Phân tích Bruhat và ứng dụng

Câ hai tr÷íng hñp... Ta chùng minh ành lþ tr¶n b¬ng qui n¤p theo r... Trong tr÷íng hñp n y, F lagW câ thº çng nh§t vîi tªp c¡c khæng gian con mët chi·u cõa W.

„I HÅC QUÈC GIA H€ NËI TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC TÜ NHI–N

„I HÅC QUÈC GIA H€ NËI TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC TÜ NHI–N

Möc löc

0.1 Ph²p th¸ 1

0.2 Tø v  nhâm c¡c ph²p th¸ 6

0.3 Nhâm tuy¸n t½nh têng qu¡t 11

0.4 Ph¤m trò, h m tû 13

1 Ph¥n t½ch Bruhat 17 1.1 Ph²p th¸ Jordan 17

1.2 Ng«n Schubert 20

1.3 Ph¥n t½ch Bruhat 26

1.4 Nhâm con Parabolic 31

2 Ùng döng 37 2.1 ¤i sè Iwahori-Hecke 37

2.2 Mæun Steinberg 48

Gi£ sû T l  mët tªp hñp húu h¤n n o â Tªp hñp S(T ) t§t c£ c¡c song ¡nh

tø T v o ch½nh nâ còng vîi ph²p hñp th nh ¡nh x¤ lªp th nh mët nhâm Ph¦n

tû ìn và cõa S(T ) l  ¡nh x¤ çng nh§t idT

ành ngh¾a 0.1 Nhâm S(T ) ÷ñc gåi l  nhâm èi xùng tr¶n tªp hñp T Méinhâm con cõa S(T ) ÷ñc gåi l  mët nhâm c¡c ph²p th¸ tr¶n T

N¸u T = {1, , n} th¼ nhâm S(T ) ÷ñc gåi l  nhâm èi xùng tr¶n n ph¦n

tû v  ÷ñc k½ hi»u l  Σn Mët ph¦n tû cõa Σn ÷ñc gåi l  mët ph²p th¸ tr¶n nph¦n tû

ành ngh¾a 0.2 Cho ph²p th¸ σ ∈ Σn, k½ hi»u L(σ) l  tªp c¡c nghàch th¸ cõanâ

Nh÷ vªy, L(σ) l  tªp hñp gçm t§t c£ c¡c tªp con câ 2 ph¦n tû T cõa tªp {1, , n}

v  σ : T → σT l  nghàch th¸ V¼ i < j vîi måi (i, j) ∈ L(σ), ta câ mët song ¡nh

h : L(σ) −→ L(σ){i, j} 7−→ (i, j)

do â |L(σ)| = `(σ)

Chó þ 0.4 Ta k½ hi»u 4 = Q

i<j

(xi − xj) ∈ Z[x1, , xn] Σn t¡c ëng l¶nZ[x1, , xn] b¬ng c¡ch ho¡n và l¤i x1, , xn Ta x²t ph¦n tû σ ∈ Σn, khi â

V¼ (i, j) ∈ L(σ) n¶n i < j v  σ(i) > σ(j) M°t kh¡c ta câ σ−1σ(j) = j v 

σ−1σ(i) = i n¶n (σ(j), σ(i)) ∈ L(σ−1)

T÷ìng tü, ta x²t

g : L(σ−1) −→ L(σ),(k, l) 7−→ (σ−1(l), σ−1(k))

V¼ (k, l) ∈ L(σ−1)n¶n k < l v  σ−1(k) > σ−1(l) M°t kh¡c ta câ σσ−1(k) = k v 

σσ−1(l) = l n¶n (σ−1(l), σ−1(k)) ∈ L(σ)

Ta câ f ◦ g = idL(σ −1 ) v  g ◦ f = idL(σ) Tø â suy ra f l  song ¡nh v 

|L(σ−1)| = |L(σ)| V¼ vªy `(σ−1) = `(σ)

ành ngh¾a 0.6 Vîi i = 1, , n − 1, k½ hi»u si l  ph²p th¸ sì c§p (i, i + 1)

Bê · 0.7 Cho ph²p th¸ σ, τ ∈ Σn, ta câ

L(στ ) = L(τ )4τ∗−1L(σ),vîi A4B = (A ∪ B)\(A ∩ B), v  τ∗{i, j} = {τ (i), τ (j)}

Chùng minh Tr÷îc h¸t ta chùng minh L(στ) ⊆ L(τ)4τ−1

∗ L(σ) Thªt vªy n¸u{i, j} ∈ L(στ ) th¼ i < j v  στ(i) > στ(j) °t τ(i) = k v  τ(j) = l suy ra

i = τ−1(k) v  j = τ−1(l) Câ hai tr÷íng hñp

Tr÷íng hñp 1: N¸u k < l th¼ {i, j} 6∈ L(τ) M°t kh¡c v¼ k < l v  σ(k) > σ(l)n¶n {k, l} ∈ L(σ) M 

