ii Lấy được 3 bi không đỏ iii lấy được ít nhất 1 bi đỏ b Lấy ngẫu nhiên hai bi.. Tính xác suất để lấy được: i Hai bi khác màu.. 1Tìm giao tuyến của hao mặt phẳng : aSAC và SBD bSAB và S
Trang 1
1- PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1-Phương trình sinu = a
+ a <-1 hay a > 1 : phương trình vô nghiệm
+ -1 ≤ a ≤1 : Nếu a không là giá trị đặc biệt thì nghiệm của pt là : k z
k a u
k a u
a
2 arcsin 2 arcsin sin
π π
π
Nếu a là giá trị đặc biệt ,thì biến đổi đưa pt về dạng : k z
k v u
k v u v
+
−
=
+
=
⇔
=
2
2 sin
sin
π π
π
2-Phương trình cosu = a
+ a <-1 hay a > 1 : phương trình vô nghiệm
+ -1 ≤ a ≤1 : Nếu a không là giá trị đặc biệt thì nghiệm của pt là : k z
k a u
k a u
a
+
−
=
+
=
⇔
=
2 arccos
2 arccos cos
π π
Nếu a là giá trị đặc biệt ,thì biến đổi đưa pt về dạng : k z
k v u
k v u v
+
−
=
+
=
⇔
=
2
2 cos
cos
π π
3- Phương trình tanu = a Điều kiện : u ≠ ⇔u ≠ +k , k∈z
2 0
Nếu a không là giá trị đặc biệt ta cĩ : tanu=a⇔u= arctana+kπ ,k∈z
Nếu a là giá trị đặc biệt ,thì biến đổi đưa phương trình về dạng : tanu= tanv⇔u=v+kπ ,k∈z
4- Phươpng trình cotu = a Điều kiện : u≠kπ,k∈z
Nếu a không là giá trị đặc biệt : cotu =a⇔u=arccota+kπ ,k∈z
Nếu a là giá trị đặc biệt ,thì biến đổi đưa phương trình về dạng : cotu = cotv⇔u =v+kπ ,k∈z
BÀI TẬP
Bài 1 : Giải các phương trình
5 2 cos
x 2) sin(3x−2)=−1 3) cot(450−3x)= 3
6 2 sin
x 5) cos(3x+450)−sin4x=0 6) 1 0
4 3
2 cos
x π
7) (sinx+cosx) ( 3tan2x+1)=0 8) 1 0
3
2 cot 3 1 3 2
9) tan(2x+600) = 10
6
cot 3 2
x
4
3 3 cos 6 2
x
2 cosx =− x−
Bài 2 : Giải các phương trình
1) 4sin22x−3=0 2) sin2x – cosx = 0 3) sin2x + 2cos2x = 0
4) sin2x + cos22x = 1 5) sin2x + cos2x = 0 6) 8 sinx cosx cos2x = - 2
7) tan2x.cot3x = 2 8 ) sin22x- cos2x = 0 9) tan3x.tan2x = 1
3
1 3
2 2 cot x= 12) cosxcos2xcos4xcos8x =
16
1
Bài 3 : Giải phương trình : 0
2 sin 1
2 cos
=
x
3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Phương trình bậc 2 theo 1 hàm số lượng giác là pt cĩ một trong các dạng sau :
asin2x + bsinx + c = 0 (1) atan2x + btanx + c = 0 (3) acos2x + bcosx + c = 0 (2) acot2x + bcotx + c = 0 (4)
Trang 2
Cách giải : Đặt ẩn phụ t bằng một trong các hslg trên,pt (1) và (2) điều kiện -1 ≤ t ≤ 1 ,pt (3) và ((4) phải cĩ điều kiện của tanx và cotx
BÀI TẬP
Bài 1 :Giải các phương trình
1) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 2) tan22x−(1+ 3)tan2x+ 3=0
2 cot 6 2
cot2 x − x + = 4) 4 sin2 x − 2 ( 1 + 3 ) sin x + 3 = 0
Bài 2 : Giải các phương trình :
1) 8cos2x + 2sinx - 5 = 0 2) 2 cos 2 x + 2 cos x − 2 = 0
3) cos2x - 3sinx =1 4) 2 cos 2 x − 2 ( 1 + 3 ) sin x + 3 − 2 = 0
5) 6 sin23x +cos12x =14 6) cos 2 x − sin2x = 0
7) cos4x + cos2x =2 8) 3 tan 2 x + 3 cot 2 x − 3 − 3 = 0
9) 2cos2x – sin2x - 4cosx + 2 = 0 10) 9sin2x -5cos2x -5sinx + 4 = 0
11) cos2x + sin2x +2cosx + 1 = 0 12) tanx + 2cotx = 3
2 cos 2 2
sin2 x− x+ = 14) sin3x+cos3x =sinx + cosx
