Điều khiển tự động sinh viên cơ khí

Hai định lý về giới hạn có ý nghĩa quan trọng trong việc xác định giá trị của tín hiệu xttrực tiếp từ ảnh Laplace Xs của nó mà không cần chuyển ngợc Xs về miền thời gian.. Biến đổi cơ bả

Chơng 2 Điều khiển liên tục trong miền phức (miền liên tục_tuyến tính) Bài 1 phép biến đổi fourier

1.1. ảnh Fourier của tín hiệu tuần hoàn

Xét tín hiệu tuần hoàn: x ( t ) = A cos ( ω0t − ϕ ) với tần số dao động ω0

áp dụng công thức Cauchy: ej α = cos a + j sin a

, thì tín hiệu x(t) sẽ đợc biểu diễn đợc:

A

và clà ký hiệu chỉ số phức liên hợp của c.

Mở rộng cách biểu diễn trên cho một tín hiệu tuần hoàn x(t) bất kỳ ta đợc Nếu tín hiệux(t) thoả mãn:

- x(t) = x(t+T) với mọi t, (tuần hoàn chu kỳ T)

- x(t) liên tục từng khúc trong khoảng 0≤ t ≤ T,

- tại điểm không liên tục t0∈[0, T) thoả mãn: x(t0) = [ x ( t 0 ) ( x t 0 ) ]

0e c t

k cos A )

t ( x

với = ∫T − ω

0

t jn n

0

e ).

t ( x T

1 c

(n = , -1, 0, 1, )trong đó cn = c−nnếu tín hiệu x(t) là tín hiệu thực và cnlà giá trị phức liên hợp của c

n.Phép biến đổi x(t) → {cn} là một đơn ánh (tuyến tính và nội xạ)

1.2 ảnh Fourier của tín hiệu không tuần hoàn

Nếu một tín hiệu x(t) không tuần hoàn và thoả mãn:

- ∫∞ ( ) < ∞

∞

−

dt t

x

, tức là tích phân ∫∞x ( ) t dt

∞

− hội tụ,

- x(t) trong khoảng thời gian hữu hạn bất kỳ liên tục từng khúc,

- tại điểm không liên tục t0 thoả mãn ( ) [ x ( t 0 ) ( x t 0 ) ]

2

1 t

- x(t) trong khoang hữu hạn bất kỳ chỉ có hữu hạn các điểm cực trị,

thì x(t) biểu diễn đợc dới dạng tích phân Fourier nh sau:

x F t

Automatic Control Engineering Lecture Laplace Tranform

Hàm phức X(jω) đợc gọi là ảnh Fourier của x(t) Khi x(t) là tín hiệu thực (có miền giá trịthuộc R) hoặc phức nhng x(t) = x ( ) t thì X(jω) sẽ còn thoả mãn:

( − j ω ) = X ( − j ω )

X

1.3 tính chất của biến đổi Fourier

Toán tử Fourier F: x(t) → X(jω) có những tính chất sau:

1 Toán tử Fourier là một nội xạ, tức là nếu x(t) ≠ y(t) thì cũng có X(jω) ≠ Y(jω), trong đóX(jω), Y(jω) lần lợt là ảnh Fourier của x(t) và y(t)

2 Toán tử Fourier là tuyến tính Nếu x(t) có ảnh Fourier X(jω) và y(t) có ảnh Y(jω) thìtổng tuyến tính z(t) = a.x(t) + b.y(t) của chúng sẽ có ảnh Z(jω):

Z(jω) = F{a.x(t) + b.y(t) } = a.X(jω) + b.Y(jω)

3 Nếu x(t) là hàm chẵn, tức x(t) = x(-t) thì ảnh Fourier X(jω) của nó là hàm thuần thực(phần ảo bằng 0)

4 Nếu x(t) là hàm lẻ, tức x(t) = -x(-t) thì ảnh Fourier X(jω) của nó là hàm thuần ảo (phầnthực bằng 0)

5 Nếu X(jω) là ảnh Fourier của x(t) thì ảnh của y(t) = x(t-T):

{ x t T } X ( ) j e j T

F ) j (

8 Gọi X(jω) là ảnh của Fourier của x(t), vậy thì:

Bài 2 phép biến đổi laplace

2.1 phép biến đổi laplace thuận

Toán tử Fourier là một công cụ hữu hiệu giúp cho việc khảo sát đặc tính tần số của một tínhiệu x(t) Nhng nó cũng có nhợc điểm là bị giới hạn trong một lớp các tín hiệu khá nhỏ do chúngphải thoả mãn các điều kiện để tồn tại ảnh Fourier X(jω) Ngay cả khi những tín hiệu phổ thôngthờng gặp trong các điều kiện cụ thể nh tín hiệu bậc thang 1(t), tín hiệu tăng dần đều x(t) =t.1(t) cũng không có ảnh Fourier Lý do chính là điều kiện bắt buộc là: ∫−∞∞ x ( ) t dt < ∞

của tínhiệu x(t)

Để mở rộng lớp các tín hiệu có ảnh trong miền tần số giống nh ảnh Fourier, ngời ta xâydựng toán tử Laplace cho việc phân tích các tín hiệu liên tục, tức là tín hiệu x(t) thoả mãn x(t) = 0khi t< 0 bằng cách tìm một hằng số dơng σ đủ lớn sao cho:

( ) t e x ( ) t

thoả mãn điều kiện khắt khe ∫−∞∞ x ( ) t dt < ∞

Điều đó có thể vì bây giờ ta cũng có thể tìm đợc σ

dơng đủ lớn để hàm e- σ ttiến về 0 nhanh hơn x(t) một cách tuỳ ý Do đó làm cho lim x~ ( ) t

t → ∞ về 0với vận tốc mà ta mong muốn và dẫn tới ∫0∞ x ( ) t dt < ∞

.Khi đó phép biến đổi Laplace của tín hiệu x(t) đợc biểu diễn nh sau:

( ) { } ∫∞ −

=

= L x ( t ) 0 x ( t ) e s tdt s

1 s

X L t x

trong đó s = σ + jω Giá trị σ đợc gọi là bán kính hội tụ của tích phân, s là biến toán tửLaplace Hàm phức X(s) là ảnh Laplace của tín hiệu liên tục x(t)

2.2 Tính chất của biến đổi Laplace

1 Tính đơn ánh: Phép biến đổi Laplace vừa có tính nội xạ tức là nếu x(t) ≠ y(t) thì cũng

có X(s) ≠ Y(s), trong đó X(s), Y(s) lần lợt là ảnh Laplace của x(t) và y(t), có tính tuyến tính: nếux(t) có ảnh Laplace X(s) và y(t) có ảnh Y(s) thì tổng tuyến tính z(t) = a.x(t) + b.y(t) của chúng sẽ

có ảnh Z(s):

Z(s) = F{a.x(t) + b.y(t) } = a.X(s) + b.Y(s)

2 Phép dịch trục: Nếu X(s) là ảnh Laplace của x(t) thì ảnh của y(t) = x(t-T) sẽ là:

5 ảnh của tích phân: Nếu X(s) là ảnh của x(t) thì y(t) = ∫t ( ) τ τ

có ảnh là: Y(s) = s.X(s) – x(+0)

Automatic Control Engineering Lecture Laplace Tranform

7 Đạo hàm của ảnh: Nếu X(s) là ảnh của tín hiệu x(t) và Y(s) là ảnh của tín hiệu y(t) =

8 Định lý về giới hạn thứ nhất: Nếu tồn tại giới hạn lim x ( ) t

t → ∞ thì:

( ) t lim sX ( ) s x

lim

0 s

với X(s) là ảnh Laplace của x(t)

9 Định lý về giới hạn thứ hai: Nếu tồn tại giới hạn lim x ( ) t

0

t → thì:

x(+0) = lim x ( ) t lim sX ( ) s

s 0

với X(s) là ảnh Laplace của x(t)

Hai định lý về giới hạn có ý nghĩa quan trọng trong việc xác định giá trị của tín hiệu x(t)trực tiếp từ ảnh Laplace X(s) của nó mà không cần chuyển ngợc X(s) về miền thời gian Điềukiện để áp dụng là phải có giới hạn lim x ( ) t

t → ∞ hay lim x ( ) t

0

2.3 Biến đổi cơ bản Laplace thuận

Xác định ảnh của một số tín hiệu đặc biệt:

1 Tín hiệu hằng (hàm xung) x(t) = k với t ≥ 0 có ảnh Laplace là X(s) = k s

k dt e

3. Tín hiệu tăng dần đều x(t) = t.1(t) (hàm tỷ lệ thời gian) có ảnh Laplace:

s t

s

1 dt s

e s

e t dt e t )

s ( X

4. Theo tính chất trên ta có ảnh Laplace của tín hiệu

x(t) = k 1 e 1 ( t ) k 1 ( ) t k eT 1 ( ) t

t T

k s

k s X

+

= +

e e

dt e j 2

e e s

0

) j s ( ) j s (

s t 0

t j t j

t j s t

j s

s j

s

e j s

e j 2

1

ω +

+ ω

dt e 2

e e s

0

) j s ( ) j s (

s t 0

t j t j

( ) ( )

2 2 0

t j s t

j s

s

s j

s

e j s

e j 2

1

ω +

+ ω

α +

7. TÝn hiÖu trÔ (hµm chuyÓn dÞch):

NÕu ta cã tÝn hiÖu x(t) cã ¶nh Laplace lµ X(s) th× tÝn hiÖu trÔ x(t-a) cã ¶nh Laplace nh sau:

( ) = { } ( ) τ = ∞ ( ) τ − = ∞ ( ) τ − + τ τ = − ∞ ( ) τ − τ

∫

∫

∫ x e dt x e d e x e d x

L s

0

s a )

a ( 0

s t 0

( ) dt

dt

t dx

dt

d s

1 s

e t x dt e t x s

= +

dt

t dx L s

1 s

0 x dt e dt

t dx s

1 s

0 x s X

0

s t

NÕu lÊy gi¸ trÞ s¬ kiÖn x(0) cña x(t) t¹i t = 0 Th× ta cã:

( ) L { } x ( ) t sX ( ) ( ) s x 0 dt

t dx

Automatic Control Engineering Lecture Laplace Tranform

Nếu ta có tín hiệu x(t) có ảnh Laplace là X(s) thì tích phân ∫ x ( ) t dt

s tdt e x t dt s x t dt e dt e

t x s

X ( ) − ( ) ∫ ∫∞[ ( ) ] −

+

−

s X

Nếu lấy giá trị sơ kiện x(0) của x(t) tại t = 0 Thì ta có:

Vậy: { ( ) } ( ) x s ( ) 0

s

s X dt t x L

s X t

x L

) 2 ( )

1 ( 2

0 x s

s X t

x L

n 1

n

) 2 n ( n

) 1 n ( n

x

2.4 ứng dụng của biến đổi Laplace

Biến đổi Laplace dùng để giải nhanh chóng các hệ thống phơng trình vi phân Với biến

đổi Laplace, ta dễ dàng xác định đợc hàm truyền đạt, trên cơ sở đó xác định phơng trình đặc tính,

và cuối cùng là phơng trình vi phân để xác định hàm chuyển tiếp

m m

0 1 1

n 1 n

n m

a s a

s a s a

b s b

s b s b s A

s B t x

t y

+ + + +

+ + + +

Nó có thể đặc trng cho các đặc điểm chủ yếu của HTĐK mà không cần lu ý đến các điều kiệnban đầu hoặc hàm kích thích

Y(s) = X(s).W(s)

Hàm phản ứng = Hàm truyền đạt * Hàm kích thích.

Ta có thể tìm biến đổi X(s)của tín hiệu x(t) từ bảng, tiến hành theo 2 cách:

- Dùng bảng để xác định các hàm thời gian tơng ứng với hàm đã biến đổi

- Phân tích hàm đã biến đổi thành tổng các hàm đơn giản hơn và sau đó dùng bảng đểbiến đổi ngợc lại từng hàm đơn giản đó

2.5 Biến đổi Laplace ngợc

Việc biến đổi ngợc đợc hiểu là xác định tín hiệu x(t) ngợc từ ảnh Laplace X(s) của nó Tấtnhiên công việc này thực hiện trực tiếp với công thức định nghĩa:

1 s

X L t x

Nghiệm đơn, bội

Nghiệm phức liên hợp

Song để tiện lợi hơn khi sử dụng, ta sẽ làm quen với hai phơng pháp đơn giản đợc dùngcho lớp tín hiệu x(t) có dạng ảnh Laplace đặc biệt Đó là:

- Phơng pháp biến đổi ngợc X(s) có dạng hàm hữu tỷ

- Phơng pháp residuence cho X(s) khả vi ngoài hữu hạn các điểm cực

2.5.1 Biến đổi ngợc hàm hữu tỷ

Giả sử tín hiệu x(t) có ảnh Laplace X(s) dạng:

