Sửa lỗi mạng sử dụng mã hóa không gian con

TÓM TẮT Kỹ thuật mã mạng là một kỹ thuật truyền tin mới được đưa ra cho mô hình phát đa điểm multicast bằng cách cho phép các nút mạng trung gian mã hóa thông tin nó nhận được trước khi

ĐỖ TIẾN DŨNG

SỬA LỖI MẠNG SỬ DỤNG MÃ HÓA

KHÔNG GIAN CON

LUẬN VĂN THẠC SĨ CÔNG NGHỆ ĐIỆN TỬ VIỄN THÔNG

Hà Nội - 2012

ĐỖ TIẾN DŨNG

SỬA LỖI MẠNG SỬ DỤNG MÃ HÓA

KHÔNG GIAN CON

Ngành: Công Nghệ Điện Tử - Viễn Thông

Chuyên ngành: Kỹ thuật điện tử

Mã số: 60 52 70

LUẬN VĂN THẠC SĨ CÔNG NGHỆ ĐIỆN TỬ VIỄN THÔNG

Hà Nội - 2012

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

MỤC LỤC ii

DANH SÁCH THUẬT NGỮ VIẾT TẮT iv

DANH SÁCH HÌNH VẼ v

LỜI CẢM ƠN vi

TÓM TẮT vii

CHƯƠNG I: GIỚI THIỆU 1

CHƯƠNG II: TỔNG QUAN KỸ THUẬT MÃ MẠNG 6

2.1 Giới thiệu 6

2.2 Kỹ thuật mã mạng 6

2.2.1 Định lý cơ bản của kỹ thuật mã mạng 6

2.2.2 Ưu điểm của kỹ thuật mã mạng 7

2.3 Kỹ thuật mã mạng tuyến tính 10

2.4 Kỹ thuật mã mạng tuyến tínhngẫu nhiên 12

CHƯƠNG III: MÃ SỬA LỖI MẠNG 14

3.1 Operator channel 14

3.2 Mã hóa cho kênh operator 16

3.2.1 Khoảng cách giữa hai không gian véc-tơ trong 16

3.2.2 Mã 17

3.2.3 Điều kiện để khôi phục mã 18

3.2.4 Mã có kích thước không đổi 19

3.3 Các giới hạn về tốc độ mã hóa 19

3.3.1 Giới hạn Hamming 20

3.3.2 Giới hạn quả cầu Hilbert 21

3.3.2 Giới hạn mã Singleton 22

3.4 Phương pháp xây dựng mã sửa lỗi mạng 24

3.4.1 Bộ tạo mã 24

3.4.2 Bộ giải mã 25

3.5 Tổng kết 27

CHƯƠNG IV: MÔ PHỎNG 28

4.1 Giới thiệu phần mềm 28

4.1.1 Cài đặt và sử dụng phần mềm 28

4.1.2 Cấu trúc phần mềm 28

4.1.3 Giao diện phần mềm 30

4.2 Mô phỏng 31

4.2.1 Cấu trúc gói tin 34

4.2.2 Hoạt động của nút nguồn 34

4.2.2 Hoạt động của nút trung gian 35

4.2.3 Hoạt động của nút đích 36

CHƯƠNG V: KẾT LUẬN 39

5.1 Kết luận 39

5.2 Hướng nghiên cứu trong tương lai 39

TÀI LIỆU THAM KHẢO 40

PHỤ LỤC 41

DANH SÁCH THUẬT NGỮ VIẾT TẮT

LNC Linear Network Coding Kỹ thuật mã mạng tuyến tính RLNC Random Linear Network Coding Kỹ thuật mã mạng tuyến tính

