LÝ THUYẾT ĐSGT 11

1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG1.1 CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.. Cách xác định giá trị các hàm số lượng giác- Trên đường tròn lượng giác, cho cung lượng giác Gọi H và K lần lượt là h

1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG

1.1 CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 5

1.1.1 Hàm số y = sin x 5

1.1.2 Hàm số y = cos x 5

1.1.3 Hàm số y = tan x 6

1.1.4 Hàm số y = cot x 6

1.2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 8

1.2.1 Phương trình sin x = a (1) 8

1.2.2 Phương trình cos x = a (2) 8

1.2.3 Phương trình tan x = a (3) (có nghiệm với mọi a ∈ R) 8

1.2.4 Phương trình cot x = a (4) (có nghiệm với mọi a ∈ R) 8

1.3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 10

1.3.1 Phương trình bậc nhất 10

1.3.2 Phương trình bậc hai 10

1.3.3 Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x 11

1.3.4 Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x 11 1.3.5 Phương trình đối xứng theo sin x và cos x 12

1.3.6 Phương pháp tổng quát để giải phương trình lượng giác 13 2 TỔ HỢP - XÁC XUẤT 14 2.1 QUY TẮC ĐẾM 14

2.1.1 Quy tắc cộng 14

2.1.2 Quy tắc nhân 14

2.2 Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp 14

2.2.1 Hoán vị 14

2.2.2 Chỉnh hợp 14

2.2.3 Tổ hợp 15

2.2.4 Hai tính chất cơ bản của số Ck n 15

2.3 Nhị thức Newton 15

2.3.1 Công thức nhị thức Newton 15

2.3.2 Tam giác Pascal 15

2.5.1 Công thức tính xác suất 16

2.5.2 Quy tắc cộng xác suất 17

2.5.3 Quy tắc nhân xác suất 17

3 DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN 17 3.1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 17

3.2 DÃY SỐ 18

3.2.1 Định nghĩa 18

3.2.2 Cách cho một dãy số 18

3.2.3 Dãy số tăng, dãy số giảm 19

3.2.4 Dãy số bị chặn 19

3.3 CẤP SỐ CỘNG 19

3.3.1 Định nghĩa 19

3.3.2 Số hạng tổng quát 19

3.3.3 Tính chất 20

3.3.4 Tổng n số hạng đầu 20

3.4 CẤP SỐ NHÂN 20

3.4.1 Định nghĩa 20

3.4.2 Số hạng tổng quát 20

3.4.3 Tính chất 20

3.4.4 Tổng n số hạng đầu tiên 21

4 GIỚI HẠN 21 4.1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 21

4.1.1 Giới hạn hữu hạn 21

4.1.2 Giới hạn vô cực 21

4.1.3 Các giới hạn đặc biệt 21

4.1.4 Định lí về giới hạn hữu hạn 21

4.1.5 Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực 22

4.1.6 Cấp số nhân lùi vô hạn 23

4.2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 23

4.2.1 Định nghĩa 23

4.2.2 Các giới hạn đặc biệt 23

4.3 HÀM SỐ LIÊN TỤC 24

4.3.1 Hàm số liên tục 24

4.3.2 Các định lí 25

5 ĐẠO HÀM 25 5.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM 25

5.1.1 Định nghĩa 25

5.1.2 Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa 26

5.1.3 Quan hệ giữa tính liên tục và sự có đạo hàm 26

5.1.4 Ý nghĩa hình học của đạo hàm 26

5.2 CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 26

5.2.1 Đạo hàm một số hàm thường gặp 26

5.2.2 Các phép toán 27

5.2.3 Đạo hàm hàm hợp 27

5.3 ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 27

5.4 VI PHÂN 28

5.4.1 Định nghĩa 28

5.4.2 Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng 28

5.5 ĐẠO HÀM CẤP CAO 28

5.5.1 Đạo hàm cấp hai 28

5.5.2 Đạo hàm cấp cao 29

TRẦN UY ĐÔNG ∗TTGDTX Bảo Yên Lào Cai

y0Oy: trục sin (trục tung)

