Báo cáo phương pháp phần tử hữu hạn

Báo cáo môn học Phơng pháp phần tử hữu hạn Câu 1: Trong nhóm phơng pháp số còn những phơng pháp nào nữa?. Phần mềm SAP: - Phần mềm cho phép phân tích các bài toán thờng gặp của kết cấu c

Trang 1

Báo cáo môn học

Phơng pháp phần tử hữu hạn

Câu 1: Trong nhóm phơng pháp số còn những phơng pháp nào nữa ?

- Trong nhóm phơng pháp số còn 2 phơng pháp là: phơng pháp sai phân hữu hạn

và phơng pháp tích phân số.

Câu 2: Hãy nêu sự khác nhau chính giữa PPSFHH và PPPTHH ?

Phương pháp phần tử hữu hạn

(PPPTHH)

Phương pháp sai phân hữu hạn

(PPSFHH)

1

L à ươph ng pháp s ố để giải các b i toánà

được miêu tả bởi các ươph ng trình vi

phân riêng ph ầ n với các đ i ề u ki ệ n biên

cụ thể

L mà ột phương pháp khác để giải phương trình vi phân từng phần

2 L phà ương pháp xấp xỉ lời giải của b ià

toán phương trình vi phân

L phà ương pháp xấp xỉ b i toán phà ương trình vi phân

3

Có khả năng áp dụng cho những b ià

toán hình học v nhà ững b i toán biênà

phức tạp với mối quan hệ rời rạc

Chỉ áp dụng được trong dạng hình chữ nhật với mối quan hệ đơn giản

Câu 3: Hãy cho biết tên và các chức năng cơ bản cũng nh u nhợc điểm của những

phần mềm thơng mại ứng dụng PPPTHH ?

Phần mềm SAP:

- Phần mềm cho phép phân tích các bài toán thờng gặp của kết cấu công trình, tích hợp các chức năng phân tích kết cấu bằng phơng pháp phần tử hữu hạn và chức năng thiết kế kết cấu làm một.

- Phần mềm hỗ trợ nhiều tiêu chuẩn thiết kế với khả năng giải các bài toán lớn không hạn chế số ẩn số và thuật toán ổn định và hiệu suất cao.

- Phần mềm đợc áp dụng cho nhiều loại kết cấu khác nhau nh:

 Thanh dầm, dàn.

 Tấm vỏ, màng.

 Phần tử 2 chiều – ứng suất phẳng biến dạng phẳng đối xứng trục.

 Phần tử khối.

 Phần tử phi tuyến

Trang 2

 Liên kết cứng

 Liên kết đàn hồi

 Liên kết cục bộ khử bớt các thành phần phản lực

- Có thể dùng nhiều hệ toạ độ để mô hình hoá từng phần của kết cấu

- Vật liệu có thể là tuyến tính đẳng hớng hoặc trực hớng và phi tuyến.

- Tải trọng bao gồm:

 Tải trọng tập trung tại nút

 áp lực lên phần tử

 ảnh hởng của nhiệt độ

 Tải trọng điều hoà, tải trọng di động, tải trọng phổ gia tốc…

- Ngoài ra, các phân tích kết cấu bao gồm:

 Phân tích tĩnh và động lực học

 Phân tích tuyến tính và phi tuyến (bao gồm cả phân tích về động đất)

 Phân tích P – delta.

 Phân tích cầu với tải trọng xe di động.

Phần mềm Geo slope –

Geo-slope là phần mềm nổi tiếng về địa kỹ thuật, chức năng của nó bao gồm: tính ổn định mái dốc, tính thấm theo phơng pháp phần tử hữu hạn, tính ứng suất biến dạng theo phơng pháp phần tử hữu hạn, tính truyền nhiệt theo phần tử hữu hạn, tính truyền chất, tính toán động đất.

Câu 4: Hãy cho biết các loại phần tử thanh và ma trận độ cứng phần tử của từng loại?

