Bài giảng LOGIC TOÁN

Mệnh đề ph dụng sẽ là mệnh đề đúng nếu và chỉ nếu khi thay biến bởi bất kỳ phần tử nào trong miền xác định ta cũng được một mệnh đề đúng.. Mệnh đề tồn tại sẽ là mệnh đề đúng nếu và chỉ n

(Giảng viên khoa toán-Trường Đại Học Sư Phạm tp HCM)

“Đối với con người, kiến thức không quan trọng lắm Để có kiến thức con người không cần đến trường đại học Cái đó người ta có thể học từ sách Giá trị của giáo dục đại học không nằm ở chỗ học thuộc lòng thật nhiều kiến thức mà ở chỗ tập luyện tư duy, cái mà người ta không bao giờ học được từ sách giáo khoa” An-be Anhxtanh ( Anbe Einstein) 1879-1955

Đề cương chi tiết

1 Thông tin chung về học phần

1.1 Tên học phần: Lô-gic Toán

1.2 Tên học phần bằng tiếng Anh: Mathematical Logic

1.5 Chương trình đào tạo: Giáo dục đại học

1.6 Ngành đào tạo Sư phạm Toán học , Sư phạm tin học và CNTT

1.7 Số tín chỉ: 2 ; Số tiết 45 ( Lý thuyết : 30 , bài tập ; 15 ):

2.1 Mục tiêu kiến thức: Sau khi học xong học phần này, sinh viên sẽ:

- Biết tìm cấu trúc logic của một mệnh đề

- Biết sử dụng hình vu ng logic để mở rộng kiến thức

- Hiểu rõ bản chất của một phép chứng minh và nắm vững những phương pháp chứng minh

cơ bản

- Biết vận dụng những quy tắc suy luận trong chứng minh

- Ngoài ra : rèn luyện một số thói quen trong tư duy

2.2 Mục tiêu kĩ năng Sau khi học xong học phần này, sinh viên có khả năng

- Vận dụng được những kiến thức và những luật logic đã học để “đào sâu” bài học ở tất cả các môn học và giải quyết những vấn đề ,những bài toán được đặt ra trong suốt 4 năm đại học và giảng dạy sau này

- Xây dựng được kế hoạch ứng dụng logic vào tất cả các môn học khác

- Thực hiện được kế hoạch trên và sử dụng logic để “soi rọi” vào chương trình toán ph

th ng nhằm mục đích làm sáng t việc cần thiết phải chú ý đến yếu tố logic trong quá trình soạn bài giảng R n luyện k năng vân dụng logic vào bài giảng ở bậc học ph th ng và học tập , nghiên cứu sau này

- Thường xuyên rèn luyện tư duy cho học sinh thông qua giảng dạy môn toán

4 Nội dung chi tiết học phần (11)

Chương 1 Logic

1.1 Mệnh đề và phép toán logic

1.2 Tập hợp và phép toán tập hợp

1.3 Hàm mệnh đề

[Type text]

1.4 Biểu thức logic

1.5 Cấu trúc logic

1.6 Chân lý và mâu thuẫn

1.7 Suy luận hợp logic và tương đương logic

1.8 Các quy tắc suy luận (các luật logic một chiều và 2 chiều )

1.9 Các hình vuông logic

1.10 Định nghĩa khái niệm

1.11 Chứng minh và các phương pháp chứng minh

2.9 Mở rộng và thu hẹp ánh xạ (sinh viên tự đọc)

Chương 3 Lực lượng của tập hợp

3.1 Sự tương đương giữa các tập hợp

3.2 Khái niêm lực lượng của một tập hợp

[Type text]

3.3 Phân loại tập hợp theo lực lượng

3.4 Hệ tiên đề về Lý thuyết tập hợp

3.5 Giới thiệu Hệ tiên đề về Lý thuyết các lớp

3.6 Giới thiệu Lý thuyết tập mờ và logic mờ

6 Học liệu (13)

6.1 Giáo trình môn học

Logic Toán-Đinh C ng Chủ (2011), Tài liệu lưu hành nội bộ

6.2 Danh mục tài liệu tham khảo

[1] Nhập môn Lý thuyết tập hợp và logic-Phan Hữu Chân & Trần Lâm Hách NXBGD-1977

[2] Logic Toán và Cơ sở Toán học-Phan Đình Diệu-Viện Toán-2006

[3] Đại cương về Toán học hữu hạn-Hoàng Chúng-NXBGD-1999

[4] Đại số đại cương-Hoàng Xuân Sính-NXBGD-1997

[5] Toán rời rạc-Nguyễn Hữu Anh(GS-ph-D)-NXB-1999

[6] Toán rời rạc-Nguyễn Dức Nghĩa,Nguyễn Tô Thành-NXBGD-1997

[7] Logic mờ và ứng dụng-B.Bouchon,Meunier,Hồ Thuần,Đặng Thanh Hà

[8] Các phương pháp sáng tạo , Phan Dũng , NXB TRẺ 2010

l1U&hl=vi&ei=mEZQTN_HBZC9ccWStLcB&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=3