t0At: trục tang

u0Bu: trục côtang

B Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

cos(−α) = cos α cos(π − α) = − cos α cos(π

2− α) = sin α cos(π + α) = − cos αsin(−α) = − sin α sin(π − α) = sin α sin(π

2− α) = cos α sin(π + α) = − sin αtan(−α) = − tan α tan(π − α) = − tan α tan(π

2− α) = cot α tan(π + α) = tan αcot(−α) = − cot α cot(π − α) = − cot α cot(π

2− α) = tan α cot(π + α) = cot α

C Công thức lượng giác

• cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β

• cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β

• sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β

• sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β

• tan(α − β) = tan α − tan β

1 + tan α tan β

• tan(α + β) = tan α + tan β

1 − tan α tan β

• cot(α + β) = cot α cot β − 1

cot β + cot α

• cot(α − β) = cot α cot β + 1

cot β − cot αC.3 Công thức nhân đôi

• cos 2α = cos2α − sin2α = 2 cos2α − 1 = 1 − 2 sin2α = cos4α − sin4α

• sin 2α = 2 sin α cos α

• cos 3α = 4 cos3α − 3 cos α

• sin 3α = 3 sin α − 4 sin3α

• tan 3α = 3 tan α − tan

C.6 Công thức tính sin α, cos α, tan α theo t = tanα



• sin α sin β = 1

2

cos(α − β) − cos(α + β)



• sin α cos β = 1

2

sin(α − β) + sin(α + β)



C.8 Công thức biến đổi tổng thành tích

• cos α + cos β = 2 cosα + β

2 cos

α − β2

• cos α − cos β = −2 sinα + β

2 sin

α − β2

• sin α + sin β = 2 sinα + β

2 cos

α − β2

• sin α − sin β = 2 cosα + β

2 sin

α − β2

• tan α + tan β = sin(α + β)

cos α cos β

• tan α − tan β = sin(α − β)

cos α cos βC.9 Công thức thường dùng khác

• cos α + sin α =√2 cos(α − π

- Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π

- Đồng biến trên mỗi khoảng −π

- Đồ thị là một đường hình sin

y

xO

- Là hàm số chẵn

- Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π

- Đồng biến trên mỗi khoảng−π +k2π; k2πvà nghịch biến trên mỗi khoảng



k2π; π + k2π

, k ∈ Z

- Là hàm tuần hoàn với chu kì π

- Đồng biến trên mỗi khoảng

- Là hàm tuần hoàn với chu kì π

- Nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ; π + kπ), k ∈ Z

- Đồ thị (tự xem)

Cách xác định giá trị các hàm số lượng giác

- Trên đường tròn lượng giác, cho cung lượng giác

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x0Ox và y0Oy

Gọi T và U lần lượt là giao điểm của tia OM với t0At và u0Bu

A0

MB

B0

H

K

UT

Truc cosin

Hình 3:

sin α = OKcos α = OHtan α = ATcot α = BU

Bổ sung về khái niệm hàm số tuần hoàn

Một cách tổng quát:

“Hàm số y = f (x) xác định trên tập hợp D được gọi là hàm số tuần hoànnếu có số T 6= 0 sao cho với mọi x ∈D ta có

x + T ∈D, x − T ∈ D và f(x + T ) = f(x)Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó đượcgọi là một hàm số tuần hoàn với chu kì T ”

1.2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1.2.1 Phương trình sin x = a (1)

• |a| > 1: phương trình (1) vô nghiệm

• |a| ≤ 1: đặt a = sin α Khi đó

• |a| > 1: phương trình (2) vô nghiệm

• |a| ≤ 1: đặt a = cos α Khi đó

(2) ⇔ x = ±α + k2π, k ∈ Z

1.2.3 Phương trình tan x = a (3) (có nghiệm với mọi a ∈ R)

Điều kiện: x 6= π

2+ kπ, k ∈ ZĐặt m = tan α Khi đó

Ta cũng có thể giải bằng cách sử dụng công thức biến đổi tổng thànhtích.