ngẫu nhiên

UML Unifield Modelling Language Ngôn ngữ mô hình hóa thống

nhất

DANH SÁCH HÌNH VẼ

Hình 1.1: Mô hình mạng cánh bướm 1

Hình 2.1: Mạng cánh bướm 8

Hình 2.2: Kỹ thuật mã mạng trong mô hình mạng không dây 9

Hình 2.3: Bảo mật thông tin trong kỹ thuật mã mạng 10

Hình 3.1: Minh họa khôi phục mã 18

Hình 3.2: Minh họa giới hạn mã Hamming 21

Hình 3.3: Minh họa mã Hilbert 22

Hình 3.4: Minh họa mã Singleton 23

Hình 3.5: Giới hạn tốc độ mã hóa cho một một mã trong đồ thị Grassmann 23

Hình 4.1: Sơ đồ UML cho module core 29

Hình 4.3: Giao diện phần mềm NECO 30

Hình 4.4: Sơ đồ mạng 32

Hình 4.5: Tùy chọn đường truyền trong mô phỏng 32

Hình 4.6: Tùy chọn Protocol 33

Hình 4.8: Xác suất mất mát đường truyền 0.2 38

Hình 4.9: Xác suất mất mát đường truyền 0.9 38

TÓM TẮT

Kỹ thuật mã mạng là một kỹ thuật truyền tin mới được đưa ra cho mô hình phát đa điểm (multicast) bằng cách cho phép các nút mạng trung gian mã hóa thông tin nó nhận được trước khi gửi đi, được đề xuất bởi Ahlswede và đồng nghiệp năm 2000 [1] Tuy nhiên, trong mạng không dây, do kênh truyền bị ảnh hưởng bởi pha đinh, thông tin được mã hóa tại các nút mạng có thể bị lỗi và lỗi này sẽ tiếp tục tích lũy từ nút mạng này đến nút mạng khác, gây nên lỗi tin của toàn mạng tại các nút đích Giải pháp thường dùng là áp dụng phương pháp mã kênh tại từng nút mạng để làm giảm thiểu lỗi mạng Thay vì vậy, một hướng mới đang được nhiều người quan tâm đến là mã hóa trên không gian chiếu (còn gọi là

KK codes), được đề xuất bởi Koetter và Kschischang năm 2008, trên nền kỹ thuật

mã mạng tuyến tính ngẫu nhiên KK codes mở rộng kỹ thuật channel-error correction thành network-error correction, trong đó thay vì gửi một véc-tơ thì người ta gửi một không gian véc-tơ Ở đầu nhận, sau khi nhận được một không gian véc-tơ khác, có bị tác động của nhiễu, ta cần tìm lại không gian véc-tơ đã được gửi

Có rất nhiều công cụ phục vụ cho việc mô phỏng mạng như NS-2, OPNET, GLOMOSIM, Matlab với các ngôn ngữ lập trình khác nhau: C++, JAVA, Python

… Luận văn này sử dụng phần mềm mô phỏng NECO dựa trên ngôn ngữ lập trình Python để mô phỏng sửa lỗi mạng dùng mã KK Đây là một công cụ mô phỏng mới và được sử dụng ngày càng phổ biến bời các nhà nghiên cứu kỹ thuật mã mạng

CHƯƠNG I GIỚI THIỆU

Xét một mô hình mạng truyền thông như hình vẽ:

Hình 1.1: Mô hình mạng cánh bướm Giả sử rằng nút trên cùng muốn gửi 2 bit dữ liệu x và y đến cả hai nút phía dưới (multicasting) trong thời gian nhanh nhất Dễ thấy rằng phương pháp truyền trong hình là tối ưu, với giả sử rằng tốc độ truyền trên các cạnh của đồ thị là như nhau Ví dụ này dẫn đến ý tưởng sau:

Nếu ta cho phép các nút trung gian (như các router trên Internet) tham gia thay đổi các gói dữ liệu, thì có khả năng sẽ tiết kiệm được thông lượng, độ trễ

và các tài nguyên khác trong mạng.[6]

Từ ý tưởng trên, kỹ thuật mã mạng (NC: Network Coding) được đề xuất trong lĩnh vực lý thuyết thông tin bởi Ahlswede (2000) Thay vì chỉ đơn thuần chuyển tiếp thông tin, các nút mạng trung gian có thể tổ hợp lại một vài gói tin đầu vào và biến thành một hoặc nhiều gói tin đầu ra Như vậy, NC chính là một hình thức hợp tác ở tầng mạng Với hình thức này, NC cho phép các nút trung

gian sinh ra các gói tin mới, và có thể được xem là một cách tổng quát hóa của phương thức định tuyến trong mạng truyền thống

Những ưu điểm của NC so với định tuyến truyền thống:

 Sử dụng hiệu quả hơn tài nguyên mạng(tăng băng thông và công suất)

 Hiệu quả tính toán

 Tăng tính bền vững (robustness) giúp chống lại những thay đôỉ về cấu hình của mạng