15)sin4x + cos4x = sin 2x
2
1
16) 2cos22x +3sin2x = 2
17) 2 – cos2 x = sin4x 18)
2
2 sin 2 cos
x
19) (3-2cosx)cosx = 2cos2x -1 20)
2 sin 2 cos 2 2
x
3/ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX : a sinx + b cosx = c (1)
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
) cos(
sin sin cos cos
) sin(
sin cos cos sin
b a b a b a
b a b a b a
=
±
±
=
±
Giải các phương trình :
1) 3 cos 2 x − 3 sin 2 x = − 3 2) 3 sin ( x − 300) + cos ( x − 300) = 1
3) 3sin2x + 4 cos2x = 5 4) 2 cos( − x ) + 2 sin ( π + x ) = 3
5) sinx + cosx = 2 6) sin 2 x + 2 3 cos2x = 0
7) sin 4 x = 3 ( cos 4 x − 1 ) 8) tan150.cosx + sinx -1 = 0
9)
2
1 sin
2
cos 1
sin
−
+
x x
4 /Một số pt áp dụng cơng thức biến đổi :
Vd: Giải các phương trình
1) sinx + sin2x + sin3x = 0 2) cos3x – cos4x + cos5x = 0 (*)
3) cos3x.cos7x = sin4x.sin6x 4) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2 (*) 5) 2sin2x.sinx =1 + cosx – cos3x 6) cos22x + cos2x = 1
7) 2 + cos2x + sin2x = 3sin2x 8) sinx + cos2x +sin3x + cos4x = 0
5 Tìm hệ số trong khai triển của nhị thức Niuton
Trang 3
BT a)Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển
10
1
+
x x
b)Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển
20
2
−
x x
a) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
6
2
1
−
x x
b) Tìm số hạng thứ 8 trong khai triển (1-2x)12
c) Tìm số hạng thứ 6 trong khai triển
12
2 4
x x
−
d) Tìm heä soá cuûa x8 trong khai trieån
16 5 3
1
2x
x
6 Xác suất
1) Có 4 quả cầu trắng , 5 quả xanh , 6 quả đỏ Chọn 3 quả Tính xác suất để chọn được:
a) Ba quả cùng màu b) Ba quả khác màu c) Ít nhất một quả trắng d) Không có quả trắng nào e) Có đúng một quả trắng f) Ít nhất hai quả trắng 2) Một bình có 16 viên bi với 7 bi trắng ,6 bi đen,3 bi đỏ
a) Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi Tính xác suất để :
i) Lấy được 3 bi đỏ ii) Lấy được 3 bi không đỏ iii) lấy được ít nhất 1 bi đỏ b) Lấy ngẫu nhiên hai bi Tính xác suất để lấy được:
i) Hai bi khác màu ii) Hai bi cùng màu
7/ Phép biến hình và hình học không gian
Bài 1 : Trong mp tọa độ Oxy cho điểm M(-2;5) ,đường thẳng (d) :2x – y + 3 = 0
và đường tròn ( C ) : x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0
1) Tìm ảnh của M,d qua phép tịnh tiến véc tơ →u = ( − 2 ; 1 )
2) Tìm ảnh của ( C ) qua phép vị tự tâm O ,tỉ số k = 2
Bài 2 : Trong mp tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) :5x –4 y + 3 = 0
và đường tròn ( C ) : x2 + y2 - x - 4y - 3 = 0
3) Tìm tọa độ ảnh của tâm đường tròn(C) qua phép tịnh tiến theo véctơ u→= − ( 3; 4)
4) Tìm ảnh của d, ( C ) qua phép vị tự tâm ( , 1)
3
O
V
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình:x2+ y2− 2 x + 4 y − = 6 0
Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo v r
(-2;5)
Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình: x-y-5=0
Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép vị tự tỉ số k = -2.
Bài 5 : ( 2 điểm ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành ,tâm O
1)Tìm giao tuyến của hao mặt phẳng :
a)(SAC) và (SBD) b)(SAB) và (SCD) 2) Gọi M là trung điểm của SD Tìm giao điểm của :
a) SA với mp(MBC) b) SO với mp(MBC)
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác ABCD có hai cạnh đối diện không song song Lấy điểm M
thuộc miền trong tam giác SCD.Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
a (SBM) và (SCD)
b (ABM) và (SCD)
c (ABM) và (SAC)
Bài 7.Cho tứ diện ABCD.Trên các cạnh AB,AC,BD lần lượt lấy các điểm M,N,P sao cho MN không //BC, MP
không //AD Tìm các giao tuyến sau:
a) (MNP)(ABC) b) (MNP)(ABD)
c) (MNP)(BCD) d) (MNP)(ACD)
Trang 4
Bài 8.Cho tứ diện ABCD.Trên các cạnh AB,AC lần lượt lấy các điểm M,N sao cho MN không //BC,trong tam
giác BCD lấy điểm I Tìm các giao tuyến sau:
a) (MNI)(ABC) b) (MNI)(BCD)
c) (MNI)(ABD) d) (MNI)(ACD)
Bài 9.Cho hình chóp S.ABCD có đáy không phải hình thang.Tìm các giao tuyến sau:
a) (SAC)(SBD) b) (SAB)(SCD) c) (SAD)(SBC)
Bài 10 Cho tứ diện ABCD.Trong 2 tam giác ABC và BCD lấy 2 điểm M,N.Tìm các giao tuyến sau:
a) (BMN)(ACD) b) (CMN)(ABD) c) (DMN)(ABC)
Bài 11 Cho tứ diện ABCD.Trên cạnh AB lấy điểm I ,trong 2 tam giác BCD và ACD lần lượt lấy 2 điểm J,K.Tìm
các giao tuyến sau:
a) (ABJ)(ACD) b) (IJK) (ACD)
c) (IJK)(ABD) d) (IJK)(ABC)
Bài 12.Cho tứ diện ABCD.Trên các cạnh AB,AC lấy 2 điểmM,N; trong tam giác BCD lấy điểm P.Tìm các giao
điểm sau:
a) MP(ACD) b) AD(MNP) c) BD (MNP)
Bài 13.Cho hình chóp S.ABCD có đáy không phải hình thang.Trên cạnh SC lấy một điểm E
a)Tìm giao điểm F của đường thẳng SD với mặt phẳng (ABE)
b) Chứng minh rằng 3 đường thẳng AB ,CD và EF đồng qui 5.Cho tứ diện ABCD.Trên cạnh AB lấy điểm M
,trong 2 tam giác BCD và ACD lần lượt lấy 2 điểm N,K.Tìm các giao tuyến sau:
a) CD(ABK) b) MK (BCD)
c) CD(MNK) d) AD (MNK)
Bài 14.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành tâm O.Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA
và SC.Gọi (P) là mặt phẳng qua 3 điểm M,N và B
a) Tìm các giao tuyến (P) ∩ (SAB) và (P) ∩ (SBC)
b)Tìm giao điểm I của đường thẳng SO với mặt phẳng (P) và giao điểm K của đường thẳng SD với mặt phẳng (P)
c)Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (P) với mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (SDC)
d)Xác định các giao điểm E, F của các đường thẳng DA,DC với (P) Chứng minh rằng E ,B ,F thẳng hàng
Bài 15.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và SC
a)Xác định I = AN ∩ (SBD) và J = MN ∩ (SBD)
b)Tính các tỉ số ; và
Bài 16.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn AB.Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SB và SC
a)Xác định giao tuyến (SAD) ∩ (SBC)
b)Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AIJ)
c)Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AIJ)
Bài 17.Cho tứ diện ABCD,gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC.Trên đoạn BD ta lấy điểm P sao
cho BP = 2PD.Tìm giao điểm của:
a)CD với mặt phẳng (MNP) b)AD với mặt phẳng (MNP)
Bài 18.Cho tứ diện SABC Gọi I và H lần lượt là trung điểm của SA và AB.Trên đoạn SC ta lấy điểm K sao cho
CK = 3KS
a)Tìm giao điểm của đường thẳng BC và mặt phẳng (IHK)
b)Gọi M là trung điểm IH.Tìm giao điểm của KM với mặt phẳng (ABC)
Bài 19.Cho hình chóp S.ABCD sao cho ABCD không phải là hình thang.Trên cạnh SC lấy một điểm M
Tìm giao điểm N của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMB)