Một số phép biến đổi bảo toàn yếu tố cạnh của tam giác trong chương trình toán Trung học cơ sở 2.. Sáng tác bài toán Trung học cơ sở bằng phương pháp áp dụng một số đồng nhất thức cơ bả
Trang 1TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM GIA LAI
TỔ TOÁN - -
Chuyên đề bồi dưỡng thường xuyên
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM
TỔ TOÁN
TS TRỊNH ĐÀO CHIẾN ThS NGUYỄN VĂN MINH
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG THƯỜNG XUYÊN HÈ 2013
MÔN: TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ
1 Một số phép biến đổi bảo toàn yếu tố cạnh của tam giác trong chương trình toán Trung học cơ sở
2 Sáng tác bài toán Trung học cơ sở bằng phương pháp áp dụng một số đồng nhất thức cơ bản
3 Chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán bậc Trung học cơ sở
4 Khai thác một số bài toán hình học Trung học cơ sở
GIA LAI – HÈ 2013
Trang 3MỤC LỤC
Trang Chuyên đề I: Một số phép biến đổi bảo toàn yếu tố cạnh của
tam giác trong chương trình toán Trung học cơ sở
4
Chuyên đề II: Sáng tác bài toán Trung học cơ sở bằng
phương pháp áp dụng một số đồng nhất thức cơ bản
24
Chuyên đề III: Chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi môn
toán bậc Trung học cơ sở
33
Chuyên đề IV: Khai thác một số bài toán hình học Trung
học cơ sở
35
Trang 35CHUYÊN ĐỀ 4:
KHAI THÁC MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC TRUNG HỌC CƠ SỞ
ThS Nguyễn Văn Minh
ĐẶT VẤN ĐỀ
Khi giải xong một bài toán hình học ta đừng vội thỏa mãn ngay với cách giải này mà hãy suy nghĩ xem có cách giải nào hay hơn, xét xem bài toán này xuất phát từ bài toán cơ bản nào và từ bài toán này ta có thể khai thác thêm bài toán nào nữa bằng cách cho thêm một giả thiết, hoặc kết hợp thêm một bài toán có liên quan
Để có thêm bài toán mới ta thường khai thác bài toán theo cách sau:
+ Phát hiện các yếu tố bản chất và không bản chất trong bài toán;
+ Xét trường hợp đặc biệt của bài toán;
+ Xét bài toán tổng quát;
+ Xét bài toán tương tự;
+ Xét bài toán đảo;
+ Khai thác bài toán dưới dạng chứng minh, tính toán, quỹ tích, dựng hình, tìm cực trị;
Ngay với bài toán đơn giản trong sách giáo khoa ta cũng có thể khai thác được nhiều bài toán mới
Sau đây là những bài toán minh họa cho những điều nói trên
BÀI TOÁN 1: (Lớp 7)
Cho hai tia Ax // By và C là điểm ở trong miền mặt phẳng giới hạn bởi Ax,
By, AB Chứng minh ACB AB
Trang 36Từ bài toán 1 ta có thể mở rộng thành các bài toán sau:
Bài toán 1.1: (Bài toán đảo của bài toán 1): Cho hình dưới đây, trong đó
ACB A B C/m rằng Ax song song với By
Bài toán 1.2: Cho hình dưới đây, trong đó Ax // By C/m rằng 360O
y B
C
x A
y B
C
x A
m
y B
C
x A
D C
B A
C
y B
x A
Trang 37B A
Khai thác BE = CD và BE CD, bằng cách vẽ
trung điểm của BD, BC, CE ta có bài toán:
Bài toán 2.2: (Lớp 8)
Cho tam giác ABC Ở phía ngoài tam giác
ABC, vẽ các tam giác vuông cân tại A là ABD, ACE
Gọi F, M, K theo thứ tự là trung điểm của BD, BC,
CE C/m rằng FMK là tam giác vuông cân
Khai thác bài toán 2.2, gọi G là trung điểm của
DE Theo bài toán 2.2 ta có tam giác FMK vuông cân nên FMKG là hình vuông Ta
có bài toán:
Bài toán 2.3: (Lớp 8)
Cho tam giác ABC Ở phía ngoài tam giác
ABC, vẽ các tam giác vuông cân tại A là ABD,
ACE Gọi F, M, K, G theo thứ tự là trung điểm của
BD, BC, CE, ED C/m rằng FMKG là hình vuông
Tương tự bài toán 2 nhưng thay tam giác vuông cân
bằng tam giác đều, ta có bài toán:
Bài toán 2.4: (Lớp 7)
Cho tam giác ABC Ở phía ngoài tam giác
ABC, vẽ các tam giác đều là ABD, ACE C/m rằng:
a/ BE = CD
K I
E
C D
B A
B A
Trang 38Cho tam giác ABC Ở phía ngoài tam giác
ABC, vẽ các tam giác cân tại A có góc ở đỉnh
bằng là ABD, ACE C/m rằng:
a/ BE = CD
b/ Một trong các góc tạo bởi BE và CD bằng
c/ (Lớp 9) giao điểm I của BE và CD nằm trên
các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD và ACE
Xét trường hợp suy biến của bài toán 2 khi ba điểm A, B, C thẳng hàng ta có bài toán:
A góc 90o ngược chiều kim đồng hồ thì được tam giác BAE Nếu gọi G là trung điểm của DC, H là trung điểm của BE thì AG quay quanh A góc 90o ngược chiều quay của kim đồng hồ được AH, tức là tam giác GAH
vuông cân Ta có bài toán:
Bài toán 2.7:
Cho tam giác ABC Ở phía ngoài tam giác
ABC, vẽ các tam giác vuông cân tại A là ABD, ACE
Gọi G là trung điểm của DC, H là trung điểm của BE
C/m rằng tam giác GAH là tam giác vuông
cân
Bài toán 2.8:
Cho tam giác ABC Ở phía ngoài tam giác ABC, vẽ các tam giác đều ABD,
ACE Gọi G là trung điểm của DC, H là trung điểm của BE
C/m rằng tam giác GAH là tam giác đều
I D
E
C A
B
H G
D
E
C B
A
I D
E
C B
A
Trang 39C/m rằng tam giác GAH là tam giác đều
H
O F A
Trang 406
B C CAx C A A A A hay OAH B C
Cách 4: Ta có tam giác OAC cân tại O nên 0 0
Từ bài toán 3 ta có thể mở rộng thành các bài toán sau:
Trong bài toán 3 có điều kiện tam giác ABC nhọn, bài toán 3 vẫn đúng trong trường hợp tam giác ABC nhọn hoặc tù Ta có bài toán tổng quát hơn bài toán 3:
Bài toán 3.1:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), BC, đường cao AH
C/m rằng OAH B C
Trong cách giải 4 của bài toán 3 ta thấy có sử dụng kết quả là OACBAH, tức
là AO và AH tạo với AC và AB hai góc bằng nhau Dựa vào kết quả này ta có bài toán sau:
Bài toán 3.2:
Trong một tam giác, bán kính của đường tròn ngoại tiếp và đường cao cùng
đi qua 1 đỉnh tạo với hai cạnh đi qua đỉnh ấy hai góc bằng nhau
Từ kết quả của bài toán 3.2 ta có bài toán:
Trang 417
I
C M
H B
Cho tam giác ABC, AB < AC, đường cao AH, đường phân giác AD Gọi O
là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC C/m rằng AD là tia phân giác của góc OAH
Đặc biệt hóa bài toán 3.2 khi 0
90
A thì bán kính AO trở thành đường trung tuyến ứng với cạnh huyền Khi đó ta có bài toán:
Gọi I là trung điểm của AB
ABH vuông tại H IA = IH BAHIHA (1)
Ta có IM // AC ( IM là đường trung bình của ABC)
MACIMA (2)
Từ (1) và (2) IHAIMA tứ giác AIHM nội tiếp
Ta có AHM 90 0 AIM 90 0 MI AB mà IM // AC
ABAC BAC 90 0
D H
O
C B
A
Trang 42và mở rộng bài toán cũng rất cần thiết và thú vị
Khai thác và mở rộng bài toán sẽ giúp chúng ta hiểu sâu vấn đề hơn, đặt ra được nhiều đề toán mới, tìm được mối liên hệ giữa các bài toán khác nhau cũng như giúp chúng ta rèn luyện khả năng tổng quát hóa hay đào sâu suy nghĩ một vấn đề nào đó
Tôi hy vọng bài viết này sẽ là một tài liệu tham khảo bổ ích cho các em sinh viên, hỗ trợ các em trong quá trình giảng dạy sau này