τ∗−1{k, l} = {τ−1(k), τ−1(l)} = {i, j},

tø â suy ra {i, j} ∈ τ−1

∗ L(σ) hay {i, j} ∈ L(τ)4τ−1

∗ L(σ).Tr÷íng hñp 2: N¸u k > l th¼ {i, j} ∈ L(τ) Ta ph£i chùng minh {i, j} 6∈

τ∗−1L(σ) Thªt vªy do k > l v  σ(k) > σ(l) n¶n ta câ {k, l} 6∈ L(σ) M°t kh¡c tacâ

τ∗−1{k, l} = {τ−1(k), τ−1(l)} = {i, j},n¶n {i, j} 6∈ τ−1

∗ L(σ) hay {i, j} ∈ L(τ)4τ−1

∗ L(σ).Vªy trong c£ hai tr÷íng hñp ta ·u câ

L(στ ) ⊆ L(τ )4τ∗−1L(σ)

Ti¸p theo ta i chùng minh L(τ)4τ−1

∗ L(σ) ⊆ L(στ ) Thªt vªy n¸u{i, j} ∈ L(τ )4τ∗−1L(σ),

khi â ta công câ hai tr÷íng hñp

Tr÷íng hñp 1: N¸u {i, j} ∈ L(τ) th¼ {i, j} 6∈ τ−1

∗ L(σ) V¼ {i, j} ∈ L(τ) n¶n i < j

v  τ(i) > τ(j) M°t kh¡c ta câ i = τ−1τ (i)v  j = τ−1τ (j), m  {i, j} 6∈ τ−1

∗ L(σ)n¶n {τ(i), τ(j)} 6∈ L(σ) hay στ(i) > στ(j) Tø â suy ra {i, j} ∈ L(στ)

Tr÷íng hñp 2: N¸u {i, j} 6∈ L(τ) th¼ {i, j} ∈ τ−1

∗ L(σ) V¼ {i, j} 6∈ L(τ) n¶n i < j

v  τ(i) < τ(j) M°t kh¡c ta câ i = τ−1τ (i) v  j = τ−1τ (j), m  {i, j} ∈ τ−1

∗ L(σ)n¶n ta câ {τ(i), τ(j)} ∈ L(σ) tùc l  στ(i) > στ(j) Tø â suy ra {i, j} ∈ L(στ).Trong hai tr÷íng hñp, ta ·u câ

Sû döng c¡c bê · tr¶n, ta câ m»nh · sau

M»nh · 0.9 `(σ) l  sè nhä nh§t sao cho σ câ thº vi¸t ÷ñc th nh cõa `(σ)ph²p th¸ sì c§p

Chùng minh N¸u σ = si 1 si r th¼ tø Bê · 0.7, ta câ `(σ) ≤ r

Ng÷ñc l¤i, gi£ sû `(σ) = r, ta sû döng ph÷ìng ph¡p quy n¤p theo r º chùngminh m»nh · Thªt vªy, n¸u r = 0 th¼ σ b£o to n thù tü v  l  çng nh§t n¶nm»nh · óng Gi£ sû m»nh · óng vîi måi ph²p th¸ câ ë d i nhä hìn r, taph£i i chùng minh m»nh · óng vîi ph²p th¸ câ ë d i b¬ng r Thªt vªy vîi

r > 0 th¼ σ ph£i câ ½t nh§t mët nghàch th¸ n¶n tçn t¤i k º σ(k) > σ(k + 1) Bê

· 0.8 nâi r¬ng `(σsk) = r − 1 n¶n theo gi£ thi¸t quy n¤p th¼ σsk = si1 sir−1

vîi c¡c ph²p th¸ sì c§p si 1, , sir−1 n o â Tø â suy ra σ = si 1 sir−1sk

ành ngh¾a 0.10 X²t mët tø w = si 1 sir theo c¡c bi¸n s1, , sn−1 N¸u

`(π(w)) = r th¼ ta nâi w l  tø rót gån

K½ hi»u ρ l  ph²p th¸ ρ(i) = n + 1 − i Ta câ ρ2 = 1 Chó þ r¬ng ρ(i) > ρ(j)khi v  ch¿ khi i < j v  `(ρ) = n(n−1)

2

ành ngh¾a 0.11 Cho 1 ≤ m < k ≤ n − 1, k½ hi»u tk

m = smsm+1 sk−1.D¹ th§y tk

m n)−1σ Khi â τ(n) = n, n¶n câ thº xem

τ nh÷ mët ph¦n tû cõa Σn−1 Ta chùng minh bê · b¬ng ph÷ìng ph¡p quy n¤ptheo n Thªt vªy vîi n = 1 th¼ hiºn nhi¶n óng Gi£ sû óng vîi n − 1, ta câ

M»nh · 0.15 ε : ˜Σn−→ Σn l  mët ¯ng c§u.

