Cơ Học Kỹ thuật DHBK

giáo trình cơ học kỹ thuật phần tĩnh học của trường đại học bách khoa đà nẵng dùng cho các học sinh chuyên lý và sinh viên các ngành kỹ thuật công nghệ giáo trình của đại học bách khoa là giáo trình hay nhất của các trường kỹ thuật trên nước

GIÁO TRÌNH C LÝ THUY T I PH N T NH H C

H C

d ng c a các l c Trong ph n t nh h c s gi i quy t hai bài toán c b n :

b o chính xác và bài toán đ n gi n h n

giáo trình s c b n v t li u

Hình 1 a)

Pf

b) D

GIÁO TRÌNH C LÝ THUY T I PH N T NH H C

đ n gi n, t nay v sau trong giáo trình này chúng ta coi v t r n là v t r n tuy t

đ i ó là đ i t ng đ chúng ta nghiên c u trong giáo trình này

1.2 L c :

1 )

2 H l c t ng đ ng : Hai h l c t ng đ ng nhau, n u nh t ng h l c m t

Ch ng I Các khái ni m c b n-H tiên đ t nh h c Trang 2

GIÁO TRÌNH C LÝ THUY T I PH N T NH H C

(Ff Ff Ff Ffn

, ,,, 2 3

, ,,, 2 3

Rf

~ (Ff Ff Ff Ffn

, ,,, 2 3

1 )

§2 H TIÊN T NH H C

đ có tính ch t hi n nhiên không c n ch ng minh làm c s cho môn h c g i là tiên đ này

2.1 Tiên đ 1: (Hai l c cân b ng)

ó là đi u ki n cân b ng đ n gi n cho m t h l c có 2 l c

2.2 Tiên đ 2 : (Thêm ho c b t m t h l c cân b ng)

b t đi hai l c cân b ng nhau

T hai tiên đ trên, ta có h qu :

H qu tr t l c : Tác d ng c a m t h l c lên m t v t r n không thay đ i khi ta d i

đi m đ t c a l c trên ph ng tác d ng c a nó

Ch ng I Các khái ni m c b n-H tiên đ t nh h c Trang 3

B A

(trong đó là góc h p b i hai véct Ff 1

, Ff 2

)

Ch ng I Các khái ni m c b n-H tiên đ t nh h c Trang 4

1 ) tác d ng lên v t r n đ t t i cùng đi m O (hình 7)

F R

1

f f

nh lý II : N u ba l c tác d ng lên m t v t r n cân b ng cùng n m trong m t ph ng

Ch ng minh :

Gi s , m t v t r n ch u tác d ng c a ba l c Ff1

, ,

Ff3

cân b ng vì chúng đ t lên hai v t khác nhau ( hình 9 )

2.5 Tiên đ 5 : (Nguyên lý hoá r n)

đó nh v t r n đ kh o sát đi u ki n cân b ng

2.6 Tiên đ 6 : (Tiên đ gi i phóng liên k t)

Theo tiên đ 4 thì v t ch u liên k t tác d ng lên v t

Ta nh n th y, ph n l c liên k t là l c th đ ng, s có chi u ng c v i chi u mà

Ch ng I Các khái ni m c b n-H tiên đ t nh h c Trang 6

GIÁO TRÌNH C LÝ THUY T I PH N T NH H C

d) Liên k t thanh :