2 Vấn đề họ nghiệm của phương trình lượng giác

“Mỗi họ nghiệm của một phương trình lượng giác là tập hợp các nghiệm

có chung một điểm cuối trên đường tròn lượng giác”

Như vậy theo cách hiểu này thì x = kπ, x = 3kπ, x = (5k + 1)π, không phải là những họ nghiệm

4) = sin 4x

d) cot 3x = cot(x − π

4)

^Ví dụ: Giải các phương trình

a) 1 + cos4x − sin4x = 2 cos 2x

b) sin3x cos x − cos3x sin x = 1

4c) cot x + sin x(1 + tan x tanx

2) = 4d) sin6x + cos6x = cos 4x

e) 4(sin4x + cos4x) + sin 4x − 2 = 0

1.3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG

GẶP

1.3.1 Phương trình bậc nhất

Dạng:

trong đó t là một hàm số lượng giác

Cách giải: biến đổi trực tiếp về phương trình lượng giác cơ bản

B3: Giải phương trình lượng giác cơ bản theo mỗi nghiệm nhận được

^Ví dụ: Giải các phương trình

a) 2 cos2x + 5 sin x − 4 = 0

b) cos 2x − 4 cos x + 5

2= 0c) 2 cos x cos 2x = 1 + cos 2x + cos 3x

d) sin4x + cos4x = sin 2x − 1

2e) 2(sin4x + cos4x) − cos(π

2− 2x) = 0f) sin4 x

2+ cos

4 x

2= 1 − 2 sin xg) 2(cos

6x + sin6x) − sin x cos x

1.3.3 Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

1 + t2+ b.1 − t

2

1 + t2 = c ⇔ (b + c)t2− 2at + c − b = 0Giải phương trình này tìm ra t, rồi suy ra x

cos xd) cos x − sin 2x

2 cos2x − sin x − 1=

√3

1.3.4 Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x

Dạng:

(1.4) a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = d

trong đó a, b, c và d là những số đã cho, với a 6= 0 hoặc b 6= 0 hoặc c 6= 0.Cách giải:

+ Xét cos x = 0 có là nghiệm không

+ Xét cos x 6= 0 Chia cả hai vế của (1.5) cho cos3x Khi đó

(1.5) ⇔ a tan3x + b tan2x + c tan x + d = 0

giải phương trình bậc 3 này, rồi suy ra x

^Ví dụ: Giải phương trình

a) 4 sin2x + 3√

3 sin 2x − 2 cos2x = 4b) sin3x + 2 sin2x cos x − 3 cos3x = 0

1.3.5 Phương trình đối xứng theo sin x và cos x

(1.6) a(sin x + cos x) + b sin x cos x + c = 0

- Khi đó t2 = 1 + 2 sin x cos x ⇒ sin x cos x = t

- Khi đó t2 = 1 − 2 sin x cos x ⇒ sin x cos x = 1 − t

2

2 Thế vào (1.7), tìm t, rồisuy ra x

^Ví dụ: Giải phương trình

a) 2 sin 2x − 3√

3(sin x + cos x) + 8 = 0b) cos x − sin x + 3 sin 2x − 1 = 0

d) (cos 2x − cos 4x)2 = 6 + 2 sin 3x

e) cos 2x + cos3x

4 − 2 = 0f) cos 2x + cos 4x + cos 6x = cos x cos 2x cos 3x + 2

n1+ n2+ + nk cách.”

Bản chất chính là qui tắc đếm số phần tử của k tập hữu hạn không giao nhau:Nếu A1, A2, , Ak là k tập hữu hạn và Ai∩ Aj = ∅ (i, j = 1, , k) thì(2.1) n(A1 ∪ A2∪ ∪ Ak) = n(A1) + n(A2) + + n(Ak)

2.1.2 Quy tắc nhân

“Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn A1, A2, , Ak Công đoạn

A1 có thể thực hiện theo n1 cách, công đoạn A2 có thể thực hiện theo n2 cách, , công đoạn Ak có thể thực hiện theo nk cách Khi đó công việc có thể thựchiện theo n1n2 nk cách.”

Kết quả của việc lấy k phần tử của A (1 ≤ k ≤ n) và xếp theo một thứ tự nào

đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử

Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử được kí hiệu là Ak

n, ta có

(n − k)!