Có 7 loại phần tử thanh:

1 Phần tử thanh chịu kéo nén dọc trục

2 Phần tử thanh chịu uốn

3 Phần tử dầm chịu xoắn thuần tuý

4 Phần tử giàn phẳng

5 Phần tử khung phẳng

6 Phần tử giàn không gian

7 Phần tử khung không gian

1 Phần tử thanh chịu kéo nén dọc trục

Ma trận độ cứng của phần tử này là:

Trang 3

2 Phần tử thanh chịu uốn

3 Phần tử thanh chịu xoắn thuần tuý

4 Phần tử giàn phẳng

[ ]













−

=

a

EA a

EA k

[ ]













−

=

a

EJ a

EJ

k

z z

4 6

2 6

6 12

2 6

4 6

6 12

2 2

2 3

2 2

2 3

[ ]













−

=

a

EJ a

GJ k

x x

[ ]













−

=

0 0

a

EA a

EA

a

EA a

EA

k

Trang 4

5 Phần tử khung phẳng

6 Phần tử giàn không gian

7 Phần tử khung không gian

[ ]













−

=

a

EJ a

EA a

EJ a

EA a

EA

k

z z

4 6

0 2

6 0

6 12

0 6

12 0

0 0

2 6

0 4

6 0

6 12

0 6

12 0

0 0

2 2

2 3

2 2

2 3

[ ]













−

=

3 3

3

3 3

12 0

0

12 0

0

0 0

12 0

0 0

12 0

0

12 0

0

12 0

0

12 0

0 0

a

EJ a

EA a

EJ a

EA a

EA

k

y y

z

y y

z z

Trang 5

Câu 5: Trình bày tọa độ tự nhiên trong phần tử 1 chiều, 2 chiều và 3 chiều ?

1 Toạ độ tự nhiên trong phần tử 1 chiều

x

x2 x1

1 L1(x)

2 P

Vị trí điểm P bất kỳ trong toạ độ tổng quát Ox đợc xác định bằng toạ độ x, x biến đổi từ x1 đến x2

Toạ độ tự nhieen của điểm P gồm 2 toạ độ

L1(x) =

1 2

2 x x

x x

−

− , L2(x) =

1 2

1 x x

x x

−

L1(x), L2(x) là hàm của toạ độ tổng quát x của điểm M và của toạ độ nút x1 , x2, giữa chúng có quan hệ:

L1(x) + L2(x) = 1

[ ]













−

=

a

EJ a

GJ a

EJ a

EA a

EJ a

EA a

EA

k

z z

y y

x y

y y

z z

y y

y x

y y

z z

4 0 0

0 6

0 2

0 0

0 6

0

4 0

6 0

0 0

2 0

6 0

0

0 0

0

6 0

0 0

0

6 0

12 0

0 0

6 0

12 0

0

6 0

0 0

12 0 6

0 0

0 12

0

0 0

2 0 0

0 6

0 4

0 0

0 6

0

2 0

6 0

0 0

4 0

6 0

0

0 0

6 0

0 0

0

6 0

12 0

0 0

6 0

12 0

0

6 0 0

0 12

0 6

0 0

0 12

0

0 0

2 2

2

2 3

2 2

2

2 3

Trang 6

Vị trí của điểm P xác định qua hệ toạ độ tự nhiên:

x = L1(x)x1 + L2(x)x2

2 Tọa độ tự nhiờn của phần tử hai chiều (phần tử tam giỏc).

ξ

η

r e1

e2 3

2

1

P(x,y) j

y

Ta đưa vào tọa độ tổng quỏt (x, y) và tọa độ địa phương (ξ, η)

Vị trớ điểm P trong phần tử tam giỏc trong tọa độ xOy được xỏc định bằng vị trớ vộc

tơ OP :

→

r = xi + yj = x3i + y3j + ξe1 + ηe2

Đưa vào tọa độ tự nhiờn:

32

2 31

1

l L , l

Với:

l31e1 = (x1 – x3) i + (y1 – y3) j

l32e2 = (x2 – x3) i + (y2 – y3) j

⇒ →r = [L1x1 + L2x2 + (1 – L1 – L2)x3] i + [L1y1 + L2y2 + (1 – L1 – L2)y3] j

Khi đú vị trớ điểm P được xỏc định bởi 3 tọa độ tự nhiờn L1, L2, L3 như sau:

x = L1x1 + L2x2 + L3x3

y = L1y1 + L2y2 + L3y3

Với:

L3 = 1 – L1 – L2

Tọa độ tự nhiờn của phần tử ba chiều (phần tử tam giỏc).

