Dựa vào đồ thị tìm hoành độ giao điểm và kiểm tra lại bằng PP đại số.. Vẽ đồ thị hàm số trên... Xác định toạ độ giao điểm của D và P, bằng phương pháp đại số.. Biết rằng đồ thị của nó so
Trang 1HƯỚNG DẪN ÔN TẬP HỌC KỲ II MÔN TOAN LỚP 9 PHẦN ĐẠI SỐ
A / PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI :
I/ Kiến thức cơ bản :
Định nghĩa : Phương trình bậc hai một ẩn là
phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0 Trong đó
(a≠0)
a,b,c là các số cho trước
x là ẩn số
1).Công thức nghiệm & công thức nghiệm thu
gọn
Với phương trình : ax2 + bx + c = 0 (a≠ 0) ta có :
Công thức nghiệm
Công thức nghiện thu gọn (b chẳn; b’=
2
b
)
∆ = −
- ∆ <0: PTVN
- ∆ = 0: PT có n0 kép
2
b
a
−
= =
- ∆ >0: PT có 2 n0
1; 2
2
b
x x
a
− ± ∆
=
2
' b' ac
∆ = −
- ∆ <' 0: PTVN
- ∆ = ' 0: PT có n0 kép
'
b
a
−
= =
- ∆ >' 0: PT có 2 n0
1 2
x x
a
− ± ∆
=
* Ghi nhớ : Các trường hợp đặc biệt
☺Nếu a + b + c = 0 => PT có hai nghiệm là :
a
☺Nếu a – b + c = 0 => PT có hai nghiệm là :
a
−
= − =
2) Hệ thức Viét :
* Nếu x1; x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai
ax2 + bx + c = 0 (a≠0) thì tổng và tích của hai
nghiệm là : x1 x2 b; x x1 2 c
−
Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì hai số đó
là nghiệm của phương trình x 2 – Sx +
P = 0.
II/ Các dạng bài tập cơ bản :
♣ Dạng 1 : Giải phương trình
1) 4x 2 – 11x + 7 = 0 (a = 4; b = – 11; c = 7)
* Cách 1 : Sử dụng công thức nghiệm
∆ = − = − − = > ⇒ ∆ =
Vì ∆ > 0 nên phương trình có 2 nghiệm là :
2) 22 1 2
x
− + (*) - TXĐ : x≠ ±1 (*) 2
2 2
Vì a – b + c = 2 – (– 1) – 3 = 0 Nên phương trình có 2 nghiệm là :
3 1;
2
c
a
−
3) 3x 4 – 5x 2 – 2 = 0 (**)
Đặt x2 = t ≥ 0 , (**)3t2 −5t−2=0 ⇔ t1 = 2 (nhận) và t2 = 1
3
− (loại) Với t = 2 => x2 = 2 <=> x = ± 2
♣ Dạng 2 : Phương trình có chứa tham số
VD : Cho PT : x2 – 4x + 2m – 1 = 0
Tìm m để phương trình : - Vô nghiệm
- Có nghiệm kép
- Có 2 nghiệm phân biệt
Giải :
Ta có : a = 1; b = – 4; c = 2m – 1
⇒∆ = −' ( 2)2−1.(2m+ = −1) 3 2m
* Để phương trình trên vô nghiệm thì ∆ < 0
3
2
⇒ − < ⇔ − < − ⇔ >
* Để phương trình trên có nghiệm kép thì ∆ =0
3
2
* Để PT trên có 2 nghiệm phân biệt thì ∆ > 0
3
2
⇒ − > ⇔ − > − ⇔ <
Dạng 3 : Giải bài toán bằng cách lập phương trình , hệ phương trình
☺ Loại 1 : Tìm tham số m thoả ĐK cho trước
- Tính ∆ theo tham số m
- Biện luận ∆ theo ĐK của đề bài ;
- Tìm ĐKXĐ của phương trình (nếu có)
- Biến đổi về dạng PT bậc 2 một ẩn số
- Giải PT bằng công thức nghiệm
- Nhận nghiệm và trả lời
Trang 211 3 7
b
x
a
b x
a
* Cách 2 : Trường hợp đặc biệt
Vì a + b + c = 4 + (-11) + 7 = 0
Nên phương trình có 2 nghiệm là : 1 2
7 1;
4
c
a
III/ Bài tập tự giải :
Dạng 1 : Giải các phương trình sau :
1) x2−10x+21 0=
2) 3x2−19x−22 0=
3) (2x−3)2 =11x−19
5) x4−13x2+36 0=
Dạng 2 : Tìm tham số m thoả ĐK đề bài
Cho phương trình : mx2 + 2x + 1 = 0 a) Với m = -3 giải phương trình trên
b) Tìm m để phương trình trên có :
- Nghiệm kép
- Vô nghiệm
- Hai nghiệm phân biệt
Dạng 3 : Bài 28,30 trang 22, bài 46,47 trang 59
B/ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ :
I/ Kiến thức cơ bản :
1) Điểm A(x A ; y A ) & đồ thị (C) của hàm số
y = (x):
- Nếu f(xA) = yA thì điểm A thuộc đồ thị (C)
- Nếu f(xA) ≠ yA thì điểm A không thuộc đồ thị
(C)
2) Sự tương giao của hai đồ thị :
Với (P) & (D) theo thứ tự là đồ thị của hai hàm
số :
y = f(x) và y = g(x) Khi đó ta có :
* Phương trình hoành độ giao điểm của (P)& (D)
f(x) = g(x) (1)
- Nếu (1) vô nghiệm => (P) & (D) k./có điểm
chung
- Nếu (1) có n0 kép => (P) & (D) tiếp xúc nhau
- Nếu (1) có 1n0 hoặc 2 n0 => (P) & (D) có 1 hoặc
2 điểm chung
II/ Các dạng bài tập cơ bản :
♣ Dạng 1 : Vẽ đồ thị
VD : Cho 2 hàm số y = - x + 1 và y = 2x2
a) Hãy Vẽ đồ thị 2 h/số lên cùng mặt phẳng Oxy
b) Dựa vào đồ thị tìm hoành độ giao điểm và
kiểm tra lại bằng PP đại số
Giải :
- Xác định toạ độ các điểm thuộc đồ thị :
1
= − + ⇔ + − =
y1 = 2(-1)2 = 2 , y2 = 2(1/2)2
= ½ Vậy Tọa độ giao điểm của hai đồ thị trên là : M( -1; 2) N( 1/2 ; 1/2)
Dạng 2 : Xác định hàm số
VD 1 : Cho hàm số : y = ax2 Xác định hàm số trên biết đồ thị (C) của nó qua điểm A( -1;2)
Giải
Thay toạ độ của A(-1; 2) thuộc đồ thị (C) vào hàm số
Ta được : 2 = a.( -1) => a = - 2 Vậy y = -2x2 là hàm số cần tìm
VD 2 : Cho Parabol (P) : y = 1
2x2 a) Vẽ đồ thị hàm số trên
b) Tìm m để đường thẳng (D) : y = 2x + m tiếp xúc với (P)
Giải : a)
- Xác định toạ độ các điểm thuộc đồ thị :
- Vẽ đồ thị :
b) Tacó PT hoành độ giao điểm của (P) & (D)
là :
- Đồ thị của h/s y = ax + b có dạng đường thẳng,
nên khi vẽ ta cần tìm 2 điểm thuộc đồ thị
- Đồ thị của h/số y = ax2 có dạng đường cong
parabol đối xứng nhau qua Oy, nên khi vẽ ta cân
tìm khoảng 5 điểm thuộc đồ thị
y = 1 2
2x
x
Trang 3y = 2x2 2 ½ 0 ½ 2
- Vẽ đồ thị :
b) Hai đồ thị trên có hoành độ giao điểm là x1 = -1
và x2 = ½
Thật vậy :
Ta có PT hoành độ giao điểm của 2 h/số là:
1
2x = x m+ ⇔ x − x− m= (1)
Để (P) và (D) tiếp xúc nhau khi (1) có nghiệm kép
2
m
⇒ ∆ = − − − =
Vậy m = -2 thì đồ thị (P) và (D) tiếp xúc nhau
III/ Bài tập tự giải :
1) Cho hai hàm số :
- (D) : y = – 4x + 3
- (P) : y = – x2 a) Vẽ đồ thị (D) và (P) lên cùng mp toạ độ b) Xác định toạ độ giao điểm của (D) và (P), bằng phương pháp đại số