 Tăng tính bảo mật thông tin

Để hiểu rõ hơn, ta định nghĩa một bài toán cụ thể như sau:

Mô hình mạng dưới dạng một đồ thị trực tiếp , để đơn giản ta giả sử là một đồ thị acyclic Trong có 1 đỉnh là nguồn (source) và một số đỉnh gọi là đích (sink) Ta muốn truyền dữ liệu từ source đến tất

cả các sink trong thời gian ngắn nhất, với giả sử dung năng mỗi cạnh bằng 1 (một đơn vị dữ liệu truyền trên một đơn vị thời gian)

Khi đó, với việc sử dụng kỹ thuật mã mạng, các nút trung gian có thể kết hợp các gói tin đến nó để tạo ra một gói tin mới Giả sử tất cả các gói tin đến đều có kích thước là k (tức là thuộc trường ) Việc kết hợp các gói tin có thể coi như một hàm số

Một bộ các hàm số như vậy được gọi là mã mạng (network code) Nếu tất cả các mã mạng cho phép giải mã ở đích thì ta gọi là một network coding

solution Nếu tất cả các hàm là tuyến tính, tức là gói tin lối ra là tổ hợp tuyến

tính của các gói tin lối vào thì ta có một mã mạng tuyến tính

Quay lại bài toán mã mạng, định lý của Ahlswede có thể được hiểu như sau: bằng cách trộn dữ liệu tại các nút trung gian của mạng, thông tin được truyền từ nút nguồn tới nút đích với tốc độ tối đa bằng giá trị min-cut giữa chúng

Định lý và chứng minh của Ahlswede cho biết luôn tồn tại một network coding solution nhưng không chỉ ra phương pháp kết hợp các gói tin để đạt được tốc độ truyền tin lớn nhất

Tuy nhiên, vào năm 2003 Li và các đồng nghiệp [3] đã chỉ ra phương

pháp mã tuyến tính (linear coding) tại các nút trung gian để đạt được tốc độ

truyền tin lớn nhất từ nguồn tới đích Trong [3], khái niệm mã mạng tuyến tính

và cách xây dựng mã trong truyền tin đa điểm của mạng tuần hoàn và không tuần hoàn được chỉ ra

Một phương pháp mã hóa được đề xuất [5] là các nút trung gian lựa chọn các hệ số mã hóa tuyến tính một cách ngẫu nhiên Phương pháp này được

gọi là mã mạng tuyến tính ngẫu nhiên (random linear NC) Không giống như phương pháp mã mạng tuyến tínhngẫu nhiên quyết định (deterministic linear

NC), mã mạng tuyến tínhngẫu nhiên không thể đạt đến dung năng đa điểm với

xác suất đơn vị nhưng vấn đề truyền thông đa điểm có thể thực hiện với xác suất hàm mũ khi chiều dài mã Bài báo chỉ ra rằng, xác suất mã

mạng ngẫu nhiên được tìm ra sẽ giảm khi số đường liên kết lớn, và ngược lại sẽ tăng khi kích thước trường hữu hạn càng lớn

Ngày nay, NC là hướng nghiên cứu được rất nhiều người quan tâm vì những ưu điểm cũng như tiềm năng của nó trong lĩnh vực mạng và truyền thông

Tuy nhiên, truyền thông trên thực tế đối mặt nhiều với vấn đề nhiễu, nhiễu có nhiễu đường truyền hoặc các gói tin độc được đưa vào với mục đích phá hoại Lúc này bắt đầu xuất hiện khái niệm sửa lỗi mạng, mục đích chính của nó là thiết kế một mã mạng có thể sửa được lỗi gây ra trong quá trình truyền tin Năm 2003, Kotter và Kschischang đã đề xuất một phương pháp thiết

kế mã mạng sửa lỗi cho mã mạng ngãu nhiên tuyến tính Ý tưởng này đã khởi nguồn cho một lĩnh vực nghiên cứu mới được biết đến với cái tên mã không gian con hay mã sửa lỗi trong không gian chiếu (error-correction code design

in projective spaces).Một mô hình truyền tin ứng dụng kỹ thuật mã mạng được

đề xuất, thay vì là các véc-tơ, đầu vào và đầu ra của mô hình là các không gian con của một không gian nào đó Những khái niệm mới từ đó cũng phải được định nghĩa để phục vụ cho mục đích mã hóa và giải mã như khoảng cách giữa hai không gian véc-tơ, các loại mã không gian con cùng với những giới hạn của các loại mã đó

