So sánh cung: Trong một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau: - Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.. Định lý liên hệ giữa đường kính, cung và dây: - Trong
Trang 1ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II
- o0o - PHẦN ĐẠI SỐ
A - KIẾN THỨC CƠ BẢN
I Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
* Phương trình bậc nhất hai ẩn: Là phương trình có dạng ax + by = c, trong đó a, b, c là
các số đã biết, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn
- Phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm
* Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: Là những hệ phương trình có dạng:
( )I
ax by c
a x b y c
+ =
Phương pháp giải: Phương pháp cộng, thế, đặt ẩn phụ
* Biện luận hệ phương trình bậc nhất một ẩn
- Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi
a b
a ≠b
- Hệ (I) vô nghiệm khi
a b c
a =b ≠ c
- Hệ có vô số nghiệm khi
a b c
a =b = c
II Hàm số y = ax2 (a 0≠ )
1 Hàm số y = f(x) = ax 2 (a ≠0) Có tập xác đinh D = R
- Nếu a > 0, hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0 Giá trị nhỏ nhất của f(x) bằng 0 khi x = 0
- Nếu a < 0, hàm số đồng biến khi x > 0, nghịch biến khi x < 0 Giá trị lớn nhất của f(x) bằng 0 khi x = 0
- Đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh là O(0;0), nhận trục tung làm trục đối xứng, quay bề lõm lên trên nếu a > 0, quay bề lõm xuống dưới nếu a < 0
2 Tương giao của đường thẳng y = mx + n và Parabol y = ax 2
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: ax2 = mx + n ⇔ ax2 - mx – n = 0 (*)
* Điều kiện để (d) và (P)
a) Tiếp xúc nhau khi pt (*) có nghiệm kép ⇔ Δ = 0
b) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi pt (*) có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ > 0
Trang 2c) Có điểm chung khi pt (*) có nghiệm ⇔ Δ ≥ 0
d) Không có điểm chung khi pt (*) vô nghiệm ⇔ Δ < 0
III Phương trình bậc hai một ẩn
1 Phương trình bậc hai một ẩn là những phương trình có dạng ax 2 + bx + c = 0 (a 0 ≠ )
2 Cách giải phương trình bậc hai một ẩn
Cho phương trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
2
b 4ac
0
∆ > : phương trình có 2 nghiệm phân biệt
' 0
∆ > : phương trình có 2 nghiệm phân biệt
− + ∆ − − ∆
0
∆ = : phương trình có nghiệm kép
b
2a
−
' 0
∆ = : phương trình có nghiệm kép
b'
x x
a
−
0
∆ < : phương trình vô nghiệm ∆ < : phương trình vô nghiệm ' 0
3 Hệ thức Vi-et là ứng dụng
* Cho phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a 0≠ )
- Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì:
1 2
b
a c
P x x
a
- Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì:
2
ax +bx c a x x+ = − x x−
- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 = 1; x2 = c
a
- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 = -1; x2 = c
a
−
- Nếu có hai số u và v sao cho u v S
uv P
+ =
(S2 ≥4P) thì u, v là hai nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0
4 Điều kiện có nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a 0≠ ) (*)
- (*) có nghiệm ⇔ ∆ ≥0
Trang 3- (*) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ >0
- (*) có 2 nghiệm cùng dấu ⇔ 0
P 0
∆ ≥
>
- (*) có 2 nghiệm dương ⇔
0
P 0
S 0
∆ ≥
>
>
- (*) có 2 nghiệm âm ⇔
0
P 0
S 0
∆ ≥
>
<
- (*) có 2 nghiệm trái dấu ⇔ac < 0 hoặc P < 0
5 Tìm điều kiện của tham số để 2 nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện nào đó
Trong những trường hợp này cần sử dụng hệ thức Viet và phương pháp giải hệ phương trình