&ved=0CC4Q6AEwAg#v=onepage&q&f=false [5] http://euclid.trentu.ca/math/sb/pcml/

[6] http://www.math.umn.edu/~jodeit/course/ACaRA01.pdf

[7] Mathematical Logic-Stephen G.Simption-The Pennsylvania State University-2008

[13] A wiki for Creativity Techniques

[14] MindTools Essential skill for an exellent career

[15] VirtualSalt Creative Thinking Techniques Robert Harris

[16] Creative Thinking and Lateral Thinking techniques

[17] Thinking Ceatively

[18] EDWARD DE BONO - LATERAL THINKING & PARALLEL THINKING (TM)

[19] http://www.360-books.com/ebooks/book-store/ky-nang/lap-ban-do-tu-duy.html

Một số thủ thuật tìm kiếm trên Internet

Để được hướng dẫn và tìm kiếm hãy vào trang :

http://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s% C3%A1ch/0760733074

A,B,C,… Nếu A là một mệnh đề đúng thì ta viêt A = 1, sai thì ta viết : A = 0 Hai số 0 và 1 được gọi là các giá trị chân lý của mệnh đề

2 Phép toán logic

Nếu ta nối 2 mệnh đề ( tức là 2 câu ) bởi từ “ và ” ( “hoặc” , “thì”, “tương đương”) ta sẽ có một câu ghép , câu này cũng là một mệnh đề, nó được gọi là mệnh đề hội ( “ mệnh đề tuyển”, “ mệnh đề kéo theo” ,

“ mệnh đề tương đương” ) của 2 mệnh đề và ký hiệu A B ( A B , A B , A B ) đồng thời ta bảo

“ta đã thực hiện một phép toán logic từ 2 mệnh đề cho trước” hi thêm từ “kh ng phải” trước một

mệnh đề ta được một mệnh đề mới gọi là mệnh đề phủ định của nó

Ngoài ra ta còn một phép toán logic gọi là tuyển loại ( hay tuyển chặt) ,đó là câu “ hoặc A hoặc

B”được ký hiệu là A B , hay A+B

Cho 2 mệnh đề mệnh đề A,B ta có bảng giá trị chân lý của các mệnh đề : A B , A B , A B ,

Mệnh đề Tuyển

Mệnh đề Kéo theo

Mệnh đề Tương đương

Mệnh đề Tuyển loại Cấu tạo Không phải

[Type text]

Trong đời sống hàng ta hay dùng các từ đoàn, đàn , mớ, bó , nhóm , tập thể …thì nay trong toán học người

ta sử dụng một từ mới là tập hợp để có thể thay thế cho các từ trên Chẳng hạn thay vì nói “đàn gà” thì ta nói “tập hợp những con gà”… Ta có thể hiểu : mỗi khi góp nhặt một số đối tượng nào đó ta sẽ được một tập hợp Mỗi đối tượng đã góp nhặt được gọi là một phần tử của tập hợp (*)

Cho A là một tập hợp Nếu x là một phần tử của tập hợp A thì ta viết : x ∈ A ( đọc là x thuộc A ) Nếu x không phải là một phần tử của tập hợp A thì ta viết : x A ( đọc là x không thuộc A)

Các tập hợp thường được ký hiệu bởi các chữ cái viết hoa A,B,C… c n các phần tử của chúng thường được ký hiệu bởi các chữ cái viết thường x,y,z…

Ví dụ : khi góp nhặt 3 chữ cái đầu tiên a,b,c (trong bảng chữ cái) ta được một tập hợp mà ta có thể gọi là tập hợp ba chữ cái đầu tiên và ta có thể ký hiệu tập hợp này là E Ta có a ∈ E và d E , e E …

Tập hợp không có phần tử nào được gọi là tập rỗng và được ký hiệu là Ø Tập hợp A được gọi là một tập hợp con của tập hợp B nếu và chỉ nếu mọi phần tử của tâp hợp A đều thuộc tập hợp B Để chỉ rằng A là tập hợp con của B ta sẽ ký hiệu A B Tập hợp A được gọi là bằng tập hợp B nếu và chỉ nếu A

B và B A , ta viết A=B Nếu A B và A B thì ta sử dụng ký hiệu A B Rõ ràng ta có Ø A với mọi với mọi tập hợp A

