đại số 10 nâng cao + cơ bản đầy đủ

đại số 10 nâng cao + cơ bản đầy đủ tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩ...

2 có phải là số nguyên không? e) 5+4 là số vô tỉ

1.2 Tìm giá trị của x để được một mệnh đúng, mệnh đề sai

a) P(x):”3x2+2x1=0” b) Q(x):” 4x+3<2x1”

1.3 Cho tam giác ABC Lập mệnh đề PQ và mệnh đề đảo của nó, rồi xét tính đúng sai, với:

a) P: “ Góc A bằng 900” Q: “ BC2=AB2+AC2”

b) P: “A  B” Q: “ Tam giác ABC cân”

1.4 Phát biểu bằng lới các mệnh đề sau Xét tính đúng/sai và lập mệnh đề phủ định của chúng

x x

1.6 Tìm giá trị của m để được mệnh đề đúng, mệnh đề sai

a) P(m): “ m< m” b) Q(m): “m< 1

m” c) R(m): “ m=7m” 1.7 Phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng

a) P: “ 15 không chia hết cho 3”

b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trên

c) Chỉ ra một giá trị x mà mệnh đề đảo sai

1.12 Cho tam giác ABC Xét mệnh đề P: “AB=AC”, Q: “Tam giác ABC cân”

a) Phát biểu PQ, cho biết tính đúng sai

b) Phát biểu mệnh đề đảo QP

1.13 Cho tam giác ABC Phát biểu mệnh đề đảo của các mệnh đề sau:

a) Nếu AB=BC=CA thì tam giác ABC đều;

b) Nếu AB>BC thì C  A;

c) Nếu A=900 thì ABC là tam giác vuông

WWW.ToanCapBa.Net

WWW.ToanCapBa.Net

-2-

1.14 Dùng kí hiệu  hoặc  để viết các mệnh đề sau:

a) Có một số nguyên không chia hết cho chính nó;

b) Mọi số thức cộng với 0 đều bằng chính nó;

c) Có một số hữu tỉ nhỏ hơn nghịch đảo của nó;

d) Mọi số tự nhiên đều lớn hơn số đối của nó

1.15 Phát biểu bằng lời các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng

a)  x  : x2≤ 0 b)  x  : x2≤0

c)  x  :

21

1 1

x

x x

21

1 1

x

x x

1.17 Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và chó biết tính đúng saicủa chúng

a) Mọi hình vuông là hình thoi;

b) Có một tam giác cân không phải là tam giác đều;

1.18 Xét xem các mệnh đề sau đây đúng hay sai và lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề:

1.21 Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện đủ":

a) Trong mặt phẳng, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc một đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng ấy song song nhau

b) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau

c) Nếu một số tự nhiên tận cùng là chữ số 5 thì chia hết cho 5

d) Nếu a+b > 5 thì một trong hai số a và b phải dương

1.22 Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện cần":

a) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúngcó các góc tươmg ứmg bằng nhau

b) Nếu tứ giác T là một hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc nhau

c) Nếu một số tự nhiên chia hết cho thì nó chia hết cho 3

d) Nếu a=b thì a2=b2

1.23 Phát biểu định lí sau, sử dụng “điều kiện cần và đủ”

“Tam giác ABC là một tam giác đều khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác cân và có một góc bằng

600”

1.24 Hãy sửa lại (nếu cần) các mệnh đề sau đây để được mệnh đề đúng:

a) Để tứ giác T là một hình vuông, điều kiện cần và đủ là nó có bốn cạnh bằng nhau

b) Để tổng hai số tự nhiên chia hết cho 7, điều kiện cần và đủ là mỗi số đó chia hết cho 7

c) Để ab>0, điều kiện cần là cả hai số a và b điều dương

d) Đề một số nguyên dương chia hết cho 3, điều kiện đủ là nó chia hết cho 9

1.25 Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Giải thích

a) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau

b) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng

c) Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi có một góc(trong) bằng tổng hai góc còn lại

d) Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi nó có hai trung tuyến bằng nhau và có một góc bằng 600

7)  (42 < 0) e/ (5.12 > 4.6)  (2 < 10) f) (1< 2 )  7 là số nguyên tố

2 Phủ định các mệnh đề sau :

a/ 1 < x < 3 b/ x 2 hay x  4

c/ Có một ABC vuông hoặc cân

d/ Mọi số tự nhiên đều không chia hết cho 2 và 3

e/ Có ít nhất một học sinh lớp 10A học yếu hay kém

B SUY LUẬN TOÁN HỌC

5 Phát biểu định lý sau dưới dạng "điều kiện đủ"

a/ Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng đồng dạng

b/ Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau c/ Nếu a + b > 2 thì a > 1 hay b > 1

d/ Nếu một số tự nhiên có chữ số tận cùng là số 0 thì nó chia hết cho 5

e/ Nếu a + b < 0 thì ít nhất một trong hai số phải âm

6 Phát biểu định lý sau dưới dạng "điều kiện cần"

a/ Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau

b/ Nếu hai tam giác bằng nhau thì nó có các góc tương ứng bằng nhau

c/ Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3

e/ Nếu x.y chia hết cho 2 thì x hay y chia hết cho 2

n 

a) 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n.(n + 1) =

3

)2n)(

1n(

n  

b)

