ON THI VAO 10 NAM 2013

+ Ph-ơng pháp cộng đại số : - Quy đồng hệ số một ẩn nào đó làm cho một ẩn nào đó của hệ có hệ số bằng nhau hoặc đối nhau.. của ôtô thứ nhất hơn vận tốc của ôtô thứ hai là 15 km/h nên ôtô

BÀI TẬP PHẦN RÚT GỌN Bài 1 :

1

x x

a) Rĩt gän biĨu thøc sau A

b) TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc A khi x =

41

ng dÉn :

a)

§KX§ : a >

0 vµ a

Bài 5 : Cho biĨu thøc: A = x 1 x 1 x2 24x 1 x 2003

3 x 1 x

x 2 3

x 2 x

19 x 26 x x P

b Tính giá trị của P khi x74 3

c Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó

H-ớng dẫn :

a ) ĐKXĐ : x  0, x 1 Biểu thức rút gọn :

3 x

16 x P

3333

2

x

x x

x x

x x

x P

3 P

x x

 )

 )

 )

BAỉI TAÄP PHAÀN HAỉM SOÁ BAÄC NHAÁT

Baứi 1 :

1) Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4)

2) Tìm toạ độ giao điểm của đ-ờng thẳng trên với trục tung và trục hoành

b a

Vậy pt đ-ờng thẳng cần tìm là y = 3x - 1

2) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1 ; Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng

31

Baứi 2 : Cho hàm số y = (m - 2)x + m + 3

1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến

2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3

3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x - 1 đồng quy

3) Giao điểm của hai đồ thị y = -x + 2 ; y = 2x - 1 là nghiệm của hệ pt :

2

x y

x y



Baứi 3 : Cho hàm số y = (m - 1)x + m + 3

1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1

2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4)

3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m

H-ớng dẫn :

1) Để hai đồ thị của hàm số song song với nhau cần : m - 1 = - 2  m = -1

Vậy với m = -1 đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1

2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m - 1)x + m + 3 Ta đ-ợc : m = -3

Vậy với m = -3 thì đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4)

3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0;y0) Ta có

1

0

0

y x

Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (1;2)

H-ớ

ng dẫn :

1) Gọi pt đ-ờng thẳng AB có dạng : y = ax + b

Do đ-ờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 1) và (2 ;-1) ta có hệ pt :

b a

21

23

2 2

m m

m m

Baứi4 : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1)

1) Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng AB

2) Tìm các giá trị của m để đ-ờng thẳng y = (m2

- 3m)x + m2

- 2m + 2 song song với đ-ờng thẳng

AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2)

1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5)

2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m Tìm điểm cố định

0

0

y x

Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (

2

5

;2

và y = kx + k + 1 cắt nhau tại một điểm

Baứi 7 : Giả sử đ-ờng thẳng (d) có ph-ơng trình y = ax + b Xác định a, b để (d) đi qua hai điểm A(1; 3) và

B(-3; -1)

Baứi 8 : Cho hàm số : y = x + m (D)

Tìm các giá trị của m để đ-ờng thẳng (D) :

1) Đi qua điểm A(1; 2003)

2) Song song với đ-ờng thẳng x - y + 3 = 0

 + Nếu a = 0 và b ≠ 0  ph-ơng trình vô nghiệm

x a'

c

by

ax

Ph-ơng pháp giải :

Sử dụng một trong các cách sau :

+) Ph-ơng pháp thế : Từ một trong hai ph-ơng trình rút ra một ẩn theo ẩn kia , thế vào ph-ơng trình thứ 2

ta đ-ợc ph-ơng trình bậc nhất 1 ẩn

+) Ph-ơng pháp cộng đại số :

- Quy đồng hệ số một ẩn nào đó (làm cho một ẩn nào đó của hệ có hệ số bằng nhau hoặc đối nhau)

- Trừ hoặc cộng vế với vế để khử ẩn đó

- Giải ra một ẩn, suy ra ẩn thứ hai

B Ví dụ minh họa :

Ví dụ 1 : Giải các ph-ơng trình sau đây :



thay vào (* ) ta có (

23

)3

+ 23

 + 1 ≠ 0

4

= 6 - 2x +

41

2) Gọi nghiệm của hệ ph-ơng trình là (x, y) Tìm các giá trị của m để x + y = -1

3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

H-ớng dẫn :

1) Giải hệ ph-ơng trình khi thay m = -1

2) Gọi nghiệm của hệ ph-ơng trình là (x, y) Tìm m để x2

 có nghiệm duy nhất là (x; y)