D m AB ch u liên k t thanh CD v i b n

c tác d

l C và D Trên thanh CD không có l

ong ta c ng ch ng minh nh v y

t cân b ng có th xem nh m t v t t do cân b ng, n u

§3 LÝ THUY T V MÔMEN L C 3.1 Mômen c a l c đ i v i m t đi m :

m đ

Ch n h tr c Oxyz, ta g i các hình chi u l

=(

z y F

r F

k j

fff

f

Trong đó ,

f∧ =

=)(

MfOx(f)= −

xZ zX F

MfOy(f)= −

yX xY F

MfOz(f)= −

hoàn toàn xác đ nh Trong

x

yz

O

B Ad

GIÁO TRÌNH C LÝ THUY T I PH N T NH H C

b n-H tiên đ t nh h c Trang 10

trong m t ph ng y là l ng đ i s b ng c ng ho c tr tích s tr s l c Ff

v i chi u dài cánh tay đòn l c Ff

đ i v i đi m O

Ta kí hi u :

d F F

Ff

A

O

d F F

M O( f ) = +

d F F

h y l c

h = 0 (hình 20) và lúc đó :

0 )

, thì:

[M (F)]

HC z fO f

=γ

F

Mfx(f)= x fO(f) = −

[M F ] zX xZ HC

F

Mfy(f)= y fO(f) = −

[M F ] xY yX HC

GIÁO TRÌNH C LÝ THUY T I PH N T NH H C

h2 = Ocsin = 6xl/2 = 3m

Ta tính :

Nm h

F

F

m O(f1)=− 1 1 =−20.4=80

Nm h

)()(F m F F h F a

'

ff

B

C D

'(F1 m F1 m F1 F b

m z f = A f = −

Ch ng I Các khái ni m c b n-H tiên đ t nh h c Trang 13

GIÁO TRÌNH C LÝ THUY T I PH N T NH H C

§4 LÝ THUY T V NG U L C 4.1 Khái ni m v ng u l c :

chi u quay âm

F F R

f f

f f f

2 2 1 '' F F

F F

ff

ff

Nh v y, l c Rf

và Rf '

Ta tìm véct mômen ng u l c này

Theo công th c (1.11) ta có :

2 1

2

1 )(F F BA F BA F BA

R BA

∧+

∧

=+

=m m m m n m k

3 2

x M M M

M = 2 + 2 + 2

Ch ng I Các khái ni m c b n-H tiên đ t nh h c Trang 17

=

k k

F R

z

k ky

y

k kx

x

Z F

R

Y F

R

X F

R

''

GIÁO TRÌNH C H C LÝ THUY T I PH N T NH H C

R

R R

x, )= ycos( f

,

R

R R

x, )= z

cos( f

c bi t n u các l c Ff Ff Ff Ffn

, ,,, 2 3

là đa giác gh nh, ta khó xác đ nh đ oc

, ,,, 2 3

ab Oa Oe

+++

, thì đi m e trên đa giác l c s trùng

v i đi m O Ta g i đa giác l c t đóng kín

2

Ff1

O z Oz

k y k

O y Oy

k x k

O x Ox

F m F

m HC M

F m F

m HC M

F m F

m HC M

ff

f

ff

f

ff

f

(2.7)

Tr s mômen chính là :

Oz Oy

Ox

M = 2 + 2 + 2

§2 H L C THU G N2.1 Thu g n h l c v m t tâm :

1 nh lý : D i song song m t h l c t i m t đi m khác, đ cho tác d ng c a l c

Ch ng minh : Th t v y, t ng u l c mj ta phân ra hai l c thành ph n Ffvà Ff"

sao cho có véct mômen b ng mj và Ff'=Ff =−Ff" Theo tiên đ 1 l c Ff '

d = =

Ch ng II Lý thuy t h l c Trang 20

, 2 3

véct mômen là mf ,mf ,mf , ,mfn

3 2

Ff2'

là :

n k

O m m m m

Mf =∑ f = f1+f2 + + f

Theo đ nh lý d i l c song song thì :

)( 1

1 m F

mf = fO f , mf =2 mfO(Ff2), , mf =n mfO(Ffn)

Nên : MfO mfO(Ff1) mfO(Ff2) mfO(Ffn)

+++

=

Nh v y ng u l c t ng c ng thu v O có véct mômen b ng mômen chính c a

h l c đ i v i tâm thu g n t đó ta đi đ n k t lu n :

