Đề và đáp án CA SIO 9

Hỏi hàng thỏng, người đú phải đều đặn trả vào ngõn hàng một khoản tiền cả gốc lẫn lói là bao nhiờu để đến thỏng thứ 48 thỡ người đú trả hết cả gốc lẫn lói cho ngõn hàng?. b Nếu người đú

- đề thi học sinh giỏi trên máy tính casio

Câu 1(5đ) (chỉ nêu đáp số)

Tính giá trị các biểu thức sau( chính xác đến 6 chữ số thập phân)

100 99 98

101 100 99

A 20 1957 20 1987 20 2008

19,(30) 20, 0(8)

+ + + + +

Câu 2(5đ) (chỉ nêu đáp số)

a)Tìm các số tự nhiên a,b, c biết

1

1 1

1 9

1 4 5

=

+ + + +

−

−

006 , 2 145 , 3

7 , 14 : 51 , 48 25 , 0 2 , 15

x

) 25 , 3 5 , 5 ( 8 , 0 2 , 3

5

1 1 2

1 2 : 66

5 11

2 44 13

− +











 − −

Câu 3(5đ) Cho A ={2;6;12;20;30;42;56;72; ;4034072} ;

B = 3;15;35;63;99;143;195; ;4032063

Gọi C là tổng các số nghịch đảo của các phần tử trong A; G là tổng các số nghịch đảo của các phần tử trong B Tính C.G (kết quả để ở dạng phân số)

Câu 4(5đ) Chứng minh rằng: tổng 10 chữ số tận cùng của số 281120082 là số nguyên tố.

Câu 5(5đ) Cho A(x) = 20 x3 - 11x +2008 ; B(x) = 20x 3 - 11x + 1987 Gọi a là số d khi chia A(x) cho x -2, b là số d khi chia B(x) cho x -3

Hãy tìm số d khi chia b cho a, ƯCLN(a;b), BCNN(a;b), Ư(b-a).

Câu 6(5đ)

Cho đa thức A(x) = x 4 +ax 3 +bx 2 +cx+d thoả mãn A(1) =1; A(2) =3; A(3) =5; A(4) =7.

a) Xác định đa thức trên.

b) Tìm m để A(x) + m chia hết cho x-5

Câu 7(5đ) Cho tgα =20,102008; tg β = 27,72008 Tính giá trị của biểu thức(chính xác đến 0,001)

5sin 9 cos 15sin cos 10 cos

A

20 cos 11cos sin 22sin 12sin

α − α + α α − α

=

5 β +2008sin 2 β

Câu 8(5đ) Cho dãy số với số hạng tổng quát đợc cho bởi công thức :

( ) (n )n

n

13+ 3 - 13- 3

U =

2 3

(n ∈ N * )

a) Tính U 1 ; U 2 ; U 3 ; U 4 (chỉ nêu đáp số )

b) Lập công thức truy hồi tính U n+1 theo U n và U n-2

c) Lập quy trình bấm phím tính U n+1 Tính U 8 - U 5

Câu 9(5đ)

a) Một người vay vốn ở một ngõn hàng với số vốn là 50 triệu đồng, thời hạn 48 thỏng, lói suất 1,15% trờn thỏng, tớnh theo dư nợ, trả đỳng ngày qui định Hỏi hàng thỏng, người đú phải đều đặn trả vào ngõn hàng một khoản tiền cả gốc lẫn lói là bao nhiờu để đến thỏng thứ 48 thỡ người đú trả hết cả gốc lẫn lói cho ngõn hàng?

b) Nếu người đú vay 50 triệu đồng tiền vốn ở một ngõn hàng khỏc với thời hạn 48 thỏng, lói suất 0,75% trờn thỏng, trờn tổng số tiền vay thỡ so với việc vay vốn ở ngõn hàng trờn, việc vay vốn ở ngõn hàng này cú lợi gỡ cho người vay khụng?

Câu 10(5đ)

Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đờng tròn( Ax, By, và nửa đờng tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng có bờ là AB) Từ M trên nửa đờng tròn vẽ tiếp tuyến thứ 3 cắt Ax, By lần lợt tại C,D Cho biết

MC = 11.2007; MD = 11.2008 Tính MO và diện tích tam giác ABM.

Hớng dẫn chấm

Chú ý: - Trong các phần, cứ sai một chữ số thì trừ 0,5đ

- Học sinh giải theo cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa

1 A=39,908336

2 a)a=2; b=215; c=2129

3

=

2008 1004 2 016 032

2009 2009 4 036 081

1

1 1

1

1

4

=(2811.104+2008)2

= (2811.104)2+2.2811.104.2008+20082

= 790 172 100 000 000+112 889 760 000+4 032 064

= 790 284 993 792 064

Tổng 10 chữ số tận cùng của A là 4+9+9+3+7+9+2+0+6+4=53

Mà 53 là số nguyên tố => đpcm

1

1 1 1 1

a/ Giá trị của biểu thức A(x) tại x = 2 chính là số d của phép chia đa thức trên cho

x – 2

Quy trình bấm phím trên máy 500 MS:

2 SHIFT STO X 20 ALPHA X ^ 3 - 11 ALPHA X +2008 =

( đợc kết quả là a=2146)

Tơng tự ta có b=2494

a = 2146 = 37 = 37.