1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a

2) Tìm các giá trị của a thoả mãn 6x2

2) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất

2) Chứng minh rằng với mọi a hệ luôn có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x + y  2

Baứi 8 (trang 22): Cho hệ ph-ơng trình :

03)y (m-

x

(m là tham số)

a) Giải hệ khi m = -1

b) Giải và biện luận pt theo m

Baứi 9 : (trang 24): Cho hệ ph-ơng trình :

mx

0

y m -

x

(m là tham số)

a) Giải hệ khi m = -1

b) Tỡm giaự trũ nguyeõn cuỷa m ủeồ heọ coự hai nghieọm nguyeõn

c) Xaực ủũnh moùi heọ coự nghieọm x > 0, y > 0

Baứi 10 (trang 23): Moọt oõtoõ vaứ moọt xe ủaùp chuyeồn ủoọng ủi tửứ 2 ủaàu moọt ủoaùn ủửụứng sau 3 giụứ thỡ gaởp

nhau Neỏu ủi cuứng chieàu vaứ xuaỏt phaựt taùi moọt ủieồm thỡ sau 1 giụứ hai xe caựch nhau 28 km Tớnh vaọn toỏc cuỷa moói xe

HD : Vaọn toỏc xe ủaùp : 12 km/h Vaọn toỏc oõtoõ : 40 km/h

Baứi 11 : (trang 24): Moọt oõtoõ ủi tửứ A dửù ủũnh ủeỏn B luực 12 giụứ trửa Neỏu xe chaùy vụựi vaọn toỏc 35 km/h

thỡ seừ ủeỏn B luực 2 giụứ chieàu Neỏu xe chaùy vụựi vaọn toỏc 50 km/h thỡ seừ ủeỏn B luực 11 giụứ trửa Tớnh ủoọ quaỷng ủửụứng AB vaứ thụứi dieồm xuaỏt phaựt taùi A

ẹaựp soỏ : AB = 350 km, xuaỏt phaựt taùi A luực 4giụứ saựng

Baứi 12 : (trang 24): Hai voứi nửụực cuứng chaỷy vaứo moọt caứi beồ nửụực caùn, sau

5

4

4 giụứ thỡ ủaày beồ Neỏu

luực ủaàu chổ mụỷ voứi thửự nhaỏt, sau 9 giụứ mụỷ voứi thửự hai thỡ sau

5

6 giụứ nửừa mụựi nay beồ Neỏu moọt mỡnh voứi thửự hai chaỷy bao laõu seừ nay beồ

ẹaựp soỏ : 8 giụứ

Baứi 13 : (trang 24): Bieỏt raống m gam kg nửụực giaỷm t0C thỡ toỷa nhieọt lửụùng Q = mt (kcal) Hoỷi phaỷi duứng bao nhieõu lớt 1000C vaứ bao nhieõu lớt 200C ủeồ ủửụùc hoón hụùp 10 lớt 400C

y

2,5

x

Vaọy caàn 2,5 lớt nửụực soõi vaứ 75 lớt nửụực 200C

Baứi 14 : Khi theõm 200g axớt vaứo dung dũch axớt thỡ dung dũch mụựi coự noàng ủoọ 50% Laùi theõm 300g

nửụực vaứo dung dũch mụựi ủửụùc dung dũch axớt coự noàng ủoọ 40% Tớnh noàng ủoọ axớt trong dung dũch ban ủaàu

Hửụứng daừn :Goùi x khoỏi axit ban ủaàu, y laứ khoỏi lửụùng dung dũch ban ủaàu

Theo baứi ra ta coự heọ pt :

%100.500

y

200)(

%50

%100.200

y

200)(

y

400

x

Vaọy noàng ủoọ phaàn traờm cuỷa dung dũch axớt ban ủaàu laứ 40%

Ph-ơng trình bậc hai

định lý viet và ứng dụng A.Kiến thức cần ghi nhớ

1 Để biện luận sự cú nghiệm của phương trỡnh : ax2 + bx + c = 0 (1) trong đú a,b ,c phụ thuộc tham số m,ta xột 2 trường hợp

a) Nếu a= 0 khi đú ta tỡm được một vài giỏ trị nào đú của m ,thay giỏ trị đú vào (1).Phương trỡnh (1) trở thành phương trỡnh bậc nhất nờn cú thể : - Cú một nghiệm duy nhất