Ch ng II Lý thuy t h l c Trang 21

đ i khi tâm thu g n O thay đ i Nh ng mômen

O F r F r r F r F r F

∧+

∧

=

∧+

=

∧

= ' ' ')

('

Nh ta đã bi t mfO Ffk rfk Ffk

∧

=)(' và mf O Ffk mfO Ffk rf Ffk

∧+

= ( ) ')

('

C ng mômen c a l c Ffk(k =1,2, ,n)

c a h l c đã cho đ i v i tâm đó là :

) ' ( )

' ( ) ( )

(

1 '

n

k

k O

O m F m F r F M r F

Mf f f f f f f f f f

∧ +

=

∧ +

=

=

Ch ng II Lý thuy t h l c Trang 22

)'('' R m ' R

2 N u Rf '

= 0 và MfO

≠ 0, ngh a là véct chính b ng không và mômen chính khác không thì h thu v ng u l c

nh lý: Mômen h p l c c a h l c đ i v i m t đi m (hay tr c) nào đó b ng

Ch ng minh : Gi s cho h l c ( Ff Ff Ff Ffn

, ,,, 2 3

này thu v O’ đ c h p l c là Rf

g i Mf 'A

Ch ng II Lý thuy t h l c Trang 24

' m M

320030

cos400cos

0

4 3

0 1

5 2

=

−+

=

−+

P Y R

P P X R

k z

k y

k x

OK P OH P P

m P m M

Ox

O x

Ox

320002

3.10.400

.cos.)

()( 1 1 1 1

GIÁO TRÌNH C H C LÝ THUY T I PH N T NH H C

Ncm OA

P P

m

P m P m F m M

y

y y

k y Oy

100020

.50

)(

)()()(

4 4

4 2

f

Nh v y :

)()()(F m P2 m P4m

2 2

v i nhau, nên h l c này cu i cùng thu v m t h p l c n m trong m t ph ng Oyz

M

3200

32000'

Ch ng II Lý thuy t h l c Trang 27

GIÁO TRÌNH C H C LÝ THUY T I PH N T NH H C

1 i u ki n cân b ng : i u ki n c n và đ đ m t h l c không gian cân b ng là

th i b ng không, t c là :

0'=

không gian sau đây :

k y

k x

Z R

Y R

X R

'''

((

)())

((

)())

((

k z z

k O Oz

k y y

k O Oy

k x x

k O Ox

F m F

m M

F m F

m M

F m F

m M

ff

ff

ff

Ta bi t r ng Rf '

và Mf

không Do đó, khi h l c cân b ng ta có :

Ch ng II Lý thuy t h l c Trang 28

0 ) (

0 ) ( 0 0 0

k z

k y

k x k k k

F m

F m

F m Z Y X

f f

Ví d 1: Cho m t t m ch nh t đ ng ch t tr ng l ng P, n u chi u dài các c nh là

GIÁO TRÌNH C H C LÝ THUY T I PH N T NH H C

0 sin

) (

0 cos 2

) (

0 cos 2

) (

0 cos 0

0 sin

= +

+

−

=

= +

− +

=

= +

=

= +

bX F

m

aR P

a F m

bR bZ P

b F m

R P Z Z Z

F Y Y

R X X X

C B z

C y

C B x

C B

A

A

C B A

γγγγγ

f f f

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

200 60 cos 2

200 cos

100

100,

A A

Z N Z

N Y

N X

Vì t m ABCD cân b ng, nên h l c :

(Pf,Sf1,Sf2,Sf3,Sf4,Sf5,Sf6

) ~ 0

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

045cos45

cos)

(

045cos)

(

045sin45

sin)

