a Hãy viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua hai điểm M và N.. b Hãy viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường trung trực đọan M
Trang 1Ôn Tập Hình Học
1 Kiến thức cần nắm
Nếu ar
(x;y) và br(x’;y’) thì ar
br = x.x’ + y.y’
Nếu ar
(x;y) thì | ar
| = x2 +y2 Nếu ( ;A x y A A) và ( ;B x y B B) thì AB=|uuurAB|= (x B −x A)2+(y B −y A)2
cos( ; )
| | | |
a b
a b
a b
=
r r r
r
* Phương trình tham số của đường thẳng đi qua A(xA;yA) và nhận ur =( ; )u u1 2
2
A A
x x u t
t R
y y u t
∈
= +
* Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua A(xA;yA) và nhận nr =( ; )a b
làm VTPT là: a(x – xA) + b(y – yA) = 0 hay ax + by + c = 0 với c = -axA – byA
* Nếu d: ax + by + c = 0 thì d có VTPT là nr =( ; )a b và d có VTCP là ( ; )
ur = −b a hoặc ur=( ;b a− )
* Muốn xét vị trị tương đối giữa 2 đường thẳng khi biết phương trình của nó thì lập hệ gồm các phương trình đã cho giải hệ dựa vào số nghiệm để kết luận vị trí tương đối
* Nếu d: ax + by + c = 0 và d’ : a’x + b’y + c’ = 0 thì góc giữa d và d’ tính theo công thức: cos( , ') 2 | '2 ' |2 2
( ') ( ')
a a b b
d d
+
=
* Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 và A(xA;yA) thì khoảng cách từ A đến đường thẳng ∆ được tính bởi công thức: ( , ) |ax A 2by A2 c|
d A
a b
∆ =
+
* Phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R có dạng: (x - a)2 + (y - b)2 = R2
* Phương trình x2+y2−2ax -2by + c = 0là pt đường tròn ⇔a2+ − >b2 c 0
* Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm I(a;b) bán kính R tại tiếp điểm
Mo(xo;yo) có dạng: (xo-a)(x-xo) + (yo-b)(y-yo)=0
* Phương trình tiếp tuyến của đường tròn biết :
+ Tiếp tuyến đi qua điểm + Tiếp tuyến song song với đường thẳng d: ax+by+c=0 + Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d’: ax+by+c=0
2.Đường tròn:
Trang 2 Phương trình chính tắc của đường tròn tâm I x y ; bán kính R:( 0; 0)
(x x- ) +(y y- ) =R
Phương trình tổng quát: x2+y2- 2ax- 2by c+ = với điều kiện 0 a2+b2> làc
phương trình của đường tròn tâm I a b ; bán kính ( ); R = a2+b2- c
Đường thẳng D:ax by c+ + = tiếp xúc với đường tròn 0 (I R khi và chỉ khi:; ) ( ; )
d I D = R
3 Elip:
Phương trình chính tắc của elip:
a +b = Trong đó:
a2=b2+c2
a
a
=
- 2 tiêu điểm: F1(- c;0); F c2( );0
4 đỉnh: A1(- a;0); A a2( );0 ; B1(0;- b) ; B2( )0;b
Độ dài trục lớn: A A1 2=2a
Độ dài trục bé: B B1 2=2b
Tiêu cự: F F1 2=2c
Tâm sai: e c (e 1)
a
Phương trình hai đường chuẩn: x a a2
= ± = ±
4 Bài tập Bài 1: Cho A(-1, -1) ; B(1, 3) ; C(5, -1)
a) Tìm toạ độ chân đường cao AA’ của ∆ABC ?
b) Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của ∆ABC ?
c) Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và bán kính ?
d) Tính số đo góc C của ∆ABC ?
ĐS: a)(2, 2) b)H(1, 1); G(35,31) c)(2, 0) ; 10 d)4
π
Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm M(-3; 1) và N(7; 5).
a) Hãy viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua hai điểm M và N
b) Hãy viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường trung trực đọan MN
Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ABC biết A(-2 ; -3) ; B(1; 4) và C(2; 5)
Trang 3a) Hãy viết phương trình tổng quát các cạnh AB, BC, CA
b) Hãy viết phương trình tham số của các đường cao AH, BH, CH Tìm tọa độ trực tâm H c) Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB Hãy viết phương trình tổng quát của các đường trung tuyến AD, BE, CF Hãy viết phương trình tổng quát của các đường trung trực của các đọan AB, BC, CA
d) Tính chu vi và diện tích ∆ABC
Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ABC biết A(3 ; 1) ; B(-2; 4) và C(-3; 7)
a) Hãy viết phương trình tham số và tổng quát các cạnh AB, BC, CA
b) Hãy viết phương trình tổng quát của các đường cao AH, BH, CH Tìm tọa độ trực tâm H c) Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB Hãy viết phương trình tham số của các đường trung tuyến AD, BE, CI Hãy viết phương trình tham số của các đường trung trực của các đọan MN, MI, NI
d) Tính chu vi và diện tích ∆ABC
Bài 5: Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua M(2; 5) và có hệ số góc k = -7
Bài 6: Viết phương trình tổng quát đường thẳng ∆ đi qua N(-3; 2) và chắn hai trục tọa độ hai đọan có độ dài bằng nhau
Bài 7: Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:
a) đi qua A( 2; 3) và song song với đường thẳng ∆: 5x + 1 = 0;
b) đi qua B(5;-7)và vuông góc với đường thẳng ∆: x + 3y – 6 = 0 Tìm giao điểm của d và ∆
Bài 8: Cho hai đường thẳng 1 2 3
:
1
d
= −
= +
1 2 ' :
3 '
d
= − −
a) Tìm tọa độ giao điểm M của d1 và d2
b) Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của
- Đường thẳng đi qua M và vuông góc với d1
- Đường thẳng đi qua M và vuông góc với d2
Bài 9: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau
a) d: x + y – 2 = 0 và d’: 2x + y – 3 = 0 b) d: 1 4
2 2
= −
= +
0
:
2 4
d
= − −
= +
6 5 ' :
2 4
d
= − +
= −
2
y t
= − +
2
4 '
:
2 '
x t
=
= −
V
Bài 10: Tính bán kính của đường tròn có tâm là điểm I(1; 5) và tiếp xúc với đường thẳng:
4x – 3y + 1 = 0
Bài 11: Cho điểm A(-1; 2) và đường thẳng ∆ : 1 2
2
= − +
Tính khoảng cách từ A đến ∆.
Bài 12: Tìm tâm ,bán kính của các đường tròn có phương trình sau:
a ( ) (2 )2
c x2 +y2−2x+4y+ =1 0 d x2+y2+8x−6y− =11 0 e
Bài 13: Viết phương trình đường tròn trong các trương hợp sau:
a.Đường tròn tâm I(2;-7), bán kính R = 3
b Đường tròn tâm I(-4;3),qua A(2;11)
c Đường tròn tâm I(1;3) và tiếp xúc với d:3x - 4y +5 = 0
Trang 4d Đường trịn đường kính AB Với A(4;2) và B(5;-4)
e Đường trịn qua ba điểm A(1;2) ,B(5;2),C(1;-3) hoặc A(1;1); B(7;1); C(4;4)
Bài 14: Trong mặt phẳng Oxy cho đường trịn (C):x2+y2− 2x− 4y+ = 4 0
a) Định tâm và tính bán kính của đường trịn (C)
b) Qua A(1;0) hãy viết phương trình tiếp tuyến với đường trịn đã cho và tính gĩc tạo bởi 2 tiếp tuyến đĩ
Bài 15: Cho đường trịn (C): x2 + y2 +8x -4y + 2 =0
a) Tìm tâm và bán kính đường trịn (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A(-1;5)
c) Viết phương trình đường thẳng trung trực của AI (I là tâm của (C))
Bài 16: Cho A(1;-3) và đường thẳng d: 3x+4y-5=0.