- hoặc vụ nghiệm

- hoặc vụ số nghiệm

b)Nếu a 0

Lập biệt số = b2 - 4ac hoặc / = b/2 - ac

*  < 0 (/ < 0 ) thỡ phương trỡnh (1) vụ nghiệm

*  = 0 (/ = 0 ) : phương trỡnh (1) cú nghiệm kộp x1,2 = -

a

b

2 (hoặc x1,2 = -

p = x1x2 =

a c

Đảo lại: Nếu cú hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p thỡ hai số đú là nghiệm (nếu có ) của

ph-ơng trình bậc 2:

x2

- S x + p = 0

3.Dấu của nghiệm số của ph-ơng trình bậc hai

Cho ph-ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a  0) Gọi x1 ,x2 là các nghiệm của ph-ơng trình Ta có các kết quả sau:

S p

S p

S p

S p

4.Vài bài toán ứng dụng định lý Viét

 Nếu a - b + c = 0 thì ph-ơng trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2 = -

a c

c)Tìm điều kiện của tham số để ph-ơng trình bậc 2 có nghệm x 1 , x 2 thoả mãn điều kiện cho

tr-ớc.(Các điều kiện cho tr-ớc th-ờng gặp và cách biến đổi):

2 1 2 1

11

x x

x x x x





p S

*)

2 1

2 2 2 1 1 2 2

1

x x

x x x

x x

2 1 2

1

2)

)(

(

21

1

a aS p

a S a

x a x

a x x a x a

(Chú ý : các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho tr-ớc phải thoả mãn điều kiện 0)

d)Tìm điều kiện của tham số để ph-ơng trình bậc hai có một nghiệm x = x 1 cho tr-ớc Tìm nghiệm thứ 2

Cách giải:

 Tìm điều kiện để ph-ơng trình có nghiệm x= x1 cho tr-ớc có hai cách làm

+) Cách 1:- Lập điều kiện để ph-ơng trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm:

+) Cách 2: - Không cần lập điều kiện0 (hoặc / 0) mà ta thay luôn

x = x1 vào ph-ơng trình đã cho, tìm đ-ợc giá trị của tham số

- Sau đó thay giá trị tìm đ-ợc của tham số vào ph-ơng trình và

giải ph-ơng trình

Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào ph-ơng trình đã cho mà ph-ơng trình bậc hai này có 

< 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để ph-ơng trình có nghiệm x1 cho tr-ớc

x1 = m + 1 - m2 9 x2 = m + 1 + m2 9

+ Nếu / = 0 m = 3

- Với m =3 thì ph-ơng trình có nghiệm là x1.2 = 4

- Với m = -3 thì ph-ơng trình có nghiệm là x1.2 = -2

* Nếu m - 3 0  m  3 Ph-ơng trình đã cho là ph-ơng trình bậc hai có biệt số / = m2

- (m - 3)(m - 6) = 9m - 18

- Nếu / = 0 9m - 18 = 0 m = 2 ph-ơng trình có nghiệm kép

x1 = x2 = -

32

- Nếu / < 0  m < 2 Ph-ơng trình vô nghiệm

Kết luận:

Với m = 3 ph-ơng trình có nghiệm x = -

21Với m = 2 ph-ơng trình có nghiệm x1 = x2 = -2

Với m > 2 và m  3 ph-ơng trình có nghiệm x1,2 =

3

23





a c

b) 17x2

+ 221x + 204 = 0 có a - b + c = 17 - 221 + 204 = 0

Vậy ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -1 ,

72-3 xx

2 1

2 1

2 1

m

m x

+ (x1 - x2)2 = S2 - 4p => B = x1 x2 = S2 4p  37

+ C =

1

11

2)

1)(

1(

2)(

2 1

S x

x

x x

+ D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x1 + x2 ) + x1x2

= 10x1x2 + 3 (x1 + x2 )

= 10p + 3(S2

- 2p) = 3S2

+ 4p = - 1 b)Ta có :

S =

9

11

11

1

2 1

1)

1)(

1

(

1

2 1

1 = 0 9X2 + X - 1 = 0

Bài 6 : Cho ph-ơng trình :

x2 - ( k - 1)x - k2 + k - 2 = 0 (1) (k là tham số)

1 Chứng minh ph-ơng trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k

2 Tìm những giá trị của k để ph-ơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu

9) = 5(k2

- 2

5

3

k + 25

9 + 25

36) = 5(k -

5

3) + 5

36 > 0 với mọi giá trị của k Vậy ph-ơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

2 Ph-ơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu p < 0

1 + 4

7) < 0

3 Ta có x1 + x2 = (x1 + x2)3

- 3x1x2(x1 + x2) Vì ph-ơng trình có nghiệm với mọi k Theo hệ thức viét ta có

- 3(- k2

+ k - 2)]