Chùng minh °t Xn ⊆ ˜Σn l  tªp c¡c ph¦n tû câ d¤ng tn

m ntn−1mn−1 t2m2t1m1 vîi

1 ≤ mk ≤ k Ta câ |Xn| ≤ n! Theo M»nh · 0.12 th¼ ε|X n : ˜Σn −→ Σn l  to n

¡nh, do â l  song ¡nh Ta chùng minh Xn = ˜Σn b¬ng ph÷ìng ph¡p quy n¤p.Chó þ r¬ng Xn=

v  do ˜Σn−1 giao ho¡n vîi tk

tn

ltn−1k−1 vîi k > l

Chùng minh Trüc ti¸p tø ành ngh¾a ta câ tn

ktn−1l sn−1 = tnktnl.Gi£ sû l < n, ta câ

(tnl+1)−1tnl = tn−1l (tnl)−1.Tr÷îc h¸t ta ta kiºm tra vîi l = 5 v  n = 10 Vi¸t k thay cho sk v  k½ hi»u e l 

sl+1slsl+1 = slsl+1sl

Ta nh¥n b¶n ph£i vîi tn

l+2 v  b¶n tr¡i vîi (tn

l+1)−1 V¼ sl+1tnl+2 = tnl+1 n¶n ta câ(tnl+2)−1sl+1 = (tnl+1)−1

v 

slsl+1tnl+2= tnl.L¤i câ sl giao ho¡n vîi tn

l+2 n¶n(tnl+2)−1sl+1slsl+1tnl+2 = (tnl+1)−1tnl

v  tø ành ngh¾a th¼ ta suy ra

(tnl+1)−1tnl = tn−1l (tnl)−1.Gi£ sû k ≤ l Chó þ r¬ng tm

(tnl+1)−1tnl = tn−1l (tnl)−1vîi tl

k, ta ֖c

(tnk+1)−1tnk = tn−1k (tnl)−1

Tø â suy ra n¸u k ≤ l th¼

tnktnl = tnl+1tn−1l Gi£ sû ta câ n ≥ i > j °t k = j v  l = i − 1, n¶n ¯ng thùc

(tnl+1)−1tnl = tn−1l (tnl)−1

÷ñc vi¸t l¤i nh÷ sau

(tni)−1tnj = tn−1j (tni−1)−1.M°t kh¡c tø ành ngh¾a ta câ

tn−1j (tni−1)−1 = tn−1j (tn−1i−1sn−1)−1

= tn−1j sn−1(tn−1i−1)−1

= tnj(tn−1i−1)−1,n¶n ta câ

ành ngh¾a 0.17 K½ hi»u Wr l  tªp c¡c tø câ ë d i r theo s1, , sn, v  °t

W = qrWr, l  và nhâm tü do sinh bði s1, , sn °t ∼r l  quan h» t÷ìng ÷ìngtr¶n Wr nh÷ sau:

ˆ usisjv ∼ usjsiv n¸u |i − j| > 1,

ˆ usisjsiv = usjsisjv n¸u |i − j| = 1

Bê · 0.19 Gi£ sû σ ∈ Σn v  σ k¸t vîi si v  sj vîi i 6= j Khi â ta câ

(a) N¸u |i − j| > 1 th¼ σ k¸t vîi sisj = sjsi

L(sisj) ⊆ L(σ)

Do â σ k¸t vîi sisj

N¸u |i − j| = 1, ta gi£ sû j = i + 1 Ta câ σ(i) > σ(i + 1) = σ(j) > σ(j + 1)n¶n

{{i, i + 1}, {i + 1, i + 2}, {i, i + 2}} ⊆ L(σ)

Ta câ ph²p th¸ τ = sisjsi = sjsisj l  x½ch (i, i + 1, i + 3) câ ë d i l  3, n¶n

L(τ ) = {{i, i + 1}, {i + 1, i + 2}, {i, i + 2}}

Tø â suy ra σ k¸t vîi τ

Tø bê · tr¶n ta câ ành lþ sau ¥y

ành lþ 0.20 N¸u u, v ∈ Rr thäa m¢n π(u) = π(v) th¼ u ∼r v, tùc l  π0

(u) =

π0(v)

Chùng minh Ta chùng minh ành lþ tr¶n b¬ng qui n¤p theo r

Thªt vªy vîi r = 1 khi â u = si vîi i n o â v  v = sj vîi j n o â n¶n ta

câ u ∼rv

Gi£ sû r > 1 khi â ta câ u = xsi, v = ysj vîi x, y ∈ Rr−1 v  i, j ∈{1, , n − 1} °t σ = π(u) = π(v) n¶n σ = π(x)si = π(y)sj N¸u i = j th¼π(x) = π(y) m  x, y ∈ Rr−1 n¶n theo gi£ thi¸t quy n¤p th¼ x ∼ y, tø â suy ra

u = xsi ∼rysi = ysj = v

N¸u |i − j| = 1 theo ành ngh¾a ta câ σ k¸t vîi si Do â theo M»nh · 0.19

σ k¸t vîi sisjsi = sjsisj,n¶n tçn t¤i z ∈ Rr−3 sao cho

N¸u |i − j| > 1 theo ành ngh¾a ta câ σ k¸t vîi si V¼ vªy theo M»nh · 0.19

ta câ σ k¸t vîi sisj = sjsi Tø â suy ra tçn t¤i z ∈ Rr−2 sao cho

π(zsisj) = π(zsjsi)

M°t kh¡c theo tr÷íng hñp |i − j| = 1 ta suy ra

u = xsi ∼ zsjsi

v 

v = ysj ∼ zsisj.Theo ành ngh¾a ta câ zsisj ∼ zsjsi n¶n u = v

0.3 Nhâm tuy¸n t½nh têng qu¡t

Ta x²t khæng gian v²ctì Fn

p v  h» (e1, , en) l  cì sð ch½nh t­c cõa Fn

p Tak½ hi»u Ei = Fp{e1, , ei} v  G = GLn(Fp) v 

V¼ vªy ta câ thº coi Σn nh÷ l  nhâm con cõa nhâm G Khi â ta câ σei = eσ(i)

v  (σx)i = xσ−1 (i), ph¦n tû ð và tr½ thù ij cõa ma trªn σ l  σij = δi,σ(j)

ma trªn nh÷ th¸, chóng ta câ thº chån mët v²ctì kh¡c khæng b§t ký trong Fn

p.Nh÷ dáng ¦u ti¶n câ pn− 1c¡ch chån Vîi 1 < k ≤ n, ta câ dáng thù k câ thº

l  v²ctì b§t ký trong Fn

p ngo¤i trø pk− 1 v²ctì cõa k − 1 dáng tr÷îc â, do â

câ pk− pk−1 c¡ch lüa chån dáng k Tø â suy ra

|G| = pn(n−1)2 (pn− 1) (p − 1)

Bê · 0.22 (Xem [1], Ch÷ìng [2],Trang [30], M»nh · 1) Ta câ B = U o T.Chùng minh V¼ U ∩ T = {e} n¶n º chùng minh B = U o T ta ch¿ c¦n chùngminh U chu©n t­c trong B v  B = UT.

D¹ th§y ϕ l  çng c§u nhâm v  kerϕ = {b ∈ B | ϕ(b) = e} = U Do

â U chu©n t­c trong B Hìn núa, rã r ng ϕ|T l  ¡nh x¤ çng nh§t Do âϕ(bϕ(b)−1) = ϕ(b)ϕ(b)−1 = e n¶n bϕ(b)−1 ∈ kerϕ = U suy ra b ∈ Uϕ(b) ⊆ UT ,m°t kh¡c theo Bê · 0.21 ta câ |B| = |UT | n¶n ta câ B = U o T Chó þ, n¸u

n > 1 th¼ T khæng ph£i chu©n t­c trong B, do â B khæng l  t½ch trüc ti¸p cõa

f v  g sao cho c¡c i·u ki»n sau ¥y ÷ñc thäa m¢n

(F1)Ph²p hñp th nh, câ t½nh ch§t k¸t hñp: n¸u f ∈ MorC(A, B), g ∈ MorC(B, C)

v  h ∈ MorC(C, D) th¼

(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f )

èi vîi måi vªt A, B, C, D thuëc Ob(C)

(F2) Vîi méi vªt A thuëc Ob(C) tçn t¤i mët c§u x¤ idA ∈ M orC(A, A) m  èivîi måi vªt B ∈ Ob(C) sao cho

V½ dö 0.24 (a) C¡c tªp hñp húu h¤n v  c¡c ¡nh x¤ giúa c¡c tªp hñp n y lªp

ành ngh¾a 0.25 (a) H m tû hi»p bi¸n Φ tø ph¤m trò C tîi ph¤m trò D, k½ hi»u

l  Φ : C −→ D l  quy t­c ùng méi vªt A ∈ Ob(C) vîi mët vªt Φ(A) ∈ Ob(D),vîi méi c§u x¤ f ∈ MorC(A, B) vîi c§u x¤ Φ(f) ∈ MorD(Φ(A), Φ(B)) sao choc¡c i·u ki»n sau ¥y ÷ñc thäa m¢n

HT 1 èi vîi måi A thuëc C ·u câ Φ(idA) = idΦ(A)

HT 2 N¸u f : A −→ B v  g : B −→ C l  hai c§u x¤ thuëc C th¼ ta câ

Φ(g ◦ f ) = Φ(g) ◦ Φ(f )

(b)Mët h m tû ph£n bi¸n Φ tø ph¤m trò C tîi ph¤m trò D, k½ hi»u l  Φ :

C −→ D, l  quy t­c ùng méi vªt A ∈ Ob(C) vîi mët vªt Φ(A) ∈ Ob(D), v  vîiméi c§u x¤ f ∈ MorC(A, B) vîi c§u x¤ Φ(f) ∈ MorD(Φ(B), Φ(A)) sao cho c¡c

i·u ki»n sau ¥y ÷ñc thäa m¢n:

P B1 Måi A thuëc C, Φ(idA) = idΦ(A)

P B2 N¸u f : A −→ B v  g : B −→ C l  hai c§u x¤ thuëc C th¼

Φ(g ◦ f ) = Φ(f ) ◦ Φ(g)

V½ dö 0.26 Vîi V v  F nh÷ trong V½ dö 0.24 Mët bë n khæng gian con lçngnhau, k½ hi»u l  U = (0 = U0 < U1· · · < Un= V) ÷ñc gåi l  mët cí ¦y õ cõakhæng gian v²ctì V °t

F lag(V) = { cí ¦y õ cõa V}

Khi â ¡nh x¤

F lag : V −→ F

V 7−→ F lag(V),

l  mët h m tû

ành ngh¾a 0.27 (Ph²p bi¸n êi tü nhi¶n) Cho Φ v  Ψ l  hai h m tû C −→ D.Mët ph²p bi¸n êi tü nhi¶n H tø Φ sang Ψ l  mët quy t­c ùng méi vªt X thuëcOb(C)vîi mët c§u x¤ HX thuëc MorD(Φ(X), Ψ(X)) sao cho sì ç sau giao ho¡n

Φ(X) −−−→ Ψ(X)HX

Φ(f )



y

Chùng minh Gi£ sû H : hA −→ F l  mët ph²p bi¸n êi tü nhi¶n theo ànhngh¾a, vîi méi c§u x¤ f : A −→ X, ta câ biºu ç sau giao ho¡n

hA(A) −−−→ F (A)H(A)

h A (f )



y

Tø c¡ch x¡c ành tr¶n th¼ ¡nh x¤ H l m biºu ç sau giao ho¡n

hA(A) −−−→ F (A)H(A)

h A (g)



y

¡nh

V½ dö 0.29 Vîi V v  F nh÷ trong V½ dö 0.24.K½ hi»u

Base(V) = { cì sð cõa khæng gian v²ctì V} = MorV(Fnp, V)

Ch֓ng 1

Ph¥n t½ch Bruhat

1.1 Ph²p th¸ Jordan

Cè ành mët khæng gian v²ctì n chi·u tr¶n Fp, k½ hi»u l  W °t F lag(W)

l  tªp hñp c¡c cí ¦y õ cõa W, tùc l  c¡c chuéi

Gi£ sû U, V l  hai cí ¦y õ trong F lag(W) Vîi méi c°p 0 < i, j ≤ n, °t

Qij l  khæng gian th÷ìng

Qij = (Ui∩ Vj)/[(Ui−1∩ Vj) + (Ui∩ Vj−1)]

Bê · 1.1 Qij ∼= (Ui−1+ Ui∩ Vj)/(Ui−1+ (Ui ∩ Vj−1))

Chùng minh X²t ¡nh x¤ chi¸u f : Ui∩Vj −→ (Ui−1+ Ui∩ Vj)/[Ui−1+ (Ui ∩ Vj−1)]

Ta câ Ker f = {x | x ∈ (Ui∩ Vj)v  x ∈ Ui−1+ (Ui∩ Vj−1)} suy ra

(Ui−1∩ Vj) + (Ui∩ Vj−1) ⊆ Ker f

M°t kh¡c vîi x ∈ Ui−1+ (Ui∩ Vj−1) suy ra x = a + b, trong â a ∈ Ui−1 v 

b ∈ (Ui ∩ Vj−1) Do â x ∈ (Ui−1∩ Vj) + (Ui∩ Vj−1)hay

Ker f ⊆ (Ui−1∩ Vj) + (Ui ∩ Vj−1)

Tø â suy ra

Ker f = (Ui−1∩ Vj) + (Ui∩ Vj−1)

Vªy ta câ

Qij ∼= (Ui−1+ Ui∩ Vj)/[Ui−1+ (Ui∩ Vj−1)]

D¢y khæng gian lçng nhau sau ¥y

(Ui−1+ Ui∩ V0)/Ui−1 ⊂ (Ui−1+ Ui∩ V1)/Ui−1⊂ · · · ⊂ (Ui−1+ Ui∩ Vn)/Ui−1,

l  mët låc trong khæng gian mët chi·u Ui/Ui−1 v¼

n

[

j=1

(Ui−1+ Ui∩ Vj)/Ui−1 = Ui/Ui−1

D¹ th§y Qi,1, , Qi,n ch½nh l  th nh ph¦n trong låc cõa khæng gian mët chi·u

Ui/Ui−1.Do â vîi méi ch¿ sè i, tçn t¤i duy nh§t mët j = σ(i) sao cho Qi,σ(i)6= 0.T÷ìng tü, vîi méi ch¿ sè j, tçn t¤i duy nh§t mët i = τ(j) sao cho Qτ (j),j 6= 0

σ v  τ l  nghàch £o cõa nhau v  do â còng l  hai ph¦n tû cõa Σn V¼ σ phöthuëc v o U v  V n¶n ta vi¸t δ(U, V ) = σ v  chó þ δ(V , U) = δ(U, V )−1

ành ngh¾a 1.2 δ(V , U), ÷ñc gåi l  ph²p th¸ Jordan

M»nh · 1.3 Vîi méi σ ∈ Σn, δ(σE, E) = σ, ð â E cí ch½nh t­c

X²t cí U = (0 = U0 < U1 < U2 < U3 < U4 < U5 = F5p), ð â Ui =

Fp{u1, , ui}, vîi i = 1, , 5 Theo M»nh · 1.3, ta câ Q15 sinh bði u1, Q24

sinh bði u2, Q31 sinh bði u3, Q42 sinh bði u4, Q53 sinh bði u5 v  Qij = 0 vîi måic°p {i, j} kh¡c Tø â suy ra δ(U, E) = (1, 5, 3)(2, 4)

Bê · 1.5 δ(gU, gV ) = δ(U, V ) vîi måi U, V ∈ F lag(W) v  g ∈ Aut(W).Chùng minh Gi£ sû δ(U, V ) = σ, Qij 6= 0 khi v  ch¿ khi j = σ(i) M°t kh¡c tacâ

gQij = (gUi∩ gVj)/(gUi−1∩ gVj) + (gUi∩ gVj−1),n¶n gQij 6= 0 khi v  ch¿ khi Qij 6= 0, tùc l  j = σ(i) hay δ(gU, gV ) = σ Vªy tø

â suy ra δ(gU, gV ) = δ(U, V )

Chó þ 1.6 N¸u T , U, V l  c¡c cí ¦y õ thuëc F lag(W) th¼ nâi chung l 

δ(T , V ) 6= δ(T , U )δ(U , V )

Thªt vªy, ta s³ ch¿ ra mët v½ dö cho n = 2 Trong tr÷íng hñp n y, F lag(W)

câ thº çng nh§t vîi tªp c¡c khæng gian con mët chi·u cõa W

N¸u ρ ∈ Σ2, ρ 6= e th¼ δ(L, L) = e v  δ(L, M) = ρ vîi L 6= M Tø â suy ran¸u L, M v  N æi mët ph¥n bi»t trong F lag(W) th¼ δ(L, N) 6= δ(L, M)δ(M, N).Trong ph¦n n y, ta ch¿ x²t tr÷íng hñp δ(U, V ) l  çng nh§t ho°c l  si

Bê · 1.7 Gi£ sû U, V ∈ F lag(W) vîi δ(U, V ) = σ, 0 < i 6 n N¸u Ui−1 =

Vi−1 th¼ σ(i) = i khi v  ch¿ khi Ui = Vi

Chùng minh K½ hi»u A = Ui−1= Vi−1 l  khæng gian (i − 1) chi·u Ta câ

Ui−1∩ Vi = Vi−1∩ Vi = A,

v  Ui ∩ Vi−1 = A n¶n Qii = Ui∩ Vi/A Tø â suy ra σ(i) = i khi v  ch¿ khi

Qii 6= 0 M°t kh¡c Qii6= 0 khi v  ch¿ khi Ui∩ Vi ⊃ A V¼ Ui v  Vi câ chi·u l  i

v  A câ chi·u l  i − 1 n¶n Ui∩ Vi ⊃ A khi v  ch¿ khi Ui = Vi

H» qu£ 1.8 δ(U, V ) = e n¸u v  ch¿ n¸u U = V

Chùng minh Hiºn nhi¶n n¸u U = V th¼ δ(U, V ) = e Ng÷ñc l¤i, theo ành ngh¾a

ta câ U0 = V0n¶n theo Bê · 1.7 ta câ U1 = V1 T÷ìng tü nh÷ vªy ta câ Ui = Vi

vîi i = 1, 2, , n Tø â ta câ U = V

Bê · 1.9 δ(U, V ) = si n¸u v  ch¿ n¸u Uj = Vj vîi måi j 6= i v  Ui 6= Vi.Chùng minh Gi£ sû δ(U, V ) = si Theo Bê · 1.7 ta câ Uj = Vj vîi måi j < i,

v  Ui 6= Vi

°t A = Ui−1= Vi−1.V¼ Ui 6= Vi n¶n Ui∩ Vi ⊂ Ui v  Ui∩ Vi ⊃ A Tø â suy

ra Ui∩ Vi = A Suy ra Qi,i+1 = (Ui∩ Vi+1)/A N¸u δ(U , V ) = si th¼ Qi,i+1 6= 0

Do â

dim(Ui∩ Vi+1) ≥ dim(A) + 1 = i

V¼ dim(Ui) = i n¶n Ui∩ Vi+1= Ui Vªy Ui ⊂ Vi+1 v  Vi ⊂ Vi+1 M°t kh¡c,

dim(Ui+ Vi) = dim(Ui) + dim(Vi) − dim(Ui∩ Vi),

= i + 1 = dim(Vi+1),n¶n Vi+1 = Ui + Vi Lªp luªn, ho n to n t÷ìng tü ta công nhªn ÷ñc Ui+1 =

Ui+ Vi Vªy vîi j > i + 1 th¼ si(j) = j Theo Bê · 1.7, suy ra Uj = Vj vîi måi

Bê · 1.10 Ma trªn g = (gij) ∈ X(σ) khi v  ch¿ khi

°c bi»t g ∈ U(σρ) −1

= Uρσ−1 khi v  ch¿ khi gij = 0 vîi måi i, j thäa m¢n

ρσ−1(i) > ρσ−1(j), tùc l  vîi måi i, j thäa m¢n σ−1(i) < σ−1(j) v¼ ρ luæn £ong÷ñc thù tü V¼ vªy ta câ gij 6= 0khi v  ch¿ khi σ−1(i) > σ−1(j) vîi måi i < j

Tø â suy ra gij l  tòy þ khi (i, j) ∈ L(σ−1)

ành ngh¾a 1.11 X(σ) = U ∩ U(σρ)−1 6 U, ÷ñc gåi l  ng«n Schubert

δ(gσE, E) = δ(σE, g−1E) = δ(σE, E) = σ

Ti¸p theo ta i chùng minh φ l  song ¡nh Nhâm ên ành cõa σE l  Bσ Thªt vªy, gi£ sû g ∈ G thäa m¢n σE tùc l  gσE = σE i·u n y t÷ìng ÷ìngvîi σ−1gσE = E.Do â σ−1gσ ∈ B hay g ∈ Bσ−1 V¼ vªy nhâm ên ành cõa σEtrong X(σ) = U ∩ U(σρ)−1 ph£i n¬m trong nhâm

H = Bσ−1 ∩ U(σρ)−1 = (B ∩ Uρ)σ−1.M°t kh¡c B ∩ Uρ= {e}v¼ B l  tªp c¡c ma trªn tam gi¡c tr¶n, Uρ l  tªp c¡c matrªn tam gi¡c d÷îi câ ÷íng ch²o l  ìn và Nh÷ vªy X(σ) t¡c ëng tü do tr¶n

p −→ Fp l  ph²p chi¸u xuèng tåa ë thù i X²t mët cí ¦y õ V ∈ Y (σ)

Ta c¦n ¸n bê · sau ¥y

Bê · 1.13 Tçn t¤i duy nh§t vi ∈ Vi ∩ Ti thäa m¢n σ(i)(vi) = 1, hìn núa(v1, , vi) l  mët cì sð cõa Vi tr¶n Fp

Chùng minh Ta chùng minh bê · n y b¬ng quy n¤p theo i Vîi i = 1 ta câ

T1 = Fp{em | m ≤ σ(1), σ−1(m) ≥ 1} ⊆ Eσ(1).V¼ V ∈ Y (σ) n¶n Q1j 6= 0 vîi j = σ(1) Nh÷ng khi â

Q1j = (V1∩ Ej)/((V1−1∩ Ej) + (Vi∩ Ej−1))

= V1∩ Ej/(V1∩ Ej−1)

= V1∩ Eσ(1)/(V1∩ Eσ(1)−1)

N¶n Q1j 6= 0 khi V1 ∩ Eσ(1)−1 = ∅ v¼ V1 l  khæng gian con câ chi·u b¬ng 1 Tø

â suy ra tçn t¤i v1 l  cì sð cõa V1 v  v1 ∈ Eσ(1) M°t kh¡c V1∩ Eσ(1)−1= ∅n¶n

v1 6∈ Eσ(1)−1 Vªy v1 = eσ(1) hay v1 ∈ T1∩ V1 v  σ(1)(v1) = 1 Do â kh¯ng ànhtr¶n óng vîi i = 1

Gi£ sû m»nh · óng vîi måi j < i K½ hi»u

Si = Fp{vj | j ≤ i, σ(j) < σ(i)} ⊆ Vi∩ Eσ(i)

V¼ sè h¤ng ¦u ti¶n cõa vj trong Si l  em vîi m < σ(i), m°t kh¡c i > σ−1(m)n¶n

Ti∩ Si = ∅v  Ti∪ Si = Eσ(i) Suy ra Eσ(i) = Si⊕ Ti T÷ìng tü Vi∩ Eσ(i) = Si⊕ Livîi Li l  khæng gian con n o â cõa Ti Ti¸p theo ta kh¯ng ành Si = Vi−1∩Eσ(i).Thªt vªy theo gi£ thi¸t quy n¤p ta câ v1, , vi−1l  cì sð cõa Vi−1 M°t kh¡c sèh¤ng ¦u ti¶n cõa vj l  eσ(j) v 

Si = Fp{vj | j ≤ i, σ(j) < σ(i)} ⊆ Vi∩ Eσ(i)

Tø â suy ra Si = Vi−1∩ Eσ(i) Vªy ta câ

Li ∼= Vi∩ Eσ(i)/Vi−1∩ Eσ(i).Suy ra Li câ chi·u lîn nh§t l  1 M°t kh¡c δ(V , E) = σ n¶n ta câ Qiσ(i) 6= 0 v 

Qiσ(i) câ chi·u b¬ng 1 V¼ vªy Qiσ(i) = Li v  tø â suy ra

gσ(ek) = vk ∈ Tk⊆ Fp{em | σ−1(m) ≥ k} = Fp{eσ(k), eσ(k+1), , eσ(m)}n¶n σ−1gσ l  ma trªn tam gi¡c d÷îi v¼

Theo V½ dö 1.4 ta câ c¡c v²ctì cët cõa gσ ch½nh l  c¡c v²ctì vi ta c¦n x¡c ành.X²t bë ba (V, U, W ), gçm mët khæng gian v²ctì n chi·u V tr¶n Fp v  U, W

l  hai cí ¦y õ trong V Ta nâi hai bë ba (V, U, W ) v  (V0, U0, W0)l  ¯ng c§uvîi nhau, n¸u tçn t¤i mët ¯ng c§u V −→ V0 ¡nh x¤ cí U th nh U0 v  W th nh

Nâi ri¶ng, n¸u U, W , W0

∈ F lag(V) th¼ tçn t¤i g ∈ Aut(V) sao cho gU = U v 

gW = W0 khi v  ch¿ khi δ(U, W ) = δ(U, W0

)

Chùng minh Theo M»nh · 1.3 ta ¢ bi¸t δ(σE, E) = σ n¶n bë (Fn

p, σE, E) l lîp ¯ng c§u cõa δ(σE, E) N¶n câ thº gi£ thi¸t bë ba (V, U, W ) l  lîp ¯ng c§ucõa δ(U, W ) ∈ Σn v  ch¿ c¦n chùng minh

(V, U, W ) ∼= (Fn, σE, E)

Thªt vªy vîi W ∈ F lag(V) chån wi ∈ Wi\Wi−1 v  x²t ¡nh x¤ tuy¸n t½nh

σ−1gσE = E hay σ−1gσ ên ành E Tø â suy ra σ−1gσ ∈ B Vªy nhâm ên ànhcõa σE l  Bσ −1

Do â nhâm c¡c tü ¯ng c§u n y l  B ∩ Bσ , tùc l 

Uσ ∩ U = X(σ−1ρ) n¶n theo Bê · 0.22 ta câ d¢y khîp ng­n