CÁC BÀI TOÁN VỀ LỰC THẾ

Lực thế là lực mà công của nó không phụ thuộc vào dạng đường đi của vật mà chỉ phụ thuộc vào vị trí đầu và vị trí cuối. Lực thế gồm các lực: lực đàn hồi, lực hấp dẫn, lực tĩnh điện,…. Một bài tập vật lý có thể giải theo nhiều cách khác nhau, đối với các bài tập liên quan đến lực thế, khi ta nắm rõ các đặc điểm của lực thế thì bài toán được giải quyết ngắn gọn và nhanh chóng.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học: Th.S Hoàng Văn Quyết

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo

ThS Hoàng Văn Quyết trong suốt thời gian thực hiện đề tài khóa luận tốt

nghiệp này, đồng thời em xin cảm ơn các thầy cô trong tổ vật lý đại cương, các thầy cô trong khoa vật lý đã tạo điều kiện tốt nhất để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp của mình

Tuy nhiên đây mới là bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu nên đề tài khóa luận của em không thể tránh khỏi thiếu sót Vì vậy em rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn sinh viên để đề tài khóa luận tốt nghiệp của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Thị Huyền

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và

nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của ThS Hoàng Văn Quyết

Trong khi nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em có tham khảo một số tài liệu tham khảo

Em xin khẳng định kết quả của đề tài: “Các bài toán về lực thế” không trùng lặp với kết quả các đề tài khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Thị Huyền

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ 1

4 Đối tượng nghiên cứu 1

5 Phương pháp nghiên cứu 1

NỘI DUNG 2

Chương 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2

1.1 Khái niệm lực thế 2

1.2 Đặc điểm của lực thế 2

1.2.1 Định luật biến thiên và bảo toàn cơ năng của chất điểm 2

1.2.2 Định luật biến thiên và bảo toàn cơ năng của hệ 3

1.2.3 Công của lực thế 5

1.3 Các loại lực thế 6

1.3.1 Lực hấp dẫn 6

1.3.2 Lực đàn hồi 15

1.3.3 Lực tĩnh điện 19

Chương 2 HỆ THỐNG BÀI TẬP 26

2.1 Dạng toán về lực hấp dẫn: 26

2.1.1 Bài tập mẫu 26

2.2.2 Một số bài tập vận dụng có hướng dẫn giải và đáp số 30

2.2 Dạng toán về lực đàn hồi 31

2.2.1 Bài tập mẫu 31

2.2.2 Bài tập vận dụng có lời giải và đáp số 38

2.3 Dạng toán về lực tĩnh điện 39

2.3.1 Bài tập mẫu 40

2.3.2 Bài tập vận dụng có đáp số 45

KẾT LUẬN 47

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 48

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lực thế là lực mà công của nó không phụ thuộc vào dạng đường đi của vật mà chỉ phụ thuộc vào vị trí đầu và vị trí cuối Lực thế gồm các lực: lực đàn hồi, lực hấp dẫn, lực tĩnh điện,… Một bài tập vật lý có thể giải theo nhiều cách khác nhau, đối với các bài tập liên quan đến lực thế, khi ta nắm rõ các đặc điểm của lực thế thì bài toán được giải quyết ngắn gọn và nhanh chóng Các bài toán liên quan đến lực thế vô cùng đa dạng, phong phú, hấp dẫn và không thiếu những bài toán hóc búa Việc nghiên cứu kỹ các bài toán về lực thế sẽ giúp ta rèn luyện kĩ năng, phát triển tư duy.Xuất phát từ nhu cầu này nên tôi lựa chọn đề tài là tìm hiểu các bài toán về lực thế và tôi hy vọng rằng

đề tài này sẽ cho tôi cái nhìn tổng quát và chi tiết hơn về lực thế, đồng thời biết vận dụng kiến thức vào việc giải quyết các bài toán khó một cách đơn giản và thành thạo hơn

2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu trường lực thế

- Hệ thống các bài tập và phương pháp giải các bài tập liên quan đến lực thế

3 Nhiệm vụ

- Trình bày cơ sở lý thuyết về lực thế

- Xây dựng hệ thống bài tập và phương pháp giải

4 Đối tượng nghiên cứu

Các bài toán liên quan đến lực thế

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tài liệu, tổng hợp tài liệu và giải các bài tập

NỘI DUNG Chương 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Có các loại lực xuyên tâm là: lực đàn hồi, lực hấp dẫn, lực tĩnh điện,…

1.2 Đặc điểm của lực thế

1.2.1 Định luật biến thiên và bảo toàn cơ năng của chất điểm

Như đã biết một chất điểm chuyển động trong từ vị trí 1 đến vị trí 2 trong một trường lực thế, độ biến thiên động năng của nó bằng công của lực tác dụng Công này bao gồm công At của các lực thế và công Ak của các lực khác không phải lực thế Ta viết được:

2 1

A + A =E −E (1) Công của các lực thế bằng độ giảm thế năng, nên:

2 1

− = − (2) Cộng từng vế (1) và (2), ta được:

Nếu chất điểm chỉ chịu tác dụng của các lực thế hoặc chịu tác dụng của

cả các lực không phải lực thế nhưng công của các lực không phải lực thế bằng không tức là Ak = 0 thì ta có:

1 2

E =E =const

Đó là định luật bảo toàn cơ năng của chất điểm: “Khi lực tác dụng lên chất điểm chỉ là lực thế hoặc chịu tác dụng của các lực không phải lực thế nhưng công của các lực không phải lực thế bằng không, cơ năng của chất điểm là một đại lượng không đổi”

1.2.2 Định luật biến thiên và bảo toàn cơ năng của hệ

Xét hệ gồm n chất điểm, có khối lượng m1, m2,… và chỉ chịu tác dụng của lực thế

Đối với chất điểm thứ i, các lực thế tác dụng lên nó (bao gồm cả nội lực

và ngoại lực) là F( )t i

uuur Theo định luật niuton thứ hai, ta có:

(3)

Trong khoảng thời gian dt, độ dịch chuyển của chất điểm là d s i

ur

Nhân hai vế của (3) với độ dịch chuyểnd s i

Vì dE đivà dE ti là những vi phân toàn phần nên ta viết được:

(5) Trong khoảng thời gian dt, độ dịch chuyển của chất điểm là d s i

Ở đây dA( )k là công của các lực khác, không phải lực thế tác dụng lên cơ

hệ trong khoảng thời gian dt

Định luật bảo toàn cơ năng chỉ đúng khi vật chuyển động chỉ chịu tác dụng của trọng lực, lực đàn hồi Nếu vật chịu tác dụng của lực cản, lực ma sát,… thì cơ năng biến đổi và d T( +U)=dE là độ biến thiên cơ năng của hệ trong khoảng thời gian dt đó Đó là định luật biến thiên cơ năng của hệ: “Độ biến thiên cơ năng của hệ trong một khoảng thời gian bằng công của các lực khác không phải lực thế tác dụng lên cơ hệ trong thời gian đó”

1.2.3 Công của lực thế

Chúng ta đã xét trường hợp vật nặng rơi tự do theo đường thẳng đứng Chúng ta cũng có thể cho nó “rơi” theo một quỹ đạo cong (S) bất kì, để nó cũng chuyển động từ A đến B, thí dụ cho hòn bi lăn theo một đường rãnh không ma sát

Trong trường hợp này trọng lực F mg=

ur ur

luôn luôn hướng theo phương thẳng đứng, nhưng quỹ đạo không trùng với phương thẳng đứng Công của trọng lực khi vật nặng chuyển động từ A đến B là:

Công của trọng lực khi dịch chuyển theo đường cong (S) cũng bằng công

của nó khi dịch chuyển theo đường thẳng đứng, nghĩa là công đó chỉ phụ thuộc điểm đầu và điểm cuối, không phụ thuộc đường đi Một lực như thế được gọi là lực thế

Vậy: l ự c th ế là l ự c mà công củ a l ự c không phụ thu ộ c và o dạ ng đườ ng đ i

Nếu cho lực dịch chuyển theo một đường cong khép kín, đầu tiên từ M

đến N theo đường (1), rồi từ N đến M theo đường (2), ta có:

Lực F21

uuur

là lực do m2 tác dụng lên m1, đặt tại m1 và hướng từ chất điểm này tới m2

Định luật vạn vật hấp dẫn được áp dụng cho các vật có kích thước nhỏ so

với khoảng cách giữa chúng và cũng áp dụng cho các vật hình cầu đồng chất, trong trường hợp này r là khoảng cách giữa tâm của các vật

Đối với những vật có kích thước lớn ta phải dùng phương pháp phân tích

để tính lực hút giữa chúng vì công thức (2) chỉ sử dụng cho chất điểm

Giả sử hai vật có khối lượng M1 và M2, ta chia các vật này thành các

phần tử vô cùng bé sao cho chúng có thể coi là chất điểm và M1, M2được coi

là vecto hướng từ tâm của M2 đến tâm

của M1 Trong trường hợp vật 2 là hình cầu đồng chất hoặc gần giống cầu,vật

1 là chất điểm hoặc kích thước rất bé so với vật 2 thì lực tương tác cũng được

xác định theo (2) với r

r

là vecto hướng từ tâm M2 đến chất điểm

1.3.1.2 Tr ườ ng l ự c h ấ p d ẫ n C ườ ng độ tr ườ ng h ấ p d ẫ n

1.3.1.2.1 C ườ ng độ tr ườ ng h ấ p d ẫ n

Theo quan điểm hiện nay: Bất kì một vật nào cũng gây ra xung quanh nó

một trường gọi là trường hấp dẫn Trường này là một trường đặc biệt của vật

chất Mọi vật đặt trong trường hấp dẫn của một vật khác sẽ chịu tác dụng của

trường hấp dẫn đó gây nên

Đại lượng đặc trưng cho trường lực hấp dẫn là cường độ trường hấp dẫn

Nếu có nhiều chất điểm có khối lượng lần lượt là M1, M2, ….Mn gây ra

trường hấp dẫn, khi đó lực tác dụng lên chất điểm khối lượng m tại một vị trí trong trường là:

3 i

r

= −

r ur

Lại có cường độ trường hấp dẫn của Trái Đất hay cường độ trọng trường, tính ở khoảng cách đến tâm r là:

Mặt khác theo định luật Niutơn thứ hai, do chịu tác dụng của lực Fur vật

m thu được gia tốc:

F a

m

=

u r r

Biểu thức (5) cho thấy gia tốc rơi tự do của các vật không phụ thuộc vào

khối lượng của chúng Ở một nơi xác định các vật có khối lượng khác nhau

đều rơi với cùng một gia tốc

Độ lớn của gia tốc trọng trường g cũng biến thiên theo độ cao Càng lên cao gia tốc này càng bé Song vì Trái Đất có bán kính R khá lớn nên độ lớn gia tốc trọng trường tại những điểm cách mặt đất không lớn thì có thể coi như

GM g

R h

=+ (7)

Từ (6) và (7) ta thấy:

2 0

h R

một vật khối lượng M thực hiện khi có

một vật khác khối lượng m di chuyển

từ vị trí P đến Q Trong sự dịch

chuyển tương đối của vật m với vật M

một đoạn ds thì công thực hiện là:

α

Nếu chọn gốc thế năng là điểm ở vô cực (E tQ =0khi r Q =0)thì thế năng

tại điểm P là: tP

P

GMm E

r

= −

Dấu “-” chứng tỏ với quy ước thế năng ở vô cùng bằng không, thế năng của vật luôn có giá trị âm Như vậy ở vô cực thế năng có giá trị đại số lớn nhất Rõ ràng trong trường hợp này để đưa vật ra xa (rP tăng) thì thế năng của vật tăng, ngoại lực đã thực hiện công dương, hệ nhận thêm năng lượng

