Tứ giác nội tiếp rất hay

Kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB B là tiếp điểm.. Gọi I là trung điểm của BC, K là trung điểm EF, giao điểm của FI với O là D.. Trên tia đối của tia DC l

Tứ giác nội tiếp (2009 – 2010)

1) Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H

a) Tìm các tứ giác nội tiếp có trên hình

b) Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, các đường cao AD, BE, CF lần lượt cắt (O) tại A’, B’, C’ C/m:

c) Xác định điểm K trên cung nhỏ cung BC để cho BHCK là hình bình hành

d) Với K tìm được ở câu c Gọi I là giao điểm của AK với EF C/m: I KˆE= I CˆE

2) Cho hình vuông ABCD có E là trung điểm BC Vẽ BH vuông góc DE ( H thuộc DE)

Đường thẳng BH cắt DC ở K

a) Tính góc CHK

b) AH cắt DB tại M C/m: MH.MA = MB.MD

c) Cho cạnh hình vuông = a Tính EH theo a

d) C/m: M, E, K thẳng hàng

3) Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN

(M, N là tiếp điểm) và 1 cát tuyến bất kì cắt đường tròn tại P, Q Gọi E là trung điểm PQ a) C/m: 5 điểm O, E, M, A, N cùng thuộc 1 đường tròn

b) C/m: EA là phân giác của góc MEN

d) Gọi K là giao điểm của ME với (O) C/m: KN // AQ

e) C/m: tam giác KEN cân

4) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O), các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H

và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M, N, Q C/m:

a) Các tứ giác AEHF, BFHD nội tiếp

b) 4 điểm: B, C, E, F cùng thuộc 1 đường tròn

c) AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC

d) H và M đối xứng nhau qua BC

e) Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

5) Cho tam giác ABC vuông tại A Kẻ đường cao AH Vẽ đường tròn đường kính AH Đường

tròn này cắt AB tại E, cắt AC tại F

a) C/m: AEHF là hình chữ nhật

b) C/m: BEFC là tứ giác nội tiếp

c) C/m: AB.AE = AC.AF

d) Gọi M là giao điểm của CE và BF.Hãy so sánh diện tích tứ giác AEMF và diện tích của tam giác BMC

6) Cho tam giác cân ABC ( AB = AC), các đường cao AD, BE cắt nhau tại H Gọi O là tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE

a) C/m: tứ giác CEHD nội tiếp

b) 4 điểm A, E, D, B cùng nằm trên 1 đường tròn

c) C/m: BC = 2ED

d) C/m: DE là tiếp tuyến của (O)

e) Tính DE, biết DH = 2cm; AH = 6cm

7) Cho đường tròn (O; R) Từ 1 điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đường thẳng d

lấy điểm M bất kì Kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB ( B

là tiếp điểm) Kẻ AC vuông góc MB; BD vuông góc MA Gọi H là giao điểm của AC và

BD, I là giao điểm của OM và AB

8) Cho 3 điểm A, B, C cố định thẳng hàng theo thứ tự Vẽ đường tròn (O) bất kì đi qua B và

C ( BC không là đường kính của (O)) Kẻ từ A các tiếp tuyến AE, AF đến (O) ( E, F là các tiếp điểm) Gọi I là trung điểm của BC, K là trung điểm EF, giao điểm của FI với (O) là D C/m:

định

9) Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho 3AI = 2AO

AC cắt MN tại E

CME nhỏ nhất

10) Trên đường tròn (O; R), đường kính AB lấy 2 điểm M, E theo thứ tự A, M, E, B ( 2

thẳng CD

30 ˆ

, 45

ˆM = B A E =

A

11) Cho đường tròn (O; R), 1 dây cung CD có trung điểm M Trên tia đối của tia DC lấy

điểm S, qua S kẻ các tiếp tuyến SA, SB với đường tròn Đường thẳng AB cắt đường thẳng

SO, OM tại P và Q

c) C/m: OM, OQ không phụ thuộc vào vị trí của điểm S

12) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), phân giác góc B và góc C cắt (O) tại D, E và

chúng cắt nhau tại F I, K lần lượt là giao điểm của DE với AB, AC

gấp 3 lần diện tích tứ giác AIFK

13) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) Tiếp tuyến tại B và C của

(O) cắt nhau tại D Kẻ cát tuyến DEF song song với AB cắt AC tại I

14) Cho góc nhọn xAy Từ điểm B trên tia Ax kẻ BH vuông góc Ay tại H và BD vuông góc

với phân giác At của xAy tại D

f) Cho 

60

ˆy=

A

15) Cho hình vuông ABCD Gọi M, N là 2 điểm lần lượt trên 2 cạnh AB và AD sao cho

 45

ˆN =

C

d) So sánh SCEF và SMNFE

16) Cho hình vuông ABCD có cạnh 4cm Điểm M thuộc cạnh AD sao cho AM = 3cm Vẽ

đường tròn tâm O có đường kính BM Đường tròn này cắt AC ở E ( khác A)

17) Cho đường tròn (O; R) có đường kính BC Trên tia đối của tia BC lấy điểm A Vẽ 2 tiếp

tuyến AM, AN đến đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm)

F) C/m:

AE.AF = AI.AO

d) C/m: C IˆF =A IˆE

18) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) Vẽ (O) đường kính AB và (O’) đường kính

AC Hai đường tròn này cắt nhau tại D khác A

giữa cung AD của (O)

19) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O) và đường cao AH ( H thuộc BC) Vẽ

đường kính AD của (O)

K C/m: tứ giác BEFC nội tiếp và AD vuông góc EF

KN

KM HF HE

d) Cho

3

ˆ

ˆH B A C

A

20) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O; R) có đường cao AD; đường kính AM AD cắt (O)

tại K

DEF

R

BC AC AB

S ABC

4

.

=

21) Cho đường tròn (O) đường kính AB Từ 1 điểm M thuộc tia đối của tia AB, vẽ tiếp

tuyến MC, MD ( C, D thuộc (O)) Vẽ CE vuông góc BD tại E Gọi F là trung điểm của CE,

BF cắt (O) tại G Họi H là giao điểm của AB và CD

22) Cho đường tròn (O; R), S ở ngoài (O) sao cho SO = 2R Kẻ các tiếp tuyến SA, SB đến

(O), kẻ cát tuyến SMN, I là trung điểm MN Kẻ MH vuông góc AO, MH cắt AB tại E, cắt

AN tại D

d) C/m: tứ giác IEMB nội tiếp

23) Cho AB là dây cung của (O) có I là trung điểm AB Qua I vẽ 2 dây cung CD và EF ( C,

E thuộc cung AB nhỏ), CF cắt AB tại M, ED cắt AB tại N Kẻ OH vuông góc DE; OK vuông góc CF

24) Cho tam giác ABC ( AB < AC ) có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Tia phân giác

của góc BAC cắt BC tại D, cắt (O) tại E Gọi K và M lần lượt là hình chiếu của D trên AB

và AC C/m:

d) SAKEM = SABC

25) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn ( AB < AC ), đường tròn (O) đường kính BC cắt AB

tại F và AC tại E; CF và BE cắt nhau tại H C/m:

theo R

26) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) có AB < AC Các đường phân giác

của góc B và góc C cắt nhau tại I và cắt (O) lần lượt tại D và E Dây DE cắt AB, AC thứ tự tại H và K C/m:

27) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn ( O; R ) ( AB < AC ) Hai

đường cao BD và CE cắt nhau tại H

với MN

28) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O; R) (AB < AC) Kẻ 3 đường cao AD, BE,

CF cắt nhau tại H

d) Biết

2

1

=

BC

FE

Tính FE theo R

29) Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp (O) có đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại

H

30) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB>AC), nội tiếp (O) 3 đường cao AD, BE, CF

đồng qui tại H

31) Cho (O) Từ M nằm ngoài (O), vẽ tiếp tuyến MA, cát tuyến MBC sao cho tâm O nằm

trong tam giác ABC Gọi I là trung điểm BC, H là hình chiếu của A lên MO

2

AB

AC MB

32) Cho đường tròn (O) dây cung BC cố định Điểm A thuộc cung BC lớn (AC>AB;

AC>CB) Gọi D là điểm chính giữa cung nhỏ BC Các tiếp tuyến của (O) tại D và C cắt nhau tại E Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB và CD; AD và CE

CR CQ

CE

1 1

1

+

=

33) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O; R) các đường cao BD, CE cắt nhau tại H

trung điểm của BC

34) Cho M nằm ngoài đường tròn (O, R), đường kính AB ( A nằm giữa M, O) Trên cùng

nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến ME vả cát tuyến MCD với (O)