1n

n)1n.(

n

1

4.3

13.2

12

n)1n).(

1n(

1

7.5

15.3

13

1n(

n  

e) 13 + 23 + 33 + + n3 =

4

)1n(

1.3 a) PQ: “ Nếu góc A bằng 900 thì BC2=AB2+AC2” đúng

QP: “ Nếu BC2=AB2+AC2 thì góc A bằng 900 ” đúng

b) PQ: “A  B thì tam giác ABC cân” đúng

Q P:” “Nếu tam giác ABC cân thì A  B” sai (vì có thể A  C

1.4 a)  x  : x2=1; “ Có một số thực mà bình phương của nó bằng 1” sai

 x  : x2≠1; “ Với mọi số thực, bình phương của nó đều khác 1”

b)  x  :x2+x+2≠0; “ Với mọi số thực đều có x2+x+2≠0”  đúng

x x

1.9 a) Nếux là số hữu tỉ thì x2 là một số hữu tỉ  Đúng

b) Nếu x2 là một số hữu tỉ thì x là số hữu tỉ

c) Khi x= 2 mệnh đề đảo sai

1.10 b) mệnh đề đảo đúng

c) x=1 thì PQ sai

1.11 a) PQ đúng

b) QP đúng

1.12 a) Nếu AB=AC thì tam giác ABC cân đúng

b) Nếu tam giác ABC cân thì AB=AC , khi AB=BC≠AC  mđ sai

1.13 a) Nếu tam giác ABC đều thì AB=BC=CA cả hai đúng

b) Nếu AB>BC thì C  A;  đúng và mđ đảo đúng

c) Nếu A=900 thì ABC là tam giác vuông  đúng và mđ đảo sai (vuông tại B hoặc C) 1.14 a)  n  : n không chia hết cho n b)  x  : x+0=0

c)  x  : x<1

x d)  n  : n>n 1.15 Phát biểu bằng lời các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng

a) Bình phương mọi số thực đều nhỏ hơn hoặc bằng 1 sai

b) Có một số thực mà bình phương của nó nhỏ hơn hoặc bằng 0đúng

c) Với mọi số thực , sao cho

21

1 1

x

x x



 

  Sai d) Có số thực, sao cho

21

1 1

x

x x

  Đúng e) Với mọi số thực x, sao cho x2+x+1>0 đúng

f) Có một số thực x, sao cho x2+x+1>0 đúng

1.16 a)  x  : x.1≠x  sai

b)  x  : x x ≠1 đúng

c)  n  : n≥n2 đúng

1.17 a) “Có ít nhất một hình vuông không phải là hình thoi” sai

b) “Mọi tam giác cân là tam giác đều” sai

1.18 Xét xem các mệnh đề sau đây đúng hay sai và lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề:

n2+1 = 4(k2+k)+2 không chia hết cho 4

Mđ phủ định “  n  , n2+1 không chia hết cho 4”

WWW.ToanCapBa.Net

WWW.ToanCapBa.Net

-6-

H G

P Q

M N A

1.20 tương tự 1.19

1.21 Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện đủ":

a) Trong mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc một đường thẳng thứ ba là điều kiện đủ

để hai đường thẳng ấy song song nhau

b) Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để chúng có diện tích bằng nhau

c) Số tự nhiên tận cùng là chữ số 5 là điều kiện đủ để số đó chia hết cho 5

d) a+b > 5 là điều kiện đủ để một trong hai số a và b dương

1.22 Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện cần":

a) Điều kiện cần để hai tam giác bằng nhau là chúng có các góc tươmg ứmg bằng nhau

b) Điều kiện cần để tứ giác T là một hình thoi là nó có hai đường chéo vuông góc nhau

c) Điều kiện cần để một số tự nhiên chia hết cho là nó chia hết cho 3

d) Điều kiện cần để a=b là a2=b2

1.23 Phát biểu định lí sau, sử dụng “điều kiện cần và đủ”

“Tam giác ABC là một tam giác đều là điều kiện cần và đủ để tam giác ABC là tam giác cân và có một

góc bằng 600”

1.24 Hãy sửa lại (nếu cần) các mệnh đề sau đây để được mệnh đề đúng:

a) Sai “Tứ giác T là một hình vuông là điều kiện đủ để nó có bốn cạnh bằng nhau”

b) Sai “Tổng hai số tự nhiên chia hết cho 7 là điều kiện cần để mỗi số đó chia hết cho 7

c) Sai “ ab>0 là điều kiện cần để hai số a và b dương”

d) Đúng

1.25 Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Giải thích

a) Sai Vì khi diện tích bằng nhau thì chỉ cần 1 cạnh và đường cao ứng với cạnh đó bằng nhau

d) Đúng Vì ABC đều thì 2 trung tuyến bằng nhau

Ngược lại, nếu BM=CN Lấy Q đối xứng của C qua N, P đối xứng B qua M Khi đó AQBC và APCB là hai hình bình hành bằng nhau

Mà CQ=BP AB=AC ABC cân

§2 TẬP HỢP

1 Tập hợp là khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa

- Tập hợp thường được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa như: A, B, C, D, các phần tử của tập hợp đặt trong cặp dấu { }

- Để chỉ phần tử a thuộc tập hợp A ta viết a A, ngược lại ta viết a  A

- Tập hợp không chứa phần tử nào gọi là tập rỗng Khí hiệu 

I={ x | x là ước nguyên dương của 12}

J={x | x là bội nguyên dương của 15}

K= {n  | n là ước chung của 6 và 14}

2.7 Tập A = {1,2,3,4,5,6} có bao nhiêu tập con gồm hai phần tử ? Để giải bài toán , hãy liệt kê tất cả các tập

con của A gồm hai phần tử rồi đếm số tập con này Hãy thử tìm một cách giải khác

2.8 Liệt kê tất cả các phần tử của mỗi tập sau:

2, 7

3, 9

4}

3 Tìm tất cả các tập con của tập hợp sau :

A x

A x

4 Phép lấy phần bù: Nếu A  E thì C E A = E\A = x ,xE và xA

2 },

T= {x  | 2x24x+2=0} Tính R  S, S  T, R\S

3.4 Cho A={0;2;4;6;8}, B={0;1;2;3;4}, C={0;3;6;9} Tính

2 Các tập con thường dùng của

-Tìm giao của các khoảng ta biểu diễn các khoảng đó trên cùng một trục số Phần còn lại sau khi đã

gạch bỏ chính là giao của hai tập hợp

-Tìm hợp của các khoảng ta viết các khoảng đó trên cùng một trục số,sau đó tiến hành tô đậm từng

khoảng Hợp của các khoảng là tất cả các tô đậm trên trục số

-Tìm hiệu của hai khoảng (a;b)\(c,d) ta tô đậm khoảng (a;b) và gạch bỏ khoảng (c;d), phần tô đậm