(quy ước 0! = 1)

111

- Nếu phép thử tiến hành mà kết quả của nó là một phần tử của A thì ta nói

A xảy ra, hay phép thử thuận lợi cho A

- Biến cố A = Ω \ A được gọi là biến cố đối của A (“không xảy ra A”)

A và B đối nhau ⇔ A = B

A xảy ra ⇔ A không xảy ra

- Biến cố A ∪ B xảy ra khi và chỉ khi A hoặc B xảy ra

- Biến cố A ∩ B xảy ra khi và chỉ khi A và B cùng xảy ra

- Nếu A ∩ B = ∅ thì A và B gọi là hai biến cố xung khắc (biến cố này xảy rathì biến cố kia không xảy ra)

Chú ý

Hai biến cố đối nhau là hai biến cố xung khắc Điều ngược lại chưa chắc đúng

vì giả sử AB = ∅, nhưng chưa chắc A ∪ B = Ω nên A 6= B

2.5 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

2.5.1 Công thức tính xác suất

Xác suất của biến cố A là

n(Ω)trong đó: n(A) là sô phần tử của A, n(Ω) là số các kết quả có thể xảy ra củaphép thử

Xác suất có các tính chất:

• 0 ≤ P (A) ≤ 1, ∀A

Ví Dụ: A = “Cô ấy sinh con trai”

B = “ Chị này sinh con gái”

3.1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

1 Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi

n ∈ N∗ bằng phương pháp quy nạp toán học, ta thực hiện 2 bước sau:

(a) Bước 1 (bước cơ sở) Chứng minh A(n) là một mệnh đề đúng khi

n = 1

(b) Bước 2 (bước quy nạp hay bước “di truyền”) Với k ∈ N∗ tùy ý, xuấtphát từ giả thiết A(n) là một mệnh đề đúng khi n = k, chứng minhA(n) cũng là một mệnh đề đúng khi n = k + 1

2 Trong trường hợp phải chứng minh một mệnh đề là đúng với mọi số tựnhiên n ≥ p (p ∈ N) thì:

(a) Ở bước 1: ta kiểm tra mệnh đề đúng với n = p

(b) Ở bước 2: ta giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì

2 Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3, , m}, với m ∈ N∗, đượcgọi là dãy số hữu hạn

3.2.2 Cách cho một dãy số

1 Dãy số cho bằng công thức số hạng tổng quát

Khi đó un = f (n), trong đó f là một hàm số xác định trên N∗

2 Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

Chỉ cho một mệnh đề mô tả cách xác định các số hạng liên tiếp của dãy

số nhưng chưa thể tìm ngay được un với n tùy ý

3 Dãy số cho bằng công thức truy hồi (hay quy nạp)

• Cho số hạng thứ nhất u1 (hoặc một vài số hạng đầu)

• Với n ≥ 2, cho một công thức tính un nếu biết un−1 (hoặc một vài

số hạng đứng ngay trước nó) Các công thức có thể là:

3.2.3 Dãy số tăng, dãy số giảm

1 Định nghĩa

• Dãy số (un) được gọi là tăng nếu un+1 > un với mọi n ∈ N∗

• Dãy số (un) được gọi là giảm nếu un+1 < un với mọi n ∈ N∗

2 Phương pháp khảo sát tính đơn điệu

(a) Phương pháp 1: Xét hiệu H = un+1− un

- Nếu H > 0 với mọi n ∈ N∗ thì dãy số tăng

- Nếu H < 0 với mọi n ∈ N∗ thì dãy số giảm

3.3.2 Số hạng tổng quát

(3.2) d = un− u1

n − 13.3.3 Tính chất

4.1.3 Các giới hạn đặc biệt

• lim 1

1

nk = 0; lim nk = +∞, với k nguyên dương

• lim qn= 0 nếu |q| < 1; lim qn = +∞ nếu q > 1

• lim c = c (c là hằng số)

4.1.4 Định lí về giới hạn hữu hạn

1 Nếu lim un= a và lim vn= b, thì:

2 Giả sử lim un= a Khi đó

(a) lim |un| = |a| và lim√3

un =√3

a(b) Nếu un≥ 0 với mọi n thì a ≥ 0 và lim√un=√

a

4.1.5 Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

i) Quy tắc 1

Nếu lim un= ±∞ và lim vn = ±∞ thì lim(unvn) được cho bởi bảng:

lim un lim vn lim(unvn)

Nếu lim un= ±∞ và lim vn = a 6= 0 thì lim(unvn) được cho bởi bảng:

lim un Dấu của a lim(unvn)

vn được cho bởi bảng:

Dấu của a Dấu của vn limun

4.1.6 Cấp số nhân lùi vô hạn

• Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội q thỏa mãn

Định lí 4.2 Giả sử lim

x→x 0

f (x) = L Khi đóa) lim

x0, thì L ≥ 0 và lim

x→x 0pf(x) =√LChú ý: hai định lí trên vẫn đúng khi x → +∞ hoặc x → −∞

4.2.4 Quy tắc tìm giới hạn vô cực

a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f (x).g(x)

• Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng K và x0 ∈ K Khi đó hàm

số liên tục tại x0 khi và chỉ khi lim

x→x 0

f (x) = f (x0)

Hàm số không liên tục tại x0 gọi là gián đoạn tại điểm x0

• y = f (x) liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộckhoảng đó

• y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) vàlim

x→a +f (x) = f (a), lim

a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R

b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảngcủa tập xác định của chúng

Định lí 4.5 Giả sử y = f (x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0.Khi đó:

a) Các hàm số f (x) + g(x), f (x) − g(x) và f (x).g(x) cũng liên tục tại điểm

x0

b) Hàm số f (x)

g(x) liên tục tại x0, nếu g(x0) 6= 0.

Định lí 4.6 Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b] và f (a)f (b) < 0thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f (c) = 0

x→x 0

f (x) − f (x0)

x − x0

5.1.2 Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa

Tính đạo hàm của hàm số y = f (x) tại điểm x0 bằng định nghĩa, ta dùng quytắc sau:

Bước 1: Giả sử ∆x = x − x0 là số gia của đối số tại x0, tính

∆y = f (x0+ ∆x) − f (x0)Bước 2: Lập tỉ số ∆y

∆xBước 3: Tìm lim

∆x→0

∆y

∆x

Chú ý: trong định nghĩa và quy tắc trên, thay x0 bởi x ta sẽ có định nghĩa

và quy tắc tính đạo hàm của hàm số y = f (x) tại điểm x ∈ (a; b)

5.1.3 Quan hệ giữa tính liên tục và sự có đạo hàm

Hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x0 thì liên tục tại x0

Điều ngược lại không đúng

5.1.4 Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Nếu tồn tại, f0(x) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại

M0(x0; f (x0)) Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M0 là(5.2) y − y0 = f0(x0)(x − x0)

Cho u = u(x), ∀x ∈D và có đạo hàm u0(x) trên D Ta có bảng đạo hàm sau:

(sin x)0 = cos x ∀x ∈ R(sin u)0 = u0cos u ∀x ∈D(cos x)0 = − sin x ∀x ∈ R(cos u)0 = −u0sin u ∀x ∈D(tan x)0 = 1

cos2x x 6=

π

2+ kπ, k ∈ Z(tan u)0 = u

0

cos2u u 6=

π

2+ kπ, k ∈ Z(cot x)0 = − 1

sin2x x 6= kπ, k ∈ Z(cot u)0 = − u

0

sin2u u 6= kπ, k ∈ Z

5.4 VI PHÂN

5.4.1 Định nghĩa

Cho hàm số y = f (x) xác định trên (a; b) và có đạo hàm tại x ∈ (a; b) Giả sử

∆x là số gia của x sao cho x + ∆x ∈ (a; b)

Tích f0(x)∆x (hay y0.∆x) được gọi là vi phân của hàm số f (x) tại x, ứng với

số gia ∆x, kí hiệu là df (x) hay dy

Ở đây kí hiệu f(0) = f ; f(n) là đạo hàm cấp n của f

5.5.2 Đạo hàm cấp cao

Định nghĩa 5.3 Cho hàm số f có đạo hàm cấp n − 1 (với n ∈ N, n ≥ 2) là

f(n−1) Nếu f(n−1) là hàm số có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạohàm cấp n của hàm số f và kí hiệu là f(n) Nói cách khác

0

, (n ∈ N, n ≥ 2)