PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH 7,0 điểm Câu I.. b Tìm m để đồ thị hàm số 1 có ba điểm cực trị A, B và C sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính bằng 1.. Tính thể tích
Trang 1SỞ GD & ĐT THỪA THIÊN HUẾ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013
TRƯỜNG THPT THUẬN AN Môn: TOÁN - khối A, A1, B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
ĐỀ THI THỬ
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm)
Câu I ( 2,0 điểm) Cho hàm số y x= 4−2mx2+1 (1), m là tham số thực
a) Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B và C sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính bằng 1
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình: 3(sin2x +sinx)+ cos2x -cosx =2
2 Giải phương trình: 3 ( 2)3 ( 2)
Câu III ( 1,0 điểm)Tính tích phân I = 2
1
ln (3 ln )
e
x dx
x + x
∫
Câu IV.( 1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC, có tam giác ABC vuông tại B,AB=a, BC=a 3 , mp(SAC) vuông góc mp(ABC), SA =SC=a 2 Gọi M, N lần lượt là trọng tâm tam giác SAB và SAC Tính thể
tích của khối chóp S.AMN và khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB theo a
Câu V ( 1,0 điểm) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn x2+y2 =1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
= + + ÷+ + + ÷
II PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a ( 2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x +y =1 Đường tròn (C') tâm I(2;2) 2 2 cắt (C) tại các điểm A, B sao cho độ dài đoạn AB = 2 Viết phương trình đường thẳng AB
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-1;6;6), B(3;-6;-2) Tìm điểm M thuộc
mặt phẳng (Oxy) sao cho tổng MA MB+ đạt giá trị nhỏ nhất
Câu VII.a ( 1,0 điểm)
Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết z=( 5+i) (12 − 5 )i
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình
x +y + x− y− = và điểm A(3;0) Viết phương trình đường thẳng ( )∆ đi qua A và cắt đường tròn (C) theo một dây cung MN có độ dài:
a) Lớn nhất
b) Nhỏ nhất
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm I(0;0;1), K(3;0;0) Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm I, K và tạo với mặt phẳng Oxy một góc bằng 30o
Câu VII.b (1,0 điểm) Tìm dạng lượng giác của số phức sau: 1 3
3
i z
i
−
= + . Hết
-Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh số báo danh
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC KHỐI A, A1, B NĂM HỌC 2013
I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
1.a
Câu 1 a) Khi m=1, ta cĩ: y x= 4−2x2+1
Tập xác định: D R=
Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: y' 4= x3−4 ; ' 0x y = ⇔ = −x 1 hoặc x=0 hoặc x=1
Các khoảng đồng biến: ( 1;0)− và (1;+∞), khoảng nghịch biến (−∞ −; 1) và (0;1)
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=0, yCĐ=1; đạt cực tiểu tại x= ±1 và y CT =0
Giới hạn: xlim→+∞y= +∞ và lim
→−∞ = +∞
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
0.25 0.25
0.25
0.25
1.b
b) Ta cĩ y' 4x3 4mx 4 (x x2 m y); ' 0 x2 0
=
, vậy đồ thị hàm số (1) cĩ ba điểm cực trị khi và chỉ khi m>0
Các điểm cực trị hàm số là A(0;1); (B − m;1−m2); (C m;1−m2) Gọi I là tâm và R là
bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Do ,B C đối xứng nhau qua trục tung nên
tam giác ABC cân tại A , do đĩ tâm I nằm trên Oy , giả sử: (0; ) I y ⇒IA R= =1
0.25
0.25
Trang 30 ( 1) 1 (0;0); (0; 2)
2
y
y
=
1 5
2 hoặc
0
m> nên chỉ nhận 1; 1 5
2
m= m= − +
I ⇒I B R= = ⇔ m+ +m = , phương trình này vơ nghiệm do
( 2)2
m> ⇒ + +m m >
Vậy 1; 1 5
2
m= m=− + là hai giá trị cần tìm.
0.25
0.25
2
Câu 2a Giải phương trình 3(sin 2x+sin )x +cos x2 −cosx=2
⇔ + ÷ ÷ + − ÷÷=
⇔ − ÷+ − ÷=
2
⇔ − ÷− − ÷=
6 1 sin
6 2
6
2 , 2 3
x x
π π
− =
⇔
− =
÷
= +
= +
¢
0.25 0.25
0.25
0.25
2 Câu 2b Giải phương trình sau 3 ( 2)3 ( 2)
Điều kiện: − ≤ ≤1 x 1
Phương trình đã cho tương đương với
( x+ 1−x2)(x2−x 1−x2 + −1 x2) =x 2 1( −x2)
(x 1 x2)(1 x 1 x2) x 2 1( x2)
2
t
t= +x −x ⇒x −x = − , khi đĩ phương trình (*) trở thành:
t − − = − ⇔ +t t − −t = ⇔ −t t + t+ =
2
2 2
2 1
2 2 1 0
2 1
t t
t
t
=
=
(i) Với t = 2⇒ +x 1−x2 = 2⇔ 1−x2 = 2−x
2
0.25
0.25
0.25
Trang 4(ii) Với t= − 2 1− ⇒ +x 1−x2 = − 2 1− ⇔ vô nghiệm do VT ≥ − >1 VP
(iii) Với t= − 2 1+ ⇒ +x 1−x2 = − 2 1+ ⇔ 1−x2 = − 2 1+ −x
2
2
x
x
− = − + −
Vậy phương trình có hai nghiệm là 2, 1 2 2 2 1
0.25
3
Câu 3 (1.0 điểm) Tính tích phân I = 2
1
ln (3 ln )
e
x dx
x + x
∫
Ta có
Đặt t 3 lnx lnx t 3 dt 1dx
x
Đổi cận
4
4
3
t
−
0.25
0.5
4 Câu 4
Tính V SAMN:
Ta có AC=2a⇒SA2+SC2 = AC2 ⇒SA SC⊥
Hạ SH ⊥ AC, do (SAC) (⊥ ABC)⇒SH ⊥(ABC SH), =a
Gọi K là trung điểm của AB Ta có SAMN . 2 23 3. 49
SAKH
3
Tính (d SC AB :, )
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ sao cho (0;0;0), (0; ;0), ( 3;0;0), ( 3; ; )
2 2
0.25
0.25
0.25
Trang 5Ta có 3; ; , (0; ;0), ( 3; ;0)
2 2
= − − ÷÷ = − = −
( , )
7 ,
d SC AB
SC AB
uuur uuur uuur
5
Câu 5 (1,0 điểm) Cho ,x y là hai số dương thỏa mãn x2+y2 =1 Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức A (1 x) 1 1 (1 y) 1 1
= + + ÷+ + + ÷
Ta có thể viết A thành dạng sau: 1 1 1 1 1 2
= + ÷+ + ÷ + + ÷+ + ÷+
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
+
Cộng theo vế ta được
3 2 2 3 2 4
Dấu đẳng thức xảy ra
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 3 2 4+ khi 2
2
x= =y
0.25
0.25
0.25
0.25
II.PHẦN RIÊNG (3.0 điểm):Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B) 6.a.1 A.Theo chương trình chuẩn
Câu 6.a.1 Đường tròn ( )C có tâm (0;0) O và bán kính r=1 Gọi H là hình chiếu vuông
Trang 6gĩc của O trên AB thì H là trung điểm của đoạn AB 2
2 2
AB HA
Tam giác OHA vuơng tại H , ta cĩ: 2 2 1 1
1
2 2
Đường trịn ( ')C tâm (2;2) I Nên đường thẳng AB chính là đường thẳng vuơng gĩc với
OI và cách O một khoảng 1
2
Do OIuur=(2; 2)⇒AB x y c: + + =0
Mặt khác: ( ; ) 1 1 1
c
Vậy cĩ hai đường thẳng cần tìm là: x y+ + =1 0 và x y+ − =1 0
0.25 0.25
0.25 0.25
6.a
Câu 6.a.2 M∈(Oxy)⇒M x y( ; ;0)
Ta cĩ: MAuuur= − −( 1 x;6−y;6),MBuuur= − − − −(3 x; 6 y; 2)
Phương trình mặt phẳng (Oxy z) : =0, do A cĩ cao độ bằng 6, B cĩ cao độ bằng -2 nên hai điểm ,A B nằm về hai phía đối với mặt phẳng ( Oxy )
Ta cĩ MA MB AB+ ≥ (không đổi)⇒min(MA MB+ )=AB, đạt được khi ba điểm
, ,
A B M thẳng hàng ⇔MAuuur và MBuuur cùng phương nên 1 6 6 2
3
x
y
=
− − = − =
⇔ = −
Vậy điểm cần tìm là M(2; 3;0)−
0.25
0.25 0.5
7.a
2
( 5 ) (1 5 ) (4 2 5 )(1 5 ) 14 2 5
Vậy z = 14 2 5 i+
Phần thực của z là 14 và phần ảo là 2 5
0.5 0.25 0.25
B.Theo chương trình nâng cao
Câu 6.b.1
Đường trịn ( )C cĩ tâm ( 1;2) I − , bán kính R=5
a).Dây MN lớn nhất khi MN là đường kính của ( ) C Do đĩ ( )∆ là đường thẳng đi qua A
0.25
Trang 7và I
Ta có IAuur=(4; 2)− suy ra phương trình đường thẳng ( )∆ là 3 0 2 3 0
− = − ⇔ + − =
b).Kẻ IH ⊥MN tại H Dây MN nhỏ nhất khi IH lớn nhất
Ta có: IH ≤IA=2 5⇒IH max=2 5 khi H ≡ ⇒ ∆ ⊥A ( ) IA tại A
Vậy ( )∆ đi qua ( )∆ và nhận IAuur=(4; 2)− làm véctơ pháp tuyến có phương trình:
4(x− −3) 2(y− = ⇔0) 0 2x y− − =6 0
0.25
0.25 0.25
6.b
Câu 6.b.2 Gọi mặt phẳng cần tìm là ( ) :α Ax By Cz D+ + + =0 (A2 +B2+C2 ≠0)
Ta có (0;0;1) ( )I ∈ α ⇒ + =C D 0 (1)
(3;0;0) ( ) 3 0
( )α và (Oxy có véctơ pháp tuyến lần lượt là ) nr=( ; ; ),A B C kr=(0;0;1) ( )α tạo với (Oxy ) một góc bằng 30o nên ta có
2
+ +
r r
r r
3A 3B C 0
⇔ + − = (3)
Từ (1) và (2), ta có C =3A thế C =3A vào (3) ta được
3A +3B −9A = ⇔0 B =2A ⇔ = ±B 2A
Chọn A=1,B= ± 2⇒ =C 3,D= −3
Vậy có hai mặt phẳng cần tìm là: x+ 2y+ − =3z 3 0 và x− 2y+ − =3z 3 0
0.25
0.25
0.25 0.25
7.b
Câu 7.b Tìm dạng lượng giác của số phức sau 1 3
3
i z
i
−
= + .
1 3
1 3
2 2 sin
i
z
i
+
= − ÷+ − ÷
Cách khác: 1 3
3
i z
i
−
= + =
(1 3)( 3 )
0 ( 1) ( ) sin( )
0.5
0.5
1
Học sinh có cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa câu đó