2) Cho hàm số (P) : y = ax2 (a≠0) a) Xác định hàm số (P) Biết rằng đồ thị của nó qua điểm A(2; - 2)
b) Lập phương trình đường thẳng (D) Biết rằng
đồ thị của nó song song với đường thẳng y = 2x
và tiếp xúc với (P)
PHẦN HÌNH HỌC
GÓC VÀ ĐƯỜNG TRÒN :
1 Góc ở tâm :
Sđ AB n = SđAOB
Sđ AB lon = 360 0 Sđ AB n
Sđ nữa đường tròn bằng 360 0
2 Góc nội tiếp
AMB =
sdAB
2 1
3 Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
xAB =
sdAB
2 1
4 Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn :
BMD =
) (
2
1
sdAC
5 Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn :
AID =
) (
2
1
sdBC
6 Một số tính chất về góc với đường tròn :
7 Tứ giác nội tiếp :
*
ĐN :
* Tính chất :
8 Một số dạng chứng minh tứ giác nội tiếp :
y = 2x2
x
ABCD là tứ giác nội tiếp ⇔A B C D; ; ; ∈( )O
A + C =180 0 => ABCD nội tiếp
ADB = ACB = 90
=> A;B;C;D thuộc đ.tròn đ.kính AB
=> ABCD nội tiếp đ.tròn đ.kính AB
xAD = DCB
=> ABCD nội tiếp
Trang 4ABCD nội tiếp <=> A + C = 180 0
hoặc B + D = 180 0
9.
Một số hệ thức thường gặp : 10 Một số hệ thức thường gặp :
(do
∆
ABI
∆
DCI)
(do ∆ MAD ∆MCB)
(do
∆
MBA
∆
MAC)
11 Độ dài đường tròn & cung tròn :
* Chu vi đường tròn :
* Độ dài cung AB có số đo n 0 :
12 Diện tích hình tròn & hình quạt tròn :
* Diện tích hình tròn :
* Diện tích hình quạt cung AB
có số đo n 0 là :
1(3điểm)
Giải phương trình và hệ phương trình:
a)6x2−7x 3 0− =
b) 2
4x −4 3x 3 0+ =
c) 2x4−8x2 =0
2x 2y 3
+ = −
+ =
2(2 điểm)
Cho phương trình : x2−(4m 1)x 4m 0− − = (x là ẩn số)
a) Chứng minh pt luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.Tính tổng và tích của
2 nghiệm theo m
b) Gọi x , x1 2 là hai nghiệm của phương trình Tìm m để có 2 2
x +x −x x =13
3(1,5 điểm)
Cho hàm số :
2
x y 2
−
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
b) Tìm các điểm M thuộc đồ thị (P) sao cho M có tung độ bằng 2 lần hoành độ .
4 (3,5 điểm)
IA.IC = IB.ID
MA.MB = MD.MC
MA 2 = MB.MC
AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = 8R 2
C= Π =R d R
»
0
180
AB
R n
2 .
S = π R
S quạt =
2 0 0
Trang 5Cho đường trịn tâm O, bán kính R và một điểm A ở ngồi đường trịn ( O ) cách tâm O một khoảng bằng 2R Vẽ đường thẳng ( d ) vuơng gĩc với OA tại A Từ một điểm M trên (d) vẽ hai tiếp tuyến MD, ME đến đường trịn (O) với D, E là hai tiếp điểm.
a)Chứng minh tứ giác MDOE là tứ giác nội tiếp và 5 điểm M, A, D, E, O
cùng thuộc một đường trịn.
b) Đường thẳng DE cắt MO tại N và cắt OA tại B
Chứng minh OB.OA = ON.OM Suy ra độ dài OB khơng đổi khi M lưu động
trên đường thẳng (d).
c) Cho MA= 3R
2 Tính diện tích tứ giác ABNM theo R.
-ĐÁP ÁN
1 (3 điểm) m ỗi câu 0,75 điểm
Giải các pt :
a) 6x2−7x 3 0− =
1
2
49 72 121
7 11 3
∆ = + =
∆ = +
b) 4x2−4 3x 3 0+ =
∆ = − =
−
2x −8x =0
Đặt t = x2(t≥0)
Ta cĩ phương trình : 2
2t − =8t 0
Giải phương trình này ta được : t1=0 ; t2 =4 0,25 đ
2x 2y 3
+ = −
+ =
35
2
−
(0,25 đ + 0,25 đ + 0,25 đ ) Bài 2 (2 điểm)
Cho PT : x2−(4m 1)x 4m 0− − = (x là ẩn số)
a) Chứng minh pt luơn luơn cĩ nghiệm với mọi giá trị của m
Ta cĩ : ∆ =(4m 1)− 2+16m 16m= 2+8m 1 (4m 1)+ = + 2 ≥0 0,5 đ
Nên pt luơn luơn cĩ nghiệm với mọi giá trị của m 0,25 đ
b)Tính tổng và tích của 2 nghiêm theo m
Ta cĩ :
Trang 6
1 2
b
a c
a
−
= = = − 0,25 đ+ 0,25 đ
c) 2 2
x +x −x x =13(1)
Ta cĩ :
4
⇔ + − = ⇔ = − = (0,25 đ + 0,25 đ + 0,25 đ )
Bài 3( 1,5 điểm)
Cho hàm số :
2
x y 2
−
a)Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
Lập bảng giá trị đặc biệt : 0, 5 đ
Vẽ đồ thị 0, 5 đ
b)Tìm các điểm thuộc đồ thị (P) cĩ tung độ bằng hai lần hồnh độ
Ta cĩ y =2x nên
2 2
x
2
−
Vậy cĩ hai điểm thuộc đồ thị ( P ) cĩ tung độ bằng hai lần hồnh độ là :
Bài 4 ( 3,5 điểm)
Cho đường trịn tâm O, bán kính R và một điểm A ở ngồi đường trịn ( O ) cách tâm O một khoảng bằng 2R Vẽ đường thẳng ( d ) vuơng gĩc với OA tại A Từ một điểm M trên (d) vẽ hai tiếp tuyến MD, ME đến đường trịn (O) với D, E là hai tiếp điểm.
x y
0 0
1 -1/2
2 -2 -1/2
-2
-1 -2
d
O A
E
N B
Trang 7a)Chứng minh tứ giác MDOE là tứ giác nội tiếp và 5 điểm M, A, D, E, O cùng thuộc một đường tròn.
+Ta có góc ODM = 90 o và góc OEM = 90 o (vì MD, ME tiếp xúc với ( O ))
0,25 đ Nên tứ giác MDOE nội tiếp được trong đường tròn đường kính là OM.
0,25 đ +Ta có góc MAO = 90 o (gt) nên A thuộc đường tròn đường kính là OM
0,25 đ Vậy 5 điểm M, A, D, E, O cùng thuộc đường tròn đường kính OM.
0,25 đ b) Đường thẳng DE cắt MO tại N và cắt OA tại B
Chứng minh OB.OA = ON.OM Suy ra độ dài OB không đổi khi M lưu động trên đường thẳng (d).
Ta có MO vuông góc với DE vì OD = OE và MD = ME 0,5 đ
Hai tam giác vuông OAM và ONB đồng dạng với nhau cho ta:
ON.OM OB.OA
Tam giác vuông ODM cho : ON.OM= OD 2 =R 2
Suy ra OB ON.OM R2 R
= = = ( không đổi ) 0,5 đ
c) Cho MA= 3R
2 Tính diện tích tứ giác ABNM theo R.
dt(OAM)=1OA.MA 12R.3R 3R2
Ta có : OM = 5R
2 ( dùng đl Pitago trong tam giác vuông OAM)
Ta có: ON.OM = R 2
2
ON
2
0,25 đ
Ta có :
0,25 đ
2
Vậy dt(ABNM)=
2 − 50 = 50 = 25 (đvdt) 0,25 đ
