3điểm Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy điểm M, Qua điểm M kẻ các đường thẳng song song với AC và AB thứ tự cắt AB và AC tại E và F.. 1Chứng minh ME MF AC + AB có giá trị không đổi.. 2
Trang 1UBND HUYỆN GIA BÌNH
PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học 2012 - 2013
Môn: Toán 8
(
Thời gian làm bài: 120 phút )
Bài I (1.5điểm) Cho A =
2 2
+ − − − − − × +
(với x≠0;x≠1;x≠ −1) 1) Rút gọn A
2) Với giá trị nguyên nào của x thì A có giá trị nguyên?
Bài II (2.5điểm)
1) Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:
a x2+ + 7 x 6
b x4+ 2008 x2+ 2007 x + 2008
2) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì
A = 4a2b2 – (a2 + b2 - c2)2 luôn luôn dương.
Bài III (2điểm)
1) Cho x, y thoả mãn xy≥1 Chứng minh rằng:
2 2
2) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn:
2 2
2 4
1
x
+ + = sao cho tích x.y đạt giá trị lớn nhất.
Bài IV (3điểm) Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy điểm M, Qua điểm M kẻ
các đường thẳng song song với AC và AB thứ tự cắt AB và AC tại E và F
1)Chứng minh ME MF
AC + AB có giá trị không đổi.
2) Cho biết diện tích của các tam giác MBE và MCF thứ tự là a2 và b2 Tính diện tích của tam giác ABC theo a và b.
3)Xác định vị trí của M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
Bài V (1điểm) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn: y2+2xy−3x− =2 0
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8
I
1.5
1) Với x≠0;x≠1;x≠ −1 ta có
( ) (2 )2 2 2
A
x A
+
Suy ra với x nguyên thì A có giá trị nguyên khi x + 1 là ước của 2013
Ước của 2013 gồm -2013;-671; -183; -61; -33; -11; -3; -1; 1; 3; 11; 33; 61; 183; 671;
2013
Từ đó tìm và đối chiếu điều kiện ta có với x nhận các giá trị là -2014; -672; -184; -62;
-34; -12; -4; -2; 2; 10; 32; 60; 182; 670; 2012 thì A nhận giá trị nguyên
0.5
0.25 0.5 0.25
II
2.5
1) a x2+7x+ =6 x2+ +x 6x+ =6 x x( + +1) (6 x+1)
(x 1) (x 6)
2008 2007 2008 2007 2007 2007 1
x + x + x+ =x + +x x + x+ +
(x2 x 1) (x2 x 1) 2007(x2 x 1) (x2 x 1) (x2 x 2008)
2) Ta có A = [2ab + (a2 + b2 - c2)][2ab – (a2 + b2 - c2)] = [(a + b)2 – c2][c2 – (a – b)2]
= (a + b + c)(a + b – c)(c + b – a)(c + a – b)
Do a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên a, b, c > 0 và theo bất đẳng thức trong tam
giác ta có a + b – c > 0; c + b – a > 0; c + a – b > 0 từ đó suy ra điều phải chứng minh
0.5
0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25
III
2.0
1 x + 1 y ≥ 1 xy
( ) ( ) ( ( ) ( ) )
( ) ( ) ( ) ( )
2
1
0 2
x y x y x y
y x xy
Vì x ≥ 1; y ≥ 1 => xy ≥ 1 => xy − ≥ 1 0
BĐT (2) luôn đúng => BĐT (1) luôn đúng (dấu ‘’=’’ xảy ra khi x = y)
2)
2 2
2
1
1
x
x
x
− + − + = ⇒ ≤
Dấu bằng xảy ra khi (x;y) ∈{ ( ) (1; 2 ; 1; 2− − ) }
Kết luận
0.5 0.25
0.25 0.5 0.25 0.25
Trang 33.0
E
F
C B
A
Vẽ đúng hình và ghi được ghi GT, KL
0.25 0,75 1.0
0,25 0,5 0,25
1) Vì ME// AC ; MF // AB theo hệ quả định lý Ta-Let ta có
1
AC + AB = BC + BC =
2) Chứng minh tam giác MBE đồng dạng với tam giác CBA suy ra
dt CBA = S = BC ⇒ BC = S ; Tương tự CM b
BC = S ( S2 là diện tích tam giác
+ + = + = hay
( )2 2
1
a b BC
S+ = BC = ⇒ = + ⇒ = + Vậy dt(ABC) = (a+b)2
3) Từ phần 2 suy ra dt(AEMF) = 2ab
a b+ S
Kết luận
V
1.0
Ta có: y2+2xy−3x− = ⇔2 0 x2+2xy y+ 2 =x2+3x+2 (*)
2
(x y) (x 1)(x 2)
VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên
tiếp nên phải có 1 số bằng 0
0,5 0,25
Vậy có 2 cặp số nguyên ( ; ) ( 1;1)x y = − hoặc ( ; ) ( 2; 2)x y = − 0,25
Chú ý :
Học sinh giải cách khác mà vẫn đúng thì cho điểm tối đa theo từng phần tương ứng.