6 Một số phương trình đưa được về dạng phương trình bậc hai
* Phương trình trùng phương có dạng: ax4 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
* Cách giải: Đặt t = x2 với t ≥ 0, ta đưa về phương trình bậc hai theo ẩn t: at2 + bt + c = 0 Giải phương trình tìm t ≥ 0 => x
* Phương trình chứa ẩn ở mẫu:
- Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình
- Bước 2: Quy đồng và khử mẫu
- Bước 3: Giải PT vừa nhận được
- Bước 4: Kiểm tra, đối chiếu ĐKXĐ và kết luận nghiệm
* Phương trình tích có dạng: f(x).g(x).h(x) = 0
* Cách giải: ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
0
f x
f x g x h x g x
h x
=
= ⇔ =
Ngoài ra còn một số phương trình dạng khác, chúng ta có thể tìm cách đặt ẩn phụ, tách hạng tử, thêm bớt hạng tử, để đưa về một trong các dạng trên
IV Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
Trang 4* Phương pháp giải
Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn: Gọi một (hai) trong số những điều chưa biết làm ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết
Bước 3: Dựa vào mối quan hệ giữa các đại lượng đã biết và chưa biết để lập phương trình (hệ phương trình)
Bước 4: Giải phương trình (hệ phương trình) vừa lập ở trên
Bước 5: Kiểm tra giá trị tìm được với điều kiện rồi kết luận
* Chú ý việc tóm tắt bài toán trước khi làm
B – BÀI TẬP
I Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
1)
2x y 5
+ =
4x 2y 3 2)
6x 3y 5
− =
− =
2x 3y 5 3)
4x 6y 10
+ =
+ =
3x 4y 2 0
4)
5x 2y 14
− + =
+ =
2x 5y 3 5)
3x 2y 14
+ =
− =
4x 6y 9 6)
10x 15y 18
− =
− =
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
3
x 2y y 2x
1)
1
x 2y y 2x
4
x 1 y 4 2)
9
x 1 y 4
2 2
3)
Bài 3: Cho hệ phương trình:
=
−
= +
1 2y mx
2 my x
a) Giải hệ phương trình trên khi m = 2
b) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x > 0 và y < 0
II Hàm số y = ax2 (a 0≠ )
Bài 1: Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = –3x + 4
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy
b) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)
Bài 2: Cho parabol (P): y = 2
4
x
− và đường thẳng (d): y = 1
2x n
a) Tìm giá trị của n để đường thẳng (d) tiếp xúc với (P)
b) Tìm giá trị của n để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm
c) Xác định toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) với (P) nếu n = 1
Bài 3: Cho (P): y = x2 và (d): y = 2x + m Tìm m để (P) và (d):
a) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt
b) Tiếp xúc nhau
c) Không giao nhau
Bài 4: Cho hai hàm số y = x2 (P); y = x + 2m – 1 (d)
a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng hệ trục tọa độ khi (d) đi qua điểm A(1; 1)
Trang 5b) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm
c) Tìm m để (d1): y = 2x – 1 cắt (d) và (P) tại cùng một điểm
d) Chứng minh rằng (d2): y = - x + m2 luôn cắt (P) tại hai điểm với mọi m
III Phương trình bậc hai một ẩn
Bài 1: Giải các phương trình sau
2
a) 3x +12x 0= b) 5x2−10x 0= c) 3x2−12 0=
2
d) 3x − =1 0 e) x2 +5x 4 0+ = f ) 3x2 −7x 3 0+ =
2
g) 5x +31x 26 0+ = h) x2 −15x 16 0− = i)19x2−23x 4 0+ =
2
k) 2x +5 3x 11 0+ =
Bài 2: Cho phương trình x2 + 5x + 4 = 0 Không giải phương trình hãy tính:
1 2 1 2
b)
x + x ( 1 2)( 1 2)
Bài 3: Cho phương trình x2 + mx + m + 3 = 0
a) Giải phương trình với m = -2
b) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình
c) Tính x12 + x22 ; x13 + x23 theo m