///////////////////(

////////////[ ) /////////

]/////////////////////

///////////////////[

0

Ví dụ: giá trị gần đúng của  là 3,14 hay 3,14159; còn đối với 2 là 1,41 hay 1,414;…

Như vậy có sự sai lệch giữa giá trị chính xác của một đại lượng và giá trị gần đúng của nó Để đánh giá mức

độ sai lệch đó, người ta đưa ra khái niệm sai số tuyệt đối

2 Sai số tuyệt đối:

a) Sai số tuyệt đối của số gần đúng

Nếu a là số gần đúng của a thì a=|aa| được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a

b) Độ chính xác của một số gần đúng

Trong thực tế, nhiều khi ta không biết a nên ta không tính được a Tuy nhiên ta có thể đánh giá a

không vượt quá một số dương d nào đó

Nếu a ≤ d thì ad≤a≤ a+d, khi đó ta viết a=a ± d

Nếu

|

| a

d

càng nhỏ thì chất lượng của phép đo đạc hay tính toán càng cao

* Sai số tuyệt đối không nói lên chất lượng của xắp xỉ mà chất lượng đó được phản ánh qua sai số tương đối Sai số tương đối càng nhỏ thì độ chính xác càng lớn

3 Quy tròn số gần đúng

* Nguyên tắc quy tròn các số như sau:

- Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay chữ số đó và các chữ số bên phải nó

bởi 0

- Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn lớn hơn hay bằng 5 thì ta thay chữ số đó và các chữ số bên phải nó

bởi 0 và cộng thêm một đơn vị vào số hàng vi tròn

Ví dụ 1: Quy tròn số 7216,4 đến hàng chục là 7220(vì chữ số ở hàng quy tròn là 1 chữ số sau nó là 6)

Ví dụ 2: Quy tròn số 2,654 đến hàng phần trăm là 2,65(vì chữ số ở hàng qui tròn là 1 chữ số sau nó là

4)

Ví dụ 3: Quy tròn số 2,649 đến hàng phần chục là 2,6(vì chữ số ở hàng qui tròn là 6 chữ số sau nó là 4)

Chú ý: Khi thay số đúng bởi số quy tròn thì sai số tuyệt đối nhỏ hơn nửa đơn vị hàng quy tròn

Ở vd1 ta có a=|7216,4-7220|=3,6<5 (hàng quy tròn là hàng chục)

Ở vd2 ta có a=|2,654-2,65|=0,004 <0,005 (hàng quy tròn là hàng phần trăm 0,01)

* Các viết số quy tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước:

Cho số gần đúng a với độ chính xác d Khi được yêu cầu quy tròn a mà không nói rõ quy tròn đến hàng

nào thì ta quy tròn a đến hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó

d Hàng quy tròn Hàng trăm Hàng nghìn Hàng chục Hàng trăm Hàng phần trăm Hàng phần chục

……… ………

WWW.ToanCapBa.Net

WWW.ToanCapBa.Net

-13-

Ví dụ 1: Cho a=1,236±0,002 số quy tròn của 1,236 là 1,24 (vì 0,002<0,01)

Ví dụ 2: Cho a=37975421±150 số quy tròn của 37975421 là 37975000

Ví dụ 3: Cho số gần đúng a=173,4592 có sai số tuyệt đối không vượt quá 0,01 (d=0,01) Khi đó số quy

tròn của a là 173,5

* Chú ý:

- Kí hiệu khi viết gần đúng là 

- Khi thực hiện quy tròn thì sai số tuyệt đối tăng lên

- Hàng phần chục, phần trăm,… là những số sau đấu phẩy

- Hàng hơn vị, hàng chục, hàng trăm,… là những số trước dấu phẩy

4 Chữ số chắc chắn (đáng tin) (Ban CB chỉ đến số 3)

Trong số gần đúng a, một chữ số được gọi là chữ số chắc chắn nếu d không vượt quá ( ≤ )nửa đơn vị

của hàng có chữ số đó (nếu d > nửa đơn vị của hàng có chữ số đó thì chữ số đó không chắc)

Tất cả những chữ số đứng bên trái chữ số chắc chắn là chắc chắn Những chữ số đứng bên phải chữ

502

100 d   nên chữ số hàng trăm không chắc, chữ số hàng nghìn chắc chắn=> 1,3,7,9 lá các chữ số chắn

Ví dụ 2: Một hình chữ nhật có diện tích S = 180,57 cm2 0,06 cm2 Tìm các chữ số chắc của S

2

106,005

,02

1,

0  d    nên chữ số hàng phần chục không chắc, chữ số hàng đơn vị chắc chắn=> 1,8,0 là các chữ số chắc chắn

5 Dạng chuẩn của số gần đúng

- Nếu số gần đúng là số thập phân không nguyên thì dạng chuẩn là dạng mà mọi chữ số của nó đều là chữ chắc chắn

- Nếu số gần đúng là số nguyên thì dạng chuẩn của nó là A.10k trong đó A là số nguyên , k là hàng thấp

nhất có chữ số chắc (kN) (suy ra mọi chữ số của A đều là chữ số chắc chắn)

