 0

5) log log log log3 9 27 81 2

log ( 3)log x - +4x 3 < x -

3 3

log 1log 2x - +3x 1 > x +

log 3l

33

x

-é =ê

2 16

1log 2.log 2

logau - logav = v – u Û logau + u = logav Vì hàm s

f(t) = logat + t ng bi n khi t > 0, suy ra u = v

Bài 2 ( H) Gi i b t ph ng trình 2 2 1

2

1log (4 4 1) 2 2 ( 2)log

t h p v i u ki n (*) ta có: 1 1

4 < < ho c x < 0.x 2Bài 3 ( H) Gi i b t ph ng trình x(3 log2x- >2) 9 log2x-2

ýï

< = ïþÞ Bpt có nghi m x > * V i44

é >

êê < <

êëBÀI T P T LUY N

2x 3 1

x x x

+

- <

- +5) log (5 x + = -3) 3 x 6) ( ) ( ) ( ) ( )2

2 log 1 4 1 log 1 16 0

x + x + + x + x + - =7) log3 22 3 7 2 21 14

sin 0

72

sin 1 cos 1 cos , cos 1 sin 1 sin

cos2 cos sin cos sin

1 cos 2 sin 2 2 cos (sin cos )

1 sin 2 sin cos 1 cos 2 sin2 2 sin (sin cos )

1 sin 2 sin cos

2sin 2 1

x x

éê = ê

( )5 (6 sin cos 3 cos ) (2 sin2 5 sin 2) 0

3 cos (2 sin 1) (2 sin 1)(sin 2) 0

(2 sin 1)(3 cos sin 2) 0

i lo i ph ng trình này khi gi i r t d d n n th a ho c thi u nghi m, u quan tr ng

nh t c a d ng này là t u ki n và ki m tra u ki n xác nh.Thông th ng ta hay dùng

ng tròn l ng giác lo i nghi m Ngoài ra, ta c ng g p nhi u ph ng trình ch a tan, cot Khi

ó, có th s d ng m t s công th c

tan tan cota cotb=

tan cot tana-cotb=

2tan cot c

1 tan tan 1 tana tan

( )6 cot tan 2 os4 2cos2 2 os4 os4 os2 ,

sin 2 sin2 sin 2

é =êê

ê =êë

ê = ± +êêë

Ki m tra u ki n ta c nghi m x = m32 ,p m ZÎ

Ví d 8 Gi i ph ng trình: 3 tan 3 cot2 2 tan 2

4sin 4 0

8 2 tan 3 tan tan 3 cot2

sin 4 os3 cos os3 sin2 sin 4

4 sin 4 sin 2 os2 cos 2 os3 4 sin 4 sin os3 cos 2 os3

4 sin 4 sin os3 cos 8 sin 2 os2 sin 2 sin2 sin (*)

6)tan cos cos sin

7)2 2 os 3 cos sin 0 8)

19)cos cos2 os3 sin sin2 sin 3

210)sin os os2 tan tan

11)tan

x x

4 2 213)sin sin cos sin 1 2 cos

14)2sin cot 2sin 2 1

sin 315)sin cos 3 sin sin 3 cos sin sin 3

ìï + = + + +ïí

ï - = - + ïî

i z

a) (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i;

b) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i;

Bài 2. Ch ng minh z = (1+2i)(2 - 3i)(2+i) (3-2i ) là m t s th c

x

y

c) z = 2i(3 + i)(2 + 4i)

iz+

=-

nên z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i.

ph c ( )

2

2 2

2w

2

2 2

Bài 11. Tìm s ph c z th a mãn

( ) ( )

5

5 22

ïï +ïïî

2.4 D ng 4: Biêu diên hinh h c m t s ph c Tim tâp h p iêm biêu diên s ph c z

Trong d ng này, ta g p các bài toán bi u di n hình h c c a s ph c hay còn g i làtìm t p h p m bi u di n m t s ph c z trong ó s ph c z th a mãn m t h th c nào ó(th ng là h th c liên quan n mô un c a s ph c) Khi ó ta gi i bài toán này nh sau:

Gi s z = x+yi (x, y R) Khi ó s ph c z bi u di n trên m t ph ng ph c b i mM(x;y) S d ng d ki n c a bài tìm m i liên h gi a x và y t ó suy ra t p h p mM

1 2

x y

A

B O

i z

2 2 8 2 2

Gi i

t z= x+ yi (x, y Î ), khi ó:R

i z i

++ =

- .Tìm s ph c có mô un

nh nh t, l n nh t