Giáo trình phương pháp phần tử hữu hạn , đại học GTVT

Hình 1.1 Tùy theo số lượng nút và cách bố trí nút trong mỗi PTHH, người ta phân biệt các loại phần tử tuyến tính và phần tử bậc cao, tương ứng với các dạng hàm chuyển vị tuyến tính và dạ

NGUYỄN XUÂN LỰU

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

NHÀ XUẤT BẢN GIAO THÔNG VẬN TẢI

HÀ NỘI - 2007

LỜI NÓI ðẦU

Trong những phương pháp tính toán kết cấu hiện nay, các phương pháp số, ñặc biệt là phương pháp phần tử hữu hạn ngày càng ñược ứng dụng rộng rãi Ở các trường ñại học kỹ thuật, môn học Phương pháp phần tử hữu hạn ñã ñược ñưa vào chương trình giảng dạy

ðể ñáp ứng yêu cầu học tập và nghiên cứu của sinh viên, chúng tôi biên soạn cuốn sách này nhằm cung cấp cho người ñọc những kiến thức cơ bản nhất của môn học, biết sử dụng phương pháp này ñể giải những dạng bài toán ñiển hình ñơn giản, từ ñó có cơ sở ñể vận dụng vào công tác tính toán, thiết kế công trình trong thực tế Sách cũng có thể làm tài liệu tham khảo cho các học viên cao học, các kỹ sư thiết kế cơ khí và công trình

ðể nắm vững môn học này người ñọc cần ôn lại hoặc bổ túc thêm các kiến thức về Cơ học vật rắn, Lý thuyết ñàn hồi, Lý thuyết ma trận, Phương trình ñạo hàm riêng Vì vậy ở cuối cuốn sách chúng tôi giới thiệu thêm về ðại cương Lý thuyết ñàn hồi như là Phần phụ lục của cuốn sách

Trong quá trình biên soạn cuốn sách, tác giả ñã nhận ñược nhiều ý kién ñóng góp quí báu của các bạn ñồng nghiệp, nhân ñây chúng tôi xin tỏ lòng cám ơn chân thành

Tác giả

Chương 1

KHÁI NIỆM CHUNG

VỀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

1.1 Mô hình rời rạc hóa kết cấu

Trong mấy chục năm gần ñây, kỹ thuật tính toán kết cấu ñã có những bước phát

triển mới do việc ứng dụng rộng rãi máy tính ñiện tử Một trong những phương pháp

tính toán ñang ñược sử dụng ngày càng nhiều và có hiệu quả là phương pháp phần tử

hữu hạn (sau ñây viết tắt là PTHH)

Phương pháp PTHH trong tính toán kết cấu là tổng hợp của nhiều bộ môn, vì nó

liên quan ñến kiến thức trong ba lĩnh vực sau ñây:

- Cơ học kết cấu: sức bền vật liệu, lý thuyết ñàn hồi, lý thuyết dẻo, ñộng lực học…

- Giải tích số: các phương pháp gần ñúng, giải hệ phương trình tuyến tính, bài

toán trị riêng…

- Tin học ứng dụng

Ý tưởng cơ bản của phương pháp PTHH trong tính toán kết cấu là coi vật thể liên

tục như là tổ hợp của nhiều phần nhỏ liên kết với nhau bởi một số hữu hạn các ñiểm, gọi

là nút Các phần nhỏ ñược hình thành gọi là các phần tử hữu hạn (gọi tắt là phần tử)

Hình dạng và kích thước các phần tử có thể khác nhau, tạo thành các mạng lưới khác

nhau Trên hình 1.1 giới thiệu một số sơ ñồ rời rạc hóa kết cấu liên tục thành mạng lưới

PTHH

Dĩ nhiên, quan niệm rời rạc hóa như vậy chỉ là gần ñúng Khi thay thế kết cấu

thực (hệ liên tục) bằng tổ hợp các phần tử như trên, người ta thừa nhận rằng, năng lượng

bên trong mô hình thay thế phải bằng năng lượng trong kết cấu thực Trong mỗi phần

tử, các ñại lượng cần tìm (thí dụ chuyển vị, ứng suất) ñược lấy xấp xỉ theo một dạng

hàm ñơn giản gọi là hàm xấp xỉ Các hàm xấp xỉ, thí dụ hàm xấp xỉ chuyển vị, phải thỏa

mãn ñiều kiện liên tục trên biên các phần tử tiếp xúc với nhau Trong một số trường

hợp, các ñiều kiện tương thích này chỉ thỏa mãn một cách gần ñúng

Người ta căn cứ vào hình dạng và tình hình chịu lực của kết cấu ñể chọn loại phần

tử thích hợp ðối với hệ thanh, lấy ñoạn dầm và thanh làm PTHH Với kết cấu tấm

phẳng thường sử dụng các phần tử hình tam giác, phần tử hình chữ nhật, phần tử hình tứ

giác có cạnh thẳng hoặc cong ðối với kết cấu vỏ, ngoài các loại phần tử tấm phẳng còn

sử dụng phần tử vỏ ðối với vật thể khối, thường dùng các loại phần tử hình tứ diện,

hình lập phương, hình lục diện Còn ñối với vật thể ñối xứng trục, thường dùng phần tử

hình vành khăn Hình 1.2a giới thiệu một số loại phần tử thường dùng

Hình 1.1 Tùy theo số lượng nút và cách bố trí nút trong mỗi PTHH, người ta phân biệt các loại phần tử tuyến tính và phần tử bậc cao, tương ứng với các dạng hàm chuyển vị tuyến tính và dạng hàm chuyển vị bậc cao Hình 1.2b giới thiệu 3 loại phần tử bậc cao

a)

b)

Hình 1.2 Khi phân tích các kết cấu có thể sử dụng các mô hình tính như sau:

1 Mô hình chuyển vị chọn chuyển vị ở các nút làm ẩn Các ẩn này ñược xác ñịnh

từ hệ phương trình cân bằng thành lập trên cơ sở nguyên lý thế năng toàn phần dừng

Trong tất cả các trường chuyển vị thỏa mãn các ñiều kiện tương thích và ñiều kiện biên ñộng học, thì trường chuyển vị tương ứng với sự cân bằng của vật thể sẽ làm cho thế năng toàn phần π ñạt giá trị dừng (ñạt giá trị cực tiểu)

0

trong ñó: π =U +V là hàm của các chuyển vị

U – thế năng biến dạng ñàn hồi của vật thể, biểu diễn bằng phần diện tích vẽ trên hình 1.3

V – công của ngoại lực sinh ra trên dịch chuyển của ngoại lực do vật thể bị biến dạng

Nếu hệ ở trạng thái ổn ñịnh, thế năng toàn phần có giá trị cực tiểu

Như vậy sau khi giả thiết một dạng hàm chuyển vị trong phần tử, từ ñiều kiện dừng của phiếm hàm π ta sẽ nhận ñược một hệ phương trình cân bằng trong khi các ñiều kiện liên tục ñã ñược thỏa mãn

Hình 1.3

2 Mô hình cân bằng chọn các ứng suất hay nội lực ở các nút làm ẩn Các ẩn này

ñược xác ñịnh từ hệ phương trình tương thích thành lập trên cơ sở nguyên lý cực tiểu của thế năng bù toàn phần Nguyên lý này phát biểu như sau:

Trong tất cả các trường ứng suất thỏa mãn ñiều kiện cân bằng và ñiều kiện biên tĩnh học, thì trường ứng suất thỏa mãn ñiều kiện tương thích sẽ làm cho thế năng bù toàn phần π∗

ñạt giá trị dừng

0

δπ∗ =δ ∗+δ ∗ = (1.2) trong ñó: π∗ =U∗+V∗ là hàm của các ứng suất

U∗ - thế năng bù của biến dạng, biểu diễn bằng phần diện tích phía trên

vẽ trên hình 1.3

V∗ - công bù của ngoại lực

Thông thường người ta hay sử dụng mô hình chuyển vị vì nó thuận lợi hơn cho việc tự ñộng hóa tính toán trên máy tính Do ñó trong tài liệu này chỉ ñề cập ñến mô hình chuyển vị của phương pháp PTHH

1.2 Hàm chuyển vị Hàm dạng

1.2.1 ða thức xấp xỉ Hàm chuyển vị

Nếu sử dụng mô hình chuyển vị trong phương pháp PTHH thì hàm xấp xỉ của ñại lượng cần tìm là hàm chuyển vị Hàm này mô tả gần ñúng chuyển vị của các ñiểm trong phần tử Thông thường người ta chọn hàm chuyển vị dưới dạng ña thức, bởi vì ở dạng

ña thức dễ ñạo hàm, tích phân, dễ thiết lập công thức khi xây dựng các phương trình cơ bản của phương pháp PTHH Bậc của ña thức và số lượng số hạng trong ña thức phụ thuộc vào bậc tự do của phần tử, tức là số chuyển vị ở tất cả các nút của phần tử ðiều này sẽ nói kỹ hơn khi phân tích những kết cấu cụ thể trong những phần sau

Các ña thức xấp xỉ phải thỏa mãn ñiều kiện hội tụ, tức là khi kích thước phần tử nhỏ dần thì kết quả sẽ hội tụ ñến lời giải chính xác Muốn vậy trong ña thức ñược chọn phải tồn tại số hạng tự do (hằng số) và tồn tại ñạo hàm riêng ñến bậc cao nhất trong phiếm hàm năng lượng

Thí dụ, ñối với bài toán một chiều có thể chọn:

1 1 1( )

n i i

Ta xem xét một PTHH hình tam giác trong bài toán phẳng của Lý thuyết ñàn hồi Phần tử có 3 nút là 3 ñỉnh của tam giác, nối khớp với các phần tử khác (hình 1.4) Mỗi nút có 2 bậc tự do, tức là có thể chuyển dịch theo 2 phương x và y Như vậy phần tử có

6 bậc tự do, chúng ñược biểu diễn bằng 6 chuyển vị ở các nút là u v u v u v Ta i, ,i j, j, m, m

gọi ñó là các chuyển vị nút Chúng hợp thành vectơ chuyển vị nút của phần tử:

{ }

i i j j m m

u v u v u v

Như ñã thấy, hàm chuyển vị (ña thức xấp xỉ) là hàm của các tọa ñộ, cho phép xác ñịnh chuyển vị tại một ñiểm bất kỳ trong phần tử Bây giờ ta tìm cách biểu diễn hàm chuyển vị theo các chuyển vị nút

Thí dụ hàm chuyển vị của phần tử tam giác có dạng:

( , )( , )

x y f

x y

α α α α α α

Ma trận [ ]N gọi là ma trận các hàm dạng, còn gọi là ma trận các hàm nội suy, vì

có thể từ chuyển vị các nút nội suy ra chuyển vị của ñiểm bất kỳ Các hàm dạng có một

ý nghĩa rất quan trọng khi phân tích kết cấu theo phương pháp PTHH

1.2.3 Lực nút

Khi vật thể chịu lực, trong các phần tử sinh ra các nội lực Phương pháp PTHH giả thiết rằng các nội lực này ñều truyền qua nút Các lực tác dụng lên nút gọi là lực nút,

ñó là lực tương tác giữa các phần tử liên kết với nhau tại nút do các chuyển vị nút sinh

ra ðương nhiên tại các nút còn có thể có các ngoại lực (tải trọng) Nếu tải trọng không ñặt tại nút thì phải dời về nút theo phép biến ñổi tương ñương

Trong mỗi phần tử các lực nút hợp thành vectơ lực nút { }e

F Vectơ này có số thành phần bằng số thành phần của vectơ chuyển vị nút, ñược sắp xếp tương ứng với vectơ chuyển vị nút Thí dụ ñối với phần tử tam giác phẳng ở hình 1.4, ta có vectơ lực nút (hình 1.5a) là:

1.3 Phương trình cơ bản của phương pháp PTHH

1.3.1 Các quan hệ chuyển vị, biến dạng, ứng suất trong phần tử

Theo mô hình chuyển vị của phương pháp PTHH, ñại lượng cần tìm ñầu tiên là chuyển vị ở các nút Sau khi chọn hàm xấp xỉ của chuyển vị, ta xác ñịnh ñược trường chuyển vị theo chuyển vị nút:

Từ ñó theo (1.15) ta có vectơ ứng suất:

hay { } σ = [ ]S { } δ (1.19) trong ñó: [ ] [ ][ ]S = D B (1.20)

Giả sử một PTHH có thể tích V e chịu tác dụng của lực thể tích p và lực bề mặt q

trên diện tích S e Thế năng toàn phần của phần tử là U ecó thể viết dưới dạng:

12

P còn gọi là lực nút tương ñương

Trong trường hợp ở nút có tồn tại lực tập trung

{ }

1 2

e

n

R R R

thì phải cộng thêm các lực tập trung này vào vectơ tải { }e

P

Theo nguyên lý cực tiểu thế năng toàn phần, ñiều kiện cân bằng tại các nút của phần tử là:

1.3.3 Ma trận ñộ cứng tổng thể Vectơ tải tổng thể Phương trình cơ bản của hệ

Sau khi thiết lập ñược các ma trận ñộ cứng phần tử và vectơ tải phần tử của tất cả các phần tử trong mạng lưới kết cấu, ta cần phải tổ hợp tất cả chúng lại thành ma trận ñộ cứng tổng thể [ ]K và vectơ tải tổng thể [ ]P của kết cấu, từ ñó xây dựng phương trình

cơ bản ñối với toàn bộ kết cấu

Việc tổ hợp này có nghĩa là phải sắp xếp các thành phần trong các ma trận [ ]k của các phần tử vào các vị trí thích hợp trong ma trận [ ]K , và các thành phần trong các ma trận { }e

trong ñó: [ ]L e là ma trận ñịnh vị của phần tử, nd là số chuyển vị nút trong mỗi

phần tử, n là số chuyển vị nút trong toàn bộ kết cấu Thí dụ có thanh

chịu kéo như hình 1.6

Hình 1.6 Chia thanh thành 4 phần tử, 5 nút ñánh số như hình vẽ Vectơ chuyển vị nút tổng thể:

5 4 3 2

2 3

4 5

với [ ] [ ] [ ][ ]

1

e T

e e

1.4 Trình tự tính kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn

Quá trình giải bài toán tính kết cấu theo phương pháp PTHH bao gồm các bước sau ñây:

(1) Rời rạc hóa kết cấu, tức là chia kết cấu thành mạng lưới các PTHH Việc chọn loại phần tử và số lượng phần tử tùy thuộc vào tính chất và ñộ chính xác yêu cầu của bài toán

(2) Chọn hàm xấp xỉ chuyển vị mô tả chuyển vị của các ñiểm trong PTHH

(3) Thiết lập ma trận ñộ cứng của từng PTHH Nếu hệ tọa ñộ phần tử và hệ tọa ñộ kết cấu không trùng nhau thì phải thực hiện phép biến ñổi tọa ñộ

(4) Thiết lập ma trận ñộ cứng tổng thể và vectơ tải tổng thể của toàn bộ kết cấu

(5) Thành lập hệ phương trình cơ bản của kết cấu có dạng:

Cần chú ý là ma trận ñộ cứng [ ]K là ma trận suy biến vì ta ñã coi phần tử có chuyển ñộng tự do (chuyển ñộng cố thể) Do ñó cần sử dụng các ñiều kiện biên ñộng học ñể thành lập vectơ chuyển vị nút { }∆ chỉ chứa các chuyển vị nút là ẩn, và tương ∗

Câu hỏi ôn tập

5 Ý nghĩa hàm dạng của phần tử hữu hạn khi tính theo mô hình chuyển vị

6 Nêu các tính chất chủ yếu và cách thiết lập ma trận ñộ cứng tổng thể và cách thiết lập vectơ tải tổng thể

7 Trình bày trình tự giải một bài toán tính kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn

Chương 2

TÍNH HỆ THANH 2.1 Phần tử hữu hạn trong hệ thanh

Trong các hệ thanh như kết cấu giàn, kết cấu khung, các ñoạn thanh hình lăng trụ ñược coi là các PTHH

Trong kết cấu thanh, các thành phần chuyển vị của phần tử là hàm của một biến, tức là chỉ thay ñổi dọc theo trục thanh, do ñó bài toán hệ thanh là bài toán một chiều Ở kết cấu giàn, các phần tử chịu biến dạng kéo hoặc nén, còn ở kết cấu khung phẳng các phần tử còn chịu thêm biến dạng uốn Nếu là khung không gian còn có thể có thêm biến dạng xoắn Vì vậy ñể dễ dàng nghiên cứu và tổng hợp, ta lần lượt phân tích ba loại phần

tử nói trên

2.1.1 Phần tử thanh chịu kéo (nén) dọc trục

Có một phần tử thanh hình lăng trụ có tiết diện không ñổi A, chiều dài a, chịu kéo

Hình 2.1 Chọn hệ tọa ñộ như hình vẽ Phần tử thanh có 2 nút là hai ñầu thanh, nút ñầu là i, nút cuối là j, với các chuyển vị nút là δivà δj Vì các chuyển vị nút ñều có phương trùng với trục x nên ta có thể viết vectơ chuyển vị nút:

u u

δ δ δ

Chuyển vị tại nút i (x = 0) là u i , tại nút j (x = a) là u j, thay vào (2.2) ñược

1

i j

1 01

i j

u

α α

[ ]

1 2

Trên hình 2.2 là biểu ñồ của các hàm dạng N x1( ) , N x và biểu ñồ của chuyển 2( )

vị ( )u x

Hình 2.2 Bây giờ ta xét biến dạng và ứng suất trong phần tử

Phương trình biến dạng Cauchy biểu diễn quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị trong bài toán một chiều có dạng

x

u x

hay viết dưới ma trận

Ta có thể biểu diễn ứng suất qua chuyển vị nút

hay { } σ =[ ]S { } δ (2.19)

gọi là ma trận tính ứng suất

Ta nhận thấy, do biến dạng là hằng số nên ứng suất trong phần tử cũng là hằng số

Ma trận ñộ cứng phần tử ñược thiết lập dựa vào công thức (1.24):

a

x a

q x dx x

e

q a P

Trường hợp phần tử có biến thiên nhiệt ñộ ∆T với hệ số dãn nhiệt α thì

11

2.1.2 Phần tử thanh chịu uốn

Phần tử thanh có tiết diện không ñổi A , chiều dài a Chọn trục x là trục thanh,

trục y là một trục quán tính chính trung tâm của tiết diện thanh (hình 2.4)

Tại 2 nút i và j có các thành phần chuyển vị thẳng theo phương y là ,v v và các i j

thành phần chuyển vị góc (góc quay quanh trục z) là θzi,θzj Trên hình vẽ các chuyển vị

có dấu dương Ta có vectơ chuyển vị nút

{ }

i zi j zj

v

v

θ δ θ

{ }

i

j zj

V M F

V M

3 4

1

α α α α

1

2 0

zj

x a

v

v x

3 2 4

Các hàm dạng này còn gọi là hàm nội suy Hermite

Theo lý thuyết uốn của dầm, nếu trên phần tử thanh không có lực phân bố tác dụng (ñiều này phù hợp với giả thiết của phương pháp PTHH là ñưa tải trong trên phần

tử về các nút) thì ñộ võng của thanh phải thỏa mãn phương trình vi phân

4

d v EJ

Chuyển vị tính theo (2.27) rõ ràng có thể thỏa mãn phương trình (2.41) ðồ thị các hàm dạng và ñồ thị của chuyển vị (xấp xỉ) ñược biểu diễn trên hình 2.5

Theo lý thuyết dầm ta có công thức tính biến dạng (ở ñây là ñộ cong):

v x

3 4

α α

α α

Vẫn sử dụng công thức (1.24), trong ñó [ ]B lấy theo (2.44) và [ ]D lấy theo (2.45) Khi tích phân cần chú ý rằng, tích phân

2

z A

Vectơ lực nút tương ñương theo (1.25) ta có:

Trường hợp tải trọng q(x) phân bố trên toàn bộ chiều dài phần tử:

T a e

b)

2.1.3 Phần tử thanh chịu xoắn thuần túy

Phần tử chịu ngẫu lực xoắn phân bố m x dọc trục thanh Chuyển vị của thanh ( )ñược ñặc trưng bởi góc xoắn ( )θ x (hình 2.7)

Hình 2.7 Vectơ chuyển vị nút có dạng

xj

θ δ θ

trong ñó: G - mô ñun ñàn hồi trượt của vật liệu

J - mô men quán tính cực của tiết diện x

Ta cũng có công thức tính hàm dạng

m a P

Cách làm theo các bước như sau:

- Cố ñịnh hai ñầu phần tử, tức là gắn cứng các nút, sau ñó tính các phản lực ở ngàm theo phương pháp của Cơ học kết cấu

- Xác ñịnh lực nút tương ñương bằng cách bỏ ngàm (trở lại dạng ban ñầu của phần tử) và ñổi chiều các phản lực vừa tính ñược

Thí dụ phần tử thanh chịu lực tập trung ñặt giữa thanh (hình 2.8) ta có

Trên Bảng 1.1 giới thiệu giá trị phản lực nút trong phần tử thanh 2 ñầu cố ñịnh ở một số trường hợp tải trọng thường gặp khi tính hệ thanh phẳng

22

Ma trận ñộ cứng của phần tử khung phẳng là tổ hợp của ma trận ñộ cứng phần tử chịu kéo (nén) và phần tử chịu uốn phẳng

ðối với phần tử giàn không gian (hình 2.11a) vectơ chuyển vị nút có dạng:

Như vậy tổng hợp các công thức ma trận ựộ cứng phần tử ở (2.22), (2.47), (2.56)

ta ựược ma trận ựộ cứng phần tử khung không gian có cấp 12 12ừ biểu thị ở công thức (2.68)

Qua phân tắch các công thức ma trận ựộ cứng nêu trên, ta thấy ma trận ựộ cứng phần tử có những tắnh chất sau ựây:

- đó là một ma trận vuông ựối xứng, tức là các thành phần ựối xứng với nhau qua ựường chéo chắnh thì bằng nhau

Tính chất này xuất phát từ ñịnh lý tương hỗ của chuyển vị Nó ñược dùng một

cách có hiệu quả ñể kiểm tra việc tính ma trận ñộ cứng Trong quá trình tính ma trận

[ ]k chỉ cần xác ñịnh các phần tử phía trên bên phải ñường chéo chính (k với ij j ≥ ), còn 1

các phần tử phía dưới bên trái ñường chéo chính (k với ij j < ) thì xác ñịnh theo 1quan hệ:

Cấp của ma trận ñộ cứng phần tử cùng cấp với vectơ chuyển vị nút phần tử

- Ma trận ñộ cứng là ma trận suy biến, tức là ñịnh thức của ma trận bằng không

Tính chất này xuất phát từ ñặc tính là PTHH cho phép có chuyển vị cố thể

Các tính chất nêu trên không chỉ ñúng ñối với phần tử thanh mà cũng ñúng với

các loại phần tử khác

2.2 Biến ñổi tọa ñộ

Trên ñây, khi xác lập các vectơ chuyển vị nút và vectơ tải phần tử cũng như thiết

lập ma trận ñộ cứng của PTHH, ta ñều chọn hệ tọa ñộ như sau: coi trục x là trục thanh,

các trục y và z là các trục quán tính chính của mặt cắt ngang của thanh, và chiều dương của trục x, y, z xác ñịnh theo qui tắc tam diện thuận

Trong kết cấu thanh (giàn, khung…) thường các phần tử (thanh) có phương khác nhau, nên nói chung hệ tọa ñộ của từng phần tử không giống nhau Hệ tọa ñộ riêng ñối

với từng phần tử, ta gọi là hệ tọa ñộ phần tử hoặc hệ tọa ñộ ñịa phương Khi tính kết

cấu gồm nhiều phần tử, ñể thuận tiện khi thành lập các phương trình cân bằng, người ta

cần sử dụng một hệ tọa ñộ chung cho toàn bộ kết cấu, gọi là hệ tọa ñộ kết cấu hoặc hệ

tọa ñộ tổng quát

Vì vậy, trước khi bắt tay vào việc lập phương trình cân bằng ở tất cả các nút, cần phải biến ñổi quan hệ giữa chuyển vị nút và tải trọng nút trong hệ tọa ñộ phần tử thành quan hệ giữa chuyển vị nút và tải trọng nút trong hệ tọa ñộ kết cấu Phép biến ñổi ñó gọi

là phép biến ñổi tọa ñộ

trong ñó: ϕ là góc giữa trục x′ với trục x

Tương tự, quan hệ giữa các lực trong hai hệ tọa ñộ là: ϕ

u v

u v

zj j j zi i i

v u

v u

θθ

trong ñó: [ ] [ ] [ ][ ]T

là ma trận ñộ cứng của phần tử trong hệ tọa ñộ tổng quát

Bây giờ ta thành lập công thức tổng quát ñể xác ñịnh ma trận biến ñổi, dựa vào các quan hệ của hình học giải tích

ðối với phần tử khung không gian, ta có:

λ là côsin của góc từ trục m của hệ tọa ñộ ñịa phương ñến trục

n′ của hệ tọa ñộ tổng quát (m=x y z n, , , ′=x y z′ ′ ′, , )

Từ ñó ta có

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

’

Trường hợp giàn không gian:

λλ

2.3.1 Phương pháp thiết lập ma trận ñộ cứng tổng thể và vectơ tải tổng thể

Trên ñây ta ñã có công thức (1.37) thiết lập ma trận ñộ cứng của kết cấu

1

e n T

trong ñó: ma trận [ ]K và [ ]k ñược thiết lập trong hệ tọa ñộ tổng quát, [ ]L elà ma

trận ñịnh vị của phần tử, cho ta biết các thành phần trong ma trận

[ ]k chiếm vị trí nào trong ma trận [ ]K

a) b)

Hình 2.13

Ta xem một thí dụ về giàn phẳng ở hình 2.13a

Chia hệ thành 5 phần tử, 4 nút, ñánh số như hình vẽ Các chuyển vị nút ñược vẽ trên hình 2.13b

Vectơ chuyển vị nút của các phần tử trong hệ tọa ñộ tổng quát là

3 2

3 2

,

u u

v v

u u

v v

Ta có quan hệ giữa { } δ và { }∆ qua ma trận ñịnh vị [ ]L như sau:

{ } { } { } { } { }

1 2 3 4 5

u v u v u v u v

{ }

4

2 2

(1)(2)(3)(4)

u v u v

Chỉ số tổng thể dùng ñể chỉ thứ tự sắp xếp các chuyển vị nút trong vectơ chuyển

vị nút tổng thể { }∆ Thí dụ với kết cấu giàn ở hình 2.13 ta có hệ thống chỉ số tổng thể:

T

∆ = (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

Căn cứ vào các chỉ số cục bộ ta ñánh số ñược các thành phần trong vectơ tải phần

vị trí (cùng chỉ số hàng và chỉ số cột như vậy) trong ma trận [ ]K

ðối với giàn phẳng trên ñây ta thành lập ñược bảng các chỉ số tổng thể tương ứng với các chỉ số cục bộ như sau:

Như vậy ta thấy thành phần k trong 11 [ ]2

k của phần tử 2 sẽ chiếm vị trí của K 33

trong ựó: m là số hạng c ei tức là số hạng ở hàng thứ e và cột thứ i trong ma trận

[ ]c , và n là số hạng c ej tức là số hạng ở hàng thứ e và cột thứ j trong

ma trận [ ]c đối với vectơ tải tổng thể ta cũng làm tương tự Thành phần { }e

Vectơ tải tổng thể của giàn có dạng:

Dưới ựây nêu mấy tắnh chất quan trọng của ma trận ựộ cứng tổng thể

(1) đó là một ma trận ựối xứng Tắnh chất này giúp cho việc tắnh toán ựược thuận tiện hơn rất nhiều Khi tắnh toán chỉ cần lưu trữ phần trên bên phải ựường chéo chắnh của [ ]K , phần còn lại không cần lưu trữ do quan hệ K ij =K ji Ngoài ra tắnh chất này còn dùng ựể kiểm tra chương trình tắnh ma trận ựộ cứng

(2) đó là một ma trận suy biến Thắ dụ xét ma trận ở (2.89) Nếu lấy tổng của tất

lượng lưu trữ trong bộ nhớ của

máy và thời gian giải, do ñó ảnh

hưởng trực tiếp tới kích thước của

bài toán Ta so sánh 2 trường hợp

ñánh số sau ñây ñối với một tấm

phẳng chịu uốn

Trường hợp a): q = 3, d = 4 , B = 2(4+1)3-1 = 29 Trường hợp b): q = 3, d = 6 , B = 2(6+1)3-1 = 41