Luận văn này sẽ mô phỏng lại một mã sửa lỗi cho mã mạng tuyến tínhngẫu nhiên trên thực tế dựa trên thuật toán mã hóa và giải mã được đề xuất bởi Kotter và Kschischang

Công cụ mô phỏng được sử dụng trong luận văn là NECO, một công cụ

mô phỏng mới được giới thiệu năm 2009 và được sử dụng rộng rãi trong lĩnh vực nghiên cứu mã mạng (network coding) trong những năm gần đây Phần mềm mô phỏng này được viết trên ngôn ngữ lập trình bậc cao Python.Đây là ngôn ngữ rõ ràng, dễ đọc nên giảm thời gian phát triển và nâng cao hiệu suất cũng như dễ bảo trì và mở rộng chương trình Python cũng được sử dụng rộng rãi cho các ứng dụng khoa học, và đặc biệt có hai thư viện toán học và kỹ thuật tuyệt vời là SAGE và Pylab có sẵn và miễn phí Tất cả các thư viện sử dụng để phát triển mô phỏng được cho phép bởi GPL (GNU General Public License) và

là mã nguồn mở

Về cơ bản NECO được chia thành các mô-đun lõi và mô-đun mở rộng Các mô-đun lõi cung cấp các tính năng thiết lập tối thiểu như các giao thức định tuyến cơ bản, tạo đồ thị, lập lịch, giao diện người dùng đồ họa và dòng lệnh Mô-đun mở rộng để phát triển các chức năng cơ bản, tính toán các giao thức phức tạp hơn Đặc điểm chính của phần mềm NECO bao gồm:

 Xác định các mô hình mạng

 Các giao thức của kỹ thuật mã mạng

 Quan sát hoạt động của mạng cũng như các tham số thống kê khác

 Mô phỏng được viết toàn bộ bằng Python và dễ dàng mở rộng các module

Luận văn được tổ chức thành các phần:

Chương 2: Tổng quankỹ thuật mã mạng

Chương 3: Mã sửa lỗi mạng

Chương 4: Mô phỏng

Chương 5: Kết luận và hướng nghiên cứu tiếp theo

CHƯƠNG II TỔNG QUAN KỸ THUẬT MÃ MẠNG

2.1 Giới thiệu

Trong các hệ thống mạng truyền thống, thông tin có thể được ghép kênh, đóng gói, định tuyến… nhưng vẫn tồn tại trong mạng như những thực thể độc lập, các nút mạng không làm thay đổi thông tin, bản tin đi ra một nút là bản sao của bản tin lối vào Năm 2000, Ahlswede và các đồng nghiệp đã đề xuất một kỹ thuật mới đầy triển vọng trong mạng truyền thông, đó là kỹ thuật mã mạng (network coding) Với kỹ thuật này các nút mạng không chỉ chuyển tiếp

mà còn xử lý thông tin mà nó có được bằng cách kết hợp chúng lại và truyền

đi, để rồi sau đó nơi nhận vẫn tách ra được thông tin nó cần nhận Kỹ thuật này

đã chững minh được những ưu điểm của nó về tiết kiệm tài nguyên mạng cũng như tăng tính bảo mật thông tin

Ngày nay, kỹ thuật mã mạng đã trở thành một hướng nghiên cứu được rất nhiều nhà khoa học hướng đến bởi những ứng dụng rộng rãi của nó trong xử

lý thông tin, xử lý ảnh và truyền thông

2.2 Kỹ thuật mã mạng

2.2.1 Định lý cơ bản của kỹ thuật mã mạng

Định lý 1 : Xét một đồ thị có hướng không tuần hoàn , với

là tập hợp các đỉnh, là tập các cạnh của đồ thị Giả sử rằng từng cạnh có dung năng đơn vị, có nguồn phát đơn vị nằm trên cùng một đỉnh của đồ thị và phát

dữ liệu đến bộ thu Giá trị lát cắt nhỏ nhất (min-cut) đến từng bộ thu là thì

sẽ tồn tại một giản đồ truyền đa điểm trên một trường hữu hạn đủ lớn , trong

đó các nút mạng trung gian sẽ kết hợp tuyến tính những ký hiệu đi đến nó trên , phân phát thông tin từ đỉnh phát đồng thời tới tất cả các đỉnh thu ở tốc độ Định lý này có thể được xem như là định lý Max-flow Min-cut cho lý thuyết thông tin mạng:

Định nghĩa 1: Xét một mạng được biểu diễn bởi đồ thị Gọi và lần lượt là tập các đỉnh và cạnh có dung năng đơn vị là nút nguồn của mạng và muốn truyền thông tin đến nút đích

 Một lát cắt giữa và là phép phân hoạch các nút của đồ thị thành các tập rời nhau

 Lát cắt nhỏ nhất là lát cắt có giá trị nhỏ nhất

 Giá trị của một lát cắt bằng tổng dung năng của các cạnh trong lát cắt

Định lý 2: Xét một mạng được biểu diễn bằng đồ thị như được định nghĩa ở

trên Nếu lát cắt nhỏ nhất giữa và bằng thì thông tin được truyền từ đến với tốc độ lớn nhất bằng Tương đương, tồn tại chính xác đường dẫn phân biệt từ nút nguồn tới nút đích

Từ định lý trên, ta biết rằng tồn tại đường dẫn phân biệt từ nút nguồn tới nút đích Do nhiều nút đích cùng sử dụng mạng đồng thời, tập hợp những đường dẫn này sẽ có thể chồng lên nhau Dễ thấy là chúng phải chia sẻ tài nguyên với nhau và do vậy làm giảm tốc độ truyền Tuy nhiên, định lý một đã nói rằng nếu ta cho phép nút trung gian không chỉ truyền mà còn kết hợp thông tin thì các nút đích sẽ thu được cùng một tốc độ giống như là chỉ có duy nhất

nó sử dụng tài nguyên mạng Kỹ thuật mã mạng giúp tađạt được điều này

2.2.2 Ƣu điểm của kỹ thuật mã mạng

Thông lƣợng

Hình 2.1 mô tả một mạng truyền thông như là một đồ thị có hướng trong

đó các đỉnh là các thiết bị đầu cuối và cạnh tương ứng với kênh truyền Giả sử

2 nguồn cẩn truyền thông tin và tới 2 bộ thu ,

Hình 2.1: Mạng cánh bướm [10]

Theo truyền thống, bit thông tin và được xử lý độc lập với nhau vì vậy cạnh sẽ truyền hoặc hoặc Nếu ta truyền thì bộ thu sẽ chỉ nhận được , trong khi nhận được cả và Ngược lại nếu quyết định truyền đi bit Sử dụng ý tưởng của kỹ thuật mã mạng, ta có thể cho phép các nút trung gian xử lý thông tin nó có thay vì chỉ chuyển tiếp chúng Cụ thể, nút có thể làm phép “xor” hai thông tin và tạo ra và truyền đi qua cạnh nhận được { }, từ đó giải các phương trình khôi phục lại được Tương tự như vậy đối với

Ví dụ này chỉ ra rằng nếu ta cho phép các nút trung gian trong mạng kết hợp chuỗi thông tin và tách thông tin tại nơi nhận thì chúng ta có thể tăng được thông lượng của hệ thống

Tiết kiệm tài nguyên mạng không dây

Với thông tin vô tuyến, kỹ thuật mã mạng mang lại nhiều lợi ích đối với tuổi thọ pin, băng thông không dây và độ trễ Xét một mạng không dây ad-hoc, trong đó hai thiết bị và muốn trao đổi hai tập tin nhị phân sử dụng như là thiết bị chuyển tiếp

Hình 2.2: Kỹ thuật mã mạng trong mô hình mạng không dây [10]

Với kỹ thuật mã mạng được áp dụng, ta có những ưu điểm về mặt dung lượng của kênh vô tuyến: nút nhận được cả hai tập tin và thực hiện phép “xor” chúng để tạo ra tập tin mới, tập tin này sau đó được quảng bá tới cả hai bộ thu Nút đã có và từ đó giải mã được Nút có và giải mã được Phương pháp này có những ưu điểm về mặt sử dụng năng lượng (nút tiết kiệm được năng lượng vì chỉ cần truyền một lần thay vì hai như trước), thời gian trễ ( quá trình truyền hoàn tất chỉ trong 3 lần truyền thay vì 4), băng thông vô tuyến (sử dụng kênh vô tuyến trong thời gian ngắn hơn)

Bảo mật

Việc gửi đi kết hợp tuyến tính các gói tin thay vì truyền dữ liệu chưa mã hóa giúp nâng cao tính bảo mật một cách tự nhiên, tránh những trường hợp nghe trộm Như vậy, với những hệ thống muốn tránh những xâm nhập đơn giản, ta sẽ không cần thêm cơ chế bảo mật nào nữa Ví dụ trong hình 2.3, nút gửi thông tin tới nút thông qua hai đường và Thông tin được kết hợp và gửi đi, nếu một đối tượng tại nút trung gian nào đó lấy cắp dữ liệu thì cũng không thể giải mã được, chỉ nơi thu khi nhận đủ thông tin cần thiết từ các nguồn khác nhau mới có thể khôi phục lại thông tin ban đầu

Hình 2.3: Bảo mật thông tin trong kỹ thuật mã mạng [10]

2.3 Kỹ thuật mã mạng tuyến tính (LNC)

Đình lý về kỹ thuật mã mạng được nêu ở phần trên chỉ ra rằng bằng việc kết hợp dữ liêu tại các nút trung gian của mạng, thông tin từ nguồn tới đích có thể được truyền qua mạng với tốc độ lớn nhất bằng giá trị lát cắt nhỏ nhất giữa chúng Tuy nhiên, định lý không chỉ ra làm cách nào để đạt được tốc độ lớn nhất đó Năm 2003, Li và đồng nghiệp [3] đã chứng minh được có một phương pháp có thể đạt được điều đó, đó chính là mã mạng tuyến tính

Một vấn đề quan trọng của mã mạng tuyến tính là cách xây dựng mã mạng (network code), hay nói cách khác là tim các hệ số của các hàm mã hóa tại các nút trung gian để nơi thu có thể khôi phục lại bản tin nguồn từ các gói tin nhận được Tập các hệ số thỏa mãn điều kiện có thể khôi phục lại được gọi

là network coding solution Câu trả lời đơn giản và có hệ thống được Koetter

và Medard đưa ra vào năm 2003 dựa trên các phép toán đại số[9] Có sự liên hệ giữa network code solution với phương pháp giải các phương trình tuyến tính Một vài kết quả quan trọng được các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực này sử dụng một cách rộng rãi Trước khi chỉ ra những kết quả đó, ta sẽ bắt đầu với một vài ký hiệu và định nghĩa

Một mạng được biểu diễn là một đồ thị có hướng , với là tập các nút mạng (các đỉnh của đồ thị) và là tập các đường truyền trong mạng (các cạnh của đồ thị) Giả sử rằng thông tin được truyền từ nút tới nút với mọi

Định nghĩa 2: Với một đường truyền nói chung , nút và được gọi là điểm bắt đầu và điểm kết thúc Với một đường truyền , điểm bắt đầu và kết thúc được ký hiệu là Sử dụng kỹ thuật mã mạng, thông tin truyền trên đường truyền là hàm mã hóa các gói tin nhận được tại điểm bắt đầu

Định nghĩa 3: Gọi lần lượt là số bản tin nguồn cần phát và số bộ thu { }, { } là tập các nút nguồn và nút đích Dữ liệu nguồn cũng như dữ liệu được truyền trên đường truyền là chuỗi các bít véc-tơ là các phần tử của trường hữu hạn với Dữ liệu đầu ra thứ của nút đích là tổ hợp tuyến tính của các dữ liệu đi trên đường truyền của nó:

trong đó là thông tin truyền trên đường truyền , có được bằng kết hợp tuyến tính trong : các dữ liệu nguồn (nếu có) hoặc các dữ liệu ngẫu nhiên đã được tạo ra trước đó :

∑ ∑ (2.2)

Tập các hệ số { } được chọn từ trường là bài toán cho kỹ thuật

mã mạng

Từ hai định nghĩa trên, ta có hai kết quả quan trọng sau:

Định lý 3: Coi các hệ số { } được lấy trong ma trận kích thước | |, { } được lấy từ ma trận kích thước | |, và { } được lấy từ

ma trận kích thước | | | | Bộ được gọi là một mã

mạng tuyến tính (linear network code)

Việc ánh xạ các bản tin nguồn [ ] tới các dữ liệu nhận được [ ] tại một đích nào đó được biểu diễn:

Với , là ma trận đơn vị

Định lý 4: Bộ mã mạng tuyến tính trên trường

có thể giải được nếu ma trận truyền có bậc đầy đủ hạn đối với từng bộ thu với Khi đó, bài toán kết nối đa điểm có thể được giải quyết

Một vấn đề quan trọng đằng sau việc xây dựng mã mạng tuyến tính cho

kỹ thuật mã mạng là biết được kích thước phù hợp của trường hữu hạn để có thể giải quyết được bài toán truyền đa điểm Kích thước trường càng lớn, độ phức tạp tính toán trong mạng càng lớn Thực tế, các biểu thức đại số trong kỹ thuật mã mạng được thực hiện trên các từ mã có độ dài

Định lý 5 : Đối với bài toán truyền đa điểm với nguồn độc lập và có

bộ thu Trong cả trường hợp mạng không tuần hoàn có lỗi hoặc không có lỗi xảy ra, tồn tại mã mạng tuyến tính trong trường nếu

2.4 Kỹ thuật mã mạng tuyến tínhngẫu nhiên (RLNC)

Các định lý cơ bản nói trên dựa trên việc tính toán cho mã mạng tuyến tính quyết định (deterministic linear network code) trong truyền tin đa điểm Nói cách khác các hệ số { } được chọn để thông tin nguồn được tái tạo lại từ các bộ thu với xác suất bằng một Tức là mạng lúc này là mạng có cấu trúc tập trung, các hệ số được tạo ra và phân phát bởi một trung tâm nào đó

Một phương pháp được đề xuất đó là mã mạng tuyến tínhngẫu nhiên, các nút

mạng sẽ lựa chọn các hệ số mã hóa một cách tuyến tính Không giống như phương pháp mã mạng tuyến tính quyết định, phương pháp này không thể đạt được xác suất đơn vị, nhưng có thể đạt được xác suất hàm mũ với chiều dài mã

Định lý 6 : Xét bài toán truyền đa điểm với các thông tin nguồn độc lập,

bộ thu, các hệ số mã hóa { } được chọn ngẫu nhiên, đồng đều

trên trường với Xác suất để bộ mã mạng có thể được giải ít nhất sẽ bằng ⁄ với là số đường truyền liên quan các hệ số mã hóa

Như vậy, định lý này đã chỉ ra rằng, số đường truyền liên quan đến các

hệ số mã hóa càng lớn thì xác suất giải bộ mã mạng càng nhỏ, kích thước trường hữu hạn càng lớn thì xác suất giải bộ mã mạng càng lớn

Chương này sẽ bàn đến một phương pháp mã hóa trong mô hình truyền tin sử dụng mã hóa tuyến tínhngẫu nhiên mà có thể đối phó tốt với cả hai trường hợp lỗi và mất mát gói tin Thông tin gửi đi không phải là một véc-tơ

mà là một không gian véc-tơ Khái niệm kênh operator để định nghĩa mô hình kênh mã mạng tuyến tínhngẫu nhiên có lỗi và khoảng cách giữa các không gian véc-tơ (metric) dùng cho thuật toán giải mã cũng được đưa ra trong chương này Cuối chương là một phương pháp mã hóa và giải mã cụ thể

3.1 Kênh operator

Xét { } là tập các gói tin nguồn Trong trường hợp không

có lỗi, đích sẽ nhận được các gói tin với :

(3.3) Trong đó H,G là các ma trận ngẫu nhiên với kích thước , p là

ma trận với các hàng là các véc-tơ truyền đi, y là ma trận với các hàng là các véc-tơ nhận được, e là ma trận với các hàng là các véc-tơ lỗi

Gọi W là không gian véc-tơ kích thước N trong trường Tất cả các gói tin truyền và nhận đều thuộc W, ta sẽ mô tả mô hình truyền tin của các không gian con được mở rộng bởi các gói tin này

là tập các không gian con của W, thường được gọi là các phép chiếu hình học (projective geometry) của W

Kích thước của một không gian được ký hiệu là

Tổng của hai không gian con là { }

Nếu { } thì tổng là tổng trực tiếp, ký hiệu Lúc này Với hai không gian bất kỳ U,V ta có với tương đương với không gian thương Trong trường hợp này ( )

Với , ta định nghĩa bộ tạo kênh ngẫu nhiên trên các không gian con của W Nếu thì sẽ trả lại một không gian con ngẫu nhiên kích thước k của không gian V

Khái niệm kênh operator (operator channel) cho mô hình truyền tin của

kỹ thuật mã mạng được định nghĩa như sau [2]:

Một kênh operator C cùng với không gian W là một kênh với đầu vào và đầu ra

là các không gian con thuộc Đầu vào V và đẩu ra U được liên hệ với

nhau bàng biểu thức:

Với và E là không gian lỗi Qua kênh, V biến thành U, ta nói

rằng kênh tạo ra bộ xóa và lỗi

Tóm lại, kênh operator lấy đầu vào là một không gian véc-tơ và đưa ra lối ra một không gian véc-tơ khác, có thể bị mất mát (xóa một vài véc-tơ trong không gian véc-tơ truyền) hoặc lỗi (thêm vào một vài véc-tơ)

Định nghĩa này khiến cho lý thuyết thông tin và kỹ thuật mã mạng gần nhau hơn Kênh operator được xem như là kênh không nhớ rời rạc với đầu vào, đầu ra là các không gian con thuộc Những phần tiếp theo là chỉ ra cách xây dựng một loại mã tốt trong mà có thể chống chọi tốt với nhiễu và mất mát

3.2 Mã hóa cho kênh operator

Trong truyền tin thông thường, để so sánh sự thay đổi giữa hai gói tin, khái niệm khoảng cách Hamming được sử dụng Với phương pháp mã hóa không gian véc-tơ được đề xuất, một không gian véc-tơ được truyền đi, ta cần một định nghĩa tương tự như khoảng cách Hamming nhưng đối với 2 không gian véc-tơ để có thể khôi phục lại không gian được truyền từ không gian nhận được Trước khi chỉ ra làm thế nào để xây dựng loại mã tốt cho kênh operator

mà ta đã định nghĩa, ta cần phải định nghĩa khoảng cách giữa hai không gian véc-tơ

3.2.1 Khoảng cách giữa hai không gian véc-tơ trong

W là không gian véc-tơ kích thước N thuộc trường U là không gian con của

W, không gian con trực giao của U là một không gian kích thước N-k:

{ } Với không gian con bất kì thì

(3.5)

Suy ra:

Khoảng cách giữa hai không gian con U và V bằng khoảng cách giữa hai không gian trực giao tương ứng

Nếu kích thước của từng từ mã của là bằng nhau thì được gọi là mã

có kích thước không đổi

Trong mà sửa lỗi tuyến tính truyền thống thì một loại mã thường được biểu diễn dưới dạng trong đó là độ dài của mã, là kích thước và

là khoảng cách Hamming Với loại mã không gian véc-tơ đối với kênh operator được định nghĩa ở trên thì được biểu diễn dưới dạng [ | | ]

Tiếp theo, ta sẽ tìm hiểu đinh nghĩa về tốc độ mã của một mã nào đó Gọi là một loại mã có kiểu [ | | ] Để truyền một không gian , nơi phát cần phát véc-tơ của V vào trong mạng, tương ứng với truyền ký tự

Gọi là một mã được biểu diễn dưới dang [ | | ] Trọng số chuẩn

hóa (weight) , tốc độ và khoảng cách nhỏ nhất chuẩn hóa của C được

định nghĩa như sau:

| |

3.2.3 Điều kiện để khôi phục mã

Bộ giải mã dựa vào lối ra U của kênh operator sẽ trả lại từ mã có khoảng cách tới U là nhỏ nhất

Hình 3.1: Minh họa khôi phục mã [2]

Ta có một định lý liên hệ giữa khoảng cách nhỏ nhất của mã với lỗi và mất mát gây ra bởi kênh:

Nếu ta sử dụng một mã cho truyền tin trên kênh operator Chọn để

Mã có kích thước không đổi là mã có kích thước các từ mã không đổi

Nó tương tự với mã có trọng số không đổi trong không gian Hamming (các từ

mã có trọng số Hamming bằng nhau) hay các loại mã cầu trong không gian Euclid (các từ mã có năng lượng bằng nhau)

Các mã có kích thước không đổi thường được miêu tả như là các đỉnh nào đó trong đồ thị Grassmann:

Gọi là tập các không gian con của có kích thước được

gọi là Grassmannian Đồ thị Grassmann có các đỉnh là tập với

hai đỉnh cạnh nhau khi và chỉ khi