Nhận dạng và Điều khiển Hệ bồn nước kép

Vì chỉ giới hạn ở một tiểu luận nên ở đây chỉ xin trình bày phương pháp bình phương cực tiểu đệ quy để nhận dạng hệ thống và sử dụng phương pháp đặt cực để tính tín hiệu điều khiển trên

CAO HỌC CHUYÊN NGÀNH TỰ ĐỘNG HÓA K2007

BÁO CÁO TIỂU LUẬN

MÔ HÌNH HÓA VÀ NHẬN DẠNG HỆ THỐNG

Nhận dạng và Điều khiển

Hệ bồn nước kép

GVHD : PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà HVCH : Nguyễn Đức Hoàng (01507679)

Tp Hồ Chí Minh 16/12/2007

Đặt vấn đề

Mục đích của tiểu luận này là nhằm giới thiệu về lĩnh vực nhận dạng và điều khiển trực tuyến Vì chỉ giới hạn ở một tiểu luận nên ở đây chỉ xin trình bày phương pháp bình phương cực tiểu đệ quy để nhận dạng hệ thống và sử dụng phương pháp đặt cực để tính tín hiệu điều khiển trên cơ sở các tham số ước lượng được Ưu điểm của phương pháp này là có thể thực hiện trực tuyến, do đó có thể giải quyết các đối tượng có tham số thay đổi hay phi tuyến

Để kiểm tra chất lượng của thuật toán nhận dạng cũng như bộ điều khiển đặt cực, hệ bồn nước kép được sử dụng Trong đó, ta sử dụng ba cấu hình của hệ bồn nước kép Các kết quả thu được cho thấy thuật toán nhận dạng cũng như bộ điều khiển đặt cực cho kết quả rất tốt

Tài liệu tham khảo cho tiểu luận này chủ yếu là cuốn “Digital Self-tuning controllers: Algorithms, Implementation and Applications” của các tác giả V Bobál, J Böhm, J

Fessl and J Macháček

1 Mô hình quá trình ngẫu nhiên

Để tạo ra một mô hình chúng ta tìm hàm f mô tả hành vi ngõ ra đối tượng y(t) là hàm của các biến ngõ vào, điển hình là ngõ ra bộ điều khiển u(t), và các biến đo khác có thể ảnh hưởng lên ngõ ra, chẳng hạn biến nhiễu v(t) Do đó ta giả sử

Tuy nhiên, ngõ ra của đối tượng thực ít khi là hàm tiền định theo các biến vào đo được Nhiễu xuất hiện ở ngõ ra đối tượng , thể hiện các ảnh hưởng không đo được lên quá trình, những thay đổi ở điểm làm việc, trong cấu tạo vật liệu thô, vân vân… Những ảnh hưởng này, thường rất khó mô tả chính xác, được thêm vào như những ảnh hưởng ngẫu nhiên Khi

đó, dạng mô hình tổng quát nhất có thể được đặc trưng bởi quan hệ sau

Do đó, cần phải sử dụng mô tả toán học thích hợp để biểu diễn hành vi động học của các thành phần trong vòng điều khiển được rời rạc hóa theo cách này Cách mô tả như vậy là biểu thức sử dụng biến đổi Z Nếu G(s) là hàm truyền của hệ thống động liên tục thì biểu thức dưới đây để tìm hàm truyền rời rạc với khâu giữ bậc 0 là hợp lý

(3)

Hàm truyền này là hàm hữu tỉ theo biến phức z Chú ý biến phức z có ý nghĩa của toán tử tiến và z-1 là toán tử lùi, vì vậy

Cấu trúc mô hình đơn giản, nhận dạng từ dữ liệu đo, phù hợp để tổng hợp vòng điều khiển rời rạc và để mô tả và biểu diễn các loại mô hình nhiễu khác nhau bao gồm cả mô hình nhiễu là ưu điểm của hàm truyền rời rạc (3)

từ nhiễu có đặc trưng đã biết truyền qua bộ lọc được cho Theo cách tương tự như đối tượng, bộ lọc có thể được mô tả theo mối quan hệ với các biến vào ra có trễ Do đó, chúng

ta có

(5) Trong đó, es(k) là thành phần ngẫu nhiên không đo được Nếu ta giới hạn tới một hàm tuyến tính f , thì có thể đạt được mô hình ARMAX tương tự

(6)

hoặc ở dạng phổ biến hơn sử dụng toán tử lùi z-1

(7) Trong đó các đa thức trong phương trình (7) có dạng

(8)

Tuy nhiên, mô hình ARMAX không hoàn toàn phù hợp cho điều khiển thích nghi Nếu các tham số của nó (hệ số của các đa thức A, B, C, D) là cái để nhận dạng sử dụng dữ liệu

đo ta gặp phải vấn đề nhận dạng các hệ số của đa thức C(z-1

) bởi vì nhiễu giả es(k) không thể đo được Mặc dù vẫn có cách nhận dạng (ví dụ, phương pháp bình phương cực tiểu mở rộng) cho phép nhận dạng C(z-1), nhưng sự hội tụ của nó nói chung không được bảo đảm và thường rất chậm Do đó, hầu hết các thiết kế bộ điều khiển thích nghi dựa trên mô hình đệ quy (ARX), mô tả ngõ ra đối tượng theo quan hệ

(9) Hoặc

(10)

Hình 1 Sơ đồ khối của mô hình đệ quy

Sơ đồ khối của mô hình này được cho ở hình 1

Mô hình đệ quy ARX thường được viết ở dạng véc tơ

(11) Trong đó

(12)

là véc tơ tham số của mô hình đang xét và

Chất lượng của mô hình đệ quy chủ yếu được đánh giá bởi sai số dự báo, nghĩa là sai lệch

Trong đó ŷ(k) được tính theo (9) với es(k) = 0 Sai số dự báo đóng một vai trò quan trọng trong nhận dạng tham số đối với mô hình đệ quy được dẫn ra từ dữ liệu đo Việc chọn cấu trúc (bậc) của mô hình đệ quy và chu kì lấy mẫu thích hợp cũng quan trọng Cần phải nhấn mạnh rằng để có một mô hình tốt thì sai số dự báo không chỉ phải nhỏ mà còn tương ứng với nhiễu trắng (không tương quan) với gía trị trung bình bằng 0

Chất lượng của mô hình cũng được đánh giá theo mục đích sử dụng Những đặc trưng mô hình quan trọng là những đặc trưng được sử dụng để thiết kế bộ điều khiển Ví dụ, trong phương pháp thiết kế PID Ziegler-Nichols, đặc trưng quan trọng là độ lợi tới hạn của đối tượng Khi sử dụng phương pháp thiết kế đặt cực, ta yêu cầu mô hình phản ánh đúng việc đặt các zero và cực Đối với phương pháp LQ, số hạng nhiễu ngẫu nhiên cũng yêu cầu thể hiện nhiễu đang xét

2 Nhận dạng quá trình

Trong điều khiển thích nghi công việc nhận dạng cũng quan trọng như vai trò của tổng hợp

bộ điều khiển Dĩ nhiên, đối với điều khiển thích nghi thì nhận dạng cũng có những đặc trưng riêng của nó mà hầu hết các trường hợp liên quan đến ước lượng các tham số đối với

mô hình đệ quy ARX sử dụng phương pháp bình phương cực tiểu Sau đây, ta sẽ khảo sát tỉ

mỉ các lý do này Khi nhận dạng một đối tượng đã cho, ta phải tuân theo thủ tục sau:

Chuẩn bị thí nghiệm nhận dạng Chọn tín hiệu (kích thích) ngõ vào thích hợp nhất, hòa hợp giữa kích thích tối ưu về lý thuyết và áp dụng theo kỹ thuật sử dụng Quá trình nhận dạng có thể được quan sát, ngắt, và tín hiệu ngõ vào có thể thay đổi

Dữ liệu thu thập trong suốt thí nghiệm có thể lưu trữ và sau đó được xử lý sử dụng các phương pháp khác nhau với các mô hình khác nhau, lọc,…

 Dữ liệu (ngõ vào) được tạo ra bởi bộ điều khiển hồi tiếp

 Mục đích của bộ điều khiển là bù nhiễu và ổn định hệ thống Các điều kiện này làm cho việc nhận dạng tham số quá trình trở nên khó khăn hơn

 Quá trình nhận dạng để điều khiển thích nghi mất một thời gian rất dài Do đó, không thể giả sử các ước lượng tham số không đổi Các phương pháp để ước lượng tham số thay đổi theo thời gian là rất quan trong

 Việc nhận dạng phải có thể làm việc với những điều kiện hoạt động khác nhau của đối tượng (tại trạng thái tương đối xác lập, có nhiễu, và trong suốt việc chuyển tiếp giữa các trạng thái)

 Cấu trúc của mô hình nhận dạng (bậc) không thể thay đổi trong khi chạy

 Thuật toán nhận dạng phải tin cậy về số và đủ nhanh

Từ phân tích này ta thấy các điều kiện chi phối điều khiển thích nghi không phải lúc nào cũng lý tưởng cho nhận dạng Các điều kiện để đạt được ước lượng không bị phân cực không phải lúc nào cũng được kiểm tra, chúng chỉ được giả thiết trong những trường hợp này Nếu các giả thiết này không thỏa mãn, điều khiển thích nghi có thể đi vào khó khăn

2.1 Những vấn đề điển hình trong điều khiển thích nghi

Trong phần này ta sẽ minh họa vài vấn đề cụ thể trong nhận dạng để thiết kế bộ điều khiển

Thông tin biết trước

Khi sử dụng nguyên lý tương đương chắc chắn, tham số mô hình phải tiến về giá trị đúng ngay từ lúc bắt đầu điều khiển Điều này có nghĩa rằng khi thuật toán thích nghi bắt đầu hoạt động, việc nhận dạng phải chạy từ các điều kiện khởi tạo thích hợp – kết quả của thông tin biết trước tốt nhất có thể Vai trò của nó trong nhận dạng thường bị đánh giá thấp Trong một thí nghiệm nhận dạng tiêu biểu vai trò của nó thục ra không quan trọng lắm vì ta chỉ quan tâm các kết quả nhận dạng lúc cuối thí nghiệm khi đủ dữ liệu được phân tích Trong điều khiển thích nghi, điều quan trọng là phải đưa vào mọi thông tin có thể trong các điều kiện khởi tạo để nhận dạng, cụ thể vì các lý do sau:

 Các ước lượng tham số phải biểu diễn đối tượng ngay từ khi bắt đầu quá trình nhận dạng

để ngăn bộ điều khiển thiết kế khỏi thực hiện không chính xác

 Dữ liệu thu được khi bộ điều khiển đang hoạt động không phải lúc nào cũng đủ thông tin

và trong trường hợp này thông tin biết trước cung cấp thông tin an toan tối thiểu

Điều kiện khởi tạo cho các phương pháp nhận dạng được sử dụng phổ biến nhất được thể hiện bởi ước lượng tham số khởi đầu và ma trận hiệp phương sai của nó Mặc dù hầu hết người dùng hiểu được tầm quan trọng của ước lượng tham số khởi đầu và với một sự nổ lực nào đó thường có thể gán các giá trị thực sử dụng chuyên gia kỹ thuật, nhưng tầm quan trọng của ma trận hiệp phương sai thường bị bỏ qua và khó ước lượng Phương pháp dữ liệu giả đã chứng minh là một cách tương đối đơn giản và có thể thực hiện được để tìm được các điều kiện khởi tạo cho nhận dạng, bao gồm nhiều hơn hoặc ít hơn thông tin ban đầu Nó làm việc nhờ vào một mô hình (có thể rất đơn giản) thể hiện đặc trưng đang phân tích để tạo ra

dữ liệu

Ví dụ, nếu ta biết độ lợi đối tượng bằng “g”, khi đó giá trị ngõ ra tương ứng đối với tín hiệu ngõ vào u(t) bất kì sẽ là y(t) = gu(t) Nếu ta biết một điểm của đặc trưng tần số, thì khi

đó có thể tìm được nhiều dữ liệu hơn sao cho dữ liệu ngõ vào sẽ là một sóng sin với tần số

đã cho và ngõ ra sẽ là một sóng sin bị dịch với biên độ tương ứng với giá trị tuyệt đối của đặc trưng tần số đối tượng tại điểm đó và độ dịch tương ứng với pha

Tương tự, dữ liệu có thể được tạo ra đối với thông tin yêu cầu khác Trong những ví dụ ít phức tạp hơn dữ liệu có thể được tính trước, đối với các trường hợp phức tạp hơn dữ liệu có thể tìm được sử dụng mô phỏng

Bằng cách xử lý dữ liệu này theo cách tương tự như thể chúng là thực, thì có thể tìm được ước lượng khởi tạo và ma trận hiệp phương sai Vấn đề là dữ liệu này không thể được

xử lý sử dụng các phương pháp thông thường (ví dụ phương pháp bình phương cực tiểu) Chúng ta phải nhớ rằng các thành phần riêng rẽ của thông tin biết trước có thể xung đột từng phần, nhưng trong mọi trường hợp thông tin này chỉ có thể được xét để có một xác suất nào đó Điều này có thể xảy ra việc sử dụng nhiều dữ liệu về một thông tin cụ thể (ví dụ, độ lợi) dẫn đến thông tin trở nên quá cứng trong các ước lượng đến nổi thậm chí một lượng lớn

dữ liệu thực không thể thay đổi nó

Thực tế, một điều đáng ngạc nhiên là thạm chí một lượng rất ít thông tin biết trước có thể ảnh hưởng tích cực lên việc khởi tạo cho bộ điều khiển thích nghi nếu đưa vào đúng Thông tin biết trước cũng quan trọng để xác định cấu trúc mô hình khi chuẩn bị điều khiển thích nghi

Theo dõi tham số thay đổi theo thời gian

Như đã ghi chú ban đầu, giả thiết tham số không đổi là không thể chấp nhận được khi xét các bộ điều khiển thích nghi, chủ yếu vì những lý do sau:

 Chu kì hoạt động của bộ điều khiển dài

 Thay đổi trong tham số của mô hình tuyến tính cùng với thay đổi của điểm hoạt động của đối tượng

Vấn đề ước lượng các tham số thay đổi theo thời gian không trình ở đây Khi không có thông tin về đặc trưng của những thay đổi trong tham số, vấn đề có thể được giải quyết sử dụng kĩ thuật hệ số quên Tốt nhất là phương pháp hệ số quên theo hàm mũ, trong đó ảnh hưởng của dữ liệu cũ lên ước lượng tham số và ma trận hiệp phương sai giảm theo hàm mũ Nhược điểm chính của kĩ thuật này trong chế độ thích nghi là mất thông tin khi quá trình ổn định vì dữ liệu không thể cung cấp đủ thông tin về nó Vấn đề này có thể được giải quyết bằng cách ngừng quá trình nhận dạng, sử dụng hệ số quên biến đổi hoặc các dạng hệ số quên khác (hướng thích nghi, điều hòa) có thể thay đổi lượng thông tin bị quên theo đặc trưng của dữ liệu

2.2 Các thuật toán nhận dạng

Đối với mục đích điều khiển sử dụng bộ điều khiển tự chỉnh định, ta chỉ quan tâm các phương pháp nhận dạng thực nghiệm có thể thực hiện trong thời gian thực.Thuật toán đệ

quy là thích hợp nhất để ước lượng tham số ở thời gian thực khi ước lượng ở bước rời rạc k

được tìm sử dụng dữ liệu mới để hiệu chỉnh ước lượng trước đó ở thời điểm k-1

Các thuật toán ước lượng đệ quy phổ biến nhất để ước lượng các tham số của mô hình ARX như sau:

 Phương pháp bình phương cực tiểu đệ quy

 Phương pháp biến công cụ đệ quy

 Xấp xỉ xác suất

và để ước lượng tham số của mô hình ARMAX:

 Phương pháp bình phương cực tiểu đệ quy mở rộng

 Phương pháp xác suất lớn nhất đệ quy

2.3 Nhận dạng đệ quy sử dụng phương pháp bình phương cực tiểu

Có 3 phương pháp:

• Bình phương tối thiểu

• Bình phương tối thiểu với hệ số quên theo hàm mũ

• Bình phương tối thiểu với hệ số quên theo hướng thích nghi

Tất cả các phương pháp này có thể được sử dụng cho nhận dạng trực tuyến các quá trình rời rạc được mô tả bởi hàm truyền dưới đây:

(15)

Ngỏ ra ước lượng của quá trình ở bước k y kˆ( )đđược tính dựa vào ngỏ vào quá trình u và ngỏ ra y trướcđđó theo phương trình (16)

(16)

trong đó ˆ1, ,ˆ , , ,ˆ1 ˆ

a a b b là các ước lượng hiện tại của thông số quá trình Phương trình

này có thể viết lại dượi dạng vector thích hợp cho việc tính tóan hơn, xem phương trình (17)

(17)

Vector Θk−1 chứa các ước lượng thông số của qúa trình được tính ở bước trước và vector

k

Φ chứa các giá trị vào ra để tính toán gía trị hiện tại y k.Các vector này được sử dụng để

mô tả các phương pháp nhận dạng khác nhau trong phần tiếp theo

a Phương pháp bình phương tối thiểu đệ quy

Các phương pháp bình phương tối thiểu được dựa vào sự tối thiểu tổng bình phương sai số

(19)

Ma trận hiệp phương sai C khi đó được cập nhật theo phương trình (20)

(20)

Gia trị đầu của ma trận C xác định ảnh hưởng của các ước lượng thông số ban đầu đối với qúa trình nhận dạng

b Phương pháp bình phương tối thiểu đệ quy với hệ số quên theo hàm mũ

Nhược điểm chính của phương pháp bình phương tối thiểu đệ quy thuần tuý này là thiếu trọng số tín hiệu Mỗi ngõ vào và ra ảnh hưởng lên kết quả bởi cùng trọng số nhưng thông

số qúa trình thực sự có thể thay đổi theo thời gian Do đó các ngõ vào và ra mới ảnh hưởng

lên ngõ ra nhiều hơn các thông số cũ Vấn đề này có thể được giải quyết bằng phương pháp

hệ số quên theo hàm mũ, sử dụng hệ số quên ϕ và làm giảm trọng số của dữ liệu các bước trước Các trọng số k 1

ϕ − được gán cho các giá trị u i và y i Các ước lượng thông số được tính theo phương trình dưới đây:

(21)

c Phương pháp bình phương tối thiểu đệ quy với hệ số quên theo hướng thích nghi

Phương pháp hệ số quên theo hàm mũ có thể được cải tiến hơn nữa bằng hệ số quên theo hướng thích nghi thay đổi hệ số quên theo sự thay đổi của tín hiệu vào ra Thông số quá trình được cập nhật sử dụng theo phương trình đệ quy:

(27)

2.4 Giải phương trình Diophantine

Bộ điều khiển hồi tiếp nuôi tiến (FBFW controller):

Y = BR/(AP+BQ)*W (28) Các điều kiện : 1) AP+BQ = D

Trong đó {a1 a2 b1 b2} là các thông số ước lượng trực tuyến

{d0 d1 d2 d3}là các hệ số từ phương trình đặc trưng mong muốn

Giải phương trình này sẽ được các giá trị {p0 p1 q0 q1}

Cấu hình 2

Xem hình 3 Bơm bơm nước vào bồn một, nước từ bồn một chảy vào bồn hai Yêu cầu thiết

kế bộ điều khiển để điều khiển mực nước trong bồn hai

Xét hệ thống bồn đơn như trong cấu hình 1

Lưu lượng nước chảy vào bồn:

Trong đó, K m là hằng số bơm và V p là điện áp cấp cho bơm

Vận tốc chảy ra được cho bởi phương trình Bernuolli cho lổ nhỏ:

Trong đó, g là gia tốc trọng trường (cm/sec2) và L 1là độ cao của mực nước trong bồn (cm) Khi đó lưu lượng chảy ra là:

Trong đó, a 1 là đường kính lổ ra

Lưu lượng chảy qua bồn được cho bởi:

Khi đó, thay đổi mức nước được cho bởi:

Trong đó, A 1là đường kính của bồn