3(0,0,1,0)

y 1(1,0,0,0)

4(0,0,0,1)

2(0,1,0,0) P(x,y,z)

x z

Trang 7

Đối với phần tử ba chiều ta sử dụng tọa độ thể tích dưới dạng tứ diện Quan hệ giữa tọa độ tổng quát x, y, z và tọa độ thể tích Li (i = 1, 2, 3, 4) như sau:

x = L1x1 + L2x2 + L3x3 + L4x4

y = L1y1 + L2y2 + L3y3 + L4y4

z = L1z1 + L2z2 + L3z3 + L4z4

C©u 6: Tr×nh bµy tÝch ph©n sè ?

Khi thiết lập ma trận độ cứng và véc tơ tải của phần tử đẳng tham số ta cần tính tích phân sau đây:

∫ ∫ ∫

− − −

ζ η ξ ζ η ξ 1

1

d d d ) , , ( Hàm f(ξ,η,ζ) đưới dấu tích phân nói chung rất phức tạp, ngay cả khi viết được dưới dạng tường minh, cho nên để được kết quả người ta thường dùng phép tích phân số

Nội dung của phép tích phân này là người ta chọn một số điểm trong phần tử, gọi là điểm tích phân, rồi tìm giá trị của hàm f tại điểm đó, sau đó căn cứ vào các giá trị số đó để tìm giá trị số của biểu thức tích phân

Với phép tích phân Gauss, có thể dùng tương đối ít số điểm tích phân mà vẫn cho độ chính xác tương đối cao

Công thức tích phân Gauss đối với hàm một biến.

Giả sử có hàm f(ξ) là một đa thức thì:

ξ

= ξ ξ 1

1

n

1

i i i

) ( f H d

) ( f Trong đó:

f(ξi) - Giá trị hàm f tại điểm tích phân ξi

Hi - Trọng số

n - Số lượng điểm tích phân

Với n = 2 ÷ 7 ta có tọa độ điểm tích phân và trọng số của tích phân Gauss như sau:

0,0000000000

0,5555555556 0,8888888889

0,3399810436

0,3478548451 0,6521451549 5

0,9061798459 0,5384693101 0,0000000000

0,2369268851 0,4786286705 0,5688888889 6

0,9324695142 0,6612093865 0,2386191861

0,1713244924 0,3607615731 0,4679139346

Trang 8

0,7415311856 0,4058451514 0,0000000000

0,2797053915 0,3818300505 0,4179591837

Cụng thức tớch phõn Gauss đối với hàm hai biến cú dạng như sau:

∑∑

∫ ∫ = =

− −

η ξ

= η ξ η

1 j

n

1

i i j i j

1

) , ( H H d

d ) , (

Số điểm tớch phõn theo một phương là n, theo hai phương là n2

Cụng thức tớch phõn Gauss đối với hàm ba biến cú dạng như sau:

Cụng thức này được dựng khi tớnh ma trận độ cứng của phần tử đẳng tham số

∑∑∑

∫ ∫ ∫ = = =

− − −

ζ η ξ

= ζ η ξ ζ η

1 m

n

1 j

n

1

i m i j i j m

1

) , , ( f H H H d

d d ) , , ( f

Số điểm tớch phõn theo cả ba phương là n3

Câu 7: Trình bày khái niệm cách xác định các ma trận độ cứng, véc tơ tải trọng trong

phần tử đẳng tham số của phần tử lục diện 8 điểm nút?