d) Xác định giá trị của m để x12 + x22 = 10
e) Tìm m để 2x1 + 3x2 = 5
f) Tìm m để phương trình có nghiệm x = -3 Tính nghiệm còn lại
g) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm dương
Bài 4: Cho phương trình bậc hai: mx2 – (5m-2)x + 6m – 5 = 0
a) Giải phương trình với m = 2
b) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau
d) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm là nghịch đảo của nhau
e) Tìm m để phương trình có nghiệm là x = 0 Tìm nghiệm còn lại
f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm
Bài 5: Cho phương trình : 3x2 – ( 3k – 2) x – ( 3k + 1) = 0 với x là ẩn số, k là tham số
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của k
b) Giải phương trình với k = 1
c) Tìm k để phương trình có nghiệm kép
d) Tìm k để phương trình có 2 nghiệm dương
e) Tìm k để nghiệm x1 ; x2 của phương trình thoả mãn : 3x1 – 5x2 = 6
Bài 6: Cho phương trình x2 + (m + 2)x + 2m = 0
a) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình
b) Phương trình có một nghiệm x = 3 Tìm m và nghiệm còn lại
c) Tìm m để 1 2
2
x + x = d) Tìm m để (2x1+x2)(x1+2x2)≥0
e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau
f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu
Bài 7: Giải các phương trình sau:
Trang 6a) x − 6 x + 5 = 0 b) − 2 x + 5 x + 7 = 0 c) − x + 8 x − 9 = 0
1
20
= +
x e) (2x+1)(x−1) = −2x f) x4 − 13 x2 + 36 = 0
g) 9 4 6 2 1 0
= +
+ x
= +
− x
= + +
5
100 5
100
=
−
+
2
2 2
2
=
+ +
x x
x
l)
1
1 2 2
1 2
1
+
+
=
−
− + +
+
x
x x
x x
x
IV Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
Bài 1: Một người đi xe đạp xuất phát từ A Sau 4 giờ, một người đi xe máy cũng đi từ A và
đuổi theo trên cùng một con đường và gặp người đi xe đạp cách A là 60 km Tính vận tốc của mỗi người biết vận tốc của người đi xe máy lớn hơn vận tốc của người đi xe đạp là 20 km/h
Bài 2: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 20km trong một thời gian đã định Sau
khi đi được một giờ với vận tốc dự định, người đó giảm vận tốc đi 2 km/h trên quãng đường còn lại, nên đã đến B chậm 15 phút so với dự định Tính vận tốc dự định của người đi xe đạp
Bài 3: Một công nhân được giao khoán sản xuất 120 sản phẩm trong một thời gian nhất
định Sau khi làm được một nửa số lượng được giao, nhờ hợp lý hoá một số thao tác nên mỗi giờ người đó làm thêm được 3 sản phẩm nữa Nhờ đó, mức khoán được giao đã được người công nhân hoàn thành sớm 1 giờ Tính năng suất và thời gian dự định của người công nhân đó
Bài 4: Một nhóm thợ đặt kế hoạch làm 4000 sản phẩm Trong 8 ngày đầu họ thực hiện đúng
mức đề ra Những ngày còn lại họ làm vượt mức mỗi ngày 40 sản phẩm nên đã hoàn thành
kế hoạch sớm 2 ngày Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày nhóm thợ phải làm bao nhiêu sản phẩm
Bài 5: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể chứa không có nước thì sau 2 giờ 55 phút bể đầy
Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ Hỏi mỗi vòi chảy một mình đầy bể trong bao lâu ?
Bài 6: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể chứa không có nước sau 6 giờ thì đầy bể Nếu
mở riêng vòi thứ nhất trong 2 giờ, vòi thứ hai trong 3 giờ thì được 2
5bể Hỏi mỗi vòi chảy một mình sau bao lâu thì đầy bể ?
Bài 7: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định Do áp
dụng kỹ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II vượt mức 21% Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch ?
Bài 8: Một ô tô khách đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 200km Sau đó 30 phút một ô tô
con khởi hành từ tỉnh B đến tỉnh A trên cùng con đường ấy, đi được 2 giờ thì gặp ô tô khách Tính vận tốc của mỗi ô tô, biết rằng vận tốc của ô tô con lớn hơn vận tốc của ô tô khách là 10km/h
Bài 9: Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30km Một ca nô đi từ A đến B, nghỉ 40
phút ở B, rồi quay trở về bến A Thời gian kể từ lúc đi đến lúc trở về đến A là 6 giờ Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 3km/h
Bài 10: Một ca nô chạy trên khúc sông dài 95 km Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi
ngược là 1giờ 12 phút Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 3km/h
Bài 11: Hai người cùng làm chung một công việc thì sẽ hoàn thành trong 4 ngày Nếu người
thứ nhất làm một nửa công việc, sau đó người thứ hai làm nốt công việc còn lại thì sẽ hoàn
Trang 7thành toàn bộ công việc trong 9 ngày Hỏi nếu mỗi người làm riêng thì sẽ hoàn thành công việc trong mấy ngày
Bài 12: Cho một số có hai chữ số Tìm các chữ số của số đó biết rằng số đó bằng tổng bình
phương các chữ số của nó trừ đi 11, và số đó cũng bằng hai lần tích của hai chữ số của nó cộng thêm 5
Bài 13: Một ca nô xuôi dòng 45km rồi ngược dòng 18km Biết vận tốc xuôi dòng lớn hơn
vận tốc ngược dòng là 6km/h và thời gian xuôi dòng nhiều hơn thời gian ngược dòng là 1 giờ Tính vận tốc xuôi dòng và vận tốc ngược dòng của ca nô
Trang 8PHẦN HÌNH HỌC
A - KIẾN THỨC CƠ BẢN
I Đường tròn và các vấn đề liên quan
1 Cộng số đo cung:
- Nếu điểm M nằm trên cung AB và chia cung AB thành hai cung AM và cung MB thì sñAB sñAM sñMB= +
2 So sánh cung: Trong một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau:
- Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau
- Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn
3 Định lý liên hệ giữa cung và dây: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường
tròn bằng nhau:
- Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau và ngược lại
- Cung lớn hơn căng dây lớn hơn và ngược lại
- Trong 1 đường tròn, hai cung bị chắn giữa 2 dây song song thì bằng nhau
4 Định lý liên hệ giữa đường kính, cung và dây:
- Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy
- Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây cung (không phải là đường kính) thì đi qua điểm chính giữa của cung ấy
- Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại
5 Định lý góc ở tâm: Số đo của góc ở tâm bằng số đo của cung bị chắn
6 Định lý góc nội tiếp, hệ quả góc nội tiếp: Trong một đường tròn:
- Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn
- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau
- Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 900) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung
- Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông
7 Tiếp tuyến của đường tròn:
* Định nghĩa: Đường thẳng a gọi là tiếp tuyến của đường tròn (O) nếu a có một điểm
chung với đường tròn (O) Điểm chung đó gọi là tiếp điểm
* Tính chất: Tiếp tuyến của đường tròn thì vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm
* Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn: Đường thẳng a là tiếp tuyến của
đường tròn nếu:
- a có một điểm chung với đường tròn
- Khoảng cách từ a đến tâm O bằng bán kính R
Trang 9- a đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó
* Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau: Nếu hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm thì:
- Điểm đó cách đều 2 tiếp điểm
- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến
- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm
8 Tính chất và hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung:
- Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn
- Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau
9 Định lý góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn:
- Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn có số đo bằng nửa tổng số đo của hai cung bị chắn
- Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn có số đo bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn
10 Định lý tứ giác nội tiếp:
- (Thuận): Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800
- (Đảo): Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn
11 Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn:
+ Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800
+ Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện
+ Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm Điểm đó gọi là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác
+ Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α
12 Độ dài đường tròn, diện tích hình tròn
- Độ dài đường tròn bán kính R là: C= π2 R
- Độ dài của cung tròn có số đo n độ, bán kính R là:
180
Rn
l=π
- Diện tích hình tròn bán kính R là: S =πR2
- Diện tích hình quạt tròn cung n độ, bán kính R là :
2
2
360
q
lR
R n
* Hình viên phân: Là hình giới hạn bởi một cung và dây căng cung ấy
Diện tích của hình viên phân giới hạn bởi cung AB và dây AB bằng hiệu giữa diện tích hình quạt OAB và diện tích tam giác OAB
vp AB
S =S −S∆
* Hình vành khăn: Là phần hình tròn nằm giữa hai đường tròn đồng tâm bán kính R
và r (R > r)
vkh
S =π R −r
Trang 10II Hình trụ, hình nón, hình cầu
B – BÀI TẬP
1 Cho tam giác MNP có ba góc nhọn (MN < MP) nội tiếp đường tròn (O); Các đường cao
ML và PK của tam giác MNP cắt nhau tại L (L∈NP, K∈MN)
a) Chứng minh tứ giác NKHL nội tiếp được đường tròn