a Chứng minh EF // AC b Tìm vị trí của C để AEFC là hình bình hành.. Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác đó.. Qua O kẻ ba đường thẳng song song với ba cạnh của tam giác chia ta
Trang 1KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN
Môn: Toán (Thời gian 150 phút)
Câu 1 (4 điểm):
Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện a2 =b+4026 và x, y, z là các số dương thỏa mãn
= + +
= + +
b z y x
a z y x
2 2
2 Tính giá trị của biểu thức:
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2013
2013 2013
2013
2013 2013
2013
2013 2013
z
y x
z y
z x
y x
z y
x
P
+
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
=
Câu 2 (4 điểm):
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) 3(x2 +2x)=10 x3 −1
b) ( )
+
=
+
−
=
−
2 2
3 3
1 1
5
4 16
y x
y y x
x
Câu 3 (3 điểm):
Tìm một số có 4 chữ số, biết rằng nó là một số chính phương và nếu ta thêm vào mỗi chữ số của nó 1 đơn vị thì cũng được một số chính phương
Câu 4 (6 điểm):
1 Cho đường tròn (O) đường kính AB, d1, d2 là các tiếp tuyến tại A, B của (O), C là một điểm trên đoạn AB (C khác A, B) Góc xCy = 90o có Cx cắt d1 tại M, Cy cắt d2 tại N Hạ CH vuông góc với MN CM cắt AH tại E, CN cắt BH tại F
a) Chứng minh EF // AC
b) Tìm vị trí của C để AEFC là hình bình hành
2 Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác đó Qua O kẻ ba đường thẳng song song với ba cạnh của tam giác chia tam giác ABC thành 3 tam giác và 3 hình bình hành Chứng minh tổng diện tích 3 hình bình hành không vượt quá 2/3 diện tích tam giác ABC
Câu 5 (3 điểm):
1 Chứng minh số
100
1
3
1 2
1
=
2 Cho a, b, c > 0 và abc = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của:
b c a c
ab a
b c b
ca c
a b a
bc
+
+ +
+ +
=
Trang 2KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN TỈNH LẦN II
Môn: Toán
(Thời gian 150 phút)
Bài 1 (4 điểm):
2
2 1 1
+ + +
=
x
x x
A
2) Cho 3 số a, b, c thỏa mãn: a+b= a+c + b+c và c≠0 Chứng minh rằng:
0
>
c b a
Bài 2 (3 điểm):
1) Tìm tất cả các cặp số có hai chữ số dạng ab và cd biết d > 1 và
d
c ab cd
ab+ = + 2) Tìm tất cả các số nguyên tố a, b, c thỏa mãn abc<ab+bc+ca
Bài 3 (4 điểm):
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) x3 −3x2 −6x=4
b) 2(x2 +2x+3)=5 x3 +3x2 +3x+2
c)
−
−
= + +
+
= + + +
+
3 5 4 3 5
2
3 2
2 2
2
2
x xy x
xy
x
y x y xy x y
x
Bài 4 (6 điểm):
Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O), M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC (M khác B, C) AM cắt BD tại I và cắt BC tại P, DM cắt AC tại K
a) Chứng minh: PK // BD
b) Chứng minh: 2AK.DI = AC2
c) Xác định vị trí của M để AK + DI nhỏ nhất và khi đó, chứng minh:
AI.DK + AD.IK = AK.DI
Bài 5 (3 điểm):
2 2 2 2 2 2
≥ +
− + +
− + +
−
x z
x y y x
y z z y
z x
2) Cho điểm M nằm trong tam giác ABC với AB = c; BC = a; CA = b Gọi khoảng cách từ M đến các cạnh BC, CA, AB lần lượt là x, y, z Hãy xác định vị trí của M
để tổng
z
c y
b x a
P= + + đạt giá trị nhỏ nhất.
Trang 3KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN TỈNH LẦN III NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán
(Thời gian 150 phút)
Bài 1 (3 điểm):
Tính giá trị của biểu thức sau:
2 2
3 3
2 2
3
2
4 1
3 2
4 1
−
Bài 2 (4 điểm):
Giải các phương trình, hệ phương trình sau:
a) x−1=2x−5x2 − y2 −1+4xy
x x
x− 1 + 1−1 =
c) x+3=8x2 −8x−5
d)
−
= +
−
= +
−
= +
1 4
1 4
1 4
y x z
x z y
z y x
Bài 3 (3 điểm):
1) Chứng minh rằng: Nếu n là một số tự nhiên sao cho n + 1 và 2n + 1 đều là số chính phương thì n là bội số của 24
2) Tìm tất cả các tam giác vuông có các cạnh là các số nguyên và có số đo diện tích bằng số đo chu vi
Bài 4 (6 điểm):
Cho tam giác ABC có góc ABC > 90o, trực tâm H, nội tiếp đường tròn (O;R) Hai trung tuyến AM và BK của tam giác ABC cắt nhau tại I
a) Chứng minh: ABH∆ ∼ MKO∆
b) Chứng minh:
4
2 3
3 3
3 3
3
= +
+
+ +
IB IH IA
IM IK
IO
c) Chứng minh: AH2 + BC2 = BH2 + AC2 = CH2 + AB2
Bài 5 (4 điểm):
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của
x z
z z y
y y x
x A
+
+ +
+ +
= 2 2 2 biết x, y, z là các số dương thỏa mãn: xy + yz + zx=1
2) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, xét hình thang có bốn đỉnh nằm trên bốn cạnh của hình vuông và hai đáy song song với một đường chéo của hình vuông Tìm hình thang có diện tích lớn nhất và tính diện tích ấy
Trang 4PHÒNG GD-ĐT TIÊN DU ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI TỈNH LẦN 4
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày 20 tháng 3 năm 2013 = = = = = = = = = = = =
Bài 1 (4.5 điểm):
1) Tính ( 3 )2013
1
4 −
−
5 5 2 6
3 6 10 1
− +
+
−
=
x
2013
1 2012
1 1
3
1 2
1 1 2
1 1
1
=
S
3) Chứng minh rằng nếu ( ) y( xz)
xz y yz x
yz x
−
−
=
−
−
1 1
2 2
với x≠ y thì
z y x z y
x+ + =1+1+1.
Bài 2 (4.5 điểm):
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) (x2 −4)2 =24x+9
b)
= +
+
= +
+
3 1
3
1
2
2
y
x
y
x
y
x y
x
c)
= +
= +
2 2
3 3
3
6
4
18 27
8
y x
y
x
y y
x
Bài 3 (3 điểm):
1) Cho các số nguyên a, b, m, n (m≠n) thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
i) Phương trình bậc hai x2 +ax+b=0 có nghiệm kép
ii) (m2 +am+b)(n2 +an+b)=1
Chứng minh: a+4b=(m+n)(m+n−1).
2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3x −y3 =1
Bài 4 (6 điểm):
Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c (c < a, c < b) Gọi M, N là các tiếp điểm của đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AC, BC Đường thẳng MN cắt
AO, BO tại P, Q Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC
a) Chứng minh: AOQM, BOPN, AQPB là các tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh: Q, E, F thẳng hàng
c) Chứng minh:
OC
OM c
b a
PQ NQ
+ +
+ +
Bài 5 (2 điểm):
1) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của
a c c b b a
ca bc ab c
b a
P 2 2 2 2 2 2
+ +
+ + + + +
= 2) Trong mặt phẳng cho 2013 điểm sao cho 3 điểm bất kì trong chúng là 3 đỉnh của một tam giác có diện tích không nhỏ hơn 1 Chứng minh tất cả các điểm đã cho nằm trong một tam giác có diện tích không lớn hơn 4