= (k - 1) (4k2

- 5k + 7) = (k - 1)[(2k -

4

5)2 + 16

87]

Do đó x1 + x2 > 0  (k - 1)[(2k -

4

5)2

+ 1687] > 0

 k - 1 > 0 ( vì (2k -

4

5)2

+ 16

87 > 0 với mọi k) k > 1

2 Chứng minh rằng ph-ơng trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với mọi m

3 Tìm m để x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là hao nghiệm của ph-ơng trình (1) nói trong phần 2.)

1 + 4

19 = (m +

2

1)2

+ 4

19 > 0 với mọi m Vậy ph-ơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2

3 Vì ph-ơng trình có nghiệm với mọi m ,theo hệ thức Viét ta có:

+ 4

19]

=> x1x2 = 2

4

19)2

1(m 2 

4

192

 = 19 khi m +

2

1 = 0 m = -

21

Vậy x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 19 khi m = -

21

Bài 8 : Cho ph-ơng trình (m + 2) x2

+ (1 - 2m)x + m - 3 = 0 (m là tham số) 1) Giải ph-ơng trình khi m = -

29

2) Chứng minh rằng ph-ơng trình đã cho có nghiệm với mọi m

3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia

Giải:

1) Thay m = -

2

9 vào ph-ơng trình đã cho và thu gọn ta đ-ợc 5x2 - 20 x + 15 = 0

2

512

42

2(2

)3(2)2(2

512

m m

m

Tóm lại ph-ơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

3)Theo câu 2 ta có m  - 2 thì ph-ơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia ta sét 2 tr-ờng hợp

Kiểm tra lại: Thay m =

2

11 vào ph-ơng trình đã cho ta đ-ợc ph-ơng trình : 15x2

- 20x + 5 = 0 ph-ơng trình này có hai nghiệm

x1 = 1 , x2 =

15

5 = 3

1 (thoả mãn đầu bài)

Bài 9: Cho ph-ơng trình : mx2 - 2(m-2)x + m - 3 = 0 (1) với m là tham số

1 Biện luận theo m sự có nghiệm của ph-ơng trình (1)

2 Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu

3 Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3 Tìm nghiệm thứ hai

Giải

1.+ Nếu m = 0 thay vào (1) ta có : 4x - 3 = 0  x =

43

+ Nếu m 0 Lập biệt số /= (m - 2)2 - m(m-3)

= m2

- 4m + 4 - m2

+ 3m = - m + 4

242

m = 4 : ph-ơng trình (1) Có nghiệm kép x =

21

0  m < 4 : ph-ơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

2 (1) có nghiệm trái dấu 

03

m m m m

m m m m

Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m =

-4

9 thoả mãn

*) Cách 2: Không cần lập điều kiện /  0 mà thay x = 3 vào (1) để tìm đợc m =

-4

9.Sau đó thay m

2

1

x x

Vậy với m =

-4

9 thì ph-ơng trình (1) có một nghiệm x= 3

*)Để tìm nghiệm thứ 2 ,ta có 3 cách làm

Cách 1: Thay m = -

4

9 vào ph-ơng trình đã cho rồi giải ph-ơng trình để tìm đ-ợc x2 =

9

7 (Nh- phần trên đã làm)

Cách 2: Thay m =

-4

9 vào công thức tính tổng 2 nghiệm:

x1 + x2 =

9344

9

)24

9(2)2(2

Cách 3: Thay m = -

4

9 vào công trức tính tích hai nghiệm

x1x2 =

9214

9

34

93

9

21 : 3 = 97

Bài 10: Cho ph-ơng trình : x2

+ 2kx + 2 - 5k = 0 (1) với k là tham số

- 2x1x2 = 10 Với điều kiện(*) , áp dụng hệ trức vi ét: x1 + x2 = - 

a

b

- 2k và x1x2 = 2 - 5k Vậy (-2k)2 - 2(2 - 5k) = 10  2k2 + 5k - 7 = 0

(Có a + b + c = 2+ 5 - 7 = 0 ) => k1 = 1 , k2 = -

27

Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần l-ợt k1 , k2 vào / = k2

+ 5k - 2 + k1 = 1 => / = 1 + 5 - 2 = 4 > 0 ; thoả mãn

+ k2 = -

2

7 => /=

8

294

8704922

354

BAỉI TAÄP PHAÀN PHệễNG TRèNH BAÄC HAI

Tính x1 x2 x2 x1 (với x1, x2 là hai nghiệm của ph-ơng trình)