Thông thường ta hay chọn gốc thế năng là điểm nằm tại mặt đất Trong trường hợp này thế năng của vật khối lượng m ở độ cao h trên mặt đất được tính theo công thức:

t

E =mgh 1.3.1.4 Chuyển động trong trường hấp dẫn, các định luật Keple

Chuyển động của các vật trong trường lực hấp dẫn là chuyển động của các thiên thể, của các vệ tinh nhân tạo Chuyển động này là chuyển động trong trường lực thế xuyên tâm

Trong vũ trụ có vô số thiên thể Người ta chỉ giải được bài toán hai vật với điều kiện chúng được coi như những chất điểm Thông thường người ta xét chuyển động của chất điểm này trong trường hấp dẫn của chất điểm kia được coi như nằm yên Có hai phương pháp giải bài toán chuyển động trong trường lực hấp dẫn: giải theo bài toán động lực học thứ hai hay vận dụng các định luật bảo toàn

Quỹ đạo của một vật là một tiết diện conic (elip, parabol hay hypebol tùy

thuộc vào điều kiện ban đầu) Nếu áp dụng cho trường hợp hành tinh chuyển động quanh Mặt Trời thì Keple đã xây dựng được 3 định luật Keple từ số liệu quan sát cụ thể như sau:

Định luật I Keple: Các hành tinh chuyển động xung quanh Mặt Trời

theo các quỹ đạo hình elip mà Mặt Trời nằm tại một trong hai tiêu điểm

1 cos

P r

=+Với r là khoảng cách từ vệ tinh tới hành mà nó chuyển động xung quanh

P = a(1-e2), gọi là thông số elip

Định luật II Keple: Bán kính vector của mỗi hành tinh với Mặt Trời quét

được những diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau:

Định luật III Keple: Bình phương chu kì chuyển động của hành tinh tỉ lệ

với lũy thừa bậc ba của bán trục lớn của quỹ đạo elip của hành tinh đó

H

M

2 2 3

π+

Khi v GM

r

2 3 2

Hay 1 2

02

Với vận tốc tối thiểu cần truyền cho vệ tinh lúc nó ở gần mặt đất (r≈R)

để vệ tinh chuyển động ngày càng xa Trái Đất là:

kích thước như trước, ta nói rằng nó có tính biến dạng đàn hồi

Vật có thể trở về hình dạng và kích thước nếu lực ngoài không vượt quá một giới hạn nào đó gọi là giới hạn đàn hồi Nếu vượt quá giới hạn đó, vật có thể bị gãy, đứt hoặc không trở về được hình dạng và kích thước cũ

Xét một lò xo kim loại, một đầu cố định, và đầu kia chịu tác dụng của 1 lựcF

Độ biến dạng của lò xo là ∆ = −l l l0

Theo định luật Huck, nếu độ biến dạng là nhỏ (trong phạm vi giới hạn

Nếu F đh =F, lò xo ngừng biến dạng Nếu lực ngoài F

urngừng tác dụng,

đh

F

uur

kéo lò xo về trạng thái cũ, ∆l giảm dần, Fđh cũng giảm dần

Khi lò xo đã trở lại hình dạng và kích thước ban đầu, ∆l= 0 và Fđh cũng triệt tiêu

Tại vị trí cân bằng: P+F0 =0

ur uur

Với F0

uur

là lực đàn hồi của lò xo khi lò xo ở vị trí cân bằng

Chiếu lên chiều dương ta được: mg− ∆ =k l 0⇒mg= ∆k l

Với ∆llà độ giãn của lò xo khi ở vị trí cân bằng, k là độ cứng của lò xo Tại vị trí bất kỳ: P+F đh =ma

Phương trình có nghiệm: x= Acos(ωt+ϕ)

(3) chính là phương trình dao động điều hòa Vậy dao động của con lắc

lò xo thẳng đứng là dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng với tần số

m

ω =

ω là tần số góc của dao động, đại lượng đặc trưng trung gian, cho phép

xác định chu kỳ, tần số dao động (rad/s)

ϕlà pha ban đầu của dao động (t = 0) giúp xác định trạng thái dao động

của vật ở thời điểm ban đầu (rad)

(ωt+ϕ): pha dao động tại thời điểm t giúp xác định trạng thái dao động

của vật ở thời điểm t bất kỳ (rad)

Phương trình vận tốc:

từng điểm trên đường đi của hòn bi, lực đàn hồi của lò xo F đh = −kxluôn bằng

và ngược chiều với ngoại lực Công của lực đàn hồi làm vật dịch chuyển từ vị trí có li độ x1 tới vị trí có li độ x2 là:

kx

U =

Nếu lực ngoài đưa vật tới li độ cực đại x = A rồi ngừng tác dụng, nó đã cung cấp cho hòn bi một năng lượng bằng 2

max

12

Giả sử hòn bi đang ở vị trí có li độ x

Thế năng của nó lúc đó bằng:

22

sin2

Trong quá trình dao động, động năng và thế năng có sự biến đổi qua lại

nhưng tổng của chúng là cơ năng (cơ năng toàn phần) luôn được bảo toàn

1.3.3 Lực tĩnh điện

Không thể tìm được biểu thức định lượng tổng quát để xác định lực

tương tác giữa hai vật mang điện bất kì mà chỉ có thể tìm được biểu thức định

lượng xác định lực tương tác giữa hai vật mang điện là điện tích điểm

Điện tích điểm là phần tử vật chất mang điện có kích thước rất nhỏ so

với khoảng cách từ đó đến vật mang điện khác

1.3.3.1 Đị nh lu ậ t Culông

“Lực tác dụng tương hỗ giữa hai điện tích điểm đứng yên tỉ lệ với tích số

độ lớn của các điện tích và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng”

1 2 2

q q

r

=

F là lực tương tác giữa hai điện tích, đơn vị Niuton (N)

k là hệ số tỷ lệ phụ thuộc vào cách chọn hệđơn vị

Để đặc trưng cho điện trường về mặt định lượng người ta dùng khái

niệm cường độ điện trường Muốn xác định cường độ điện trường, ta dựa vào

tính chất căn bản của điện trường là mọi điện tích đặt trong điện trường đều chịu tác dụng của lực điện trường

Khi nghiên cứu điện trường của một hay nhiều điện tích ở một điểm nào

đó, ta đặt vào đó một điện tích và nghiên cứu lực tác dụng của điện trường lên

14

qq F

14

q E

Với r là giá trị tuyệt đối của khoảng cách từ điểm đặt của q đến điểm mà

ta xác định cường độ điện trường, r

ur tác dụng lên điện tích thử dương Do

đó, nếu q là điện tích dương thì vectơ cường độ điện trường hướng ra xa nó,

nếu q là điện tích âm, vecto cường độ điện trường hướng về phía nó

Nếu có một điện tích thử q0 đặt trong điện trường của một điện tích có cường độ điện trường là E

ur

thì điện tích q0 chịu tác dụng của lực F

ur

được tính theo công thức

r1

r2

H

q0 α

Xét điện tích điểm q đặt ở O và một điện tích thử q0 đặt ở trong điện trường của q Điện tích q0 chịu tác dụng của lực điện f

ur Cho q0 dịch chuyển

từ điểm A đến điểm B, lực tĩnh điện sẽ thực hiện một công:



AB AB

trên đường đi và OM

= r; OM’ = r +dr Trong dịch chuyển này dl có thể coi là thẳng và lực coi là không đổi, công nguyên tố thực hiện là:

2 04

qq f

r

πε

0 2 04

r AB

Công của lực điện trường khi một điện tích dịch chuyển bằng hiệu số thế năng của điện tích trong điện trường:

A =W −W (1)