a) Viết phương trình đường thẳng d’ qua A và vuơng gĩc với d
b) Viết phương trình đường trịn tâm A và tiếp xúc với d
Bài 17 : Trong mặt phẳng Oxy, cho ∆ABC với A(1; 2), B(2; –3), C(3; 5)
a) Viết phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ A
b) Viết phương trình đường trịn tâm B và tiếp xúc với đường thẳng AC
Bài 18: Cho ∆ABC cĩ ( 1; 2), (2;0), ( 3;1)A − B C −
a) Viết phương trình các cạnh của ABC∆
b) Viết phương trình đường trịn (C) ngoại tiếp ∆ABC
c) Tính diện tích ABC∆
d) Viết phương trình tiếp tuyến của đường trịn (C) tại A
Bài 19: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(–1; 0), B(1; 6), C(3; 2).
a) Viết ptts,pttq của đường thẳng AB
b) Viết pttq đường cao CH của tam giác ABC (H thuộc đường thẳng AB) Xác định tọa độ điểm H
c) Viết phương trình đường trịn (C) cĩ tâm là điểm C và tiếp xúc với đường thẳng AB
Bài 20: Cho tam giác ABC cĩ A(1; 1), B(– 1; 3) và C(– 3; –1).
a) Viết pt đthẳng AB b) đường trung trực đọan thẳng AC
c) Đtrịn đkính BC d)Đtrịn tâm B và qua C
Bài 21: a) Cho đường thẳng d: x t
y 1 22 2t
= − −
= +
và điểm A(3; 1) Tìm pttq của đường thẳng (∆) qua A và vuơng gĩc với d
b) Viết phương trình đường trịn cĩ tâm B(3; –2) và tiếp xúc với (∆′): 5x – 2y + 10 = 0.
Bài 22 : Cho đường trịn (C ): x( −1)2+ −(y 2)2 =8
a) Xác định tâm I và bán kính R của (C )
b) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua I, song song với đường thẳng d: x – y – 1 = 0
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) vuơng gĩc với ∆
d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với d
Bài 23: Cho đường trịn cĩ phương trình: x2+y2−2x+4y− =4 0
a) Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường trịn
b) Lập phương trình tiếp tuyến của đường trịn, biết tiếp tuyến song song với đt d cĩ phương trình: 3x−4y+ =1 0
Bài 8: Cho đường tròn (C) có phương trình: (x−2)2+ +(y 4)2 =25
a)Tìm tọa độ tâm và bán kính của (C) ; b)Viết ptrình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A(-1;0)
c)Viết phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng 3x – 4y + 5=0
Trang 5Bài 24 : Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x2+y2−4x+6y− =3 0 tại I(2; 1).
Bài 25: Cho ∆1:x+2y+ =4 0 ∆2:x−3y+ =6 0 1 Tính góc giữa ∆1 và ∆2
2 Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1;2) và hợp với ∆1 góc 60 0
3 Viết phương trình đường thẳng song song với ∆1 và có khoảng cách đến ∆2 bằng 1
Trang 6ƠN TẬP ĐẠI SỐ:
I- CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH - BPT - HỆ B ẤT PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1 : Giải các bất phương trình sau:
1) 2
9x −4x≤0 2) 2
x − x+ > 3) 2
9x −12x+ ≤4 0
4)(- x2 + 3x – 2)(x2 – 5x + 6) ≥ 0 5)
3 4
2 3
2
2
+
−
+
−
x x
x x
> 0 6) 2
4 3
6 5
2 2
−
〉 +
−
−
−
x
x x
x
+
2 2
1
1 7 6
5 2
2 − − 〉 −
−
x x x
x
Bài 2 : Giải các bất phương trình sau:
1) x2 + 2 x+3 - 10 0≥ 2) x2− + + <3x 1 x 2 3) x22 > x11
+ − 4)
x + − > − +x x x
Bài 5 : Giải các bất phương trình sau:
1) x2−5x− >6 x ; 2) (x+5)(3x+4) <4(x−1) ; 3)
− + − + >
4) −3 2 + +4+2 <2
x
x
x − x− + x > x+ 6)
x − x− + − x + x+ >
Bài 6 :Tìm tập xác định của hàm số
1) y= x− −1 2x2− −3x 5 2)
2 2
1
y
− + −
=
Bài 3: Tìm m để hàm số sau cĩ tập xác định là R
y= m + x − m− x+ b) 2 1
y
−
=
c) y= (m+ 1)x2 − 2(m− 1)x+ 3m− 3
Bài 4: Tìm m để bất pt sau đúng với mọi số thực x:
2
2 2
Bài 5: Tìm m để bất pt sau vơ nghiệm
a) x2 – mx + m + 3 ≤ 0 b) (m+1)x2 - 2mx + 2m > 0 c) (m2 + 2m)x2 + 2mx + 2 < 0
Bài 5: Cho phương trình : (m−2)x2+2(2m−3)x+5m− =6 0 Tìm m để:
a) Ptrình vn; b) Ptrình có 2 nghiệm phân biệt; c) Ptrình có 2 nghiệm trái dấu; d) Pt cĩ nghiệm;
e) Pt cĩ 2 nghiệm dương phân biệt; f) Pt cĩ 2 nghiệm âm
Bài 11: Tìm m để phương trình sau cĩ nghiệm(vơ nghiệm)
a) x2 + (2m + 3)x + m – 2 = 0b)(m - 2)x2 - 2mx + 2m – 3 = 0
c)(m -1)x2 - 2(m + 1)x + 3(m-2) = 0 d) (m−2)x2+2(2m−3)x+5m− =6 0
Trang 7LƯỢNG GIÁC
Bài 5: a) Tính giá trị lượng giác của góc α Biết: os 3 0
c α= < <α π
b) Cho sinα = 35; và π α π2 < < Tính cosα, tanα, cotα
c) Cho sina =1/4 với 0<a<900 Tìm các giá trị lượng giác của góc 2a, 4a
Bài 6: Tính giá trị lượng giác của góc α Biết sin 4
5 2
π
α = < <α π÷
Bài 7:a) Cho tanα =3, tính 2sin 3 os
4sin 5 os
c A
c
+
=
− ; cota; sina; cosa.
b) Cho cota = 1/3 Tính các giá trị lượng giác của cung a
c) Cho sin 12 3 2
a=− π < <a π
Tính cosa, tana, cota
Bài 8: Cho sinx =
4
3 ( π 〈〈x π
2 ) tính a).Các gtlg khác của góc x b).Giá trị biểu thức sau A= 4sin2x – 3cos2x
Bài 9: Cho cosx =
5
2
− (
2
3π
π 〈〈x ) tính a).Các gtlg khác của góc x b).Giá trị biểu thức : A=
x x
x x
tan 5 sin
tan 2 sin 5
− +
Bài 10.Cho tanx = -2 (π 〈〈x π
2 ) tính A=
x x
x x
cos
sin
cos
3
sin
7
−
+
B=
x x
x x
2
2 2cos sin
cos sin 3
−
Bài 11: Chứng minh các đẳng thức sau
1/
x x
x
cos
sin
1 cos
+
x
1 sin
1
2
x x
x
cos sin
sin 2
+
cosx –sinx 4/ (cotx +1)2 +(cotx -1)2=
x
2
sin
2 5/ sin2x+tan2x+cos2x =
x
2
cos
1
6/.cosx+sinx.tanx =
x
cos 1
7/
x
x
sin
1
cos
+ +tanx =cosx
1 8/
x x
x x
x
sin
2 cos
1
sin cos
1
+
+
x
1 tan
1
1
+
+
+ =1 10/.sin4x +sin2x.cos2x+cos2x =1
11/ (1-sin2x) cot2x +1 –cot2x = sin2x 12/ x y
y x
y x
2 2
2 2 2
cot cot sin
sin
sin cos
14/ cos 2x(2sin2x+cos2x)= −1 sin4x