W(s) =

( )

1 m 1 m

m m

0 1 1

n 1 n

n m

a s a

s a s a

b s b

s b s b s A

s B t x

t y

+ + + +

+ + + +

− +

− +

1

k k k k

l 1 k

r 1

ki

s

C s

B a

s

A A

s

A L

t a 1 i ki i

k 2

k

2 k

k k

k

2 k

k k

1 s 1

1

+

− +

Automatic Control Engineering Lecture Laplace Tranform

B s

1 +

T

T T

t

2

1 2 T

B

T

1 s

A

+

+ +

Với 1 2 T2 T1

k B

, T T

k A

k t

1 e B e A t

t 1 T t

2 1 T

t T

X

+ +

=

, 0 < D < 1

Vì có điều kiện 0 < D < 1 nên đa thức mẫu số X(s) có hai nghiệm phức:

s1, 2 = Dq ± jq 1 − D2Gọi a = -Dq và b = q 1 − D2 thì X(s) phân tích thành:

X(s) = ( )2 2

b a s

k +

− ⇒ ( ) e sin ( ) ( ) bt 1 t

b

k t

x = at

5 Một tín hiệu liên tục x(t) có tín hiệu Laplace: ( ) s ( T s 2 DTs 1 )

k s

+ +

Bs s

A s X

+

− +

cos B e A t

Chú ý: Giả sử rằng đa thức mẫu số A(s) và đa thức tử số B(s) là nguyên tố cùng nhau tức

là (không có chung nghiệm) Khi đó điểm cực của X(s) sẽ chính là nghiệm của A(s) = 0 Ký hiệu

2 1

1

s s

A

s s

A s

s

A s

X

− + +

lim

→

−

2.5.3 Phơng pháp Residuence

Trong phần biến đổi ngợc X(s) có dạng hàm hữu tỷ vừa trình bày, ta nhận thấy ngoài một

số hữu hạn các điểm cực là nghiệm của A(s) = 0, còn lại ở những điểm khác X(s) đều xác định và

có đạo hàm vô hạn lần Nói cách khác X(s) là một hàm giải tích ngoài hữu hạn các điểm cực đó

Dạng tín hiệu x(t) nhận đợc lại hoàn toàn đợc quyết định bởi vị trí của các điểm cực này trong

mặt phẳng phức Hình 2.1 biểu diễn mối minh họa trực quan cho dạng tín hiệu x(t) có ảnh

Laplace:

( )

k

s s

1 s

lim

.Những hàm có tính chất nh vậy gọi chung là hàm phân hình (meromorph)

Bản chất của phơng pháp này là lấy từ tích phân Cauchy:

Gọi S là miền mà hàm z = f(s) giải tích trong nó và C là biên của miền S có chiều ng ợc

kim đồng hồ (miền S luôn nằm phía bên trái nếu đi dọc trên C theo chiều này), khi đó tại một

điểm s bất kỳ thuộc S luôn có:

− ζ

ζ Φ π

s

f j 2

1 s f

C

Đầu tiên ta đi từ công thức biến đổi Laplace ngợc:

j 2

1 ds e s X j 2

1 t

C j

j

π

= π

= +−∫∞∞

(*)Trong đó: C là đờng cong khép kín chứa đờng thẳng σ +jω với ω chạy từ -∞ đến ∞ và σ là

bán kính hội tụ của tích phân (hình 2.2) Chiều của C là chiều đợc chọn để phù hợp với chiều của

ω từ -∞ đến ∞

Ký hiệu miền đợc bao bởi C theo chiều dơng là D, tức là miền sẽ luôn nằm phái trái khi ta

đi dọc theo C và gọi s1, s2, , sm là các điểm cực của X(s) Do σ là bán kính hội tụ nên tất cả m

điểm cực này phải nằm bên trong D Mặt khác vì tích phân theo đờng cong khép kín của một hàm

có tính giải tích trong miền đợc bao bời đờng cong lấy tích phân đó luôn có giá trị bằng 0, nên

9

jω

σ

9

Hình 2.2 Mô tả ph ơng pháp Residuence

Ck

sk C1 s1 si Ci

j + j

- j

j sk C

Hình 2.3

Automatic Control Engineering Lecture Laplace Tranform

theo tính chất về tích phân phức của Cauchy, công thức (*) sẽ đợc

biến đổi thành:

= Φ π

1 k

s t

C X s e dt j

2

1 t

x

k

(**)Trong đó: Ck, k = 1, 2, , m là những đờng cong khép kín

bao quanh riêng một mình điểm cực sk theo chiều dơng (sk luôn

nằm bên trái khi ta đi dọc theo Ck theo chiều đó) Đờng cong C

trong (*) đã đợc thay bằng họ các đờng cong Ck, k = 1, 2, , m

trong công thức (**)

Ký hiệu tiếp:

j 2

1 e

s X

là giá trị residuence của X(s)est tại sk, k = 1, 2, , m

Đó chính là công thức thực hiện biến đổi ngợc X(s) theo phơng pháp Residuence

2.5.4 Bài tập biến đổi ngợc sử dụng phơng pháp Residuence

1 Cho X(s) = k

k

s s

A

− Hàm phân hình (meromorph) này có điểm cực là s

k nên:

ds s s

A j 2

1 s

s

A s Re

k

k C k

2 0 k 2

0

j j

k k

k

2

1 e

d e

A j 2

1 s

= ρ ρ

π

=

ϕ

Chú ý: Một trong những đặc điểm của hàm phân hình (meromorph) là nó phân tích đợc

thành chuỗi vô hạn (chuỗi Taylor, chuỗi Lorenz, ) Gọi ak là các hệ số khi phân tích hàm X(s)est

thành chuỗi Lorenz trong lân cận điểm sk là:

e s

Theo công thức này, nếu một hàm X(s)est có điểm cực là sk điểm bội lk thì giá trị

residuence của nó tại điểm cực sẽ là:

1 l

l k

s t 1

l s s k

s t

k k

k

s s e s X d lim

! 1 l

1 e

s X s

- Xác định tất cả các điểm cực sk của X(s)est cũng nh bậc lk của chúng

- Tìm các giá trị Residuence của hàm X(s)est tại những điểm cực đó theo (***)

- Tính x(t) theo (***) từ các giá trị residuence thu đợc

2 Hàm phân hình ( ) ( )n

a s

1 s

C s1 s2

j s3

Hình 2.4

1 n

s t 1 n a s

s t

! 1 n

1 ds

e d lim

! 1 n

1 e

s X s Re t

j 2

2

ds 1 s 2 s 2 s

8 s 6 s 5 Q

Ta thấy hàm phân hình:

3 j 1 s

1 j

1 s

1 1

s 2 s 2 s

8 s 6 s 5 s

−

−

=

− +

+

+ +

=

có 3 điểm cực là s1 = -1 + j, s2 = -1 –j, s3 = 1, trong đó chỉ có điểm cực nằm bên trái ờng lấy tích phân là trục ảo Bởi vậy nếu thay đờng lấy tích phân đó bằng một đ-

đ-ờng cong C khép kín chứa trục ảo thì chỉ có s1 và s2 thuộc miền D đợc bao bởi C

theo chiều dơng Suy ra:

0 n

n n 1

0

dt

udb

dt

dububdt

yda

dt

dyay

với các hệ số a0,a1, …, an và b0,b1, …, bm là những hằng số Bài toán đặt ra là tìm nghiệm y(t) khi

biết trớc u(t) cũng nh các sơ kiện y(+0),

1 n

dt

0yd

−

− +

.Trớc hết ta giả sử u(t) và y(t) là các tín hiệu liên tục Vậy khi lấy ảnh Laplace cả hai vế của phơng trình đã cho:

n n 1

0

dt

udb

dt

dububLdt

yda

dt

dyayaLSau đó áp dụng biến đổi Laplace cho đạo hàm các cấp của tín hiệu u(t) và y(t)

Ta sẽ có:

( )s[a y a s a s ] A U( )s[b bs b s ] B

n 1

0

n n 1

Trong đó: A xác định từ ak và

( )

1 k

1 k

dt

0yd

1 k k

dt

0ydsaA

B xác định từ bk và

( )

1 k

1 k

dt

0ud

1 k k

dt

0udsbB

Automatic Control Engineering Lecture Laplace Tranform

Nh vậy ảnh Laplace của nghiệm y(t) sẽ là:

n n 1

0

m n 1

0

sa

saya

BAsUsb

sbbsY

+++

−++

++

=

Chuyển ngợc Y(s) sang miền thời gian t ta sẽđợc nghiệm y(t) vì ánh xạ Laplace là đơn ánh