2 Tích Đề-các của các tập hợp

Cho 2 tập hợp A và B Tập hợp các cặp có thứ tự (a,b) với a ∈ A và b ∈ B và chỉ các cặp như thế được gọi là tập hợp tích Đề-các của 2 tập hợp A và B, ký hiệu AxB Có thể mô tả tập hợp tích Đề-các AxB bằng cách cho tính chất đặc trưng như sau

AxB={ x=(a,b) | a ∈ A và b ∈ B } (chữ “và” có thể được thay bằng dấu phẩy cho gọn )

Tích Đề-các nhiều tập hợp được định nghĩa một cách tương tự

Chẳng hạn tích Đề-các 3 tập hợp được định nghĩa như sau

AxBxC…= { x=(a,b,c…) | a ∈ A , b ∈ B,c ∈C,… }

Ví dụ : Với E={ a,b,c} và F={ c,d} ta sẽ có :

đề chỉ “hoàn toàn xác định” khi ta chỉ rõ miền xác định của nó Như vậy khi chưa cho miền xác định thì hàm mệnh đề coi như chưa xác định

Ví dụ 1 : với tập hợp E ở ví dụ 1 thì câu “ x là một phần tử của tập hợp E ” (ở đây x là biến ) là hàm mệnh đề một biến x, xác định trên tập hợp E Khi thay x bởi chữ cái a thì ta có một mệnh đề đúng , con nếu thay x bởi chữ cái d thì ta được một mệnh đề sai

Ví dụ 2 “ a chia hết cho 5” là một hàm mệnh đề một biến Hàm mệnh đề này có thể được cho trên tập hợp các số nguyên Z hoặc tập hợp các số tự nhiên N

Ví dụ 3 : Có thể xem “ x + y = 3” là hàm mệnh đề 2 biến Miền xác định của hàm mệnh đề này có thể chọn là NxN

Để cho gọn có thể ký hiệu p(a) là hàm mệnh đề “a chia hết cho 5” với miền xác định là N

Chú ý : Một hàm mệnh đề có thể được cho trên những miền xác định là các tập hợp khác nhau Chẳng hạn hàm mệnh đề p(x,y) “x+y=3” có thể được cho với miền xác định là NxN hoăc

ZxZ ,QxQ ,RxR… Giá trị chân lý của một hàm mệnh đề có thể thay đ i tùy cách chọn miền xác định

4 Lượng từ

Trong lý thuyết tập hợp và logic người ta sử dụng các lượng từ sau :

- thay cho “với mọi” hay “bất kỳ”

- thay cho “tồn tại” hay “có ít nhất một”

- thay cho “tồn tại duy nhất” hay “có và chỉ có một”

Khi cho một hàm mệnh đề một biến nếu ta b xung vào phía trước một trong các lượng từ ta sẽ được một mệnh đề

Ví dụ : Cho hàm mệnh đề p(x) “x chia hết cho 6 thì x chia hết cho 3” với miền xác định là N Ta thấy “ ∈ N,p(x)” là một mệnh đề đúng Phát biểu bằng lời của mệnh đề này là “bất kỳ số tự nhiên nào đã chia hết cho 6 thì cũng chia hết cho 3” “ ∈N,p(x)” cũng là một mệnh đề và mệnh đề này cũng

[Type text]

đúng Phát biểu bằng lời của mệnh đề này là “tồn tại một số tự nhiên x mà khi x chia hết cho 6 thi x cũng chia hết cho 3” hay “ có ít nhất một số tự nhiên th a mãn tính chất khi đã chia hết cho 6 thì cũng chia hết cho 3” “ x∈N,p(x)” cũng lại là một mệnh đề và là mệnh đề sai Nó được phát biểu bằng lời như sau “có duy nhât một số tự nhiên th a mãn tính chất khi đã chia hết cho 6 thì cũng chia hết cho 3” ( sai vì kh ng phải chỉ có một số )

Một cách t ng quát ta có :

Nếu p(x) là một hàm mệnh đề một biến xác định trên tập hợp A thì “ ∈A,p(x)” ( có thể viết gọn hơn “ ,p(x)” nếu không muốn kể ra miền xác định ) là một mệnh đề và nó được gọi là mệnh đề ph dụng ; “ ,p(x)” được gọi là mệnh đề tồn tại ; “ x∈A,p(x)” được gọi là mệnh đề tồn tại duy nhất

Mệnh đề ph dụng sẽ là mệnh đề đúng nếu và chỉ nếu khi thay biến bởi bất kỳ phần tử nào trong miền xác định ta cũng được một mệnh đề đúng Mệnh đề tồn tại sẽ là mệnh đề đúng nếu và chỉ nếu có ít nhất một phần tử thuộc miền xác định mà khi thay nó vào vị trí của biến ta sẽ được một mệnh đề đúng