(

045

cos45

cos45

cos

045cos

045cos45

cos

0 4

0 2

0 4

3

0 4

3 0 2

1

6 0 5

0 4

3 0 2

1

0 4

0 5

0 2

=+

S F m

a S a S F m

a S a S a

S a S F m

S S

S S S

S Z

S P Y

S S

X

z y

x

fff

N P

−

N P

S

P S

N P

S

2000

240002

2

2000

6 5 1

T k t qu trên ta th y S1, S4, S5 d ng nên thanh 1, 4, 5 ch u kéo, còn S2, S3,

S6 âm nên thanh 2, 3, 6 ch u nén

Ch ng II Lý thuy t h l c Trang 31

GIÁO TRÌNH C H C LÝ THUY T I PH N T NH H C

k O k k

F m Y

) ( 0

k O

k A k

F m

F m

X

f

f 0 0

(hình 42)

Ch ng II Lý thuy t h l c Trang 32

x Hình 42

B

Rf

A

GIÁO TRÌNH C H C LÝ THUY T I PH N T NH H C

l c cân b ng

0)( =

0)(

0)(

k C

k B

k A

F m

F m

F m

ff

)(

060sin

060cos

0 0

M M F m

P Q Y Y

P X X

A A

A k

A k

a- H l c không gian song song :

Gi s có h l c không gian song song (Ff Ff Ffn

, ,, 2

0 ) ( 0

k y

k x k

F m

F m

a- H l c đ ng qui không gian :

Z Y

Ff

x

0 2 )

(

0

3 2

2 1

3 2 1

= +

−

=

=

− +

=

=

− + +

a P y F a F F m

P F F F Z

AD và DC thi ba l c này s b ng nhau

045

cos45

cos

0 0

0 0

=+

=

=+

B A

R R

Y

P R

R

(2)

§4 CÁC BÀI TOÁN C BI T 4.1 Bài toán đòn :

Ch ng II Lý thuy t h l c Trang 37

Nh n xét : Trong tr ng h p c n tr c không làm vi c, ngh a là không có Pf3

thì c n

tr c có th l t đ quanh A không ?

) ( )

m A f A f

<

4.3 Bài toán h v t :

1 nh ngh a : H v t là m t h g m nhi u v t liên k t v i nhau Các l c tác d ng

lên các v t thu c h g m hai lo i l c ngo i l c và n i l c

Ngo i l c : Là các l c t bên ngoài h tác d ng lên các v t thu c h

N i l c : Là nh ng l c do các v t thu c h tác d ng l n nhau Do v y theo tiên đ

4, nôi l c có tùng đôi m t tr c đ i nhau

Ch ng II Lý thuy t h l c Trang 39

Ph ng pháp hoá r n : Là xem c h nh m t v t r n cân b ng d i tác d ng

c a các ngo i l c đ t lên h (n i l c tri t tiêu l n nhau t ng đôi m t) ta ch l p đ c

sát t ng v t m t Xét thanh AB cân b ng H l c tác d ng lên thanh g m có Pf1 ph n

Ch ng II Lý thuy t h l c Trang 40

GIÁO TRÌNH C H C LÝ THUY T I PH N T NH H C

l c t i A là XfA YfA

, ph n l c t i D là NfD

(g i di đ ng) và n i l c t i b n l B là H l c này cân b ng : (

, ,NfD

) ~ 0

03

22)(

00

1

1

=++

−

=

=

−++

=

=+

=

∑

∑ ∑

B D A

D B A

B A

aY aN P

a F m

P N Y Y Y

X X X

f

(1) (2) (3)

0cos33

2)(

0cos

0sin'

+

−

=

=+

=

∑

∑ ∑

ααα

P

b bN F

m

N P Y Y

N X X

E B

E B

E B

f

B B B

N Y Y

N X

X

P Y

N

N N

P Y

Y

D B A

B A

B D

E B

B

15

96,

514

323

130cos

'

1

1 2

−

=+

60cos2

.60cos2

)