Baứi 3 : Cho ph-ơng trình bậc hai:

x2

- 2(m + 1)x + m2

+ 3m + 2 = 0 1) Tìm các giá trị của m để ph-ơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt

2) Tìm giá trị của m thoả mãn x1 + x2 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm của ph-ơng trình)

Baứi 4 : Cho ph-ơng trình:

x2 - 2mx + 2m - 5 = 0

1) Chứng minh rằng ph-ơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

2) Tìm điều kiện của m để ph-ơng trình có hai nghiệm trái dấu

3) Gọi hai nghiệm của ph-ơng trình là x1 và x2, tìm các giá trị của m để:

2) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của ph-ơng trình (1) Tính B = x1 + x2

Baứi 7 : Cho ph-ơng trình : x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m là tham số)

a) Xác định m để ph-ơng trình có một nghiệm là bằng 2 Tìm nghiệm còn lại

b) Xác định m để ph-ơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 + x2  0

Baứi 8 : Cho ph-ơng trình:

(m - 1)x2

+ 2mx + m - 2 = 0 (*) 1) Giải ph-ơng trình khi m = 1

 = m2-2m+1= (m-1)20 mọi m=> pt có nghiệm với mọi m

ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (-1,0)

với m 1/2 pt còn có nghiệm x=

12

=

12

0112

0122

m m

m

=>m<0 Vậy Pt có nghiệm trong khoảng (-1,0) khi và chỉ khi m<0

GIAÛI BAỉI TOAÙN BAẩNG CAÙCH LAÄP PHệễNG TRèNH Baứi 1 : Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B cách nhau 300 km Ô tô thứ nhất mỗi giờ

chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ Tính vận tốc mỗi xe ô

tô

Hửụựng daón : Goùi vaọn toỏc cuỷa oõtoõ thửự nhaỏt laứ x (km/h ẹK x > 0) Ta coự :

Vaọn toỏc cuỷa oõ toõ thửự hai laứ : x - 10 (km/h)

Do oõtoõ thửự nhaỏt ủeỏn B sụựm hụn oõtoõ thửự hai 1 giụứ ta coự phửụng trỡnh : 1

x

300 -10-

x

300

Giaỷi ra ta ủửụùc: x = - 50 (loaùi) ; x = 60

ẹaựp soỏ : Vaọn toỏc oõtoõ thửự nhaỏt : 60 km/h

Vaọn toỏc oõtoõ thửự hai: 50 km/h

Baứi 2 : Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h Sau khi đi đ-ợc 2/3 quãng đ-ờng với

vận tốc đó, vì đ-ờng khó đi nên ng-ời lái xe phải giảm vận tốc mỗi giờ 10 km trên quãng đ-ờng

còn lại Do đó ô tô đến B chậm 30 phút so với dự định Tính quãng đ-ờng AB

Hửụựng daón : Goùi x laứ quaỷng ủửụứng AB (Km ẹK x > 0)

Theo giaỷ thieỏt cuỷa baứi toaựn ta coự phửụng trỡnh :

2

150403

x 50 3

Giaỷi ra ta ủửụùc: x = 300 (tmủk)

Vaọy quaỷng ủửụứng AB laứ : 300km

Baứi 3 : Hai vòi n-ớc cùng chảy vào bể thì sau 4 giờ 48 phút thì đầy Neỏu chảy cùng một thời gian

nh- nhau thì l-ợng n-ớc của vòi II bằng 2/3 l-ợng n-ớc của vòi I chảy đ-ợc Hỏi mỗi vòi chảy

riêng thì sau bao lâu đầy bể

H-ớng dẫn : Gọi x, y lần l-ợt là thời gian vòi I, vòi II chảy một mình đầy bể

3x1

24

5y

1

x 1

x

12

y (tmđk)

Đáp số : Vòi 1 chảy một mình đầy bể 8 giờ

Vòi 2 giờ chảy một mình đầy bể mất 12 giờ

Baứi 4 : Một ô tô dự định đi từ A đền B trong một thời gian nhất định Nếu xe chạy với vận tốc 35

km/h thì đến chậm mất 2 giờ Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ Tính quãng

đờng AB và thời gian dự định đi lúc đầu

H-ớng dẫn : Gọi quaỷng ủửụứng AB laứ x (km), thụứi gian dửù ủũnh laứ y(giụứ) ẹK : x > 0, y > 0

Theo baứi ra ta coự heọ pt :

x2)

y (35

suy ra : 35y + 70 = 50y -50y = 8 (TMẹK)

Thay vaứo heọ ta ủửụùc x = 350 (TMẹK)

ẹaựp soỏ : Quaỷng ủửụứng AB : 350 (km)

Thụứi gian dửù ủũnh ủi : 8 (giụứ)

Baứi 5 : Quãng đ-ờng AB dài 180 km Cùng một lúc hai ôtô khởi hành từ A để đến B Do vận tốc

của ôtô thứ nhất hơn vận tốc của ôtô thứ hai là 15 km/h nên ôtô thứ nhất đến sớm hơn ôtô thứ hai

2h Tính vận tốc của mỗi ôtô?

Hửụựng daón : Gọi x (km) là vận tốc của ôtô thứ 2 ĐK x > 0

Theo gt bài toán ta có pt : 2

15x

180x



Giải ra ta đ-ợc : x = 30 ; x = -45(loại)

Đáp số : Vận tốc ôtô thứ hai : 30 (km/h)

Vận tốc ôtô thứ nhât : 45 (km/h)

Baứi 6 : Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ gồm 13 học sinh (cả nam và nữ) đã trồng đ-ợc

tất cả 80 cây Biết rằng số cây các bạn nam trồng đ-ợc và số cây các bạn nữ trồng đ-ợc là bằng

nhau ; mỗi bạn nam trồng đ-ợc nhiều hơn mỗi bạn nữ 3 cây Tính số học sinh nam và số học sinh

nữ của tổ

Giải : Gọi số học sinh nam là x (em) ĐK : x nguyên d-ơng, x  13

Theo gt bài ra ta có pt : 3

x-13

40x

Số HS nữ : 8 em

Baứi 7 : Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 180 km Một ô tô đi từ A đến B, nghỉ 90 phút ở

B rồi trở lại từ B về A Thời gian từ lúc đi đến lúc trở về là 10 giờ Biết vận tốc lúc về kém vận tốc

lúc đi là 5 km/h Tính vận tốc lúc đi của ô tô

Giải : Gọi vận tốc lúc đi là x (km/h) ĐK : x > 5

Theo gt bài ra ta có pt : 10

5-x

1802

3x

Baứi 8 : Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km, cùng lúc đó cũng từ

A một bè nứa trôi với vận tốc dòng n-ớc 4 km/h Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa trôi

tại một địa điểm C cách A là 8 km Tính vận tốc thực của ca nô

Giải : Gọi vận tốc thực của canô là x (km/h) ĐK x > 4

Theo gt bài ra ta có pt : 2

4-

x

164x

2

- 40x = 0 Giải ra ta đ-ợc : x = 0 (loại) ; x = 20

Đáp số : Vận tốc thực của canô : 20 (km/h)

Baứi 9 : Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 108 km Hai ô tô cùng khởi hành một lúc đi từ A đến

B, mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km nên đến B tr-ớc xe thứ hai 12 phút Tính

108x

Đáp số : Vận tốc xe thứ nhất là : 60 (km/h)

Vận tốc xe thứ hai là : 54 (km/h)

Baứi 11 : Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm Đến khi làm việc, do phải

điều 3 công nhân đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải làm nhiều hơn dự định 4 sản

phẩm Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân? Biết rằng năng suất lao động của mỗi công nhân là

Đáp số : Số công nhân lúc đầu : 18 ( công nhân)

Baứi 12 : Ba chiếc bình có thể tích tổng cộng 120lít Nếu đổ đầy n-ớc vào bình thứ nhất rồi đem

rót vào hai bình kia thì hoặc bình thứ 3 đầy n-ớc, bình thứ 2 chỉ đ-ợc 1/2 thể tích của nó, hoặc

bình thứ 2 đầy n-ớc thì bình thứ 3 chỉ đ-ợc 1/3 thể tích của nó Tìm thể tích của mỗi bình

Giải : Gọi x, y, z (lít) theo thứ tự là thể tích của ba bình ĐK : x,y, z > 0

1

y

y2

1z

x

120z

40y

50

x (TMĐK)

Đáp số : Bình thứ nhất có thể tích : 50 (lít)

Bình thứ hai có thể tích : 40 (lít)

Bình thứ ba có thể tích : 30 (lít)

Baứi 13 : Hai địa điểm A, B cách nhau 56km Lúc 6h45' một ng-ời đi từ A với vận tốc 10km/h

