giáo trình không gian mêtric

Khác với giải tích cổ điển, trong đó người ta làm việc chủ yếu trên tập IRk các bộ k số thực, ở đây các khái niệm cơ bản của giải thích như lân cận, giới hạn liên tục… được xét trong khô

ĐẠI HỌC HUẾ TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỪ XA

TS NGUYỄN HOÀNG

GIÁO TRÌNH KHÔNG GIAN

MÊTRIC

(CƠ SỞ GIẢI TÍCH)

Huế - 2007

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 3

A KIẾN THỨC BỔ SUNG 5

§ 1 TẬP HỢP SỐ THỰC 5

§2 LỰC LƯỢNG CỦA CÁC TẬP HỢP 10

B KHÔNG GIAN MÊTRIC 16

§1 KHÁI NIỆM MÊTRIC .16

BÀI TẬP 21

§2.TẬP MỞ VÀ TẬP ĐÓNG 23

BÀI TẬP 30

§3 ÁNH XẠ LIÊN TỤC 32

BÀI TẬP 37

$4 KHÔNG GIAN MÊTRIC ĐẦY ĐỦ 38

BÀI TẬP 50

§5 KHÔNG GIAN COMPACT 52

BÀI TẬP 67

§6 KHÔNG GIAN LIÊN THÔNG 69

BÀI TẬP 71

C LỜI GIẢI VÀ HƯỚNG DẪN 72

PHẦN A 72

PHẦN B 73

TÀI LIỆU THAM KHẢO 87

LỜI NÓI ĐẦU

Giáo trình này được viết dựa trên bài giảng cho sinh viên khoa Toán trường ĐHSP Huế trong những năm vừa qua Học phần này có mục đích trang bị những kiến thức căn bản về giải tích hiện đại mà bất cứ sinh viên Toán nào cũng phải nắm được Khác với giải tích cổ điển, trong đó người ta làm việc chủ yếu trên tập IRk các bộ k số thực, ở đây các khái niệm cơ bản của giải thích như lân cận, giới hạn liên tục… được xét trong không gian tổng quát hơn mà phần tử của nó

có thể là các đối tượng tuỳ ý miễn sao có thể xác định được khoảng cách giữa hai phần tử đó Ngoài một cách bản chất và sâu sắc những kiến thức về giải thích

cổ điển đã học trong những năm trước, cũng như chuẩn bị để học tốt các học phần tiếp theo như lý thuyết độ đo, tích phân, giải tích hàm…

Các khá nhiều sách viết về không gian mêtric, tuy nhiên người ta thường chỉ trình bày những kiến thức đủ dùng cho mục đích của cuốn sách đó nên chưa

có một giáo trình tương đối hoàn chỉnh riêng cho phần lý thuyết này Ở đây, bạn đọc sẽ thấy nhiều bài tập được đưa vào với tư cách rèn luyện tư duy và đồng thời cũng có thể xem như bài bổ sung lý thuyết Phần lớn các bài tập đều có lời giản tóm tắt hoặc chi tiết Điều này có lẽ sẽ mang lại lợi ích thiết thực rất hạn chế và cũng có ít sách giải bài tập để giúp cho sinh viên trong lúc học tập

Để học tốt học phần này, về nguyên tắc sinh viên chỉ cần nắm được những kiến thức sơ cấp về lý thuyết tập hợp và ánh xạ, phép qui nạp và các suy luận logic toán học Cần phải biết diễn tả một mệnh đề bằng nhiều mệnh đề tương đương với nó cũng như hiểu và vận dụng cách chứng minh hay xây dựng các đối tượng bằng qui nạp hữu hạn Tuy nhiên để có thể hiểu sâu sắc và nhất là làm được các bài tập Ở đây, ngôn ngữ hình học được dùng để diễn tả các khái niệm không gian mêtric, nhưng đôi lúc có những vấn đề vượt ra khỏi trực giác và suy luận chủ quan thông thường Do đó với từng khái niệm, người học nhất thiết phải hiểu thấu được định nghĩa, tự mình tìm được những ví dụ minh họa cho các định nghĩa đó Như Dieudonne đã nói: trực quan hình học, cùng với sự đề phòng thích đáng là một người hướng dẫn rất đáng tin tưởng trong hoàn cảnh tổng quát…

Cuốn sách được chia làm hai phần Phần kiến thức bổ sung nêu lại một cách

có hệ thống các tính chất của tập số thực IR Sinh viên tăng cường chú ý đến khái

niệm infimum và suptemum của một tập số thực và cần sử dụng một cách thành

thạo, biên soạn Về khái niệm lực lượng tập hợp, cần nắm được trong trường hợp nào thì một tập là đếm được,

Phần thứ hai là phần chính của chương trình Có nhiều con đường để trình bày các khái niệm Ở đây chúng tôi chọn cách tiếp cận với ngôn ngữ thường dùng, một mặt để người học dễ nhớ, mặt khác phần nào giải thích lý do đưa ra tên gọi như vậy Tuy nhiên, nhất thiết phải được hiểu theo đúng định nghĩa Các khái niệm quan trọng phải kể đến là hội tụ, mở, đóng, liên tục, đầy đủ, compact… Đặc trưng phần này là nặng về suy luận hơn tính toán, hơn nữa nhiều thuật ngữ chồng chất lên nhau làm người mới học thấy lúng túng Vì thế sinh viên nên tìm thêm ví dụ và hình ảnh trực quan để dễ nhớ Sau khi nắm được lý thuyết, các bạn tự mình giải các bài tập cẩn thận trước khi xem lời giải Các bài tập khó hơn có đánh dấu * dành cho sinh viên khá, và phải có thời gian nghiền ngẫm nhiều hơn

Tác giả xin cám ơn các bạn trong tổ Giải tích khoa Toán trường ĐHSP Huế

đã động viên góp ý khi viết cuốn sách này Mong được nhận được những phê bình của các đồng nghiệp gần xa

Tác giả

A KIẾN THỨC BỔ SUNG

§ 1 TẬP HỢP SỐ THỰC

Chúng ta đã tiếp xúc nhiều với tập hợp số thực từ chương trình toán ở bậc phổ thông Có nhiều cách xây dựng tập hợp số thực, chẳng hạn dùng nhát cắt

Dedekind, các dãy cơ bản… của tập hợp số hữu tỉ Q Ở đây với mục đích là hệ

thống lại những kiến thức cần thiết cho giải tích, chúng tôi sẽ chọn một số mệnh

đề cơ bản làm tiền đề để định nghĩa tập hợp số thực Các tính chất còn lại được suy từ các tiên đề này

II (IR*,.) là một nhóm phân Abel, trong đó IR* = IR \{0}, nghĩa là với mọi x,

y, z thuộc IR*, ta có:

xy = yx x( yz) = (xy) z

(∀x ∈ IR*)(∃ x-1∈ IR*): xx -1 = x-1x = 1 (Ở đây để cho gọn, ta viết xy thay cho x.y)

III Phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cọng:

Với mọi x,y thuộc IR ta có:

x(y + z) = xy+ xz

Như thế IR cùng với các phép toán cọng và nhân lập thành một trường

IV IR là một trường được sắp thứ tự, nghĩa là trong IR có xác định một quan

hệ thứ tự ‘≤’ thoả:

1 x ≤ y và y ≤ z kéo theo x ≤ z

2 x ≤ y và y ≤ z tương đương x = y

3.Với hai phần tử tuỳ ý x,y Є IR thì hoặc x ≤ y hoặc y ≤ x

4 x ≤ y kéo theo x + z ≤ y + z với mọi z ∈ IR

5 0 ≤ x và 0 ≤ y kéo theo 0 ≤ xy

Nếu x ≤ y và x ≠ y thì ta viết x < y hay y > x

V Ta gọi một nhát cắt trong IR là một cặp (A,B) các tập con của IR sao cho A,

B khác trống, A ∩ B = Ø, IR = A ∪ B và với mọi a ∈ A, b ∈ B thì a < b

Tiên đề Dedekink IR là một trường được sắp liên tục, nghĩa là: Với mỗi

nhát cắt (A,B) của tập IR đều xảy ra: hoặc có một phần tử lớn nhất trong A hoặc

có một phần tử nhỏ nhất trong B và không thể vừa có phần tử lớn nhất trong A, vừa có phần tử nhỏ nhất trong B

Phần tử lớn nhất trong A (hoặc phần tử nhỏ nhất trong B) gọi là biên của nhát cắt (A,B) Tập hợp số thực cũng gọi là đường thẳng thực

1.2 Các tính chất cơ bản:

1.2.1 Supremum và infimum :

Cho M là một tập con khác trống của IR Số x ∈ IR được gọi là một cận trên của M nếu với mọi y ∈ M thì y ≤ x, số x ∈ IR gọi là cận dưới của M nếu x ≤ y với mọi y ∈ M Tất nhiên nếu x là cận trên (tương ứng, cận dưới) thì với mọi x 1 > x (

t.ư… x 1 < x) cũng là cận trên (t.ư cận dưới) của tập M

Cận trên bé nhất (nếu có) của tập M được gọi là supremum của tập M, ký hiệu sup M Như vậy, α = sup M khi và chỉ khi

ii) (∀α ’∈ α < α) (∃ x ∈ M) : α ’ < x

(Điều kiện ii) nói rằng vì α là cận trên bé nhất nên nếu α ’ <n thì α ’ không

còn là cận trên của M, do đó α ’ không thể lớn hơn tất cả các x thuộc M)

Tương tự, cận dưới lớn nhất (nếu có) của tập M gọi là infimum của tập M

ký hiệu là inf M Do định nghĩa, β = inf M khi và chỉ khi

i)∀x ∈ M: β ≤ x

ii) (∀ β ’ > β) (∃ x ∈ M) : x < β ’

Nguyên lý supremum: Mọi tập con khác trống của IR có cận trên thì phải

có supremum Cũng vậy, mọi tập con khác trống của IR có cận dưới thì phải có infimum

Chứng minh: Giả sử M ≠ Ø và c là một cận trên của M Ta hãy xét các tập

hợp sau:

A ={x Є IR : (∃ a ∈ M) x ≤ a};

B ={y Є IR : (∀aЄ M) a < y}

Khi đó A ≠ Ø vì M ⊂ A; B ≠ Ø vì với c’ > c thì c ’ Є B Với mọi z Є IR thì

hoặc z Є A hoặc z Є B nên IR = A ∪ B Nếu z Є A∩B thì có a ∈ M sao cho z ≤ a

< z hay z < z, vô lý nên A∩B = Ø Hơn nữa, nếu x ∈ A , y ∈ B ta có x ≤ a < y với

a nào đó thuộc M nên x < y Theo định nghĩa, (A,B) là một nhát cắt của IR Gọi

m là biên của (A,B) Khi đó ta sẽ có m = sup A Thực vậy, chẳng hạn m ∈ A thì theo định nghĩa sẽ có a ∈ M để m ≤ a vì M ⊂ A nên m = a Còn nếu m Є B thì

∀a ∈ M : a < m Nếu m ’ < m thì m’ ∉ B tức là m ’ ∈ A, hơn nữa m’ không phải

là phần tử lớn nhất trong A nên có m”∈ A, a ∈ M để m ’ < m ’’ ≤ a < m Phần còn

lại của định lý chứng minh tương tự

Chú ý: Giả sử M là một tập con khác rỗng của IR nhưng không có cận trên

nào cả Khi đó ta quy ước sup M = + ∞ Tương tự, nếu M không có cận dưới, ta

quy ước inf M = - ∞

1.2.2 Ta gọi các số a ∈ IR , a > 0 là số dương, a < 0 là số âm và đặt ⎪x⎪ nếu

x ≥ 0; ⎪x⎪= - x nếu x < 0 và gọi ⎪x⎪là giá trị tuyệt đối của số thực x Số a ∈ IR

gọi là giới hạn của dãy số (xn)n ⊂ IR và ký hiệu x n a

Dãy (x n ) n gọi là đơn điệu tăng (t.ư giảm) nếu x n ≤ x n+1 (t.ư x n ≥ x n+1) với mọi

n ∈ N bị chặn trên (t.ư dưới) nếu tập {x n } có cận trên (t.ư., dưới) hội tụ nếu (x n)

có giới hạn

Nguyên lý Weierstrass: Mọi dãy đơn điệu tăng (t.ư.,giảm) và bị chặn trên

(t.ư., dưới) đều hội tụ

Chứng minh: Giả sử (x n)n là một dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên Theo

nguyên lý supremum, tập {x n } có một supremum α Với ε > 0 cho trước, theo điều

kiện ii) có số nguyên n 0 sao cho α – ε < x n0 Mặt khác, theo tính đơn điệu tăng

của dãy (x n ), ta có α – ε < x n0 ≤ x n < α + ε với mọi n ≥ n 0 Khi đó:⎟ xn – α⎥ < ε

với mọi n ≥ n 0 Như vậy dãy (x n ) hội tụ về α Trường hợp (x n) là dãy đơn điệu giảm, bị chặn dưới cũng được chứng minh tương tự

1.2.3 Các phần tử của tập IR: 0, 1, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1 và -1, -2, -3… gọi

là các số nguyên, ký hiệu tập các số nguyên là Z Tập Z không có cận trên và cận dưới Thật vậy, nếu Z có cận trên α thì dãy đơn điệu tăng 1, 2, 3… phải có giới

hạn α; lúc đó α – 1 < p với một p nào đó của Z và thành ra α < p + 1 trái với α là cận trên Ký hiệu Q = { ab -1 = a b , a, b Є Z, b ≠ 0} và gọi nó là tập hợp các số

hữu tỉ, còn N là tập số nguyên dương (số tự nhiên) ta có bao hàm thức sau:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR Nguyên lý Archimède: Cho hai số thực a, b bất kỳ với a > 0 Khi đó tồn tại n

Є N sao cho b < na

Thực vậy, do N không bị chặn trên (tức là không có cận trên) nên với số

Nguyên lý Cantor: Mỗi dãy đoạn thắt lại có một phần tử duy nhất chung

cho tất cả các đoạn ấy

Chứng minh: Giả sử ([a n , b n])n là dãy đoạn thắt lại Ta có:

a 1 ≤ a 2 …≤ a n+1 ≤ …≤ b n+1 ≤ b n ≤ … ≤ b 1

với mọi n Є N Theo nguyên lý Weierstrass, dãy (a n ) n tăng, bị chặn trên (bởi b 1

chẳng hạn) nên hội tụ về số ξ = sup {a n} Như thế a n ≤ ξ với mọi n Nếu ξ ∉ [a no , b no] với một n 0 nào đó thì ắt hẳn b no < ξ Đặt ε = ξ - b no Khi đó với n đủ lớn thì

ξ - a n < ξ - b no tức là b no < a n! vô lý Vậy ξ Є [a n ,b n] với mọi n Mặt khác, nếu có

ξ’ Є[an,bn] với mọi n thì⎥ ξ-ξ’⎥ ≤ b n – a n Do đó

Chứng minh: Theo giả thiết, tồn tại số a sao cho với mọi n Є N ta có – a ≤

x n ≤ a Trong hai giai đoạn [-a,0] và [0,a] phải có một đoạn chứa vô số các phần

tử x n (nếu không, hoá ra (x n ) n chỉ có hữu hạn các số hạng) Ta gọi đoạn này là [a 1 ,b 1].Chia hai đoạn này bằng điểm giữa c 1 = a 1 + b 2 Trong hai đoạn [a 1 1 ,c 1] và [c 1 ,b 1] cũng có một đoạn chứa vô số các x n, ký hiệu đoạn này là [a 2 ,b 2] và lại chia đôi đoạn này bởi điểm giữa c 2 =

được một dãy đoạn thắt lại [ak, bk] (vì hiển nhiên [a k+1 , b k+1] ⊂ [ak , b k] và b k – a k

hãy lấy phần tử x n1 ∈ [a 1 , b 1] rồi x n2 ∈ [a 2 , b 2] với n 2 > n 1, xn3 ∈ [a 3 , b 3], n 3 >

n 2… khi đó (x nk)k là dãy con của dãy (x n)n và⎟xnk – ξ⎪ ≤ bk - a k → 0 (k → ∞), nghĩa

là dãy (x nk) hội tụ về ξ

1.2.6 Dãy số thực (x n)n được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu:

(∀ε > 0)(∃ n 0 )(∀ n ≥ n 0 )(∀ m ≥ n 0 ) : ⎪x n –x m ⎪ < ε

Nguyên lý Cauchy: Mọi dãy số thực cơ bản thì phải hội tụ:

Chứng minh: Trước hết ta chứng minh rằng nếu (xn)n cơ bản thì nó phải bị chặn Với ε = 1, tồn tại n 0 để với mọi n ≥ n 0 ta có ⎪x n –x no ⎪ < 1 hay x no - 1≤ x n≤

x no + 1 Đặt a = max {⎪x1⎪,…,⎪xno⎪, ⎪xno⎪+1}, khi ấy với mọi n thì -a ≤ x n ≤ a Do

đó theo nguyên lý Bolzano- Weierstrass, dãy (x n)n có một dãy con hội tụ về

ξ Bây giờ với ε > 0 cho trước sẽ có n

Vậy dãy (xn)n cũng hội tụ về ξ và điều này kết thúc việc chứng minh

1.2.7 Tính trù mật của tập Q trong IR:

Định lý: Với mỗi cặp số thực (a;b), a < b bao giờ cũng tồn tại một số hữu tỉ

r sao cho a < r < b

Chứng minh: Do tập IR có tính chất Archimède nên có số nguyên n để n > 1

b-a hay b - a > 1/n Tương tự, có số nguyên p để p ≥ nb Gọi q là số nguyên bé

nhất thoả mãn q ≥ n, do đó q-1 < nb hay q-1 n < b Lúc này a < q-1 n vì nếu a ≥ q-1

n = 1/n trái với b-a > 1/n trở lên Vậy ta

tìm được số hữu tỉ r = q-1 n ∈ (a,b)

Sự kiện phát biểu bởi định lý trên được gọi là tập số hữu tỉ Q trù mật trong

tập số thực IR Cũng từ định lý này, ta suy ra trong khoảng (a,b) có chứa vô số số

hữu tỉ

§2 LỰC LƯỢNG CỦA CÁC TẬP HỢP

Cho một tập hợp A, có các phần tử là những đối tượng nào đó Ta chưa quan tâm đến bản chất các đối tượng này Trước hết hãy thử để ý đến “số lượng” các phần tử của tập hợp A Có thể xảy ra một trong hai khả năng:

- Nếu đếm hết được các phần tử của tập hợp A thì A được gọi là tập hữu hạn và số nguyên cuối cùng đếm tới chính là số lượng các phần tử của tập hợp

số tự nhiên chẵn:

B = {2,4,6,…, 2n,…}

Hiển nhiên B là tập con thực sự của tập số tự nhiên N = {1, 2,3,…} Tuy nhiên chúng ta không thể quả quyết rằng “số lượng” các phần tử của N nhiều

gấp đôi “số lượng” các phần tử của B

Mặt khác, thực chất của việc đếm là thực hiện một đơn ánh từ tập ta đếm vào tập số tự nhiên N và muốn biết hai tập hợp có cùng số lượng hay không, ta chỉ cần xem có thể thiết lập một song ánh giữa hai tập này ( tức là có thể cho tương ứng mỗi phần tử của tập này với một và chỉ một phần tử của tập kia) hay không Bằng phương pháp này, việc so sánh “số lượng” phần tử của tập hữu hạn hay vô hạn vẫn còn hiệu lực

2.1 Tập hợp tương đương:

2.1.1 Định nghĩa: Ta nói hai tập hợp A, B là tương đương với nhau nếu

tồn tại một song ánh từ A lên B

2.1.2 Ví dụ:

1 Hai tập hợp hữu hạn có cùng một số lượng các phần tử thì tương đương với nhau

2 Ở ví dụ trong phần mở đầu, hai tập B = {2,4, ,2n,…} và N tương đương

với nhau vì ta có một song ánh từ N lên B xác định bởi n → 2n, n ∈ N

Nhận xét: Tập B có được từ N sau khi bỏ đi tất cả các số nguyên lẻ nhưng

B vẫn tương đương với N Điều này không thể xảy ra đối với các tập hữu hạn

Do vậy, ta có định nghĩa khác (tương đương với định nghĩa trước) về tập hữu hạn và vô hạn như sau:

Tập A được gọi là vô hạn nếu A tương đương với một tập con thực sự của

nó

Tập A được gọi là hữu hạn nếu A không phải là tập vô hạn

3 Tập (0,1) tương đương với tập (a,b) với a, b bất kỳ thuộc IR , a < b, nhờ

π π

, → IR : x → y = f(x) = tg x

Khi hai tập hợp tương đương với nhau ta bảo chúng có cùng lực lượng hay cùng bản số Đối với các tập hữu hạn, rõ ràng hai tập có cùng lực lượng khi và chỉ khi chúng có cùng số lượng các phần tử Do đó ta đồng nhất lực lượng của

tập có n phần tử là n Lực lượng của tập A (hữu hạn hay vô hạn) được ký hiệu là

A hay card A Như vậy ví dụ card{1,2,3,4,5} = 5, card {a,b,c} = 3

Nếu tập hợp B tương đương với một con thực sự của A nhưng không tương đương với A thì ta nói lực lượng của B nhỏ hơn lực lượng của A ký hiệu B< A

hoặc cũng gọi lực lượng của A lớn hơn lực lượng của B, ký hiệu A>B

Người ta chứng minh được rằng, cho hai tập A, B bất kỳ bao giờ cũng xảy

2.2.1 Định nghĩa: Tập hợp A được gọi là tập hợp đếm được nếu A tương

đương với tập số tự nhiên N Nói cách khác, A đếm được nếu và chỉ nếu tồn tại một song ánh từ N lên A Khi đó ta cũng nói A có lực lượng đếm được

Gọi a: N→ A là song ánh nói trên, ta có:

N Э n → a (n) = a n Є A

Như vậy có thể nói tập hợp đếm được là một tập mà các phân tử của nó có thể đánh số thành một dãy vô hạn

a1, a2, a3,…,an,…

2.2.2 Ví dụ:

1 Tập hợp các số tự nhiên chẵn, các số tự nhiên lẻ đều là các tập đếm được

Thật vậy, theo mục trước, card {2,4,6…} = cardN, còn E = { 1,3,5, ,2n +1,…} tương đương với N nhờ song ánh

Dễ dàng kiểm tra f là song ánh ta có được kết luận

3 Tập các số hữu tỉ Q là đếm được Thật vậy, một số hữu tỉ có thể viết

được duy nhất thành một phân số tối giản

q

p , q > 0 Ta hãy tạm gọi tổng |p| + q

Tiếp theo, chúng ta thiết lập các định lý cơ bản của tập đếm được

2.2.3 Định lý: Mọi tập vô hạn luôn luôn có chứa một tập con đếm được

Chứng minh: Giả sử M là tập vô hạn Lấy ra một phần tử bất kỳ a 1Є M Khi

đó M \ {a 1 } vô hạn nên lấy tiếp phần tử a 2 Є M\ {a 1 } rồi a 3 Є M {a 1 ,a 2} v.v … Quá trình này được tiếp tục mãi và ta thu được tập đếm được A = {a1, a2,…} ⊂

M

2.2.4 Định lý: Mọi tập con của một tập đếm được thì phải là tập hữu hạn hoặc đếm được

Chứng minh: Giả sử A = {a1, a2,…} là tập đếm được và B là một tập con

của A Gọi a n1 , an 2, Là các phần tử của A thuộc tập hợp B theo thứ tự tăng dần

trong A Nếu trong các số n , n , có số lớn nhất thì B là hữu hạn Trường hợp

trái lại, các phần tử của B được sắp thành dãy vô hạn a n1 , an 2, nên B đếm được

2.2.5 Định lý: Hợp một họ hữu hạn hay đếm được các tập đếm được là một tập đếm được

Chứng minh: Cho A1, A2,… là dãy các tập đếm được Ta có thể giả thiết các tập này không giao nhau vì nếu khác đi, ta đặt B1 = A1, B2 = A2\ A1, B3 = A3\ (A1

U A2), Các tập Bi này hữu hạn hoặc đếm được, không giao nhau và

Bây giờ ta sắp xếp các phần tử của A

a11, a21, a12, a31, a22, a13,…

Vậy tất cả các phần tử của tập được đánh số thành một dãy nên tập A đếm được

i i

Nhận xét: Trong cách chứng minh ta thấy nếu một số hữu hạn hay đếm

được các tập Ai (không phải tất cả) được thay bằng các tập hữu hạn thì kết luận của định lý không thay đổi

2.2.6 Định lý: Khi thêm một tập hợp hữu hạn hay đếm được vào một tập

vô hạn M thì lực lượng của nó không thay đổi

Chứng minh: Giả sử A là tập hữu hạn hay đếm được Ký hiệu N = M ∪ A Theo định lý 2.2.3, tồn tại một tập đếm được B ⊂ M Đặt M’= M\B, ta có M =

M’ ∪ B nên N = M’ ∪ B ∪ A Theo định lý 2.2.5, B ∪ A là tập đếm được nên

tồn tại song ánh f giữa B và B ∪ A Ta đặt:

Theo định lý này ta thấy khoảng (a,b) tương đương với đoạn [a,b] Hơn nữa (a,b) tương đương với IR nên [a,b] cũng tương đương với IR

Nhận xét: Từ các định lý 2.2.3 và 2.2.6 ta thấy lực lượng đếm được là lực

lượng “bé nhất” trong các lực lượng của tập vô hạn

2.2.7 Định lý: Tập hợp tất cả các dãy hữu hạn có thể thành lập được với tất cả các phần tử của một tập hợp đếm được là tập đếm được

Chứng minh: Giả sử A = {a1,a2, } là một tập đếm được Ký hiệu Sm là tập

các dãy có đúng m phần tử của A dạng (ai1, ai2, aim) Đặt Ta chứng minh

S đếm được Trước hết S

m m

S

S =U∞=

1

1 = A đếm được Bằng qui nạp, giả sử Sm đếm được,

hãy lấy a kЄ A và ký hiệu Skm+1 là tập hợp tất cả các dãy có dạng (ai1, ai2,…,aim,

ak) Giữa Skm+1 và Sm có một song ánh cho bởi (a i1 , a i2 ,…,a im ,a k) → (ai1,ai2,…,aim) nên Skm+1 đếm được Mặt khác vì Sm+1 = k nên S

được theo định lý 2.2.5 Cũng từ định lý này, S là một tập đếm được

2.2.8 Hệ quả: Tập hợp tất cả các đa thức P(x) = a0 +a1x + anxn (n bất kỳ) lấy giá trị trong IR với các hệ số hữu tỉ a0,a1,…, an là đếm được

Chứng minh: Mỗi đa thức tương ứng với một và chỉ một dãy hữu hạn các hệ

số hữu tỉ của nó Vì tập Q đếm được nên theo định lý 2.2.7, tập tất cả các dãy

hữu hạn các số hữu tỉ là đếm được nên tập các đa thức này đếm được

2.3 Lực lượng continum:

Ta đã xét các ví dụ và thiết lập các định lý về các tập hợp đếm được Vậy có tập hợp vô hạn nào không phải là tập đếm được hay không? Định lý sau đây cho

ta câu trả lời khẳng định

2.3.1 Định lý. Tập hợp các số thực IR là tập vô hạn không đếm được

Chứng minh: Trong ví dụ ở Định lý 2.2.6 ta thấy IR tương đương với đoạn

[0,1] Do đó chỉ cần chứng minh [0,1] không đếm được Giả sử trái lại [0,1] là đếm được Khi đó các phần tử của nó được đánh số thành dãy x1,x2, xn,… Chia cho [0,1] thành 3 đoạn bằng nhau và gọi đoạn không chứa x1 là ∆1 Lại chia tiếp

∆1 thành 3 đoạn bằng nhau nữa và gọi ∆2 là đoạn không chứa x2,… Tiếp tục quá trình này ta thu được dãy đoạn ∆1 ⊃∆2 ⊃ với ∆n có độ dài là |∆n| = 31n sao cho

xn ∉ ∆n Đây là dãy đoạn thắt lại nên theo nguyên lý Cantor, tồn tại ξ

Є [0,1 Do đó ξ phải trùng với một x

1∆ ⊂

∞

= n

x noЄ ∆no Điều này mâu thuẫn với cách xây dựng các đoạn ∆n Vậy đoạn [0,1] không phải là tập đếm được

Nhận xét:

1 Đặt a = {1 n : n Є N) Rõ ràng A là tập đếm được và chứa trong đoạn [0,1]

Do đó lực lượng đoạn [0,1] (hay IR) lớn hơn lực lượng đếm được Người ta gọi

lực lượng này là lực lượng continum hay lực lượng c

2 Tập hợp số thực bằng hợp của số hữu tỉ và số vô tỉ Do tập số hữu tỉ đếm được nên tập số vô tỉ không đếm được và cũng có lực lượng là c

BÀI TẬP

1.Hãy thiết lập một song ánh giữa hai tập (0,1) và [0,1]

2.Chứng minh tập các điểm gián đoạn của một hàm số đơn điệu xác định trên [a,b] là hữu hạn hoặc đếm được

3 Giả sử E là một tập con của tập số thực IR có tính chất |x-y| > 1 với mọi x, y

Є E Chứng minh E là một tập hữu hạn hoặc đếm được

4 Giả sử E là một tập vô hạn D là một tập con hữu hạn hay đếm được của

E sao cho E\D vô hạn Chứng minh E\D có cùng lực lượng với E

5 Cho A và B là các tập đếm được Chứng minh A × B là tập đếm được

6* Ký hiệu E là tập hợp tất cả các dãy số (xn) trong đó xn = 0 hoặc xn = 1 Chứng minh E là tập hợp không đếm được (Thực ra E có lực lượng c)

B KHÔNG GIAN MÊTRIC

§1 KHÁI NIỆM MÊTRIC

Phép toán đặc trưng của môn giải tích là phép toán lấy giới hạn Để diễn tả khái niệm này ta phải tìm cách xác định mức độ “ xa”, “gần’’ giữa các đối tượng Các mứcs độ “xa”, “gần” đó có thể đưa vào một cách khá tự nhiên thông qua kháis niệm khoảng cách hay mêtric được chính xác hoá bởi các định nghĩa sau đây

1.1 Định nghĩa:

Giả sử X là một tập tuỳ ý khác trống cho trước, một mêtric ( hay khoảng cách) trên X là một hàm số d: X × X→ IR thoả mãn 3 tiên đề sau đây:

1) d(x, y) ≥ 0, với mọi x, y Є X: d (x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y

2) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y Є X, (tính đối xứng)

3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z),với mọi x, y, z Є X (bất đẳng thức tam giác)

Khi đó tập X với mêtric d đã cho gọi là một không gian mêtric và ký hiệu là (X,d) Đôi khi để đơn giản và nếu mêtric d được xác định rõ ràng, ta chỉ ký hiệu

X

Bằng ngôn ngữ hình học, phần tử x ∈ X gọi là điểm của không gian X, số

thực dương (hay bằng 0) d(x,y) gọi là khoảng cách giữa 2 điểm x và y

1.2 Các ví dụ:

1.2.1 Giả sử M là tập hợp con khác trống của tập số thực IR Ta hãy đặt

d(x,y) = | x-y | với x,y ∈ M Khi đó nhờ các tính chất quen thuộc của giá trị tuyệt đối, ta kiểm tra dễ dàng (M, d) là một không gian mêtric

Khi đó các tiên đề 1)-2) rõ ràng, ta chỉ cần kiểm tra tiên đề 3) tức là chứng minh:

2 1

) z x

k i

k i

k i

d2(x,z) = ∑

i =1

k (a i +b i ) 2 = ∑

với mọi x, y Є X Ta hãy kiểm tra d là một mêtric trên X

Tiên đề 1) và 2) được nghiệm đúng Tiên đề 3 có dạng:

Vì f,g là các hàm liên tục trên [a,b] nên hàm⎪f - g⎪cũng vậy Do đó giá trị

lớn nhất của hàm ⎪f - g⎪ đạt được trên khoảng đóng [a,b] nên d(f,g) xác định Các tiên đề 1)-2) hiển nhiên Tiên đề 3) suy ra từ

∀x ∈ [a,b] : ⎪f(x)-h(x)⎪≤ ⎪f(x)-g(x)⎪+⎪g(x)+h(x)⎪

[ ] f ( x ) g ( x ) max[ ] g ( x ) h ( x )

max

b , a b

, a b

Các tiên đề 2)-3) dễ dàng kiểm tra Ta có d(f,g) ≥ 0 Nếu d(f,g) = 0 tức là

b

a

dx ) x (

g

)

x

(

f = 0 Giả sử f ≠ g khi ấy có x0 ∈[a,b] để ⎪f(x)-g(x)⎪≥ ε > 0 với

mọi x ∈[α,β] nào đó chứa trong [a,b] Như vậy

.0)(

)()()

()

x g x f dx x g x

f

b

a

Điều này mâu thuẫn Vậy f = g

Không gian metric này được ký hiệu là C[ ]L a,b

Nhận xét: Qua các ví dụ trên, ta thấy có thể cho nhiều mêtric khác nhau trên cùng một tập X (tất nhiên sẽ nhận được các không gian mêtric khác nhau) Tùy mục đích nghiên cứu, người ta sẽ chọn mêtric nào phù hợp với yêu cầu

1.3 Một số tính chất đơn giản

Giả sử (X,d) là một không gian metric, ta có:

1.3.1 Cho x1, ,xn là các điểm của X Khi đó ta có bất đẳng thức tam giác

mở rộng:

d(x1,xn) ≤ d(x1,x2) + +d(xn-1,xn)

Tính chất này được suy từ tiên đề 3 và lập luận qui nạp

1.3.2 Với mọi x,y,u,v thuộc X ta có bất đẳng thức tứ giác:

⎪d(x,y) – d(u,v)⎪≤ d(x,u) + d(y,v)

Thực vậy ta áp dung 1.3.1 ta có

d(x,y) ≤ d(x,u) + d(u,v) + d(v,y)

hay

d(x,y) - d(u,v) ≤ d(x,u) + d(y,v)

Thay đổi vai trò của x,y cho u,v ta lại được

d(u,v) - d(x,y) ≤ d(x,u) + d(y,v)

Như vậy có được điều phải chứng minh

1.3.3 Cho A,B là hai tập con khác trống trong không gian mêtric X Đặt

),(inf)

,

(

B A

d

B y A

=

và gọi số thực d(A,B) này là khoảng cách giữa hai tập A và B Nếu A = {a} ta viết d(A,B) = d(a,B) và gọi là khoảng cách từ điểm a đến tập B Để ý rằng nếu A

∩ B ≠∅ thì d(A,B) = 0 nhưng điều ngược lại nói chung không đúng

Cho x,y ∈X, với mọi z ∈ A ta có

⎪d(x,A)-d(y,B)⎪≤ d(x,y) Thực vậy với x,y ∈X ta có d(x,A) ≤ d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z), ∀z ∈A Do đó d(x,A) ≤ d(x,y) +inf d(y,z)

A

z∈hay

d(x,A) - d(y,A) ≤ d(x,y) Tương tự d(y,A) - d(x,A) ≤ d(x,y) Từ đó kết quả được chứng minh

1.4 Không gian metric con và không gian metric tích

1.4.1 Định nghĩa Giả sử (X,d) là một không gian metric và Y là một tập con khác trống của X Nếu xét hàm thu hẹp d’ của hàm d lên tập Y x Y : d\Y x Y thì hiển

nhiên d’ là một metric trên Y Ta gọi d ’ là mêtric cảm sinh bởi d lên Y Với mêtric cảm sinh này, (Y,d’’) được gọi là không gian mêtric con của không mêtric (X, d)

1.4.2 Định nghĩa: Giả sử (X,dx) và (Y,dy) là hai không gian mêtric tuỳ ý Trên tích Descartes X × Y = {(x,y) : x Є X, y ∈ Y} ta đặt d((x1 , y 1 ),(x 2 , y 2)) = dX(x 1 ,

x 2) + dY(y 1 , y 2)

Dễ dàng kiểm tra để thấy rằng d là một mêtric trên tập X × Y Khi đó không gian ( X × Y,d) được gọi là tích của các không gian mêtric X và Y

1.5 Sự hội tụ trong không gian mêtric:

Các khái niệm hội và giới hạn trong không gian mêtric X bất kỳ được định

nghĩa một cách tương tự trong tập IR với việc thay |x-y| bằng khoảng cách giữa hai phần tử d(x,y) Một dãy trong không gian mêtric (X, d) là một ánh xạ

Ta cũng dùng kí hiệu quen thuộc là dãy (x n)nЄ N Giả sử nk là một dãy tăng thực sự các số nguyên dương Khi đó dãy (xnk)k được gọi là một dãy con của

dãy (x n)

1.5.1 Định nghĩa: Giả sử X là một không gian mêtric và (xn)n là một dãy trong X Ta nói dãy (xn)n hội tụ đến x∈X nếu khoảng cách giữa x n và x dần đến 0 khi n → ∞ Lúc đó x được gọi là giới hạn của dãy xn và ta sẽ ký hiệu

Cho (xn)n, (yn)n là các dãy trong không gian mêtric X Ta có

a Nếu dãy (xn)n hội tụ đếnx Є X thì mọi dã con (xnk)k của dãy (xn)n cũng

hội tụ đến x

b Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất

c Nếu x n → x, y n → y thì d(x n , y n ) → d(x,y) khi n → ∞

Chứng minh:

a Giả sử (nk)k là dãy tăng thực sự các số nguyên Cho ε > 0 tồn tại số nguyên n0 sao cho d(x n , x) < ε khi n ≥ n 0 Từ đó với mọi n k ≥ n k0 ≥ n 0 nên d(x nk , x) < ε nghĩa là dãy con x nk → x, k → ∞

b Giả sử x n → x và x n → x ’ Khi đó từ bất đẳng thức tam giác ta có:

n

Vậy d(x, x ’ ) = 0 hay x = x ’

c Theo bất đẳng thức tứ giác (1.3.2.) ta có:

|d(x n, y n ) – d(x, y)| ≤ d(x n, x) + d(y n, y)

Qua giới khi n→ ∞ ta nhận được kết quả

0)

0

2 / 1

k

i i

b Hội tụ trong C[a,b] Giả sử (xn)n là một dãy (dãy hàm) trong C[a,b] hội tụ về

x ∈ C[a,b] Theo định nghĩa, ta có:

Sự hội tụ này gọi là sự hội tụ “trung bình” của dãy hàm (xn)

Nhận xét: Theo định lý qua giới hạn dưới dấu tích phân của một dãy hàm

liên tục, ta thấy rằng nếu xn(t) hội tụ đều đến x(t) thì xn(t) hội tụ trung bình đến x(t) nhưng điều ngược lại nói chung không đúng Có thể coi sự “gần nhau” giữa các điểm trong tập C[a,b] theo mêtric “max” chặt chẽ hơn mêtric “ ∫b ”

x g x

f

b a x

y x

∈

Chứng minh d là một mêtric trên c

1.3 Giả sử d(x,y) là một mêtric trên tập X Chứng minh các hàm sau đây

cũng là những mêtric trên X

a d1(x,y) =

),(1

),(

y x d

y x d

+

b d2(x,y) = min(1, d(x,y))

1.4 Cho X là một không gian mêtric và (xn)n là một dãy trong X Chứng

minh x n → x 0 khi và chỉ khi mọi lân cận x 0 đều chứa tất cả các x n ngoại trừ một số hữu hạn xn (Khái niệm lân cận xem ở 2.1.1)

1.5 Giả sử (u n ) n là một dãy số thực, un ≥ 0 và un → 0 Chứng minh rằng tồn

tại vô số n sao cho với mọi m ≥ n thì un ≥ um

1.6* Cho (xn) là một dãy trong không gian mêtric X Chứng minh rằng nếu

ba dãy con (x2n), (x2n+1) và (x3n) đều hội tụ dãy thì (xn) cũng hội tụ

1.7 Trong không gian C[0,1] khảo sát sự hội tụ của các dãy sau:

a x n (t) = t n

b x n (t) = sin nt n

1.8 Cho X × Y là tích của hai không gian mêtric (x, dX), (Y, dY) Chứng

minh dãy (x n, y n ) n trong X × Y hội tụ đến (x,y) ∈ X × Y khi và chỉ khi xn → x

trong X và yn→ y trong Y

§2.TẬP MỞ VÀ TẬP ĐÓNG

2.1 Các định nghĩa. Giả sử X là một không gian mêtric

2.1.1 Lân cận. Cho a là một điểm của X

a Ta gọi hình cầu mở tâm a bán kính r > 0 trong X và ký hiệu B(a,r) là tập {x Є X : d (x,a) < r} cũng còn gọi là r- lân cận của điểm a

b Tập U ⊂ X được gọi là một lân cận của điểm a nếu U có chứa một r- lân cận nào đó của a Tập tất cả các lân cận của a ký hiệu là N (a) Nói cách khác

(U Є N (a)) ⇔ (∃r > 0 : B(a,r) ⊂ U)

Theo định nghĩa, các r-lân cận của a cũng là lân cận của a

2.2.1 Vị trí tương đối của một điểm đối với một tập:

Cho A là một con của X và x là một điểm của X Có ba vị trí tương đối của điểm x đối với A như sau:

a Có một lân cận của x chứa trong A Khi đó x được gọi là điểm trong của

2.1.3 Tập mở và tập đóng:

a Tập mở: Tập A ⊂ X được gọi là tập mở nếu A không chứa điểm biên nào

cả

Các mệnh đề sau đây tương đương với định nghĩa:

i (A mở) ↔(∀x ЄA: X là điểm trong của A)

ii.(A mở) ↔(∀x Є A ∃ r >0 : B (x,r) ⊂ A)

iii.(A mở) ↔(∀x Є A, ∃ U Є N(x) : U ⊂ A)

Nhận xét:

1 Theo mệnh đề i) ta có tập X và Ø là các tập mở

2 Ta thường dùng mệnh đề ii) để kiểm tra một tập là mở

b Tập đóng: Tập A ⊂ X được gọi là tập đóng nếu A chứa tất cả các điểm biên của nó

Từ các định nghĩa trên ta suy ra được:

1 Trong không gian mêtric tuỳ ý mọi hình cầu mở đều là tập mở

Chứng minh Giả sử B (a,r) là hình cầu mở tâm a bán kính r trong X Khi

đó với mọi x ∈ B(a,r) ta có d(x,a) < r Đặt ε = r - d(x,y) > 0 Xét nhình cầu mở B(x,ε) Ta chứng minh B(x,ε) ⊂ B(a,r) Nếu y Є B(x,ε) thì d(x,y) < ε Khi đó

d( y,a) ≤ d(x,y) = d(x,a) < ε + d(x,a) = r

Nên y ∈ B (a,r) Vậy B(a,r) là tập mở

2 Ký hiệu B’(a,r) là tập hợp { xЄ X: d(x,a) ≤ r} với r là số dương kvà gọi

nó là hìnhcầu đóng Ta có B’(a,r) là tập đóng vì bằng lý luận tương tự ví dụ 1 ta thấy X\ B’(a,r) là tập mở

3 Tập gồm một điểm trong bất kỳ không gian mêtric nào cũng là tập đóng

vì luôn luôn chứa các điểm biên của nó

4 Giả sử a, b là hai số thực Các tập (a,b), (a,+ ∞) là mở: các tập [a,b], [a,+

n i i

F

=

U )c )c là tập đóng

b Chứng minh tương tự a)

Chú ý: Giao một họ vô hạn các tập mở nói chung chưa chắc là một tập mở

Chẳng hạn, ta xét họ Gn= (-1

n, 1

n) các khoảng mở trong tập mở trong IR Khi ấy

={0} lại là tập không mở Tương tự, hợp một họ bất kỳ các tập đóng chưa chắc là tập đóng (Lấy ví dụ, chẳng hạn xét họ F

2.3.1 Định nghĩa Cho A là tập con của X Ta gọi điểm x∈X là điểm tụ

của tập A nếu bất kỳ lân cận nào của x đều có chứa vô số điểm của tập A

2 Mọi điểm của tập B = (0,1] đều là điểm tụ của B

2.3.3.Định lý Điểm x ∈ X là điểm tụ của tập hợp A khi và chỉ khi bất kỳ

lân cận nào của x đều có chứa một điểm của A khác với x

Chứng minh Điều kiện cần là hiển nhiên Ta chứng minh đều kiện đủ Giả

sử bất kỳ lân cận của x đều có chứa một điểm khác với x Cho U là một lân cận

của x, ta chứng minh trong U có chứa vô số các phần tử của A Theo định nghĩa

của lân cận, tồn tại số dương r1 sao cho B(x,r 1) ⊂ U Gọi x1Є A ∩ B(x,r 1 ), x 1

≠ x Lấy số dương r2 < d(x,r 1) Xét hình cầu mở B(x,r2) Chọn x 2 ∈ A ∩ B(x,r 2),

x 2 ≠ x Hiển hiên x 2 ≠ x 1 Bằng qui nạp, lấy số dương r n < d(x, x n1) và chọn được

x n Є A ∩ B(x, x n ), x n ≠ x với mọi n Є N Ta thấy rằng là với n ≠ n ’ thì x n ≠ x n’

Như thế trong U có chứa vô số phần tử x n của A Vậy theo định nghĩa, x là điểm

tụ của tập A

2.3.4 Định nghĩa Điểm x Є X được gọi là điểm dính của tập A ⊂ X nếu

bất kỳ lân cận nào của x đều có chứa một điểm của A

Điều kiện đủ: Giả sử U là một lân cận của x Khi đó tồn tại r > 0 : B(x,r) ⊂

U Do x n → x nên với r > 0 ở trên tồn tại n 0 để x n Є B(x,r) với mọi n ≥ n 0 Vì

n ≠ n ’ thì x n ≠ x n’ nên trong U chứa vô số các điểm của A

Điều kiện cần: Lập luận như trong chứng minh điều kiện đủ của Định l ý 2.3.2 bằng cách chọn rn < 1n Khi đó dãy xn Є A hội tụ về x vì d(x n , x) ≤ 1 n

4 x là điểm dính của A khi và chỉ khi tồn tại một dãy (xn) ⊂ A (các phần

tử của dãy không cần phân biệt ) hội tụ về x

5 x là điểm tụ hay điểm dính của A thì x không thể là điểm ngoài của A

Vì nếu thế thì sẽ có một lân cận của x không chứa điểm nào của A

2.3.6 Định lý. Tập A là đóng khi và chỉ khi A chứa mọi điểm tụ (hoặc điểm dính) của nó

Chứng minh Giả sử A đóng và x là điểm tụ (hay điểm dính) của A Lúc

đó x chỉ có thể là điểm trong hay điểm biên của A nên phải thuộc A Ngược lại

nếu x ∉ A thì x không phải là điểm tụ (hay điểm dính) của A nên x phải là điểm

ngoài của A Vì thế tồn tại r > 0 để B(x,r) ∩ A = Ø Do đó Ac mở tức là A đóng

Hệ quả sau đây được dùng thường xuyên để kiểm tra một tập hợp là đóng

2.3.7 Hệ quả. Tập A đóng khi và chỉ khi với mọi dãy (x n) ⊂ A mà xn → x

thì x phải thuộc A

Chứng minh Suy trực tiếp từ định lý 2.3.6 và nhận xét 3,4 ở mục 2.3.5

2.4 Phần trong và bao đóng của một tập

2.4.1 Phần trong. Cho A là một tập con của X Luôn luôn có một tập mở chứa trong A, chẳng hạn tập Ø

a) Định nghĩa. Hợp tất cả các tập mở chứa trong A được gọi là phần trong của A; ký hiệu là A 0 hay int A

Chứng minh Giả sử x Є A 0 Vì A 0 mở nên A 0 làmột lân cận của x do đó x

là điểm trong của A Ngược lại nếu x là điểm trong của A thì có r < 0 để hình cầu mở B(x,r) ⊂ A Theo nhận xét sau định nghĩa thì B(x,r) ⊂ A 0 Vậy x Є A 0

2.4.2 Bao đóng. Nếu A ⊂ X thì có ít nhất một tập đóng chứa A (Ví dụ X

⊃ A)

a) Định nghĩa Giao tất cả các tập đóng chứa A được gọi là bao đóng của tập A Kí hiệu là A

Hiển nhiên A là tập đóng bé nhất chứa A

b) Định lý. Bao đóng của tập A bằng hợp của A và tập tất cả các điểm biên của A

Chứng minh: Kí hiệu A là tập tất cả các điểm biên của A ∂ A Ta chứng minh A = A ∪ ∂A Nhận xét rằng với mỗi tập đóng F ⊃ A thì tương ứng với mỗi tập mở G = Fc ⊂ Ac và ngược lại Do đó:

A dong

c A

2 Bao đóng tập các số hữu tỉ trong IR chính là tập IR

3 Trong không gian mêtric bất kỳ ta đều có B(a,r) ⊂ B’(a,r)

2.5 Tập hợp trù mật – không gian khả ly

2.5.1 Định nghĩa. Giả sử A,B là hai tập con trong không gian mêtric X Nếu B⊂ A thì ta nói tập A trù mật trong tập B

Thật vậy, ta có C ⊂ B và B ⊂ A nên C ⊂ B ⊂ A= A 3 Nếu A ⊂ X và

A = X thì tập A được gọi là tập trù mật khắp nơi (trong X)

Ví dụ: Trong IR, tập số hữu tỷ Q trù mật khắp nơi

2.5.3 Định nghĩa Một không gian mêtric X được gọi là khả ly nếu tồn tại một tập hợp hữu hạn hoặc đếm được trù mật khắp nơi

mật trong IR

4

4 34

4 2

1

lan k

k Do đó IRk như là một ví dụ về không gian mêtric khả ly

2.6 Tập mở và đóng trên đường thẳng thực

2.6.1 Định lý Mỗi tập mở trong IR bằng hợp một số hữu hạn hay đếm

được các khoảng mở không giao nhau

Chứng minh Giả sử G là một tập mở trong IR Với x Є G tồn tại r > 0:

B(x,r) = (x- r, x+ r) ⊂ G Ký hiệu ∆x là hợp tất cả các khoảng mở chứa trong G

và có chứa x Ta chứng minh ∆x là một khoảng mở

Thật vậy, đặt p = inf ∆x, q = sup ∆x (p,q có thể bằng (- ∞, + ∞) Với mọi y Є

∆x thì p < y < q vì trước hết rõ ràng ta có p ≤ y ≤ q

Nếu y = p thì có một khoảng mở chứa x và chứa cả p nên mâu thuẫn với p

= inf ∆x Tương tự y không thể bằng q Vậy ∆x ⊂( p,q) Ngược lại nếu y Є( p,q), giả sử p < y < x Theo định nghĩa của infimum

Vậy G bằng hợp của những khoảng mở rời nhau Trong mỗi khoảng mở

đó ta chọn 1 số hữu tỉ Vì tập các số hữu tỉ đếm được nên số các khoảng mở lập thành G là hữu hạn hay đếm được Định lý được chứng minh xong

Do mỗi tập đóng là phần bù của tập mở nên ta có:

2.6.2 Hệ quả. Mỗi tập đóng trên IR là phần còn lại sau khi rút khỏi IR một

số hữu hạn hay đếm được các khoảng mở rời nhau

Các khoảng mở này được gọi là các khoảng kề của tập đóng đó

2.7 Tập mở và tập đóng trong không gian:

Giả sử X là một không gian mêtric, Y là không gian con của X và A là một tập con của Y Để ý rằng, nếu A là một tập mở (hay đóng) trong Y là chưa chắc A là mở (hay đóng) trong X Tuy nhiên ta có:

2.7.1 Định lý. Điều kiện cần và đủ là tập A mở trong không gian mêtric con Y là tồn tại tập mở G và X sao cho A = G ∩Y

Chứng minh Ký hiệu BX(a,r), BY(a,r) lần lượt là các hình cầu mở trong X

và Y tương ứng Nếu a ∈ Y thì BY(a,r) = {y ∈ Y : d(a,y) < r} = Y ∩ B(a,r) Giả

sử A là tập mở trong Y, khi đó với mọi x ∈ A tồn tại rx > 0 sao cho BY(x,r x)⊂Y

i A

B

∈

U (x,r x), tức là G bằng hợp của một họ các tập mở (trong X) nên nó

là tập mở trong X Hơn nữa,

G Y ) r , x ( B Y

Y ) r , x ( B )

r , x

x A

cho A = G∩Y với G là tập mở trong X Nếu x∈G ∩ A thì do G mở nên tồn tại r

> 0 sao cho BX(x,r) G Thành ra B⊂ Y(x,r) = BX(x,r) ∩ Y ⊂ G ∩ Y = A hay A mở

trong Y

2.7.2 Định lý Điều kiện cần và đủ để tập A đóng trong Y là tồn tại một tập đóng F trong X sao cho A = Y ∩ F

Chứng minh Tập A đóng trong Y khi và chỉ khi Y \ A là mở trong Y Theo

định lý 2.7.1, tồn tại tập mở G trong X sao cho Y \ A= G ∩ A Khi đó

A= Y ∩ (X\G) = Y ∩ F với F = X\G là tập đóng

Từ các định lý trên ta dễ dàng suy ra hệ quả sau

2.7.3 Hệ quả Để mọi tập con A ⊂ Y mở (t ư., đóng) trong Y cũng là mở (t ư., đóng) X, điều kiện cần và đủ là Y là tập mở (t ư., đóng) trong X

BÀI TẬP

2.1 Giả sử X là không gian mêtric, A ⊂ X và x ∈ X

a) Chứng minh rằng x là đểm dính của A khi và chỉ khi d(x,A) = 0

(A đóng) ⇔ (d(x,A) = 0 ⇔ x ∈ A) b) Cho ε > 0 chứng minh

{x ∈ X : d (x,a) <ε} là tập mở {x ∈ X : d (x,a) ≤ε} là tập đóng 2.2 Cho F1, F2 là hai tập đóng trong không gian mêtric X sao cho F1 ∩ F2

c int (a ∩ B) = A 0 ∩ Int (A∪B )B 0 ⊃ A 0 ∪ B 0

d A∩B = A ∪ B, A∩B⊂ A ∩B

2.5 Chứng minh rằng mọi không gian con của không gian mêtric khả ly là khả ly

2.6 Ký hiệu c0 là tập hợp tất cả các dãy số thực hội tụ về 0 Ta xem c0 như

là không gian con của không gian c (bài tập 1.2) Chứng minh c0 là không gian khả ly

2.7 Giả sử X là không gian mêtric và Y là không gian con của X sao cho

Y = U ∩ V với U, V là các tập mở, khác trống trong Y và U ∩ V =∅ Chứng minh tồn tại các tập mở A, B trong X, A ∩ B = ∅ và U = A ∩ Y, V = B ∩ Y

§3 ÁNH XẠ LIÊN TỤC

3.1 Định nghĩa và các tính chất chung

Cho hai không gian mêtric (X,d1) và (Y,d2) Nếu không sợ nhầm lẫn, ta dùng kí hiệu d để chỉ cả d1 lẫn d2 Giả sử f là một ánh xạ từ X vào Y và x0 là một điểm của X

3.1.2 Định lý. (Tiêu chuẩn qua dãy) Ánh xạ f liên tục tại x0 ∈ X khi và

chỉ khi mọi dãy (x n)n ⊂ X, nếu xn x→ 0 thì dãy f(x n) → f(x 0)

Chứng minh:

Điều kiện cần: Giả sử f liên tục tại x0 và (xn) là dãy trong X sao cho x n x→ 0

Ta hãy chứng minh f(x n ) f(x→ 0) trong Y Cho ε > 0, vì f liên tục tại x0 nên có δ > 0

Một khái niệm liên quan chặt chẽ với khái niệm liên tục đó là giới hạn của hàm số được định nghĩa như sau:

3.1.3 Định nghĩa. Cho A là một tập con của không gian mêtric X và f là một ánh xạ từ A vào không gian mêtric Y, xo là một điểm dính của A Ta nói f là

có giới hạn l ∈Y khi x dần đến x0, kí hiệu lim f ( x ) l

A x

} {x

\ A x f(x), )

x ( F x

0

0

aliên tục tại điểm x0

Diễn tả lại, ta có:

A x : ,

( ) l ) x ( f lim (

A x

0 < d (x,x 0) < δ ⇔d(f(x), l) < ε)

3.1.4 Địnhlý Cho X, Y là hai không gian mêtric và f : X Y là một ánh

xạ Các mệnh đề sau đây là tương đương

→

a) f liên tục trên X

b) với mọi tập đóng F ⊂ Y thì f -1(F) là tập đóng trong X

c) với mọi tập mở G Y thì f ⊂ -1(G) mở trong X

3.1.5 Định lý. Giả sử X, Y, Z là ba không gian mêtric, f : X→ Y liên

tục tại x0, g : Y Z liên tục tại y→ 0 = f(x0) Khi đó ánh xạ hợp h = g o f : X→ Z

liên tục tại x0

Chứng minh: Giả sử (xn) ⊂ X và xn→ x 0 Do f liên tục tại x0 nên f(x n)→f(x 0)

= y0 và lúc ấy g liên tục tại y 0 = f(x0) suy ra g(f(x n)→g(y 0 ) = g(f(x 0) Nói cách khác

(g o f)(x n)→(g o f)(x0).Vậy h = g o f liên tục tại x0

3.2 Ánh xạ đồng phôi

3.2.1 Phép đồng phôi. Cho X, Y là hai không gian mêtric Giả sử f :

X→Y là một song ánh sao cho f và f -1 đều là các ánh xạ liên tục thì f được coi

là một phép đồng phôi từ X lên Y Hai không gian mêtric được gọi là đồng phôi với nhau nếu có phép đồng phôi từ không gian này lên không gian kia

Ví dụ

1 Lấy X = (a,b), Y = (0,1) là hai tập con của tập số thực IR, khi đó X, Y

đồng phôi với nhau nhờ phép đồng phôi

f(x) =

a b

a a b

là các tập A ⊂ X các điểm x ∈ X có tính chất kể trên thì qua ánh xạ đồng phôi f,

các tập f(A), các điểm f(x) cũng có tính chất đó Còn những khái niệm về hình

cầu, khoảng cách, bán kính,… không phải bất biến qua phép đồng phôi

3.2.2 Phép đẳng cự

Cho X, Y là hai không gian mêtric Một song ánh f từ X lên Y gọi là một

phép đẳng cự nếu với mọi x, x’∈ X ta có d(f(x), f(x ’ )) = d(x,x ’) Hiển nhiên lúc đó

f -1 : Y→X cũng là phép đẳng cự và ta gọi X, Y là hai không gian đẳng cự với nhau

3) Theo quan niệm của không gian mêtric, nếu X và Y đẳng cự thì chúng được đồng nhất với nhau

3.2.3 Mêtric tương đương

Cho d 1 ,d 2 là hai mêtric trên cùng một tập X Khi đó ta có hai không gian mêtric khác nhau (X,d1) và X,d2) có chung “tập nền” X

Hai mêtric d 1 ,d 2 được gọi là tương đương tôpô nếu ánh xạ đồng nhất

id: X → X

là một phép đồng phôi từ không gian (X,d 1 ) lên (X,d 2)

Nếu tồn tại các số dương m, M sao cho

md(x,y) ≤ d2(x,y) ≤ Md1(x,y)

với mọi x, y ∈ Y thì d1 ,d 2 được gọi là hai mêtric tương đương đều

Hai mêtric tương đương đều thì thêm nữa là các tính chất định tính liên quan đến khoảng cách cũng sẽ bất biến

Trước hết ta thiết lập các định lý để suy ra tính duy nhất của suy rộng

Định lý 3.3.1 Giả sử f, g là hai ánh xạ liên tục từ X vào Y Khi đó tập hợp

A = {x ∈ X : f(x) = g(x)}

là tập đóng trong A

Chứng minh: Giả sử x0 ∈A Khi đó tồn tại tại dãy (x n ) A sao cho x⊂ n→x 0 Theo tiêu chuẩn qua dãy ta có f(xn) → f(x 0)và g(x n ) → g(x 0) Vì xn∈A nên f(x n)

= g(x n ) với mọi n ∈ N nên f(x 0 ) = g(x 0) do giới hạn của mỗi dãy hội tụ là duy

nhất Vậy x n ∈ A hay A = A, có nghĩa là A đóng

3.3.2.Hệ quả Giả sử f, g là hai ánh xạ liên tục từ X vào Y Nếu f(x) = g(x) với mọi x∈X

Ta có

X = A ⊂ D = D ⊂ A

Vậy D = X hay f(x) = g(x) với mọi x∈X

3.3.3 Định lý cho X, Y là hai không gian mêtric, A là tập con trù mật trong X và f là ánh xạ liên tục từ A vào Y

Điều kiện cần và đủ để tồn tại ánh xạ f : X→Y liên tục, thoả mãn f ⎪A = f

là lim f ( z ) tồn tại với mọi x ∈ X Khi đó ánh xạ

A

Chứng minh Trước hết ta diễn tả lại khái niệm giới hạn như đã định nghĩa

ở 3.1.3, nhờ dãy, sau đây

(lim f ( z ) = l)

A

z∈ ⇔(∀(zn) ⊂ A : (zn a) (f(z→ ⇒ n) →l)

Điều kiện cần Giả sử tồn tại f liên tục và f ⎪A = f Khi đó ∀x ∈ X và ∀(zn)

⊂ A sao cho z n → x thì f (z n) → f (x) Nhưng vì f(z n) = f (z n ) nên f(z n) → l =

f (x) tức là giới hạn lim f ( z )tồn tại với mọi x∈X

f (x) = f(x) tức là f ⎪A = f Ta chứng minh f liên tục

Giả sử x ∈ X và (xn)n là một dãy trong X hội tụ đến x Theo cách đặt, ta có

f (x n) = lim f ( z ) Do đó, theo điều diễn tả lại nói trên, với mỗi n ∈ N tồn tại z

d( f (x n),f (x)) ≤ d( f (x), f (z n)) + d( f (z n),f (x n))

< 1

nd( f (z n), f (x)) 0 ( n → → ∞) Điều này có nghĩa là f liên tục tại x∈X vì x bất kỳ nên f liên tục trên X Tính duy nhất của f được suy từ hệ quả 3.3.2

Nhận xét Một số các hàm số liên tục trên IR có thể xem là các suy rộng của

hàm sốliên tục xác định trên tập số hữu tỉ Q trù mật trong IR, chẳng hạn như là hàm số mũ là mở rộng của lũy thừa

BÀI TẬP

3.1 Giả sử f là ánh xạ không gian mêtric X vào Y Chứng minh các mệnh

đề sau đây là tương đương

a f liên tục tại x 0∈X

b Nếu V ∈ N(f(x0) thì f-1 (V) ∈ N(x0)

c.Với mọi V∈ N(f(x0) tồn tại U ∈ N(x0) : f(U V) ⊂

3.2 Chứng minh các ánh xạ từ vào IR cho bởi các công thức sau đây là liên tục

x( )

b x→ f(x) = x(a)

3 3 Cho F1 và F2 là hai tập đóng trong không gian mêtric X Đặt A = F1 ∪

F2 và f : A Y là một ánh xạ xác định trên A Chứng minh rằng nếu f→ ⎪F1, f⎪F2 là các ánh xạ liên tục thì f liên tục trên A

3.4* Cho X, Y, Z là không gian mêtric, f : X Y, g : Y→ X là các ánh xạ liên tục Chứng minh rằng nếu f là một toàn ánh còn gof là phép đồng phôi của

X lên Z thì các ánh xạ f, g lần lượt là các phép toán đồng phôi

$4 KHÔNG GIAN MÊTRIC ĐẦY ĐỦ

4.1.1 Dãy (x n)n trong không gian mêtric X được gọi là dãy cơ bản hay dãy

Ta có các tính chất đơn giản sau:

a) Nếu (x n ) là dãy hội tụ thì (x n) là dãy cơ bản trong X

b) Nếu dãy cơ bản (x n) có một dãy con ( ) (x

4.1.2 Định nghĩa Không gian mêtric X được gọi là không gian mêtric đầy

đủ nếu mọi dãy cơ bản của nó đều hội tụ trong X

Như thế nếu biết X là không gian đầy đủ, để chứng minh một dãy hội tụ (mà không quan tâm đến giới hạn), ta chỉ cần kiểm tra dãy này là dãy cơ bản

4.1.3 Ví dụ

1 Không gian IRk với mêtric thông thường là không gian đầy đủ

Thật vậy, cho (xn)n ⊂ IRk cơ bản, với xn = ( 1

ta có dãy (x

i m

x → x0i

n) hội tụ đến x0 = ( 1,…, ) ∈ IR

0

x x0k k tức là IRk đầy đủ

2 Lấy X = (0,1] là tập con của IR với mêtric d(x,y) = x y−

Đây là không gian mêtric không đầy đủ

Thật vậy, lấy dãy xn = 1

IR thì =1 →0

n

3 Không gian C[ ,b] là không gian đầy đủ

Chứng minh Cho (x n) là dãy cơ bản trong C[ ],b Điều này có nghĩa là:

[ ] x ( t ) x ( t ) ( m , n )

) x , x (

b , a t m

∈

0

Với mỗi t ∈ [a,b], hiển nhiên ta có x n(t)−x m(t) ≤d(x n,x m), suy ra (x n(t))n

là dãy số thực cơ bản trong IR nên hội tụ Đặt x(t) = với mọi t∈[a,b] Ta còn phải chứng minh x(t) thuộc và x

)(limx n t

[ ]a , b

C

n → x Do đó C[a , b là không gian đầy đủ

4 Không gian [L không đầy đủ

b

C ,Chứng minh Ta xét trường hợp [a,b] = [0,1] và xét dãy xn(t) như sau: (hình 5)

≤

≤+

khi nt n

t n khi

t khi t

x n

2

12

12

12

1

12

12

10

2

1,01

2 / 1

)()(

Vì | xn (t) – x n (t) | ≤ 2 nên d(x n ,x m) ≤1 →0

Vậy x n (t) là một dãy cơ bản

Tuy nhiên ta chứng minh rằng dãy xn(t) không hội tụ trong ] Thật vậy

x(t) là một hàm bất kỳ trong Xét hàm số gián đoạn trên [0,1] như sau

[L b

C ,

[ ]L

C0.1

0

2

1,0,

1)

(

t

t t

1,

0 chẳng hạn để y(t 0 ) ≠ x(t 0 ) Hơn

nữa, trên ⎢⎣⎡ 2⎥⎦⎤

1,

0 cả hai hàm x(t) và y(t) cùng liên tục nên lý luận như ví dụ 1.2.5,

0

)()()

()(

()(Mặt khác ta có:

2 / 1

1

0

)()()

()

()(2

1)

()

Chứng minh Giả sử là một dãy cơ bản trong Y Dĩ nhiên cũng là

dãy cơ bản trong X Vì X đầy đủ nên x

n n

x )

n hội tụ đến x 0 ∈ X Mặt khác vì Y đóng

và (x n ) ⊂ Y nên x n→ x 0 thì x 0 phải thuộc Y Vậy Y đầy đủ

Cho B1,B2, ,Bn,… là một dãy hình cầu có bán kính r1, r2, Dãy hình cầu này gọi là thắt lại nếu Bn ⊃ Bn+1, n = 1,2, và lim =0

∞

→ n