Mệnh đề tồn tại duy nhất sẽ là mệnh đề đúng nếu và chỉ nếu trong miền xác định của nó chỉ có đúng một phần tử mà khi thay nó vào vị trí của biến ta được một mệnh đề đúng

Các mệnh đề ph dụng, tồn tại , tồn tại duy nhất đối với các hàm mệnh đề nhiều biến cũng được định nghĩa tương tự Trong toán học các mệnh đề tồn tại và ph dụng còn có thể lồng ghép vào nhau tạo nên những mệnh đề rất phức tạp

Một hàm mệnh đề được gọi là một hằng đúng nếu và chỉ nếu mệnh đề ph dụng của nó là mệnh đề đúng

Một hàm mệnh đề được gọi là một hằng sai nếu và chỉ nếu mệnh đề tồn tại của nó là mệnh đề sai

Một hàm mệnh đề được gọi là thực hiện được nếu và chỉ nếu mệnh đề tồn tại của nó là mệnh đề đúng

Cho hàm mệnh đề 2 biến p(x,y) với miền xác định là AxB Từ hàm mệnh đề này ta có thể tạo nên các mệnh đề :

Sau đây ta sẽ sử dụng các chữ A,B,C,D,E…P,Q,…để ký hiệu các biểu thức logic

Quy ước, thứ tự thực hiện các phép tính trong một biểu thức mệnh đề là : Phủ định, hội , tuyển , kéo theo , tương đương

Quy ước 2 : Ta sẽ sử dụng dấu = mỗi khi muốn ký hiệu một biểu thức logic phức tạp bởi một chữ cái duy nhất Chẳng hạn biểu thức logic : A B A B được ký hiệu bởi chữ E ta sẽ viết :

E = A B A B Chú ý rằng ở đây ta kh ng định nghĩa 2 biểu thức logic bằng nhau như một số tài liệu khác ! Vì vây khi găp dấu = ta phải hiểu như tập hợp từ “ký hiệu cho”

2 Đối ngẫu của một biểu thức logic

Nếu biểu thức logic chỉ chứa 3 phép toán logic : phủ định , tuyển ,hội , thì khi thay phép hội bởi phép tuyển và ngược lại ,đồng thời thay S bởi Đ và Đ bởi S ( nếu có ) ta sẽ được một biểu thức mới , biểu thức mới này được gọi là biểu thức đối ngẫu của biểu thức đã cho

Ví dụ đối ngẫu của biểu thức ̅ ̅ là ̅ ̅

3 Giá trị chân lý của biểu thức mệnh đề

Khi thay các biến mệnh đề bởi các giá trị chân lý và thực hiện tất cả các phép toán logic ta sẽ được 0 hoặc

1 Xét tất cả các trương hợp ta sẽ có bảng giá trị chân lý của một biểu thức mệnh đề

Ví dụ 1: Hãy lập bảng giá trị chân lý của biểu thức mệnh đề sau :

A B B

Ta có :

[Type text]

Cột cuối là cột giá trị chân lý của biểu thức mệnh đề đã cho

4 Chân lý và mâu thuẫn

Một biểu thức mệnh đề luôn luôn có giá trị chân lý là 1 (dù các biến mệnh đề nhận giá trị nào đi nữa ) được gọi là một chân lý hay hằng đúng Một biểu thức mệnh đề luôn luôn có giá trị chân lý là 0 (dù các biến mệnh đề nhận giá trị nào đi nữa) được gọi là một mâu thuẫn hay một hằng sai

Ví dụ : Biểu thức A B A là một chân lý , còn A ̅ là một mâu thuẫn

Muốn biết một biểu thức logic có phải là một chân lý hay không ta chỉ việc lập bảng giá trị chân lý của nó , chẳng hạn từ bảng giá trị chân lý sau :

Nhìn vào cột giá trị chân lý của A (A B) ta kết luận : “biểu thức logic : A (A B) là một chân lý

IV Các luật logic

1 Suy luận hợp logic và tương đương logic

Một chân lý có dạng A B ( A,B là các biểu thức mệnh đề nào đó ) được gọi là một phép suy luận hợp logic hi đó ta nói B là một hệ quả logic của A hay A suy được ra B một cách hợp logic , ta cũng nói B là một điều kiện cần của A (hay để có A) , còn A là một điều kiện đủ của B ( hay để có B) Để chỉ một phép suy luận hợp logic ta sử dụng ký hiệu : A ⟹ B Như vậy ta có :

[Type text]

Một chân lý có dạng A B được gọi là một tương đương logic hi đó ta nói A tương đương ( logic ) với

B và viết A ⟺ B Như vậy :

Có A ⟺ B khi và chỉ khi A B là hằng đúng Mỗi phép suy luận hợp logic c n được gọi là một quy tắc suy luận hay luật logic một chiều còn một tương đương logic được gọi là một quy tắc suy luận hai chiều hay luật logic hai chiều

2 Các luật logic cơ bản

A) Các luật một chiều (S ký hiệu cho một hằng sai,Đ ký hiệu cho một hằng đúng, A,B… bất kỳ) 1) Luật Ngụy biện : S ⟹ A

7) Luật Thay thế 1 : Nếu A ⟹ B thì AC ⟹ BC và A C ⟹ B C

B) Các luật hai chiều

[Type text]

16) Luật Giao hoán : A B ⟺ B A , A B ⟺ B A 17) Luật Kết hợp :

(A B) C ⟺ A ( B C ) , ⟺ 18) Luật Phân phối : A( B C ) ⟺ AB AC và

A ( BC ) ⟺ ( A B )( A C) 19) Luật De Morgan : ̅̅̅̅̅ ⟺ ̅ ̅ , ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ⟺ ̅ ̅ 20) Luật Cần và đủ : ( A B ) ⟺ ( A B )( B A ) 21) Luật Phản đảo : ( A B ) ⟺ ( ̅ ̅ )

̅ ⟺ ̅

29) Luật Phủ định kéo theo : ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ⟺ ̅

30) Luật “ Nối giả thiết ” A ( B C ) ⟺ AB C

[Type text]

31) Luật “Hoán đ i giả thiết” A (B C)⟺B (A C)

32) Luật Dạng tương đương :

∈ ⟺ ∈ ̅̅̅̅̅̅

∈ ̅̅̅̅̅̅ ⟺ ∈

33) Luật Phủ định lượng từ ∈ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ⟺ ∈

∈ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ⟺ ∈

Đối với hàm mệnh đề 2 biến ta cũng có tương tự :

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ⟺

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ⟺

⟺

34) Luật Đối ngẫu : ⟺ thì ⟺ Ví dụ Từ luật Dán AB ⟺ A( ̅ B) áp dụng luật Đối ngẫu ta có ⟺ ̅

( cũng gọi là luật Dán )

Nói chung mỗi luật đều có luật đối ngẫu với nó Các luật là đối ngẫu của một luật quan trọng nào đó ,cũng đã phát biểu thành một luật ở trên hoặc phát biểu đi k m với chính nó , chẳng hạn như luật Dán đã được phát biểu ở cả 2 dạng đối ngẫu với nhau nói ở trên

35) Luật Thay thế 2 “Trong một biểu thức logic nếu ta thay một “biểu thức con” bởi một biểu thức khác tương đương logic với nó thì ta sẽ được một biểu thức logic mới tương đương logic với biểu thức ban đầu ”

Ví dụ : A E ⟺ A E’ (với E’là một biểu thức mệnh đề tương đương logic với E)

Cụ thể với E là ̅̅̅̅̅ ̅ ̅ , E ⟺ E’ nên ta có ̅̅̅̅̅ ⟺ ̅ ̅ Luật này giúp ta có thể rút gọn một biểu thức logic , có nghĩa là tìm một biểu thức logic tương đương gọn hơn

36) Luật Thay thế 3 “ Trong một chân lý nếu ta thay một biến mệnh đề ( ở tất cả những nơi mà nó có mặt) bởi một biểu thức mệnh đề thì ta vẫn được một chân lý ”

 Nếu xét một phép “tuyển loại” như đã nêu ở đầu giáo trình , ký hiệu với bảng giá trị chân lý như sau

3 Bài toán rút gọn một biểu thức logic

Từ một biểu thức logic nếu ta dùng luật thay thế 2 và các luật 2 chiều để biến đ i tương đương , ta sẽ được một biểu thức logic mới tương đương logic với biểu thức ban đầu Ta gọi việc làm như thế là “đã biến đ i tương đương” biểu thức logic ban đầu thành một biểu thức logic khác Biến đ i tương đương một biểu thức logic thành một biểu thức logic đon giản hơn và cứ làm như thế cho đến khi được một biểu thức logic

“kh ng đơn giản hơn được nữa” , việc làm như thế được gọi là “rút gọn một biểu thức logic ”

Ví dụ 1 : Rút gọn biểu thức logic : ̅ ̅

Ta có : ̅ ̅ ⟺ ̅ ̅ (Dùng luật kết hợp )

[Type text]

⟺ ̅ ̅ ( luật phân phối )

⟺ ̅ ( luật bài trung và luật thay thế 2 ) ⟺ ̅ ( luật trung hòa và luật thay thế 2) ⟺ ̅ ( luật phân phối ) ⟺ ( luật bài trung và luật thay thế 2) ⟺ ( luật trung hòa và luật thay thế 2 ) Vậy : ̅ ̅ ⟺

Ví dụ 2 : Biểu thức logic sau có phải là một suy luận hợp logic hay không ? [(A B) C] [ (A C) (B C)] Ký hiệu biểu thức trên là E Cách 1 : Lập bảng giá trị chân lý E không là suy luận hợp logic ( có 1 trường hợp sai là khi A=1,B=0,C=0) Cách 2 : Rút gọn trước khi lập bảng : Ta có :

⟺ ̅

⟺ [ ̅̅̅̅̅̅̅ ] ̅ ̅ ̅

⟺ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅ ̅

[Type text]

⟺ ̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

⟺ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

⟺ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

⟺ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

⟺ ̅ ̅ ̅

⟺ ̅ ̅ ̅

⟺ ̅

⟺ ̅

(*) Cũng có thể tiếp tục biến đ i biểu thức ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ như sau ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

⟺ ̅ ̅ ̅ ̅ , luật Dán ⟺ ̅ ̅ ̅ ̅ , kết hợp ⟺ ̅ ̅ , luật Dán ⟺ ̅ , luật kết hợp & luật lũy đẳng Bây giờ ta lập bảng giá trị chân lý của biểu thức ̅ :

A B C ̅ ̅

Nhìn bảng giá trị chân lý ta thấy ̅ có khi đúng , có khi sai nên nó kh ng là một chân lý , vì vậy biểu thức logic đã cho cũng không phải là một chân lý , do đó nó kh ng là một suy luận hợp logic !

nhận giá trị chân lý là 0 như sau

Nếu có giá trị chân lý của các mệnh đề A,B,C sao cho [(A B) C] [ (A C) (B C)]=0 thì (A B) C = 1 và (A C) (B C) = 0 Do (A C) (B C) = 0 nên A C = 0 hoặc B C = 0 Nếu B C = 0 thì B = 1 và C = 0 C = 0 và (A B) C = 1 nên A B = 0 : vô lý vì B =

1

Vậy A C = 0 , suy ra A = 1 , C = 0 Do (A B) C = 1 và C = 0 nên A B = 0 , suy ra

B = 0 Kiểm tra trực tiếp với trường hợp A = 1 , B = 0 và C = 0 ta thấy :

( và ,hoặc ,thì …) nối 2 câu đơn bởi một phép toán logic tương ứng và các lượng từ (nếu có) bởi các

ký hiệu … ta sẽ được một biểu thức logic , biểu thức logic này được gọi là cấu trúc logic của cả câu phức đã cho

Ví dụ 1 : cho mệnh đề xác định bởi câu phức sau “phần tử x thuộc tập hợp A hoặc thuộc tập hợp B” Nếu ta ký hiệu câu đơn “phần tử x thuộc tập hợp A” là P và câu đơn “x thuộc tâp hơp B” là Q thi ta có cấu trúc logic của câu đã cho là P Q

Ví dụ 2 Tìm cấu trúc logic của mệnh đề sau “ Với mỗi số nguyên x , tồn tại số nguyên y sao cho x+y

là số nguyên tố ”

Ký hiệu p(x,y) là hàm mệnh đề “x+y là số nguyên tố” ta có cấu trúc logic của câu trên là hay Mệnh đề này là mệnh đề lồng ghép giữa một mệnh đề ph dụng và một mệnh đề tồn

[Type text]

tại Ta còn có thể nói cấu trúc logic của mệnh đề trên là và p(x,y) là “x+y là

số nguyên tố

Câu h i thảo luận :

Câu phủ định của các câu trong các ví dụ trên là gì ?

2 Biến đ i tương đương hi gặp câu phức tạp , để hiểu nó hoặc để biết nó đúng hay sai ta cần phải tìm cấu trúc logic của nó và biến đ i tương đương biểu thức logic đã tìm được để “thay hình đ i dạng” của nó và làm cho nó trở thành đơn giản hơn

Ví dụ :

Giả sử có 2 sinh viên đi thi sinh viên gi i Hãy biểu diễn câu “Có ít nhất một sinh viên đạt gi i” qua 2 mệnh đề sau :

“Sinh viên X đạt gi i” ,ký hiệu là A

“Sinh viên Y đạt gi i” , ký hiệu là B

Dễ thấy cấu trúc logic của nó là biểu thức logic : ̅ ̅ Ta hãy ký hiệu biểu thức logic này là E Bây giờ ta hãy rút gọn nó Ta có :

̅ ̅ ⟺ ̅ ̅ ( Dùng luật kết hợp )

⟺ ̅ ̅ ( luật phân phối ) ⟺ ̅ ( luật bài trung và luật thay thế 2 )

⟺ ̅ ( luật trung hòa và luật thay thế 2)

⟺ ̅ ( luật phân phối )

⟺ ( luật bài trung và luật thay thế 2)

⟺ ( luật trung hòa và luật thay thế 2 )

Vậy : ̅ ̅ ⟺

Hóa ra câu “ Có ít nhất một sinh viên đạt gi i ” , nghe có vẻ khó hiểu lại cùng nghĩa với câu “ X hoặc Y đạt gi i ” , ngắn gọn và dễ hiểu hơn !

3 Dạng kéo theo

[Type text]

Nếu cấu trúc logic của một mệnh đề là một biểu thức logic với phép toán logic cuối cùng (theo thứ

tự thực hiện ) là phép kéo theo thì ta bảo mệnh đề đã cho ở “dạng kéo theo” Để tìm hình vuông logic của một mệnh đề nào đó ta phải biến đ i tương đương nó về dạng kéo theo

Chẳng hạn cấu trúc logic của mệnh đề trong ví dụ 4 là A B , biểu thức logic tương đương với nó

mà ở dạng kéo theo là ̅

Bài tập :

Tìm dạng kéo theo của các mệnh đề trong các ví dụ trên

4 Rút gọn Để có mệnh đề đơn giản hơn ta phải sử dụng luật thay thế 2 và các luật logic 2 chiều để biến

đ i tương đương về biểu thức logic đơn giản hơn

Ví dụ : Có 2 sinh viên vừa đi thi sinh viên gi i về Gọi A là mệnh đề “ sinh viên 1 đạt gi i” ,B là mệnh

đề sinh viên 2 đạt gi i”

Hãy tìm cấu trúc logic của các mệnh đề :

Trong hình vuông này, được gọi là mệnh đề thuận, được gọi là mệnh đề đảo, ̅

̅ được gọi là mệnh đề phản, còn ̅ ̅ được gọi là mệnh đề phản đảo Theo các luật 2 chiều ta có mệnh

đề thuận tương đương logic với mệnh đề phản đảo và mệnh đề đảo tương đương logic với mệnh đề phản

Do đó nếu mệnh đề thuận đúng, tức là ta học được “một” , thì đồng thời ta học được “hai”-đó là mệnh đề phản đảo cũng đúng Nếu suy xét và kết luận được về tính đúng-sai của mệnh đề đảo thì ta học được 3 ,

Thuận

Đảo

̅ ̅

Phản đảo

(2)

∈ A, p(x) (3) ∈ A , ̅̅̅̅̅̅

(4)

[Type text]

Mệnh đề thuận “5 chia hết cho 6 thì 10 chia hết cho 5” (đúng)

Mệnh đề đảo : 10 chia hết cho 5 thì 5 chia hết cho 6 (sai)

Mệnh đề phản : 5 không chia hết cho 6 thì 10 không chia hết cho 5 (sai)

Mệnh đề phản đảo : 10 không chia hết cho 5 nên 5 không chia hết cho 6 (đ) Phủ định các mệnh đề trên

ta sẽ biết 4 nữa thành 8 !

Ví dụ 2: Với mọi số tự nhiên a ta có : a chia hết cho 6 thì a chia hết cho 3

Ký hiệu p(a) là hàm mệnh đề “a chia hết cho 6”, q(a) là hàm mệnh đề “a chia hết cho 3” Theo hình vu ng logic thứ hai ta có :

1) Mệnh đề thuận “Với mọi số nguyên a, a chia hết cho 6 thì a cũng chia hết cho 3” (đúng)

2) Mệnh đề phản đảo “a kh ng chia hết cho 3 thì a không chia hết cho 6” (đúng)

3) Mệnh đề đảo “a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 6” (sai)

4) Mệnh đề phản “a kh ng chia hết cho 6 thì a không chia hết cho 3” (sai)

Lấy phủ định của 4 mệnh đề trên theo luật phủ định lượng từ ta có :

5) Có ít nhất một số chia hết cho 6 mà không chia hết cho 3 (phủ định của 1):sai

6) Có ít nhất một số không chia hết cho 3 mà lại chia hết cho 6 (phủ định của 2):

sai 7) Có ít nhất một số chia hết cho 3 mà không chia hết cho 6 (phủ định của 3) đúng

8) Có ít nhất một số không chia hết cho 6 mà lại chia hết cho 3 (phủ định của 4) đúng