(

)1(02

0 0

0 0

∑

∑

=+

−+

=

BC AC P CK

AC Q AC

P AC

N F

m

Q P N N Y

B A

B A

m C f

T đó ta suy ra T = 303,1 N

Chú ý : Trong bài toán h v t ta c n chú ý n i l c Khi hoá r n c h , n i l c tri t

ng tr c đ i nhau

Ch ng II Lý thuy t h l c Trang 42

GIÁO TRÌNH C H C LÝ THUY T I PH N T NH H C

4.4 Bài toán siêu t nh :

đ nh t nh ( ho c bài toán t nh đ nh ) N u s n bài toán l n h n s ph ng trình cân

b ng nói trên thì g i là bài toán siêu t nh

trình, v i m t h có n v t thì ta l p nhi u nh t là 3.n ph ng trình

G i s là s n c a bài toán h có n v t, n u :

̇ s ≤ 3.n : Bài toán t nh đ nh

̇ s > 3.n : Bài toán siêu t nh

T ng t đ i v i bài toán h l c không gian b t k , ta có :

Ví d : Cho m t d m AB, đ u A ngàm, đ u B t do, ch u tác d ng l c Pf

và l c phân b q

trình cân b ng, còn liên k t ngàm có các ph n l c X fA

,YfA

, MA nên s = 3n

s=6, nh v y s>3n nên bài toán này lá bài toán siêu t nh

Khi s>3n, ta đ t m=s-3n, thì m g i là b c siêu t nh c a bài toán

V i bài toán trên : m= 6 – 3 = 3

ây là bài toán siêu t nh b c 3

Ch ng II Lý thuy t h l c Trang 43

máy móc và hao t n nhiên li u

sát l n, đ hoàn thi n ph n l c liên k t và cách gi i bài toán cân b ng khi có ma sát

GIÁO TRÌNH C H C LÝ THUY T I PH N T NH H C

2.2 Góc ma sát và nón ma sát :

Trên đây, khi gi i các bài toán t nh h c ta b qua ma sát, gi thuy t các m t liên

f N

2.3 Bài toán cân b ng khi có ma sát :

C ng nh m i bài toán t nh h c, bài toán

GIÁO TRÌNH C H C LÝ THUY T I PH N T NH H C

Khi F = Fmax = f.N thì v t v n còn cân b ng, tr ng thái cân b ng này g i là cân

b ng gi i h n

không ph i m t mà nhi u v trí cân b ng t o thành m t mi n cân b ng

Vì v y đ gi i bài toán cân b ng khi có ma sát,

fN F

P N Y

P F X

0sin

αα

R

Qf

O r

Ch ng III Ma sát Trang47

lên v t là (Qf,

ms C

O N F

,, )~0 Trong đó RfO

là ph n l c tr c O, NfC

là ph n l c pháp tuy n c a má hãm áp lên bánh xe Ffms

0

)( =− + =

t i càng cân b ng, n u P<Pmin thì NC s nh không đ s c gi v t Q và t i O quay Ta

∑m A(Pf)=aN'C−(a+b)Pmin =0

a

b a

a

b a

=

+min và

fR b a

raQ P

)(min = +

V y mu n t i cân b ng thì :

fR b a

raQ P

)(min ≥ +

Ch ng III Ma sát Trang48

nghi m H s k c ng ph thu c vào b n ch t v t li u và b m t ti p xúc

Sau đây là vài con s c tr s c a k :

- G trên g : k = 0,05 0,08 cm

,001 cm

ngh a là M Mmax Nguyên nhân ch y u có ma sát l n là do v t li u có bi n

≤

Ch ng III Ma sát Trang49

GIÁO TRÌNH C H C LÝ THUY T I PH N T NH H C

Trang50

d

t

ng nên gi a con l n và m t liên k t ti p

l c liên k t tác d ng lên con l n là m t

Rf

M

Hình 70 B

Ch ng III Ma sát

fN F

R P M F m

P N Y

F P

∑

0sin )