Khi đó độ chính xác d=0,5.10k

Ví dụ: Giá trị gần đúng của 5viết ở dạng chuẩn là 2,236 Nên độ chính xác d=0,5.10-3=0,0005, do đó 2,236-0,0005≤ 5≤2,236+0,0005

6 Kí hiệu khoa học của một số

Mọi số thập phân khác 0 đều viết được dưới dạng .10n, 1≤||<10, n  Z

Ví dụ : Khối lượng Trái Đất là 5,98.1024kg

Khối nguyên tử của Hiđrô là 1,66.10-24g

BÀI TẬP §5 5.1 Cho 3=1,7320508…Viết số gần đúng 3 theo quy tắc là tròn đến hai, ba, bốn chữ số thập phân có ước lượng sai số tuyệt đối mỗi trường hợp

HD: Ta có 1,73< 3<1,74| 3-1,73|<|1,73-1,74|=0,01 vậy sai số tuyệt đối trong trương hợp (làm tròn 2 chữ số thập phân) không vượt quá 0,001

5.2 Theo thống kê dân số Việt Nam năm 2002 là 79715675 người Giả sử sai số tuyệt đối nhỏ hơn 10000 Hãy

viết quy tròn của số trên

+ x gọi là biến số (hay đối số) của hàm số và y gọi là hàm số của x;

+ D gọi là tập xác định (hay miền xác định);

+ f(x) là giá trị của hàm số tại x

2 Cách cho hàm số

+ Hàm số cho bằng bảng

+ Hàm số cho bằng biểu đồ

+ Hàm số cho bằng công thức: y=f(x)

Chú ý: Khi hàm số cho bởi công thức mà không chỉ rõ tập xác định thì : “ Tập xác định của hàm số y=f(x)

là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa”

b) Tính f(1), f(1), f(0)

3 Đồ thị hàm số

Đồ thị của hàm số y=f(x) xác định trên D là tập hợp các điểm M(x;f(x)) trên mặt phẳng tọa độ với mọi

x D

II Sự biến thiên của hàm số

Cho f(x) xác định trên khoảng K Khi đó:

f đồng biến ( tăng) trên K x1;x2K ; x1 < x2  f(x1) < f(x2)

f nghịch biến ( giảm) trên K x1;x2K ; x1 < x2  f(x1) > f(x2)

Bảng biến thiên: là bảng tổng kết chiều biến thiên của hàm số (xem SGK)

III Tính chẵn lẻ của hàm số

+ f gọi là chẵn trên D nếu xD  x D và f(x) = f(x), đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng

+ f gọi là lẻ trên D nếu xD  x D và f(x) =  f(x), đồ thị nhận O làm tâm đối xứng

(Ban CB đến III)

* Tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ Oxy

Cho (G) là đồ thị của y = f(x) và p;q > 0; ta có Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) + q

Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) – q Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì được đồ thị y = f(x+ p) Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì được đồ thị y = f(x – p)

Đối xứng qua trục hoành thì x không đổi y’= -y

Đối xứng qua trục tung thì y không đổi x’= -x

* Tịnh tiến điểm A(x;y) song song với trục tọa độ Oxy :

+ Lên trên q đơn vị được A1(x ; y+q)

+ Xuống dưới q đơn vị được A1(x ; yq)

+ Sang trái p đơn vị được A1(xp ; y)

+ Sang phải p đơn vị được A1(x+p ; y)

+ Cho u(x), v(x) là các đa thức theo x , khi ta xét một số trường hợp sau :

a) Miền xác định của hàm số dạng đẳng thức : y=u(x) ; y = u(x)+v(x) ; y=| u(x) | ;

y = | u ( x ) |… là D =

(không chứa căn bậc chẵn, không có phân số, chỉ có căn bậc lẻ,…)

b) Miền xác định hàm số y =

) (

) (

x v

x u

là D = { x | v(x)0 } c) Miền xác định hàm số y = u (x ) là D = { x | u(x)  0 }

d) Miền xác định hàm số y =

)(

)(

x v

x u

0)(

x v

x u

+ Viết D về dạng hợp của nhiều khoảng xác định ( nếu có )

+ Xét sự biến thiên của hàm số trên từng khoảng xác định K= (a;b) như sau:

Giả sử x1,x2 K, x1 < x2

Tính f(x2) - f(x1)

Lập tỉ số T =

12

1

2) ( ) (

x x

x f x f





Nếu T > 0 thì hàm số y = f(x) đồng biến trên (a;b)

Nếu T < 0 thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên (a;b)

Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) + q

Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) – q Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì được đồ thị y = f(x+ p) Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì được đồ thị y = f(x – p)

WWW.ToanCapBa.Net

WWW.ToanCapBa.Net

-17-

BÀI TẬP §1-C2 1.1 Tìm tập xác định của các hàm số sau

a) y= 3x3x+2 b) 3 1

x y

x





 c) y= 3 x  2 d) y=    2 x 1 x  1

x

khi x x

1.4 Cho hàm số y=g(x) 3 8

vớ i x < 2 vớ i x

x x

  



Tính các giá trị g(3); g(0); g(1); g(2); g(9)

1.5 Xét sự biến thiên của hàm số sau trên khoảng được chỉ ra

a) y=f(x)= 2x27 trên khoảng (4;0) và trên khoảng (3;10)

x x



c) y= x5+7x3 d) y=

2  



x x

3

2  



x x

x

d) y =

1 ) 2 (

12

3  



x x

x

f) y =

1

12

2  



x x x

; (2;+  ) 1.11 Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau

1x1-neáu1

)2(2)(

2

x

x x

a)

12

53

2 





x x

x

c)

23

22

x

y D=(1;+) f)

9

13

y D=(2;2]

i)