Do đó: số d khi chia b cho a là 2494 – 1.2146 =348

ƯCLN(a;b) = 2494:43 = 58

BCNN(a;b) = 2494.37=92 278

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

Quy trình ấn phím tìm Ư(b-a) = Ư(348) trên 570MS:

ALPHA A ấn = liên tiếp và chọn các kết quả là số nguyên

Kết quả Ư(348) = {1;2;3;4;5;6;12;29;58;87;116;174;348}

1 1

6

a) Đặt B(x) = 2x-1 B(1)=1; B(2)=3; B(3)=5; B(4)=7

=> A(x)-B(x) có 4 nghiệm 1; 2; 3; 4

=> A(x)-B(x)= (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)

=> A(x)= (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+B(x)

=> A(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+2x-1

=> A(x)=x4-10x3+35x2- 48x+23

Ngoài ra có thể sử dụng cách giải hệ phơng trình

1 a b c d 1

16 8a 4b 2c d 3

81 27a 9b 3c d 5

196 64a 16b 4c d 7

+ + + + =



 + + + + =



 + + + + =





Rút ẩn d từ phơng trình thứ nhất thay vào phơng trình còn lại để đợc hệ phơng trình 3 ẩn , dùng máy giải để tìm a,b,c,d

b)A(x) + m chia hết cho x-5 khi A(5) + m = 0.

Do đó m = - A(5) = -33

1 1 1

1 1

7

Quy trình ấn phím:

SHIFT STO A sin ALPHA A SHIFT STO B cos ALPHA A

x

Kết quả là: 2004,862

4 1

8 a) U1 = 1; U2 = 26; U3 = 510; U4 = 8944

b) Đặt Un+1 = a.Un + b.Un-1

Theo kết quả tớnh được ở trờn, ta cú:

8944 510 26 510a 26 8944

Giải hệ phương trỡnh trờn ta được: a = 26,b = -166

Vậy ta cú cụng thức: Un+1 = 26Un – 166Un-1

c) Lập quy trỡnh bấm phớm trờn mỏy CASIO 500MS:

Quy trình bấm phím để tính u n+1 trên máy 500 M

1 SHIFT STO A 26 SHIFT STO B

26 ALPHA B - 166 ALPHA A SHIFT STO A

26 ALPHA A - 166 ALPHA B SHIFT STO B

ấn ∆ = đợc u5

ấn tiếp ∆ = đợc u6; …

Quy trình bấm phím trên máy 570 MS

1 SHIFT STO A 26 SHIFT STO B 2 SHIFT STO C

(biến đếm) ALPHA C ALPHA = ALPHA C + 1 ALPHA : ALPHA

A ALPHA = 26 ALPHA B - 166 ALPHA A ALPHA : ALPHA C ALPHA = ALPHA C + 1 ALPHA : ALPHA B ALPHA = 26 ALPHA A

- 166 ALPHA B

2

1

1

ấn = liên tiếp đến khi dòng trên xuất hiên C=C+1 cho kết quả = n+1 thì

ta ấn tiếp 1 lần = sẽ đợc u n+1

Ta đợc:

U5 = 147 884; U6 = 2 360 280; U7 = 36 818 536; U8 = 565 475 456

=> U8 – U5 = 565 327 572

1

9

a) Gọi số tiền vay của người đú là N đồng, lói suất m% trờn thỏng, số thỏng vay

là n, số tiền phải đều đặn trả vào ngõn hàng hàng thỏng là A đồng

- Sau thỏng thứ nhất số tiền gốc cũn lại trong ngõn hàng là:

100

m

 + 

m

 + 

 

- Sau thỏng thứ hai số tiền gốc cũn lại trong ngõn hàng là:

- Sau thỏng thứ ba số tiền gốc cũn lại trong ngõn hàng là:

Tương tự : Số tiền gốc cũn lại trong ngõn hàng sau thỏng thứ n là :

Nxn– A(xn-1+xn-2+ +x+1)đồng

Vỡ lỳc này số tiền cả gốc lẫn lói đó trả hết nờn ta cú :

Nxn = A (xn-1 +xn-2 + +x+1) ⇒ A =

n

Nx 1

− + − + + +

1

−

−

n n

Nx x x

Thay bằng số với N = 50 000 000 đồng, n = 48 thỏng, y =1,0115 ta cú :

A = 1 361 312,807 đồng

b) Nếu vay 50 triệu đồng ở ngõn hàng khỏc với thời hạn như trờn, lói suất 0,75% trờn thỏng trờn tổng số tiền vay thỡ sau 48 thỏng người đú phải trả cho ngõn hàng một khoản tiền là:

50 000 000 + 50 000 000 0,75% 48 = 68 000 000 đồng

Trong khi đú vay ở ngõn hàng ban đầu thỡ sau 48 thỏng người đú phải trả cho ngõn hàng một khoản tiền là:

1 361 312,807 48 = 65 343 014,74 đồng

Như thế việc vay vốn ở ngõn hàng thứ hai thực sự khụng cú lợi cho người vay trong việc thực trả cho ngõn hàng

1 1 1

1

1

10

Từ đó dùng hệ thức lợng ta đợc : OM= MC.MD = 20 11.2007 11.2008 20 ≈ 1,648930728

b)cm đợc :

AMB

2 COD

AMB 2

AMB CMO(g g)

S AB 4OM

S CD CD 4OM 1 4OM

S CD.OM 1,359486273

CD

 

⇒ = ữ =

 

:

1 1 1

1 1

y

x

D

C

M

A