(

0cos

T (1) và (4) ta tìm đ

T (3) và (5) ta đ c : tg ≤

R k

l n đ u N ti p t c t ng cho đ n khi tg ≥ f thì còn l n v a l n v a tr t

Ch ng III Ma sát Trang51

, ,, 2

', ,'2

Th t v y, b t đ u ta h p hai l c song song v i Ff 1, Ff 2

2 R F F F F

R

c h

fffff

f

++

=+

Hình 72

O

Rf'

Rf3

GIÁO TRÌNH C H C LÝ THUY T I PH N T NH H C

ti p t c làm nh v y cho đ n l c Ffn

, thì h p l c Rf

c a h l c song song này luôn

đi qua đi m C không đ i đ i v i các đi m A1, A2, , An n m trên v t

O F x F x F x x

R = 1 1 + 2 2 + +

Hay :

R

x F R

x F x

F x F

c

∑

= +

+ +

R

y F R

y F y

F y F

c

∑

= +

+ +

R

z F R

z F z

F z F

c

∑

= +

+ +

thì có th xem tr ng l c các phân t c a v t nh các l c song song và có giá tr

P P

1

(4.2)

Ch ng IV Tr ng tâm c a v t r n Trang 53

y P y

P

x P x

k k C

k k C

k k C

V

y V V

x V x

k k C

k k C

k k C

(4.4)

Ch ng IV Tr ng tâm c a v t r n Trang 54

GIÁO TRÌNH C H C LÝ THUY T I PH N T NH H C

S

y S y

S

xk S x

k k C

k C

l

y l y

l

x l x

k k C

k k C

k k C

S y S y S y y

cm S

S x S x S x x

C C

7

3128

56644

14

2228

32164

3 3 2 2 1 1

3 3 2 2 1 1

=++

=+

+

=

=++

−

=+

cho v t có l khuy t, khi phân bi t tr ng

tâm c a v t không có l khuy t và b n thân

2cm

C1 2cm

Ch ng IV Tr ng tâm c a v t r n Trang 56

,0

2 2 2

1

2 2

2

2 1 1

r R S

S S

r S

a x

R S x

C C

−

=+

Thay các giá tr đó vào công th c (4.5) ta tìm đ c :

0

)( 2 2

2 2

2 1 1

C

y

r R

ar S

S x S x x

)( 2 2

2

r R

ar

−

4 Ph ng pháp th c nghi m :

treo ho c cân v t đ tìm tr ng tâm c a v t có hình d ng ph c t p:

Ví d : tìm tr ng tâm c a máy bay ng i ta l n l t đ t các bánh xe lên bàn cân tìm đ c M1 và M2 L p

a.N2 = (b-a).N1 Suy ra :

2 1 1

N N

N b a

+

=

Ho c ta dùng dây treo v t c n

PHình 77

Ch ng IV Tr ng tâm c a v t r n Trang 57

0 1 lim

L

k k lk

L L

l x

ta l y phân t MM’ có chi u dài dl =

R

R xdl L

GIÁO TRÌNH C H C LÝ THUY T I PH N T NH H C

3.2 Tr ng tâm tam giác :

nhi u dãi h p (hình 79)

Rõ ràng tr ng tâm c a m i dãi s

n m trên trung tuy n AE c a tam giác

Vì v y tr ng tâm c a tam giác s n m

trên trung tuy n này Ta c ng làm nh

suy ra, tr ng tâm tam giác s n m trên

c a nó, ngh a là :

AE CE

t ng lên vô h n thì các hình qu t nh xem

nh nh ng tam giác mà nó có tr ng tâm trên

MI

CB

A

α

α

sin 3

2

R

3.4 Tr ng tâm c a chóp :

trên EC1

Ch ng IV Tr ng tâm c a v t r n Trang 59

song song nhau Tam giác C1C2C đ ng

d ng tam giác EAC Ngoài ra

1 = =

AE

C C CE CC

4

1 3

1

1 = =

c m nang k thu t

Ch ng IV Tr ng tâm c a v t r n Trang 60