Ví dụ:

1 Giải phơng trình vi phân bằng toán tử Laplace:

Hãy tìm nghiệm của phơng trình vi phân:

0y2dt

dy3dt

yd

2

2

=++

, với sơ kiện y(+0) = a và

dy3dt

yd

( ) ( ) ( ) 3[sY( ) ( )s y 0 ] 2Y( )s 0

dt

0dy0sysY

ba1s

ba22s3s

ba3ass

+

+

−+

+

=++

++

dy2dt

yd

2

2

=++

với sơ kiện y(+0) =

s

3sY5s2

( ) ( 2 ) [ ( )2 2] [ ( ( )2 ) 2]

21s5

1s32

1s10

2.3s

5

35s3ss

3s

Y

++

+

−++

−

=++

35

3t

⇒

với t ≥ 0

2.7 Mối quan hệ giữa ảnh Laplace và Fourier

Cho tín hiệu liên tục x(t) có X(jω) là ảnh Fourier và X(s) là ảnh Laplace Một bài toán đặt

ra là với điều kiện nào thì ta có quan hệ X(jω) = X( )s s=jω

Giả sử rằng tín hiệu bậc thang 1(t) có ảnh Fourier Vậy ảnh đó phải là:

( )

T T

0

t j

j

1dtelimt

1

∞

→ ω

lim

T T j

∞

→ ω

Tức là, với hàm 1(t) ngời ta không xác định ảnh Fourier bằng cách thay s trong ảnh Laplace bằng jω Thực chất, với sự giúp đỡ của lý thuyết hàm mở rộng, ngời ta đã chỉ ra rằng:

( ) { } +πδ( )ω

ω

=

j

1t1F

Gọi c là bán kính hội tụ của tích phân:

∫

∞

− dtetx

0

ct

(**)Khi đó nó cũng chính là điều kiện để tồn tại ảnh Laplace X(s) cho tín hiệu x(t)

0 (***) cho tín hiệu x(t) thì tín hiệu đó sẽ có ảnh Fourier X(jω)

So sánh hai miền hội tụ ta thấy:

- Nếu c > 0 sẽ không có ảnh Fourier cho tín hiệu x(t) và do đó không thể thay thế s = jω

Từ những kết luận trên thì cho riêng trờng hợp X(s) có dạng đa thức hữu tỷ với bậc tử số không lớn hơn mẫu số, ta có điều kiện cần và đủ để đợc quan hệ (*) là tất cả điểm cực của X(s) phải nằm bên trái trục ảo (có phần thực âm và khác 0) Khi đó nó còn đợc gọi là hàm bền vững (stable function)

bài 3 mô tả toán học của phần tử và hệ thống điều khiển

Để nghiên cứu và đánh giá quá trình làm việc của một phần tử hoặc một hệ thống điềukhiển tự động, cần phải biết mối quan hệ toán học giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào, tức là biết mốiquan hệ tự động học của chúng đợc thể hiện bằng các phơng trình vi phân

Khi nghiên cứu hệ thống ĐKTĐ, cần biết hệ thống đó gồm những thiết bị gì, có nhữngphần tử nào và mỗi phần tử đó cần đợc đặc trng bằng dạng mô tả toán học hoặc một mô hình toánhọc tơng đơng Sau đó thể hiện mối quan hệ ấy trong dạng sơ đồ chức năng (sơ đồ khối)

Thành lập mô hình toán học bằng cách viết phơng trình toán học của các phần tử ở các tínhiệu ra và tín hiệu vào, từ những phơng trình đó xác định mối quan hệ giữa chúng bằng các thủthuật toán học Trừ những hệ thống đơn giản, nói chung phơng pháp này đã tỏ ra khá phức tạp dotác dụng tơng hỗ giữa các phần tử điều khiển khác nhau Nhng nhờ có sơ đồ khối, có thể thể hiệnmối quan hệ phức tạp ấy một cách rõ ràng và dễ hiểu Chất lợng điều khiển phụ thuộc rất nhiềuvào mô hình toán học mô tả hệ thống Mô tả càng chính xác, hiệu suất công việc điều khiển càngcao

Việc xây dựng mô hình cho hệ thống đợc gọi là mô hình hoá Ngời ta thờng chia ra cácphơng pháp mô hình hoá ra làm hai loại: