Nêu các hoạt động củng cố định lý toán học.. Hãy nêu bốn ứng dụng của định lí trên không cần ví dụ để giải một số dạng bài tập toán.. Hãy nói rõ chức năng của bài tập toán trong dạy học
Trang 1SỞ GD&ĐT NGHỆ AN HỘI THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI BẬC THPT
CHU KỲ 2011 – 2015 Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút ( Không kể thời gian giao đề) Câu 1.(4,0 điểm)
a Hãy trình bày các con đường dạy học định lí toán học Nêu các hoạt động củng cố định
lý toán học
b Trong SGK lớp 12 (NXB Giáo dục) có định lí: “ Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K Nếu f '(x) 0> , x K∀ ∈ thì hàm số f(x) đồng biến trên K Nếu f '(x) 0< , x K∀ ∈
thì hàm số f(x) nghịch biến trên K ”
Hãy nêu bốn ứng dụng của định lí trên (không cần ví dụ) để giải một số dạng bài tập toán
Câu 2 (4,0 điểm)
a Hãy nói rõ chức năng của bài tập toán trong dạy học toán bậc THPT
b Hãy nêu hai quy trình giải bài toán: “ Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian tọa độ Oxyz khi biết phương trình tham số của hai đường thẳng đó ”
Câu 3 (5,0 điểm)
a Cho hệ phương trình: xy x 1 7y2 2 2
+ + =
+ + =
Giải hệ phương trình trên và hướng dẫn học sinh tìm một cách giải khác
b Tính tích phân:
2 x 6
cosx +sinx
(e sinx +1)sinx
π
π
=∫
Câu 4: (4,0 điểm)
a Nêu định hướng giúp học sinh giải bài toán sau bằng 2 cách: “ Chứng minh rằng trong hình bình hành, tổng bình phương các cạnh bằng tổng bình phương hai đường chéo ”
b Cho hình chóp S.ABC Lấy các điểm M, N, P theo thứ tự trên các tia SA, SB, SC sao cho SA = aSM, SB = bSN, SC = cSP (a, b, c là các số thực) Chứng minh nếu mặt phẳng (MNP) đi qua trọng tâm G của tam giác ABC thì a + b + c = 3
Nêu mệnh đề đảo của bài toán trên Mệnh đề này đúng hay sai, vì sao?
Câu 5: (3,0 điểm)
a Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )3
f (x) x 5 x= − trên đoạn [ ]0;5
b Cho các số thực a,b,c thỏa mãn a b c≥ ≥ và a2 + + =b2 c2 5 Chứng minh rằng:
(a b)(b c)(c a)(ab bc ca)− − − + + ≥ −4
-Hết Đề thi chính thức
Trang 2Họ và tên thí sinh……….SBD………
1 a Các con đường dạy học định lí toán học
- Con đường suy diễn Gồm các bước: Tạo động cơ, suy diễn để đi đến định
lí, phát biểu định lí, củng cố và vận dụng định lí
0,5
- Con đường có khâu suy đoán (quy nạp) Gồm các bước: Tạo động cơ, phát
hiện định lí, phát biểu định lí, chứng minh định lí, củng cố và vận dụng định
lí
0,5
Các hoạt động củng cố định lí:
- Hoạt động ngôn ngữ: phát biểu định lí, phát biểu định lý theo dạng khác 0,25
b Nêu bốn ứng dụng của định lí đã cho
- Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình
- Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất
- Tìm điều kiện để phương trình, bất phương trình, hệ pt có nghiệm
( Thí sinh nêu đủ bốn ý thì cho điểm tối đa )
2 a Chức năng bài tập toán
- Chức năng dạy học: Hình thành, củng cố cho học sinh tri thức, kỹ năng, kỹ
- Chức năng giáo dục: Rèn luyện tư duy biện chứng, lôgic, gây hứng thú
- Chức năng phát triển: Phát triển tư duy, năng lực, nhận thức 0,5
- Chức năng kiểm tra: Kiểm tra, đánh giá mức độ, kết quả dạy học, trình độ
b Nêu các quy trình: Giả sử d1, d2 có phương trình theo các tham số t, k
Quy trình 1:
+ Lấy A, B thuộc d1; d2, tính ABuuur (theo t, k), tìm các vtcp uuur1
2 u
uur của d1, d2. 0,25
+ Điều kiện để AB là đoạn vuông góc chung của d1, d2 là: 1
2
=
uuur uur uuur uur (*) 0,25
Quy trình 2:
+ Tìm các vtcp uuur1
2 u
uur của d1, d2 và chọn vtcp của đường vuông góc chung của đường vuông góc chung d là u= u ;u1 2
+ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và có vtpt n = u ;u1
r uur r
0,25
+ Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và có vtcp ur 0,25
Giải hệ xy x 1 7y2 2 2 (1)
x y xy 1 13y (2)
+ + =
+ + =
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN HƯỚNG DẪN CHẤM HỘI THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI
BẬC THPT CHU KỲ 2011 – 2015 Đáp án: MÔN TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm có 04 trang)
Trang 3Giải cách 1: Xét y = 0, từ (2) suy ra 1 = 0 (vô lí).
Xét y ≠ 0: (*) ⇔ 2
13
+ + =
+ + =
Đặt u x 1, v x
0,5
(*)⇔ u v 72
+ =
− =
2
⇒ + − = u 4 v 3
⇒ ⇒
= − =
+ Nếu u 4
v 3
=
=
ta có hệ
1
y x 3 y
+ =
=
2
y 1
y 3
=
⇒ − + = ⇒
=
Khi đó hệ có nghiệm: ( )3;1 ; 1;1
3
÷
0,5
+ Nếu u 5
v 12
= −
=
, giải tương tự ta có hệ vô nghiệm
Vậy hệ đã cho có nghiệm: ( )3;1 ; 1;1
3
÷
0,5
Hướng dẫn cách 2: Từ (1) suy ra y≠ −1 và rút x theo y: x 7y 1
y 1
−
=
- Thế vào (2) và đưa về pt: 36y4−33y3−5y2+ + =y 1 0 (3) 0,25
- Phân tích (3) thành nhân tử : (y - 1)(3y - 1)(12y2 + 5y + 1) = 0 0,25
- Suy ra pt có 2 nghiệm: y 1, y 1
3
= = , tìm x, kết luận nghiệm của hệ 0,25
2
6
e (cosx +sinx)
e sinx.(e sinx +1)
π
π
=∫ Đặt e sinx = tx ⇒ =dt e sinx +cosx dxx( )
= ⇒ = = ⇒ =
0,5
=
2 6
e
1 2
t ln
t 1
π
π
6 2
ln
π π
π + ÷
+ ÷
4 a Giả sử cho hình bình hành ABCD, chứng minh:
AB2 + BC2 + CD2+ DA2 = AC2 + BD2 (*)
Trang 4+ Gọi O là tâm hình bình hành ABCD suy ra O là trung điểm AC, BD 0,25
+ Áp dụng công thức đường trung tuyến trong các tam giác ABC, ACD 0,25
+ Chuyển từ bình phương độ dài về bình phương vô hướng 0,25
+ Do ABCD là hình bình hành nên có AB DC;AD BCuuur uuur uuur uuur= = 0,25
+ Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC
+ Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABD
+ Do tính chất hình bình hành nên cosA +cosD = 0, công các đẳng thức lại,
từ đó suy ra (*)
( Thí sinh nêu đủ hai cách thì cho điểm tối đa )
b
Mệnh đề đảo: Cho hình chóp S.ABC Lấy các điểm M, N, P theo thứ tự trên
các tia SA, SB, SC sao cho SA = aSM, SB = bSN, SC = cSP (a, b, c là các
số thực) Chứng minh nếu a + b + c = 3 thì mặt phẳng (MNP) đi qua trọng
tâm G của tam giác ABC
1,0
Chứng minh mệnh đề này đúng
Do G là trọng tâm tam giác ABC nên 1( )
3
uuur uuur uur uur
Mà SA SA.SM a.SM
SM
, tương tự SB b.SNuur= uuur; SC c.SPuur= uur
0,25
Suy ra SG aSM bSN cSP
uuur uuur uuur uur
(1)
Từ giả thiết ta có : a b c 1 a 1 b c
3 3 3+ + = ⇒ = − +3 3 3 (2)
Từ (1) , (2) suy ra SG (1 b c)SM bSN cSP
= − − + +
0,25
⇔uuur uuur− = uuur uuur− + uur uuur− MG bMN cMP
⇔ uuuur= uuuur+ uuur (3) 0,25
Vì MN, MPuuuur uuur
không cùng phương nên từ (3) ta có M, N, P, G đồng phẳng, suy ra mặt phẳng (MNP) đi qua trọng tâm G của tam giác ABC 0,25
5 a f(x) = x (5 x)− 3 hàm số liên tục trên đoạn [0; 5] f(x)
3/ 2
f ’(x) = 5 x (5 5x)
2
− −
0,5
f ’(x) = 0 ⇒ =x 5; x 2= Ta có : f(2) = 6 3 , f(0) = f(5) = 0 0,5
Vậy Maxx [0;5]∈ f(x) = f(2) = 6 3 , Minx [0;5]∈ f(x) = f(0) = 0 0,5
b (a b)(b c)(c a)(ab bc ca)− − − + + ≥ −4
(a b)(b c)(a c)(ab bc ca) 4
Nếu ab + bc + ca < 0 thì P ≤ 0 suy ra BĐT được chứng minh 0,25 Nếu ab + bc + ca ≥0 , đặt ab + bc + ca = x≥0
Trang 5(a-b)(b-c)
− + − −
≤ ÷ =
3 (a c) 4
−
Ta có : 4(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = 2(a - c)2 + 2(a - b)2 + 2(b - c)2
≥ 2(a - c)2 + [(a - b) + (b - c)]2 = 2(a - c)2 + (a - c)2 = 3(a - c)2
Suy ra 4(5 - x) ≥ 3(a - c)2 ,từ đây ta có x ≤ 5 và a c 4(5 x)
3
Từ (1) , (2) suy ra P
3
≤ −
=
3
2 3
x (5 x)
Theo câu a ta có: f(x) = x (5 x)− 3 6 3≤ với x thuộc đoạn [0; 5]
nên suy ra P 2 3.6 3 P 4
9
Dấu bằng xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0
0,25
Hết