Khỏi niệm phần tử đẳng tham số:

Phần tử đẳng tham số là phần tử cú tớnh chất cỏc hàm nội suy tọa độ [N’] là đồng nhất với cỏc hàm nội suy chuyển vị [N], hay hàm dạng của phần tử và hàm nội suy tọa độ là như nhau

Đối với phần tử lục diện 8 điểm nỳt, hàm dạng cú dạng:

Ni(ξ,η,ζ) =

8

1 (1+ξξi)(1+ηηi)(1+ζζi) =

8

1 (1+ξ0)(1+η0)(1+ζ0) Quan hệ giữa tọa độ tự nhiờn và tọa độ tổng quỏt vuụng gúc:

x = ∑

=

8

1

i i i x

=

8

1

i i i y

=

8

1

i i i z N Quan hệ giữa hàm chuyển vị và chuyển vị nỳt:

u = ∑

=

8

1

i i i u

=

8

1

i i i v

=

8

1

i i i w N

Cỏch xỏc định ma trận độ cứng, vộc tơ tải trọng phần tử lục diện 8 điểm nỳt:

Biến dạng của phần tử:

{ε} = [B]{δ} = [B1 B2 B8]{δ} Trong đú:

[B] = [B1 B2 B8] {δ} = [u1 v1 w1 u8 v8 w8]T

Trang 9













∂

=

x

N 0

z N

y

N z

N 0

0 x

N y

N

z

N 0

0

0 y

N 0

0 0

x N

] B [

i i

i

Ứng suất trong phần tử được xác định theo quan hệ sau:

{σ} = [D][B]{δ} = [S]{δ} = [S1 S2 S8]{δ} Trong đó:

[S] = [S1 S2 S8] [Si] = [D][Bi] (i = 1, 2, , 8) Lực nút trên phần tử:

{P}e = [U1 V1 W1 U2 V2 W2 U8 V8 W8]T

Véc tơ tải trọng phần tử:

{P}e = [k]{δ}

Ma trận độ cứng được xác định như sau:

∫ ∫ ∫

∫

− − −

ζ η ξ

=

= 1

1

1 T V T

d d d J ] B ][

D [ ] B [

dV ] B ][

D [ ] B [ ] k [

Trong đó |J| là định thức của ma trận Jacobien, và lấy giá trị tuyệt đối

Với [J] được xác định như sau:













ζ

∂ ζ

∂

η

∂

∂ η

∂

∂ η

∂

ξ

∂

∂ ξ

∂

=

8

1 i

8

1

i 8

1

i i

i

8

1 i

8

1

i 8

1

i i

i

8

1 i

8

1

i 8

1

i i

i

z

N y

N x

N

z

N y

N x

N

z

N y

N x

N

] J [

Trang 10

























ζ

∂

∂ ζ

∂

η

∂

∂ η

∂

∂ η

∂

ξ

∂ ξ

∂

=

8 8 8

2 2 2

1 1 1

8 2

1

8 2

1

8 2

1

z y x

N

N N

N

N N

N

N N

Với [B] tớnh theo tọa độ tổng thể, [J] tớnh theo tọa độ cục bộ

Ma trận độ cứng của phần tử:













=

88 82

81

28 22

21

18 12

11

k

k k

k

k k

k

k k ] k [

Trong đú cỏc ma trận con:

∫ ∫ ∫

− − −

ζ η ξ

= 1

1

s

T r

rs] [B ] [D][B ]Jd d d

k

[

Câu 8: Các phơng trình cơ bản của PPPTHH trong bài toán động ?

Trong bài toỏn động, ngoài việc xột tới trọng lượng bản thõn của kết cấu, cỏc tải trọng khỏc, ta cũn phải để ý tới lực quỏn tớnh, lực cản phõn bố trong toàn bộ thể tớch của kết cấu

Biểu thức vộc tơ tải trọng phần tử được xỏc định như sau:

=

=∫

V

T

e [N] {p}dV }

P {

} { t dV ] N [ ] N [ } { t dV ] N [ ] N [ dV } p { ] N [

V

T V

2

2 T

V

t

∂

∂ β

− δ

∂

∂ ρ

−

Ta đặt:

∫

=

V

t T

e

t} [N] {p }dV

P

{ - Vộc tơ tải trọng tĩnh ở nỳt của phần tử

∫ ρ

=

V

T [N]dV

]

N

[

]

m

∫ β

=

V

T [N]dV

]

N

[

]

c

}

{

t

}

∂

=

}

{

t

}

2

δ

∂

=

Biểu thức trờn cú thể viết thành:

} ]{

[ } ]{

[ } { } {P P e m δ c δ

t

Nếu xột tới điều kiện cõn bằng ở tất cả cỏc nỳt trong kết cấu, ta cú được phương trỡnh cõn bằng động lực học của toàn bộ kết cấu như sau:

Trang 11

Trong đó:

[K] - Ma trận độ cứng của toàn bộ kết cấu

{∆} - Véc tơ chuyển vị nút của toàn bộ kết cấu

{Pt} - Véc tơ tải trọng tĩnh ở nút của toàn bộ kết cấu

[C] - Ma trận cản của kết cấu

[M] - Ma trận khối lượng của kết cấu

Trong trường hợp kết cấu chịu dao động cưỡng bức dưới tác dụng của lực kích thích thay đổi theo thời gian P(t) thì ta có:

)}

t ( P { } ]{

M [ } ]{

C

[

}

]{

K

[ ∆ + ∆ + ∆ =

C©u 9: Kh¸i niÖm, ý nghÜa vµ c¸c lo¹i phÇn tö bËc cao ?

Xét phần tử thanh chịu biến dạng dọc trục

Hàm xấp xỉ của chuyển vị là một đa thức bậc (n-1)

u(x) = α1 + α2x + α3x2 + + αnxn-1

Phần tử một chiều bậc cao:

• Đối với phần tử một chiều bậc hai có 3 nút:

Hàm chuyển vị là đa thức bậc 2 có 3 số hạng:

u(x) = α1 + α2x + α3x2 = [1 x x2] {α} = [C] {α} Với:

{δ} = [A] {α} Như vậy:

u(x) = [C] [A]-1 {δ} = [N] {δ} Với:

[N] = [N1 N2 N3] Các hàm dạng là:











 −

−

=











 −

=











 −











 −

=

l

x 2 1 l

x N

, l

x 1 l

x 4 N , l

x 1 l

x 2 1

Trong hệ tọa độ tự nhiên:

2 1

i 3 2

i 2 1

i 1

Trong đó các hệ số i

j

α (j = 1, 2, 3) được xác định từ điều kiện ở nút:

Ni (xj) =







≠

= ) j i ( 0

) j i ( 1

Ta có:

N1 = L1 (2L1 – 1), N2 = 4L1L2, N3 = L2 (2L1 – 1)

Hàm chuyển vị là đa thức bậc 3 có 4 số hạng:

u(x) = α1 + α2x + α3x2 + α4x3 = [1 x x2 x3] {α} = [C] {α}

[N] = [N1 N2 N3 N4] Các hàm dạng là:

Trang 12









 −











 −

=











 −











 −

−

=











 −











 −

=











 −











 −











 −

=

l 2

x 3 1 l

x N ,

l

x 1 l

x 3 1 l 2

x 9 N

l

x 1 l 2

x 1 l

x 9 N , l

x 1 l 2

x 3 1 l

x 3 1 N

4 3

2 1

Trong hệ tọa độ tự nhiên:

2

2 1

i 4 2 1

i 3 2

i 2 1

i 1

Trong đó các hệ số αij (j = 1, 2, 3, 4) được xác định từ điều kiện ở nút:

Ni (xj) =







≠

= ) j i ( 0

) j i ( 1

Ta có:

2 1 4

1 2

1 3

1 2

2 1 1

1

L 1 L L 2

9 N

, L 2

3 1 L L 9 N

L 3 1 L L 2

9 N

, L L 2

9 1 L N

−

=











 −

=

−

=











 −

=

Phần tử tam giác bậc cao:

Hàm xấp xỉ có dạng:

u = α1 + α2x + α3y + α4xy + α5x2 + α6y2

v = α7 + α8x + α9y + α10xy + α11x2 + α12y2

Tương ứng với 12 thông số độc lập, phần tử phải có 12 bậc tự do Ta có:

{f} =











 v

u = [N1 N2 N3 N4 N5 N6] {δ} Trong hệ tọa độ tự nhiên:

1 3

i 6 3 2

i 5 2 1

i 4 3

i 3 2

i 2 1

i 1

Trong đó các hệ số αij (j = 1, 2, , 6) được xác định từ điều kiện ở nút:

Ni (xj) =







≠

= ) j i ( 0

) j i ( 1

Ta có:

N1 = L1 (2L1 – 1), N2 = L2 (2L2 – 1), N3 = L3 (2L3 – 1)

N4 = 4L1L2, N5 = 4L2L3, N6 = 4L3L1

Phần tử có 20 bậc tự do, hàm xấp xỉ có dạng:

u = α1 + α2x + α3y + α4xy + α5x2 + α6y2 + α7x2y + α8xy2 + α9x3 + α10y3

v = α11 + α12x + α13y + α14xy + α15x2 + α16y2 + α17x2y + α18xy2 + α19x3 + α20y3

Tương ứng với 20 thông số độc lập, phần tử phải có 20 bậc tự do Ta có:

{f} =











 v

u = [N1 N2 N10] {δ} Trong hệ tọa độ tự nhiên:

L L L

L L

N =αi +αi +αi +αi +αi +αi +αi +αi

Trang 13

Trong đó các hệ số i

j

α (j = 1, 2, , 10) được xác định từ điều kiện ở nút:

Ni (xj) =







≠

= ) j i ( 0

) j i ( 1

Ta có:

) 3 , 2 , 1 i ( ) 2 L 3 )(

1 L 3 ( L 2

1

N4 =

2

9

L1L2 (3L1 – 1), N5 =

2

9

L1L2 (3L2 – 1), N6 =

2

9

L2L3 (3L2 – 1)

N7 = 2

9

L2L3 (3L3 – 1), N8 =

2

9

L3L1 (3L3 – 1)

N9 = 2

9

L1L3 (3L1 – 1), N10 = 27L1L2L3

• Đối với phần tử tam giác có 4 nút, gồm 3 nút ở đỉnh và 1 nút ở trung tâm:

Phần tử có 20 bậc tự do, hàm xấp xỉ có dạng:

u = N1u1 + N2u1,x + N3u1,y + N4u2 + N5u2,x + N6u2,y + N7u3 + N8u3,x + N9u4,y + N10u4

Trong đó:

N1 = 2

1

L (L1 + 3L2 + 3L3) – 7L1L2L3

N2 = 2

1

L (c3 - c2L3) + (c2 – c3) L1L2L3

N3 = 2

1

L (b2L3 – b3L2) + (b3 – b2) L1L2L3

N4 = 2

2

L (L2 + 3L3 + 3L1) – 7L1L2L3

N5 = 2

2

L (c1L3 – c3L1) + (c3 – c1) L1L2L3

N6 = 2

2

L (b3L1 – b1L3) + (b1 – b3) L1L2L3

N7 = 2

3

L (L3 + 3L1 + 3L2) – 7L1L2L3

N8 = 2

3

L (c2L1 – c1L2) + (c1 – c2) L1L2L3

N9 = 2

3

L (b1L1 – b2L1) + (b2 – b1) L1L2L3

N10 = 27L1L2L3

Phần tử tứ giác bậc cao:

• Đối với phần tử tứ giác bậc hai 8 nút:

Chọn hàm xấp xỉ:

u(ξ,η) = α1 + α2ξ + α3η + α4ξ2 + α5ξη + α6η2 + α7ξ2η + α8ξη2

Ma trận các hàm dạng:

[N] = [N1 N2 N8] Với:

Ni = 4

1 (1 + ξξi) (1 + ηηi) (ξξi + ηηi -1) (i = 1, 2, 3, 4)

N5 = 2

1 (1 - ξ2) (1 + ηη5), N6 =

2

1 (1 + ξξ6) (1 - η2)

N7 = 2

1 (1 - ξ2) (1 + ηη7), N8 =

2

1 (1 + ξξ8) (1 - η2)

Chọn hàm xấp xỉ:

ξη α α ξ α η α ξ2 α ξη α η2 α ξ3 α ξ2η α ξη2

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	303,5 KB