)3)(

2(

41

x x

1x1-neáu1

)2(2)(

2

x

x x

WWW.ToanCapBa.Net

WWW.ToanCapBa.Net

-19-

Bài tập 3: Trong các điểm sau M(-1;6), N(1;1), P(0;1),

điểm nào thuộc đồ thị hàm số y=3x2-2x+1

Bài tập 4: Trong các điểm A(-2;8), B(4;12), C(2;8), D(5;25+ 2), điểm nào thuộc đồ thị hàm số f(x)=

x2+ x  3

Bài tập 5: Khảo sát sự biến thiên của mỗi hàm số sau và lập bảng biến thiên của nó:

a) y= x2+2x-2 trên mỗi khoảng (-;-1) và (-1;+) T= x2+x1+2

x  1 + y=x2+2x-2 + +

3 b) y= -2x2+4x+1 trên mỗi khoảng (-;1) và (1;+) T=2(x1+x22)



x  1 + y=



e) y= x2-6x+5 trên mỗi khoảng (-;3) và (3;+)

T= x2+x16 f) y= x2005+1 trên khoảng (-;+)

Bài 8 : Cho đường thẳng y=0,5x Hỏi ta sẽ được đồ thị của hàm số nào khi tịnh tiến (d):

a) Lên trên 3 đơn vị b) Xuống dưới 1 đơn vị

c) Sang phải 2 đơn vị d) Sang trái 6 đơn vị

Bài 9: Gọi (d) là đường thẳng y= 2x=f(x) và (d’) là đường thẳng y= 2x-3 Ta có thể coi (d’) có được là do tịnh

tiến (d):

a) Lên trên hay xuống dưới bao nhiêu đơn vị?

(d’): y=2x3= f(x)3 b) Sang trái hay sang phải bao nhiêu đơn vị?

b) Tịnh tiến (H) sang trái 3 đơn vị, ta được đồ thị hàm số nào?

c) Tịnh tiến (H) lên trên 1 đơn vị, sau đó tịnh tiến đồ thị nhận được sang trái 3 đơn vị, ta được đồ thị hàm số nào?

Bài 11: Trong mặt phẳng tọa độ, cho các điểm A(-1;3), B(2;-5), C(a;b) Hãy tính tọa độ các điểm có được khi

tịnh tiến các điểm đã cho:

a) Lên trên 5 đơn vị

b) Xuống dưới 3 đơn vị

c) Sang phải 1 đơn vị

d) Sang trái 4 đơn vị

|

2  



x x

|

1 2







x x

| (|

1 2

12

D=[1;2)

n) y = ( 2) 3

33

|

|2

|

|

|2

x x x

5 3

|

|23

|

|1

1

|

|

2 2

x x x

x

D= \{1;1}

2 2

w) y =

|1

0 x 2 - neáu x - 1

D=[2;2]

2 Xét sự biến thiên của các hàm số trên các khoảng đã chỉ ra

a) y =

32

6 (2 x 3)(2 x 3)



  b) y = 3x2-4x+1 trên (- 2

;3

 ) T=3x2 + 3x14

| x x

x x

|

| 1

|

| 1

|

| 1

x x

D= \{0}; lẻ i) y = 1  x D=[1;+)  x  D x D

D= \{1} x  D x D (khi x=1) k) Định m để hàm số y = f(x) = x2 + mx +m2 ,xR ,là hàm chẵn

f(-x) = x2mx+m2

để f(x) chẵn khi m=m = m=0

6 Gọi (G) là đồ thị của hàm số y=2|x|, ta được đồ thị hàm số nào khi tịnh tiến (G):

a) lên trên 3 đơn vị;

b) sang trái 1 đơn vị;

c) sang phải 2 đơn vị rồi xuống dưới 1 đơn vị

BÀI TẬP THÊM 3

1/ Tìm tập xác định của các hàm số sau :

a/ y =

1x

3x4





3 x

1 x

1

2 d/ y = x 2 x 5

1 x

2  



e/ y =

6 x x

x6





h/ y =

1x

1

 + x 2

3



 j/ y = ( x 3 ) x 1

1 x

3

2  



xx

o) y =

23

212

2  





xx

)x)(

x(

p)y = (3x4)(3x) q) y =

12

2



 ) xx

(r) y =

12

1

2  



|x

32

mxm

1

2  d/ y =

2x

110

11

2 2

x

;x

x

;

x

;x

1

2 2

x

;x

x

;

x

;x

D C B

A

4

4 2 y

x O

Đồ thị hàm số: là một đường thẳng Đồ thị không song song và trùng với các trục tọa độ, cắt trục tung tại

điểm (0;b) và cắt trục hoành tại (-b/a;0)

2

* Cho hai đường thẳng (d):y= ax+b và (d’)= a’x+b’, ta có:

(d) song song (d’) a=a’ và b≠b’

(d) trùng (d’) a=a’ và b=b’

(d) cắt (d’)  a≠a’

(d)(d’) a.a’= 1

2 Hàm số hằng y=b

Đường thẳng y= b là đường thẳng song song hoặc trùng trục Ox và cắt Oy tại điểm có tọa độ (0;b)

Đường thẳng x= a là đường thẳng song song hoặc trùng trục Oy và cắt Ox tại điểm có tọa độ (a;0)

3 Hàm số bậc nhất trên từng khoảng, hàm số y= |ax+b|

Muốn vẽ đồ thị hàm số y  ax  b ta làm như sau:

+ Vẽ hai đường thẳng y = ax + b, y = - ax – b + Xóa đi hai phần đường thẳng nằm phía dưới trục hoành

4x2neáu

x0neáu

62

421

21

x x

2 x neáu 4 2

4 2

x x

Đồ thị (hình)

Ví dụ 4: Tìm hàm số bậc nhất y=f(x) biết đồ thị của nó đi qua 2 điểm A(0 ; 4) , B (-1;2).Vẽ đồ thị và lập bảng

biến thiên của hàm số y  g x ( )   f x ( )

2 x neáu 4

-4

g(x)

-2 x

23

vớ i x vớ i x<1

x y

2.7 Tìm a để ba đường thẳng sau đồng qui:

y = 2x; y = -x-3 ; y = ax+5 ;

2.8 xác định a và b sao cho đồ thị hàm số y = ax +b , biết

a) đi qua hai diểm (-1;-20) và (3;8)

0

3

y= -x 2 +4x-3 A

b) đi qua (4;-3) và song song với đường thẳng y=

3

2x

+1

0 x neáu 2x,

0 x neáu 1, x

 ; +)

 ) và đồng biến trên khoảng (

2

b a

 ; +)

b4

; ;   b2 4 ac(không có ')

( Sau khi tính x I =

2

b a

  y I = ax I2 bx I c Khi đó I(x I ; y I )

-Vẽ trục đối xứng

2

b x a

Ví dụ 3: Xác định hàm số bậc hai y  2 x2  bx  cbiết đồ thị của nó

1) Có trục đối xứng là x=1 và cắt trục tung tại điểm có tung độ là 4

Tìm tọa độ giao điểm

Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x); (C2) y = g(x).Tọa độ giao điểm của (C1) và (C2) là ngiệm của hệ phương

)(

+ Nếu (*) vô nghiệm thì (C1) và (C2) không có giao điểm

+ Nếu (*) có n nghiệm thì (C1) và (C2) có n giao điểm

+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (C1) và (C2) tiếp xúc nhau

3.2 Xác định parapol y=2x 2 +bx+c, biết nó:

a) Có trục đối xứng x=1 vá cắt trục tung tại điểm (0;4); Đáp số: b= 4, c= 4

b) Có đỉnh I(1;2); Đáp số: b= 4, c= 0

c) Đi qua hai điểm A(0;1) và B(4;0); Đáp số: b= 31/4, c=1

d) Có hoành độ đỉnh là 2 và đi qua điểm M(1;2) Đáp số: b= 8, c= 4

WWW.ToanCapBa.Net

WWW.ToanCapBa.Net

-28-

3.3 Xác định parapol y=ax 24x+c, biết nó:

a) Đi qua hai điểm A(1;2) và B(2;3); Đáp số: a= 3, c= 1

b) Có đỉnh I(2;1); Đáp số: a= 1, c= 5

c) Có hoành độ đỉnh là 3 và đi qua điểm P(2;1); Đáp số: a= 2/3, c= 13/3

d) Có trục đối xứng là đường thẳng x=2 vá cắt trục hoành tại điểm M(3;0) ĐS a=1

3.4 Tìm parapol y = ax 2 +bx+2 biết rằng parapol đó:

a) đi qua hai điểm M(1;5) và N(-2;8) Đáp số: a=2, b=1

b) đi qua điểm A(3;-4) và có trục đối xứng x=

4

3

 Đáp số: a=4

Đáp số: a=16, b=12 hoặc a=1, b=3

3.5 Xác định parapol y=a x 2 +bx+c, biết nó:

a) Đi qua ba điểm A(0;1), B(1;1), C(1;1); Đáp số: a=1, b=1, c= 1

b) Đi qua điểm D(3;0) và có đỉnh là I(1;4) Đáp số: a=1, b=2, c=3

c) Đi qua A(8;0) và có đỉnh I(6;12) Đáp số: a=3, b=36, c=96

d) Đạt cực tiểu bằng 4 tại x=2 và đi qua A(0;6).Đáp số: a=1/2, b=2, c=6

3.6 Viết phương trình của y=ax2+bx+c ứng với các hình sau:

3.10 Vẽ đồ thị hàm số y= 2 2 8

2

3 x  3 x 3.11 Vẽ đồ thị hàm số y=x22|x|+1

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG

1.Tìm tập xác định của hàm số :

a/ y = 2  x 

4 x

4

 b/ y = x

x1x

c/ y =

1xxx

xx2

3x2

x 3 2 x

1 x

2 x x

2

2 4

x

1 x 1

xx2

3

4.Cho hàm số y =

1 x

a/ Xác định a, b, c biết (P) qua A(0; 2) và có đỉnh S(1; 1)

b/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) với a, b, c tìm được

c/ Gọi (d) là đường thẳng có phương trình : y = 2x + m Định m để (d) tiếp xúc với (P) Tìm tọa độ tiếp điểm 8.Cho y = x(x 1)

WWW.ToanCapBa.Net

WWW.ToanCapBa.Net

-30-

Chương III PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH

§1 Đại cương về phương trình

I Khái niệm phương trình

1 Định nghĩa:(một ẩn) Cho hai h àm số : y = f(x) và y = g(x) lần lượt có tập xác định Df và Dg Đặt D

= Df  Dg , mệnh đề chứa biến x  D có dạng : f(x) = g(x) được gọi là phương trình một ẩn , x gọi là ẩn số

của phương trình

 D : tập xác định của phương trình

 Nếu tồn tại x0  D sao cho f(x0) = g(x0) thì x0 được gọi là một nghiệm của phương trình

 Tập hợp các x0 như trên gọi là tập nghiệm của phương trình

 Giải phương trình là tìm tập nghiệm của nó

 Nếu tập nghiệm là tập rỗng, ta nói phương trình vô nghiệm

Ví dụ : Cho hai hàm số f(x) = x và g(x)=  x Khi đó : D f x0|xR

g

D  x xR và x=  x được gọi là phương trình theo ẩn số x

2 Điều kiện của một phương trình là: điều kiện xác định của phương trình

Ví dụ: Tìm điều kiện của phương trình

a) 3 2

2

x x

4 Phương trình chứa tham số

Phương trình f(x) = g(x) có chứa những chữ cái ngoài các ẩn được gọi là phương trình chứa tham số

Ví dụ : (m+1)x + 2 = 0 chứa tham số m

ax+2 = | x-1| chứa tham số a

Việc tìm tập nghiệm của phương trình chứa tham số gọi là giải và biện luận phương trình đó

II Phương trình tương đương , phép biến đổi tương đương

1 Phương trình tương đương

Hai phương trình (cùng ẩn) gọi là tương đương nếu tập nghiệm của chúng bằng nhau (có thể là rỗng)

Nếu cùng tập xác định D thì gọi là tương đương trên D

Nếu hai phương trình: f1(x) = g1(x) và f2(x) = g2(x) tương đương, ta viết :

Ví dụ 2: với x>0 thì hai phương trình x2=1 và x=1 tương đương nhau

2 Phép biến đổi tương đương: phép biến đổi một phương trình xác định trên D thành một phương trình

tương đương gọi là phép biến đổi tương đương trên D

(ta dùng dấu "" để chỉ sự tương đương của các phương trình)

Ví dụ: 2x-5=0  3x

215

=0

WWW.ToanCapBa.Net

WWW.ToanCapBa.Net

-31-

* Các phép biến đổi tương đương của phương trình:

Định lí : Cho phương trình f(x) = g(x) cĩ tập xác định D nếu h(x) xác định trên D thì phương trình:

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

D x h(x)

x h x g x h x f x g x

f ( )  ( )  ( ) ( )  ( ) ( ) nếu  0 với mọi 

Hệ quả : Nếu chuyển một biểu thức từ một vế của một phương trình sang vế kia và đổi dấu của nĩ thì ta

được phương trình mới tương đương với phương trình đã cho

* Chú ý: Nếu 2 vế phương trình luơn cùng dấu thì khi bình phương hai vế của nĩ, ta được phương

trình tương đương

Ví dụ 1:

3 Phương trình hệ quả

a) Định nghĩa: f1(x)=g1(x) gọi là phương trình hệ quả của phương trình f(x)=g(x) nếu tập nghiệm của

nĩ chứa tập nghiệm của phương trình f(x)=g(x) Khi đĩ ta viết:f(x)=g(x) f1(x)=g1(x)

b) Phép biến đổi cho phương trình hệ quả :

Khi bình phương hai vế của một phương trình ta đi đến phương trình hệ quả

* Chú ý: Phương trình hệ quả cĩ thể cĩ thêm nghiệm khơng phải là nghiệm của phương trình ban đầu Ta gọi đĩ là nghiệm ngoại lai Khi đĩ ta phải thử lại các nghiệm để loại bỏ các nghiệm ngoại lai

Hoặc: Với điều kiện x≠2 và x≠2 thì (1)(x+2)2+(x2)2= 3x+7 (???)

 x24x+4 = x x25x+4=0 (3') Phương trình (3') cĩ nghiệm x=1 hoặc x=4

Thử lại vào phương trình (3), ta thấy x=1 khơng phải là nghiệm của (3) và x=4 là nghiệm Vậy pt(3) cĩ ngiệm duy nhất x=4

BÀI TẬP ÁP DỤNG

1/ Tìm điều kiện của các phương trình

a) 22

34

x

x x

x

x x



 



Đáp số a) x≤ 3, x≠ ± 2 b) Khơng cĩ giá trị x thỏa c) x≥1/2 và x≠0 d)  x  Re) x>1

f) x≥1 và x≠2

2/ Chứng tỏ các phương trình sau vơ nghiệm

a) 3 1

3 2

x

x x

x x

Tìm a để (1) tương đương (2)

HD Giả sử (1)(2) thì x= 1 của (1) là nghiệm của 2 Thế x=1 và (2) ta tìm được a=1/4 Khi a=1/4 thế vào (2)  (x+1) 2 =0

1 )

x

2

3 2 2

1 )

x b

0 3 )

2 3 (

) x2  x  x  

c d ) ( x2  x  2 ) x  1  0

| 2

| ) 2

| 1

|

2

)

3 1

) 2

9 3 )

d x

x c

x x

b x





g/

3 x

1 x





=

x 3

1

 = x 3

x27



 e/

2 x

3 x





8/ Giải các phương trình :

a/ x  1 = x + 2 b/ x + 2 = x  3 c/ 2 x  3 = x + 1 d/ x  3 = 3x  1 e/

x

x

1 =

2x



 =

3 x

x 2





BÀI TẬP THÊM Bài 1: Giải các phương trình sau

b)

2

322

42

x x

Giải và biện luận phương trình dạng ax+b = 0

 a ≠ 0: Phương trình có nghiệm duy nhất x= b

a

 a = 0 và b ≠ 0: Phương trình vô nghiệm

 a = 0 và b=0: Phương trình nghiệm đúng với mọi x (vô số nghiệm)

* Chú ý:

+ Trước khi giải và biện luận phương trình bậc nhất ta phải đưa phương trình về dạng ax+b = 0

+ khi biện luận a=0 thì thay giá trị m vừa tìm được vào b

+ Khi a0 thì phương trình ax+b = 0 mới được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn

Ví dụ 1 Giải và biện luận phương trình : m(x - m ) = x + m - 2 (1)

m

 

 = m – 2 ;nên pt(1) có nghiệm duy nhất

+) Khi (m – 1) = 0  m = 1 phương trình (1a) trở thành 0x = 0; phương trình nghiệm đúng với mọi x  R; nên pt(1) đúng với mọi x  R

Kết luận : m ≠ 1 : nghiệm là x= m-2 (Tập nghiệm là S = {m - 2})

m=2 thì (2) vô nghiệm

Ví dụ 3: Giải và biện luận phương trình m2x+2 = 2m-2 (3)

Giải





m m

1

41

1

m thì (*) vô nghiệm

Ví dụ 5:giải và biện luận phương trình theo tham số m:

2 3

(2)23

nếu m=3 thì (2)0x = 0 =>(2) có vô số nghiệm

+ giải và biện luận (3)

- với m=3: (1) có vô số nghiệm

- với m=-3:(1) có nghiệm x=1(vì thỏa phương trình (2) )

2 Phương trình bậc hai (nhắc lại cách giải phương trình bậc hai)

WWW.ToanCapBa.Net

WWW.ToanCapBa.Net

-36-

Giải và biện luận phương trình dạng ax 2 +bx+c = 0

 a= 0 :Trở về giải và biện luận phương trình bx + c = 0

 a ≠ 0 Lập = b 2 4ac (hoặc ’=b’ 2 -ac) Nếu  > 0: phương trình có hai nghiệm phân biệt

x =

2

b a

  

v x =

2

b a

  

Nếu  = 0 : phương trình có nghiệm kép : x =

2

b a



Nếu  < 0 : phương trình vô nghiệm

Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình mx2-2(m+1)x+m+1 = 0

Giải

Phương trình cho đã có dạng phương trình đã học Biện luận:

Nếu m = 0 ( thay m = 0 vào phương trình ta được -2x+1= 0 => x=

Ngược lại, nếu hai số u, v có S=u+v; P=u.v thì u, v là nghiệm của phương trình x 2 -Sx+P = 0

72

72

x x

x12 22 ( 1 2)2 2 1 2  2 2

P

S x

2 1

11

PS S

x x x x x

x x

WWW.ToanCapBa.Net

WWW.ToanCapBa.Net

-37-

Phương trình cĩ nghiệm      ' 0 m 5

Theo giả thiết x13 x32 40S3-3PS=40  64-12(m-1)=40  m= 4 (nhận)

* Xét dấu các nghiệm phương trình bậc hai

Giả sử phương trình bậc hai cĩ hai nghiệm x1,x2 thì:

x1< 0 < x2  P < 0 (hai nghiệm trái dấu)

a) Định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

b) Định m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt

0 4 12 25

0 1 3

m m

29m vậy khi

3

112

29m thì pt(1) có hai nghiệm âm phân

(loại) -1y

với y = 9  x2 = 9  x =  3

Ví dụ 2: Cho phương trình x4+(1-2m)x2+m2-1 = 0 Định m để :

a) Phương trình vô nghiệm

b) Phương trình có đúng một nghiệm

c) Phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt

d) Phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt

e) Phương trình có đúng 4 nghiệm phân biệt

WWW.ToanCapBa.Net

WWW.ToanCapBa.Net

-38-

2 Phương trình chứa giá trị tuyệt đối

Cách giải: Sử dụng định nghĩa hoặc bình phương hai vế để khử (bỏ) dấu giá trị tuyệt đối

4x

(nhận)

1x

-6x

(loại) 1x

(II)

S = (I) (II) = { -6;1;4 }

Chú ý: Đưa phương trình về dạng cơ bản

4 )

4 ( 7

2

0 4

2 2

x x

x x

(loại) 1

4

x x

vậy nghiệm của phương trình là x = 9

a) Phương trình cĩ nghiệm duy nhất

b) Phương cĩ nghiệm duy nhất x = 2

c) Phương trình vơ nghiệm

d) Phương trình cĩ vơ số nghiệm

4/ Cho phương trình (-x+m)m + 2m +1 = (m+1)2 - m2x ,định m để :

a) Phương trình cĩ nghiệm duy nhất

b) Phương trình cĩ vơ số nghiệm

c) Phương trình vơ nghiệm

WWW.ToanCapBa.Net

WWW.ToanCapBa.Net

-40-

5/ Cho phương trình mx+m2+1 = (x+2)m ,định m để :

a) Phương trình vô nghiệm

b) Phương trình có nghiệm duy nhất

c) Phương trình có vô số nghiệm

6/ Tìm hai số có:

a) Tổng là 19, tích là 84 b) Tổng là 5, tích là -24

c) Tổng là -10, tích là 16

7/ Cho phương trình x2+(2m3)x+m22m=0

a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm và tích của chúng bằng 8? Tìm các nghiệm trong trường hợp đó

Đáp số: a) m<9/4; b) m=2; 1,2 7 7

2

8/ Cho phương trình mx2+(m23)x+m = 0

a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó

b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn

134

x x 

Đáp số: a) m= ± 1; m= ± 3; b) m=4; m=3/4

(câu b khi tìm m xong thế vào  kiểm tra lại) 9/ Cho phương trình x2+(2m-3)x+m2-2m = 0

a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Xác định m để phương trình vô nghiệm





x

10/ Cho phương trình mx2+(m2-3)x+m = 0

a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó

b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn

3

142

a CMR pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu

c Tìm m để pt có hai nghiệm dương phân biệt

13/ Cho phương trình: (m + 1)x2 – 2(m –1)x + m –2 = 0 ( m là tham số)

a Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt

b Tìm m để pt có một nghiệm bằng 3 Tính nghiệm kia

c Tìm m để pt có hai nghiệm x1 và x2 sao cho: 4(x1 + x2 ) = 7x1.x2 (ĐS: m = 1)

14/ a Cho phương trình: x2 + (m –1)x + m + 6 = 0 ( m là tham số).Tìm m để pt có

hai nghiệm x1 và x2 sao cho: x12 x22 10 (ĐS: m = -3)

b Cho phương trình: x2 – 2mx + 3m-2 = 0 ( m là tham số).Tìm m để pt có hai

nghiệm x1 và x2 sao cho: x12x22 x x1 24 (ĐS: m = 2 v m = ¼)