Sau 2h , một ng-ời đi xe đạp từ B tới A với vận tốc 14km/h Hỏi đến mấy giờ thì họ gặp nhau, chỗ

gặp nhau cách A bao nhiêu km

Giải : Gọi x (giờ) là thời gian đi từ A đến C ĐK : x > 0

Baứi 14 : Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau đó ng-ợc từ B trở về A Thời gian đi

xuôi ít hơn thời gian đi ng-ợc là 40' Tính khoảng cách giữa A và B Biết vận tốc ca nô không đổi,

230

Baứi 15 : Một ng-ời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50km Sau 1h30' một ng-ời đi xe máy cũng từ

A và đến B sớm hơn một giờ Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc xe máy gấp 2.5 lần xe

50x

50



Giải ra ta đ-ợc : x = 12 (TMĐK)

Đáp số : Vận tốc ng-ời đi xe đạp : 12 (km/h)

Vận tốc ng-ời đi xe máy : 30(km/h)

Baứi 16 : Một phòng họp có 360 ghế ngồi đ-ợc xếp thành từng hàng và số ghế ở mỗi hàng bằng

nhau Nếu số hàng tăng thêm 1 và số ghế ở mỗi hàng tăng thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế Hỏi

có bao nhiêu hàng, mỗi hàng có bao nhiêu ghế?

Giải : Gọi x là số dãy ghế của phòng họp ĐK x nguyên d-ơng

Theo gt bài ra ta có pt : (x + 1)( 1)

x

360

 = 400  x2 - 39x -360 = 0 (  = 9 ) Giải ra ta đ-ợc : x = 24 (TMĐK) , x = 15 (TMĐK)

Đáp số : Có thể xảy ra 2 khả năng

+) KN 1 : Phòng họp có 24 dãy ghế và mỗi dãy có 15 ghế

+) KN 2 : Phòng họp có 15 dãy ghế và mỗi dãy có 24 ghế

Baứi 17 : Hai ng-ời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong Nếu ng-ời thứ nhất làm 3

giờ và ng-ời thứ 2 làm 6 giờ thì họ làm đ-ợc 25% công việc Hỏi mỗi ng-ời làm một mình công

việc đó trong mấy giời thì xong?

Giải : Gọi x, y (giờ) lần l-ợt là thời gian mỗi ng-ời làm một mình hoàn thành công việc

63

16

1y

11

Đáp số : Ng-ời thứ nhất hoàn thành công việc trong : 24 giờ

Ng-ời thứ hai hoàn thành công việc trong : 48 giờ

Baứi 18 : Hai vật chuyển động trên một đ-ờng tròn có đ-ờng kính 20m , xuất phát cùng một lúc từ

cùng một điểm Nếu chúng chuyển động ng-ợc chiều nhau thì cứ 2 giây lại gặp nhau Nếu chúng

chuyển động cùng chiều nhau thì cứ sau 10 giây lại gặp nhau Tính vận tốc của mỗi vật

Giải : Gọi x, y (m/s) lần l-ợt là vận tốc của hai vật ĐK x > y > 0

62,82y 2x

Baứi 19 : Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất đ-ợc 800 sản phẩm Sang tháng thứ hai tổ 1 v-ợt 15%.tổ 2

v-ợt 20% Do đó cuối tháng cả hai tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm Tính xem trong tháng thứ nhất

mỗi tổ sản xuất đ-ợc bao nhiêu sản phẩm

Giải : Gọi x, y lần l-ợt là sản phẩm của tổ 1 và tổ 2 làm đ-ợc trong tháng thứ nhất ĐK : x, y nguyên

20y10015x

Bài 20 : Một nhà máy dự định sản xuất chi tiết máy trong thời gian đã định và dự định sẽ sản

xuất 300 chi tiết máy trong một ngày Nh-ng thực tế mỗi ngày đã làm thêm đ-ợc 100 chi tiết, nên

đã sản xuất thêm đ-ợc tất cả là 600 chi tiết và hoàn thành kế hoạch tr-ớc 1 ngày

Tính số chi tiết máy dự định sản xuất

Giải : Gọi x là số chi tiết mà nhà máy dự định làm ĐK : x nguyên d-ơng

Theo gt bài toán ta có pt : 1

400

600

x 300

x





Đáp số : Tổng số chi tiết dự định làm 3000 (chi tiết)

Bài 21: Một ca nô xuôi dòng 42km rồi ng-ợc dòng trở lại là 20km mát tổng cộng 5giờ Biết vận

tốc của dòng chảy là 2km/h Tìm vận tốc của ca nô lúc dòng n-ớc yên lặng

Giải : Gọi x là vận tốc của ca nô lúc n-ớc yên lặng ( km/h ; ĐK : x > 2)

Theo gt bài toán ta có pt : 5

2-

x

202

Đáp số : Vậy vận tốc của ca nô lúc n-ớc yên lặng : 12 (km/h)

Bài 22: Một đội xe cần chuyên chở 120 tấn hàng Hôm làm việc có 2 xe phải điều đi nơi khác nên

mỗi xe phải chở thêm 16 tấn Hỏi đội có bao nhiêu xe?

Giải : Gọi x là số xe của đội lúc đầu (xe ĐK : x > 2)

Theo gt bài toán ta có pt : 16

x

1202

x

  x2 - 2x -15 = 0 ( '= 4) Giải ra ta đ-ợc : x = - 3 (loại) ; x = 5

Đáp số : Vậy đội xe có 5 xe

Bài 23: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A đễn địa điểm B Mỗi giờ ôtô thứ nhất chạy

nhanh hơn ôtô thứ hai 12km nên đến địa điểm B tr-ớc ô tô thứ hai 100phút Tính vận tốc của mỗi ô

tô biết quãng đ-ờng AB dài 240km

Giải : Gọi x là vận tốc của ôtô thứ hai (Km/h ĐK : x > 0)

Theo gt bài toán ta có pt :

3

5x

2402

Đáp số : Vận tốc của ôtô thứ hai : 48 km/h

Vận tốc của ôtô thứ nhất : 60 km/h

Bài 24: Nếu mở cả hai vòi n-ớc chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 55phút bể đầy bể Nếu mở riêng từng

vòi thì vòi thứ nhất làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là hai giờ Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì mỗi vòi

chảy bao lâu đầy bể?

Giải : Gọi x là th

Bài 24: Hai tổ học sinh trồng đ-ợc một số cây trong sân tr-ờng

Nếu lấy 5 cây của tổ 2 chuyển cho tổ một thì số cây trồng đ-ợc của cả hai tổ sẽ bằng nhau

Nếu lấy 10 cây của tổ một chuyển cho tổ hai thì số cây trồng đ-ợc của tổ hai sẽ gấp đôi số cây của tổ một

Hỏi mỗi tổ trồng đ-ợc bao nhiêu cây? Bài 25: Hai ô tô A và B khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh cách nhau 150km, đi ng-ợc chiều và gặp nhau

sau 2 giờ Tìm vận tốc của mỗi ô tô, biết rằng nếu vận tốc của ô tô A tăng thêm 5km/h và vận tốc ô tô B

giảm 5km/h thì vận tốc của ô tô A bằng 2 lần vận tốc của ô tô B

Bài 26: Hai hợp tác xã đã bán cho nhà n-ớc 860 tấn thóc Tính số thóc mà mỗi hợp tác xã đã

bán cho nhà n-ớc Biết rằng 3 lần số thóc hợp tác xã thứ nhất bán cho nhà n-ớc nhiều hơn hai lần số thóc

hợp tác xã thứ hai bán là 280 tấn

bài toán hình học lớp 9 Bài 1 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đ-ờng tròn (O) Các đ-ờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại

H và cắt đ-ờng tròn (O) lần l-ợt tại M,N,P

Chứng minh rằng:

1 Tứ giác CEHD, nội tiếp

2 Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đ-ờng tròn

3 AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC

4 H và M đối xứng nhau qua BC

5 Xác định tâm đ-ờng tròn nội tiếp tam giác DEF

Mà  CEH và  CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp

2 Theo giả thiết: BE là đ-ờng cao => BE  AC => BEC = 900

CF là đ-ờng cao => CF  AB => BFC = 900 Nh- vậy E và F cùng nhìn BC d-ới một góc 900 => E và F cùng nằm trên đ-ờng tròn đ-ờng kính BC Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đ-ờng tròn

; Â là góc chung

=>  AEH  ADC =>

AC

AH AD

BE  => AD.BC = BE.AC

4 Ta có C1 = A1 ( vì cùng phụ với góc ABC)

C2 = A1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM)

=> C1 =  C2 => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB  HM =>  CHM cân tại C

=> CB cũng là đ-ơng trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC

5 Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đ-ờng tròn

=> C1 = E1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF)

Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp

 C1 = E2 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD)

 E1 = E2 => EB là tia phân giác của góc FED

Chứng minh t-ơng tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đ-ờng tròn nội tiếp tam giác DEF

Bài 2 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đ-ờng cao AD, BE, cắt nhau tại H Gọi O là tâm đ-ờng tròn

ngoại tiếp tam giác AHE

1 Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp