GIẢI CÂU 8 (ĐỀ THI VÀO THPT TỈNH VĨNH PHÚC NĂM 2013)
Câu 8(1,0 điểm).Cho các số thực x,y thỏa mãn x2 + y2 = 1.Tìm giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của biểu thức M = 3 xy + y2
GIẢI
Từ biểu thức ban đầu, ta có: M = 3 xy + y2
Û 2M + 1 = 2 3 xy + 2y2
+ 1
Û 2M + 1 = 2 3 xy + 2y2
+ (x2 + y2)
Û 2M + 1 = x2
+ 2 3 xy + 3y2
Û 2M + 1 = (x + 3 y)2
+ Vì (x + 3 y)2 ³ 0 Þ 2M + 1 ³ 0 Þ M ³ - 1
2 Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng -
1
2 khi :
î
í
ìx+ 3y=0
x2+y2=1 Þ x = - 3
2 , y =
1
2 hoặc x =
3
2 , y = -
1
2 + Theo BĐT Bunhicopski ta có : (x + 3 y)2 £ (x2
+ y2) (1 + 3) = 4 (vì x2 + y2 = 1)
Þ 2M + 1 £ 4 Þ M £ 3
2 Vậy giá trị lớn nhất của M
bằng 3
2 khi : î í
1=
y 3
x2+y2=1
Þ x = 1
2 , y =
3
2 hoặc x = -
1
2 , y = -
3
2 -
TRẦN MẠNH CƯỜNG
GV THCS Kim Xá