Điểm bất động của ánh xạ lipschitz suy rộng trong không gian metric nón với đại số banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2ĐINH BẢO TRUNG ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ LIPSCHITZ SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN VỚI ĐẠI SỐ BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐINH BẢO TRUNG

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ LIPSCHITZ SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN

VỚI ĐẠI SỐ BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐINH BẢO TRUNG

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ LIPSCHITZ SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN

VỚI ĐẠI SỐ BANACH

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS HÀ ĐỨC VƯỢNG

HÀ NỘI, 2016

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của TS Hà Đức Vượng

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới TS Hà Đức Vượng

- người thầy đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giảhoàn thành luận văn này

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học,các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoànthành luận văn tốt nghiệp

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè,người thân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tácgiả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, ngày 12 tháng 11 năm 2016

Tác giả luận văn

Đinh Bảo Trung

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Hà Đức Vượng, luậnvăn Thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Điểm bất độngcủa ánh xạ Lipschitz suy rộng trong không gian metric nón vớiđại số Banach" do tôi tự làm

Luận văn này không trùng lặp với bất kỳ luận văn, luận án nào khác.Các kết quả trích dẫn trong luận văn này đã được chỉ rõ nguồn gốc

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả của các nhàkhoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, ngày 12 tháng 11 năm 2016

Tác giả luận văn

Đinh Bảo Trung

Mục lục

1.1 Không gian metric 6

1.2 Không gian Banach 10

1.3 Đại số Banach 15

1.4 Không gian metric nón 19

2 Điểm bất động của ánh xạ Lipschitz suy rộng trong không gian metric nón với đại số Banach 29 2.1 Không gian metric nón với đại số Banach 29

2.2 Điểm bất động của ánh xạ Lipschitz suy rộng trong không gian metric nón với đại số Banach 32

(X, dp) Không gian metric nón

E Không gian Banach thựcintP Phần trong của P

≤p Quan hệ thứ tự theo nón PKết thúc chứng minh

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Xét ánh xạ T từ không gian metric (X, d) vào chính nó T : X → X.Nếu có hằng số k > 0 thỏa mãn d(T x, T y) ≤ kd(x, y) thì T được gọi làánh xạ Lipschitz và k được gọi là hằng số Lipschitz

Trong trường hợp k < 1 thì T gọi là ánh xạ co, k = 1 thì T gọi làánh xạ không giãn

Điểm x thỏa mãn x = T x được gọi là điểm bất động của ánh xạ Ttrên tập hợp X

Các kết quả nghiên cứu về lĩnh vực này đã hình thành nên Lý thuyếtđiểm bất động, gắn liền với tên tuổi của các nhà toán học lớn như Brouwer,Banach, Schauder, Kakutani, Ky Fan,

Những định lý điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỷ

XX, trong đó có kết quả kinh điển là Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922).Đây là trường hợp riêng của ánh xạ Lipschitz vì mọi ánh xạ co đều là ánh

xạ Lipschitz Sau đó rất nhiều nhà toán học đã mở rộng kết quả này sangcác lớp không gian khác

Năm 2007, hai nhà toán học người Trung Quốc là Huang Guang và Zhang Xian đã giới thiệu khái niệm không gian metric nón,

Long-bằng cách thay tập số thực R trong định nghĩa metric bởi không gianBanach thực [4] Từ đó nhiều kết quả về điểm bất động cho lớp khônggian này đã lần lượt được công bố.

Năm 2013, các nhà toán học người Trung Quốc là Hao Liu vàShaoyuan Xu đã công bố kết quả về điểm bất động của ánh xạ Lips-chitz suy rộng trong bài báo Cone metric spaces with Banach algebras andfixed point theorems of generalized Lipschitz mappings [3]

Đây là một kết quả khá mới về điểm bất động Với mong muốn tìm hiểusâu hơn về điểm bất động, điểm bất động của ánh xạ Lipschitz suy rộngtrong không gian metric nón với đại số Banach, dưới sự hướng dẫn của

TS Hà Đức Vượng, tôi chọn đề tài nghiên cứu: "Điểm bất động củaánh xạ Lipschitz suy rộng trong không gian metric nón với đại

số Banach"

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về điểm bất động của ánh xạ Lipschitz suy rộng trongkhông gian metric nón với đại số Banach

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về không gian metric, không gian metric nón, đại sốBanach và điểm bất động của ánh xạ Lipschitz suy rộng trong không gianmetric nón với đại số Banach

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về điểm bất động của ánh xạ Lipschitz suy rộng trongkhông gian metric nón với đại số Banach, chủ yếu dựa trên 2 bài báo:

1 Cone metric spaces with Banach algebras and fixed point theorems ofgeneralized Lipschitz mappings của Hao Liu và Shaoyuan Xu [3]

2 Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappingscủa Huang Long-Guang và Zhang Xian [4]

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng một số phương pháp và công cụ của Giải tích hàm và Lýthuyết điểm bất động

6 Đóng góp của luận văn

Luận văn là một tài liệu tổng quan về Điểm bất động của ánh xạLipschitz suy rộng trong không gian metric nón với đại số Banach

Luận văn gồm hai chương nội dung

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản về không gianmetric, không gian metric đầy đủ Tiếp theo là các kiến thức cơ bản vềkhông gian định chuẩn, không gian Banach, đại số tập hợp, đại số địnhchuẩn, đại số Banach và cuối cùng là các kiến thức cơ bản về không gianmetric nón

Sau các khái niệm, chúng tôi đã đưa ra các ví dụ để minh họa.

Chương 2 Điểm bất động của ánh xạ Lipschitz suy rộng trong không gianmetric nón với đại số Banach

Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản về không gianmetric nón với đại số Banach, cùng với các ví dụ minh họa

Cuối cùng chúng tôi trình bày chi tiết các định lý điểm bất động của ánh

xạ Lipschitz suy rộng trong không gian metric nón với đại số Banach cùngvới phần chứng minh chi tiết

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức cơ bản vềmetric, không gian metric đầy đủ Tiếp theo chúng tôi trình bày về khônggian định chuẩn, không gian Banach, đại số tập hợp, σ-đại số tập hợp, đại

số định chuẩn và đại số Banach Cuối cùng, chúng tôi trình bày các kiếnthức cơ bản về không gian metric nón, không gian metric nón đầy đủ Saumỗi khái niệm, chúng tôi sẽ đưa ra ví dụ để minh họa

Khi đó (X, d) là một không gian metric

Ví dụ 1.1.1 Ta kí hiệu C[a,b] là tập hợp tất cả các hàm số với giá trị

thực xác định và liên tục trên đoạn [a, b], (−∞ < a < b < +∞).

Với hai hàm số bất kì x = x(t), y = y(t) ∈ C[a,b] ta đặt:

d(x, y) = max

a≤t≤b|x(t) − y(t)| Khi đó (C[a,b], d) là một không gian metric

Định nghĩa 1.1.2.[1] Cho không gian metric (X, d), dãy {xn} ⊂ X

Điểm x0 được gọi là giới hạn của dãy {xn} trong X

Ví dụ 1.1.2 Sự hội tụ của một dãy hàm trong không gian C[a,b] tươngđương với sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên [a, b]

Ngược lại, giả sử dãy hàm {xn(t)} ⊂ C[a,b] hội tụ đều tới hàm x(t) trên[a, b] Khi đó x(t) là hàm liên tục trên [a, b], nghĩa là x(t) ∈ C[a,b]

Theo định nghĩa về hội tụ đều của dãy hàm thì ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗, ∀n ≥ n0

Do đó dãy hàm {xn(t)} hội tụ tới hàm x(t) theo metric d của C[a,b]

Định nghĩa 1.1.3.[1] Cho không gian metric (X, d) Dãy {xn} ⊂ Xđược gọi là dãy Cauchy (dãy cơ bản) nếu ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗, ∀n, m ≥ n0

thì d(xn, xm) < ε, hay lim

n,m→∞d(xn, xm) = 0

Ví dụ 1.1.3 Cho không gian metric (C[0,1], d) là không gian các hàm

số thực liên tục trên [0, 1], với metric d được xác định như sau:

1 4

dt = 1nhay

Vậy {xn} là dãy Cauchy trong (C[0,1], d)

Định nghĩa 1.1.4.[1] Không gian metric (X, d) được gọi là không gianmetric đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ tới một điểm thuộc X

Ví dụ 1.1.4 Cho không gian Rk với metric d được xác định như sau:

dx(n), x(m) =

vuut

x(n)i − x(m)i

< ε, ∀m, n ≥ n0, ∀i = 1, 2, , k (1.2)Các bất đẳng thức (1.2) chứng tỏ, với mỗi i = 1, 2, , k thì dãy {x(n)i } làmột dãy số thực Cauchy nên nó hội tụ, tức là tồn tại giới hạn

lim

n→∞x(n)i = xi, (i = 1, 2, , k)

Đặt x = (x1, x2, , xk), ta có dãy {x(n)i } ⊂ Rk hội tụ theo tọa độ tới x

Do sự hội tụ trong Rk là hội tụ theo tọa độ nên dãy Cauchy {x(n)} hội tụtới x trong Rk

Vậy Rk là không gian metric đầy đủ

Định nghĩa 1.2.1.[1] Cho X là một không gian tuyến tính trên trường

K (K thực hoặc phức) Ánh xạ k.k : X × X → R được gọi là một chuẩnnếu thỏa mãn:

1 kxk ≥ 0, ∀x ∈ X kxk = 0 ⇔ x = θ

2 kλxk = |λ| kxk , ∀x ∈ X, λ ∈ K

3 kx + yk = kxk + kyk , ∀x, y ∈ X

Số thực kxk được gọi là chuẩn của véc tơ x

Ta kí hiệu không gian định chuẩn là (X, k.k)

Ví dụ 1.2.1 Cho không gian tuyến tính thực

Rn = {x = (x1, x2, , xn) : xi ∈ R} và ánh xạ k.k : Rn → R xác định bởikxk = max

1≤i≤n|xi| hoàn toàn xác định

Hiển nhiên kxk = max

1≤i≤n|xi| ≥ 0, ∀x ∈ Rn.kxk = 0 ⇔ max

Khi đó ta được không gian metric (X, d).

Định nghĩa 1.2.2.[1] Cho không gian định chuẩn X, dãy {xn} ⊂ X.Dãy {xn} gọi là hội tụ tới x nếu lim

n→∞kxn − xk = 0

Ký hiệu: lim

n→∞xn = x, hay xn → x khi n → ∞

Sự hội tụ này được gọi là hội tụ theo chuẩn

Định nghĩa 1.2.3.[1] Cho không gian định chuẩn X, dãy {xn} ⊂ X.Dãy {xn} được gọi là dãy Cauchy nếu lim

n,m→∞kxn − xmk = 0

Hay ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ sao cho ∀n, m ≥ n0 ta có kxn− xmk < ε

Định nghĩa 1.2.4.[1] Không gian định chuẩn X được gọi là không gianBanach nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ tới một điểm thuộc X

Ví dụ 1.2.2 Cho không gian véc tơ l2 Đối với véc tơ bất kỳ

x = (xn) ∈ l2, ta đặt

kxk =

vuut

vuut

2 ∀λ ∈R, ∀x ∈ l2 ta có

kλxk =

vuut

Vậy l2 là không gian định chuẩn

Bây giờ ta chứng minh l2 là không gian định chuẩn đầy đủ

Thật vậy, giả sử x(n) = (x(n)1 , x(n)2 , , x(n)k ), n = 1, 2, là một dãy Cauchytùy ý trong l2

Theo định nghĩa dãy Cauchy ta có:

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ sao cho ∀n, m ≥ n0 :

x(n)− x(m) =

vuut

∞

X

k=1

p

X

k=1

x(n)k − x(m)k

2

+ 2

x(n1 ) k

x(n1 ) k

x(n1 ) k

... 1.3.2.[1] Cho X không gian Một lớp F tập hợpcủa X gọi σ -đại số X chứa ∅, chứa X đóng kínđối với phép tốn đếm tập hợp

Định lý 1.3.2.[1] Cho X không gian Một lớp F tập hợp

X σ -đại số X F 6=... , n đại số tất ma trận thực vuông cấp n.

Ta xác định chuẩn A sau:

Khi A đại số Banach với đơn vị e = (1, 0, 0, )

Định nghĩa 1.4.1.[4] Cho E không gian Banach thực, tập Pcủa... nghĩa 1.3.4.[3] Đại số định chuẩn (A, k.k) gọi đại số nach (Banach algebra) k.k chuẩn đầy đủ Nghĩa dãyCauchy (A, k.k) hội tụ tới điểm A.

Ba-Nhận xét 1.3.1 Cho (A, k.k) đại số Banach thực,