Áp dụng hình vuông logic thứ 3 ta có :

9) Có ít nhất một số mà nó chia hết cho 6 thì cũng chia hết cho 3 ( hình vu ng logic 3 (3) đúng )

10) Mọi số chia hết cho 6 đều không chia hết cho 3 ( hình vuông logic 3 : (2) sai

11) Có ít nhất một số chia hết cho 6 mà không chia hết cho 3( hình vuông logic 3: (4) trùng với 5)

Như vậy có phải là “học một biết mười” hay kh ng ? Tất nhiên có thể không cần phải biết tới “10” , chỉ cần biết 2,3 … cũng đã hơn là “học một biết một”

VI Chứng minh và các phương pháp chứng minh

1 Khái niệm

a Chú ý : Để không phạm sai lầm trong khi tiến hành một phép chứng minh ta phải kiểm tra xem tất

cả các phép suy luận có hợp logic hay không ! Chỉ có 2 chỗ dựa cho một phép suy luận hợp logic : thứ nhất đó là một quy tắc suy luận (một luật logic) , thứ hai đó là một kiến thức đúng được phát biểu dưới dạng một mệnh đề kéo theo

2 Các phương pháp chứng minh

Hầu hết các bài toán đều có thể diễn đạt dưới dạng một mệnh đề kéo theo : A B trong đó A là tất cả những gì được cho ( gọi là giả thiết ) còn B là tất cả những gì phải làm ( gọi là kết luận ) Vì vậy bài toán chứng minh A B = 1 là bài toán quan trọng nhất

1) Chứng minh : A B = 1 ( chứng minh rằng : A ⟹ B )

Phương pháp 1 : chứng minh trực tiếp

( còn gọi là “ phương pháp đi từ giả thiết đến kết luận “ )

Hoặc thực hiện : A ⟹ … ⟹ B

Hoặc thực hiên Đ ⟹ … ⟹ B

Phương pháp 2 : phản chứng ( chứng minh gián tiếp )

Thực hiện : ̅ ⟹ … ⟹ S

Phương pháp 3 : biến đ i tương đương

Để chứng minh A B đúng ta có thể chứng minh B đúng khi đó theo luật vững bền : A B đúng

ể chứng minh B đúng ta sẽ thực hiện một trong 2 cách sau :

[Type text]

Hoặc thực hiện : B ⟺ … ⟺ Đ

Hoặc thực hiện Đ ⟺ … ⟺ B

Để chứng minh A B đúng ta cũng có thể

Thực hiện : (A B) ⟺ … ⟺ Đ… hay ngược lại

Phương pháp 4 : Phương pháp phủ định tiền đề

Để chứng minh A B đúng ta có thể chứng minh A sai ( nếu A thật sự sai Khi đó theo luật

ngụy biện A B đúng Phương pháp 5 : quy nạp

Phương pháp này chỉ áp dụng được khi B có dạng “ n ∈ N, (n) ”

Thực hiện 2 bước B1 chứng minh : (0) đúng

B2 chứng minh : ( (k) ⟹ (k+1) ) ( cho (k) đúng và đi chứng minh (k+1) đúng )

Chú ý Để thực hiện phép chứng minh ở B2 ta lại có thể áp dụng tất cả các phương pháp chứng minh cho A B = 1 , kể cả phương pháp quy nạp !

Để nâng cao khả năng của phương pháp ta có thể thay B2 bởi B2’ như sau

B2’ chứng minh “ k < n, (k) ⟹ (n) ” (cho (k) đúng với mọi k < n và đi chứng minh (n) đúng ) Phương pháp này có tên là “quy nạp đầy”

Nếu phải chứng minh mệnh đề “ n ∈ , (n)” thì ta cũng có thể sử dụng phương pháp quy nạp trong Z bằng cách thêm trong B2 “ (k) ⟹ (k+1) (k-1) ”

Phương pháp 1: biến đ i tương đương

Hoặc thực hiện A ⟺ … ⟺ B Hoặc thực hiện B ⟺ … ⟺ A Hoặc thực hiện : ( A B ) ⟺ … ⟺ Đ Hoặc thực hiện Đ ⟺ … ⟺ ( A B )

Phương pháp 2 chứng minh thuận nghịch

Thực hiện : A ⟹ … ⟹ B

Và thực hiện : B ⟹ … ⟹ A Phương pháp 3 biến đ i A B về mệnh đề đúng

Thực hiện : (A B) ⟺ ? ⟺ … ⟺ Đ Phương pháp 4 Phân chia trường hợp

Biến đ i giả thiết chung của mệnh đề A B về dạng một mệnh đề tuyển : E F và chứng minh :