TRƯỜNG THCS
THIỆU PHÚ
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN
( Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề )
Câu 1: (2,5 đ)
Cho biểu thức: M = ( 25 1
25
a
a Rút gọn M
b Tìm giá trị của a để M<1
c Tìm GTLN của M
Câu 2: ( 1 đ): Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3x + 4x = 5x
Câu 3: ( 3 đ)
a/ Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2
b/ Cho x, y, z là các số dương thoả mãn 1 1 1 6
x y y z z x Chứng minh rằng: 3x 31y 2z3x 21y 3z2x 31y 3z 32
Câu 4: ( 2 đ) Cho điểm A di chuyển trên đường tròn O đường kính BC = 2R ( A
không trùng với B và C) Trên tia AB lấy điểm M sao cho B là trung điểm của
AM Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC và I là trung điểm của HC
a/ CMR: M chuyển động trên một đường tròn cố định
b/ CMR: AHM đồng dạng với CIA
Câu 5: ( 1,5 đ)
Cho hai điểm A, B cố định và điểm M di động sao cho tam giác MAB có ba góc nhọn Gọi H là trực tâm của tam giác MAB và K là chân đường cao vẽ từ M của tam giác MAB Tìm GTLN của tích KH.KM./
Trang 2
-Hết -HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG LỚP 9
Năm học: 2013 -2014 Thời gian làm bài: 150 phút
a
ĐK: a 0 ; a 4 ; a 25
(
a
( 5)
1 ( 5)( 5)
a a
5
a
: 25 25 4
( 5)( 2)
5
a
( 5)( 2)
4
a
= 5
2
a
0,5 0,5 0,5
b
c
5 2
a < 1 <=> 5
2
a -1< 0 <=>5 2
2
a a
< 0
<=> 3- a < 0 ( vì a + 2>0) <=> a > 3 <=> a >9
Vậy với a>9; a 25 thì M<1
Để M đạt GTLN < = > 5
2
a < = > a + 2 nhỏ nhất < = > a = 0 Vậy với a= 0 thì M đạt GTLN
0,5
0,5
2 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3x + 4x = 5x
3x + 4x = 5x <=> (3
5)x + (4
5)x =1
Ta thấy : x= 2 là nghiệm của phương trình
Xét : x 2
Nếu x> 2 thì (3
5)x + (4
5)x >1 Nếu x< 2 dễ thấy : x= 0 và x= 1 không là nghiệm của phương trình
Nếu x<0 ta đặt x= -y thì y > 0 nên y 1
Ta có: (3
5)x + (4
5)x =1
<=> (3
5)-y + (4
5)-y = 1
1đ
0,25 0,25
0,25
Trang 3<= > (5
3)y + (5
4)y = 1 phương trình vô nghiệm vì (5
3)y + (5
4)y 5 5
3 4 > 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên duy nhất : x = 2
0,25
a Cho hai số dương thỏa mãn: x + y =1
Tìm GTNN của biểu thức: M = x2 12 y2 12
M = x2 12 y2 12
4 4 2 2
2 2
x y
2 2
x y x y
xy
x y
Vậy M =
xy xy
Dấu “=” xảy ra
1
2
(Vì x, y > 0)
Vậy min M = 289
16 tại x = y =
1 2
0,25 0,25
0,25 0,25
0,25
0,25
b
Cho x, y là các số dương thỏa mãn: 1 1 1 6
x y y z z x
3x3y2z 3x2y3z 2x3y3z 2
Áp dụng BĐT 1 1 4
a b a b (với a, b > 0)
4
Ta có:
3x 3y 2z 2x y z x 2y z 4 2x y z x 2y z
0,25
Trang 4
4 x y x z x y y z 4 4 x y x z x y y z
3x 2y 3z 16 x z x y y z
2x 3y 3z 16 y z x y x z
cộng vế theo vế, ta có:
3x 3y 2z 3x 2y 3z 2x 3y 3z 16 x y x z y z
.6
0,25
0,25 0,25
0,5
4
O'
I H
M
O
A
B
C
2đ
a Lấy O’ đối xứng với O qua B, khi đó O’ cố định
Ta có AOB MO B ( c.g.c) O M OA R ' , do đó M chuyển
động trên đường tròn (O’; R) cố định
0,5 0,5
b Ta có ABC vuông ở A (Vì có 1 cạnh là đường kính của đường tròn ngoại
tiếp tam giác)
nên: MAH ACI (1) (2 góc có cạnh tương ứng vuông góc)
mà AHB CHA (g.g)
2
HC AH CI AH CI AH AH
Vậy AC AM
CI AH (2)
Từ (1) & (2) AHM CIA (c.g.c)
0,25 0,25 0,25
0,25
Trang 5Ta có: BKM HKA (g.g)
Mặt khác: BK.KA
2 2
BK KA AB
2
4
AB
KM KH
Vậy max (KM.KH) =
2
4
AB
khi BK = KA, tức là K là trung điểm của AB
1,5đ
0,5 0,25
0,25 0,25 0,25
H
K
M