Khi tới vị trí thấp nhất thì thanh va chạm hoàn toàn đàn hồi với một vật nhỏ coi như chất điểm có khối lượng m 1 = 120g nằm trên mặt bàn.. a Xác định tốc độ góc và gia tốc góc của thanh
Trang 1CHƯƠNG 1: CƠ HỌC VẬT RẮN
Câu 1: (Ninh Bình 2010-2011)(5,0 điểm): Cho cơ hệ như hình vẽ.
Vật M có khối lượng m = 200g, được treo bằng sợi dây buộc vào trục
ròng rọc R2 Lò xo nhẹ có độ cứng k = 45N/m, một đầu gắn vào trục
ròng rọc R2, còn đầu kia gắn vào đầu sợi dây vắt qua R1, R2 đầu còn
lại của dây buộc vào điểm B Bỏ qua ma sát ở các ròng rọc, coi dây
không dãn Kéo vật M xuống dưới vị trí cân bằng một đoạn 5cm rồi
thả nhẹ Chứng minh vật M dao động điều hoà và viết phương trình
dao động nó Chọn trục Ox thẳng đứng hướng xuống, gốc toạ độ O ở
VTCB của M Xét hai trường hợp:
1 Bỏ qua khối lượng các ròng rọc
2 Bỏ qua khối lượng ròng rọc R1; ròng rọc R2 có dạng hình trụ
đặc khối lượng m = 200g, bán kính R Dây không trượt trên các ròng rọc
ĐA
1 Bỏ qua khối lượng của ròng rọc và dây nối: T = F
+ Tại VTCB của vật M ta có: P+ 3F0 = 0 (1) - Từ
(1) suy ra: mg = 3k∆l0 (2)
- Tại vị trí vật M có toạ độ x bất kì ta có: P+ 3F=m a (3) Chiếu
(3) lên trục toạ độ Ox ta có :
mg - 3k(∆l0 + 3x) = ma = mx’’ (4)
- Từ (2) và (4) ta có : '' +9 x= 0
m
k x
↔ x'' + ω 2x= 0 (5) (
m
k
9
2 =
- Phương trình (5) có nghiệm : x = Acos(ω +t ϕ ) trong đó A , ω , ϕ là
những hằng số Vậy vật M dao động điều hoà
+ Chọn gốc thời gian là lúc thả vật = =
m
k
9
Tại thời điểm t =0 : ω ϕAcos =5(cm)- Asin =0ϕ → A = 5cm và ϕ = 0
Vậy phương trình dao động là x = 5cos45t (cm)
2 Tại vị trí cân bằng:
2mg = 3k∆ℓ (1)
Tại li độ x của M:
mg – T3 = ma (2)
T3 + mg – 2T1 – T2 = ma (3)
T1 = k(∆ℓ + 3x) (4)
(T2 – T1)R = I.γ; I = 0,5mR2; γ = a/R (5)
Thay (2), (4), (5) vào (3):
2mg - 2k(∆ℓ + 3x) - k(∆ℓ + 3x) - ma/2 = 2ma
kết hợp với (1) → - 9kx = 2,5mx”
B A
R1
R2 M
P
T
T F
B A
R1
R2 M
T2
T1 F
Trang 2→ x” + ω2x = 0 với ω = 18k
9m rad/s phương trình dao động: x = 5cos28,5t (cm)
Câu 2 (5 điểm) (Anh Sơn 3-Nghệ An-2010-2011)
Một ròng rọc O có khối lượng m và bán kính R Một sợi dây không giãn, khối lượng không đáng kể vắt lên ròng rọc ấy và không trượt Hai đầu dây quấn nhiều
vòng lên hai ròng rọc động có khối lượng m 1 = 2m (Ròng rọc 1) và m 2 = m (Ròng
rọc 2) có bán kính lần lượt r1, r2 Các phần dây quấn đủ dài để có thể coi gần đúng
là thẳng đứng Gia tốc trọng trường là g Thả hệ từ trạng thái nghỉ, hai ròng rọc động quay và đi xuống trong mặt phẳng của ròng rọc cố định, làm ròng rọc này cũng quay
1 Tính gia tốc góc β của ròng rọc O và các gia tốc dài
a 1 và a 2
của hai ròng rọc động
2 Tính các lực căng dây T 1 và T 2 So sánh phản lực
của trục O khi hệ chưa và đang chuyển động Coi các
ròng rọc là các đĩa đồng chất khi tính mô men quán tính
(I = mr2/2)
Câu 3 (1,5 điểm).(Vĩnh Phúc 2011-2012-Chuyên)
Một tấm ván có khối lượng M = 10kg nằm trên mặt phẳng ngang nhẵn và
được giữ bằng một sợi dây không dãn Vật nhỏ có
khối lượng m= 1kg trượt đều với vận tốc v= 2 /m s từ
mép tấm ván dưới tác dụng của một lực không đổi
10
F= N (Hình 1) Khi vật đi được đoạn đường dài
1
l = m trên tấm ván thì dây bị đứt
a) Tính gia tốc của vật và ván ngay sau khi dây đứt
b) Mô tả chuyển động của vật và ván sau khi dây đứt trong một thời gian đủ dài Tính vận tốc, gia tốc của vật và ván trong từng giai đoạn Coi ván đủ dài
c) Hãy xác định chiều dài tối thiểu của tấm ván để m không trượt khỏi ván
ĐA
a
* Xét chuyển động của m:
Trước khi dây bị đứt: F F− ms = → 0 F ms =F
Ngay sau khi dây đứt: vật m vẫn trượt đều với vận tốc v →a m = 0
* Xét chuyển động của M:
Ngay sau khi dây đứt M chuyển động nhanh dần đều với: ms 1 / 2
M
b * Giai đoạn 1: 0 ≤ ≤t t o
+ m chuyển động đều với vận tốc v, gia tốc am=0
Hình 1
F m
M
Trang 3+ M chuyển động nhanh dần đều, vận tốc ban đầu =0, gia tốc a M F 1 /m s2
M
+ Tấm ván đạt vận tốc v tại thời điểm o 2s
M
t
* Giai đoạn 2: t o ≤t
Vật m và M chuyển động nhanh dần đều với vận tốc ban đầu v o = 2 /m s và gia
0,9 /
10 1
F
M m
c
Quãng đường m đi được trên M kể từ khi dây đứt đến thời điểm t=to là:
2 2
1 Δ
2 M 2
Mv
F
min
10.2
Mv
F
= + = + = + =
Câu 4 (2,5 điểm) (Vĩnh Phúc 2011-2012-Chuyên)
Một thanh mảnh, đồng chất có khối lượng
360
M = g chiều dài L= 30cm có thể quay không ma sát
quanh trục O cố định nằm ngang đi qua đầu thanh Từ
vị trí thẳng đứng, đầu còn lại của thanh được thả ra và
thanh đổ xuống (Hình 2) Khi tới vị trí thấp nhất thì
thanh va chạm hoàn toàn đàn hồi với một vật nhỏ (coi
như chất điểm) có khối lượng m 1 = 120g nằm trên mặt
bàn Cho gia tốc trọng trường g= 10 /m s2 Mômen quán
tính của thanh đối với trục quay qua O là I ML / 3 = 2
a) Xác định tốc độ góc và gia tốc góc của thanh khi
thanh có vị trí nằm ngang
b) Xác định các thành phần lực theo phương ngang và theo phương thẳng đứng
mà trục quay tác dụng lên thanh khi thanh có vị trí nằm ngang
c) Xác định vận tốc của vật m1 ngay sau va chạm
d) Vật m1 được gắn với m =120g 2 qua một lò xo nhẹ có độ cứng k= 100 /N m
(Hình 2) Xác định biên độ dao động của m1 và m2 sau va chạm Bỏ qua mọi ma sát
a
Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho vị trí thẳng đứng và nằm ngang:
2
1
2 2
L
Mg = Iω Thay 1 2
3
I = ML ta được: 3 3.10 10
0,3
Phương trình động lực học cho chuyển động quay quanh O:M( )P =Iγ
Thay 1 2
3
2
P
L
M =Mg ta được: 3 3.10 50 2
2 2.0,3
M O
m2 k m1
•
Hình 2
Trang 4Định luật II Niutơn cho chuyển động tịnh tiến
của thanh: P Nr+ =r Mar (*)
Chiếu (*) lên phương ngang:
2
2
x x n
L
Thay ω ở phần a) vào ta được:
= 3 / 2 5, 4 =
x
Chiếu (*) lên phương thẳng đứng:
2
y y t
L
Thay γ ở phần a) vào ta được : N y =Mg/ 4 0,9 = N
c
Bảo toàn cơ năng cho chuyển động của M từ đầu đến ngay trước va chạm
2
Bảo toàn động năng trong va chạm: 2 2 2
1
2m v + 2Iω = 2Iω
Bảo toàn mômen động lượng: m vL I1 + ω ' =Iω (2)
Từ (1) và (2) ta được: v 6gL 3 2 4, 2 m
s
d
Sau va chạm, khối tâm G của hệ (m1+m2) chuyển động với vận tốc VG mà:
1
2
m
s
.
Trong HQC gắn với khối tâm G, vì hai vật có khối lượng bằng nhau nên ta
có thể xem như dao động của m1, m2 là dao động của mỗi vật gắn với một lò
xo có đầu G cố định và có độ cứng là k’=2k
Gọi A là biên độ dao động của mỗi vật, theo định luật bảo toàn cơ năng ta có:
2mv = 2 mV G + 2k A → =A cm
Câu 5: (Hà Tĩnh 08-09)Một thanh AB đồng chất, tiết diện đều, khối lượng m, chiều
dài ℓ, có trục quay O nằm ngang cố định, với OA
= ℓ/4, như hình 2 Ban đầu người ta giữ thanh nằm
ngang, sau đó thả nhẹ cho thanh chuyển động Bỏ qua
ma sát ở trục quay và lực cản không khí
a Tính gia tốc góc của thanh khi thanh bắt đầu
chuyển động
A O B
Hình 2
•
P
N
Nx
Ny
Trang 5b Khi đầu B ở vị trí thấp nhất thì tốc độ góc của thanh là bao nhiêu ? Tính tốc độ
dài của đầu A khi đó
c Cho thanh dao động nhỏ xung quanh trục O, xác định chu kì dao động của
thanh
ĐA
a
- Khi thanh bắt đầu chuyển động thì phương trình động lực học: mg
4
l
= Iγ
(1)
- Trong đó: I =
2 2
4
3 4
3 3
1 4
4
3
1
+
m
48
7
ml
Suy ra: γ =127l g
b
- Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng khi thanh nằm ngang và khi thanh thẳng đứng (B ở vị trí thấp nhất)
4 2
mg
- Suy ra vận tốc góc của thanh khi B ở VT thấp nhất:
l
g
7
24
= ω
- Vận tốc dài của A khi đó: vA=
l
g l l
7
24 4
4 = ω
c
- Thanh dao động nhỏ xung quanh trục quay O, là một con lắc vật lí có chu
kì là:
T = 2π
mgd
I
= 2π
g 12 7
Câu 6: (Ba Đình-Nga Sơn -2010-2011): Trên mặt phẳng nghiêng góc αcó một vật
nhỏ và một hình trụ rỗng khối lượng m, bán kính r và mômen quán tính I=m.r2 Hai vật cùng bắt đầu chuyển động xuống dưới vật trượt với hệ số ma sát trượt 5
,
0
=
µ , trụ lăn không trượt Tính α để hai vật khi chuyển động luôn cách nhau một
khoảng không đổi
•
G
Trang 6+ Gia tốc của vật a= (gsin α − µ cos α )(1)
+ Phương trình chuyển động tịnh tiến của hình trụ: ma’=mgsinα -Fms (2)
a’ là gia tốc trọng tâm, Fms lực ma sát giữ cho hình trụ không trượt đồng thời gây
ra sự quay quanh O của trọng tâm
Fms.r=Iγ (3) với a’=γ .r (4) nên Fms=Ia’/r2
Đưa vào (2) ta được a’= (gsinα )/(1+I/mr2)=gsinα /2 (5)
Cho (1)=(5) ta được a=a’ ⇒ tan α = 2 µ = 1 ⇒ α = 45 0
Câu 7 (Thái Nguyên 09-2010-V1)
Hai vật A và B có khối lượng m1= 250g và m2= 500g được nối với nhau bằng một sợi dây mảnh vắt qua một ròng rọc có khối lượng
không đáng kể như hình bên Vật B đặt trên một xe
lăn C có khối lượng m3 = 500g trên mặt bàn nằm
ngang Hệ số ma sát giữa B và C là μ1 = 0,2; giữa xe
và mặt bàn là μ2 = 0,02 Bỏ qua ma sát ở ròng rọc
Ban đầu vật A được giữ đứng yên, sau đó buông tay cho hệ ba vật chuyển động Lấy g = 10m/s2
a/ Tìm gia tốc của các vật và lực căng của sợi dây
b/ Tìm vận tốc của vật B so với xe C ở thời điểm 0,1s sau khi buông tay và độ dời của vật B trên xe C trong thời gian đó
ĐA
a/ Lực ma sát giữa B và C: FBC= µ1.m2g = 1 N => là lực phát động làm C chuyển động trên bàn
Gọi a3 là gia tốc của xe C đối với mặt bàn,
Áp dụng định luật II Niuton cho xe C, ta có: FBC - µ2.N3 = m3.a3
Với N3 = P2 + P3 = (m2 + m3).g => Thay số ta được a3 = 1,6 m/s2
3
a r
cùng hướng F r BC
tức cùng hướng với vận tốc v r 2
của B Gọi a2 là gia tốc của B đối với bàn
Áp dụng định luật II Niuton cho vật B ta có: T - µ1 N2 = m2.a2
Với N2 = P2 = m2g => Thay số ta được: T – 1 = 0,5a2 (1)
Áp dụng định luật II Niuton cho vật A:
m1.g – T = m1 a1 => 2,5 – T = 0,25 a1 (2) Với a1 = a2
Từ (1) và (2) suy ra: a1 = a2 = 2 m/s2 ; T = 2 N
b/ Gia tốc của B đối với xe C là: a r BC
= ar2 − ar3 => aBC = a2 – a3 = 0,4 m/s2 Sau khi buông tay 0,1s => vận tốc của B đối với xe C là: v = aBC.t = 0,04 m/s
Độ dời của B trên xe C là: S = aBC.t2
2 = 2 mm
Câu 8: (4 điểm) (Huế 08-09)
Một hình trụ đặc bán kính R, khối lượng m1 = 20 kg có thể
quay không ma sát quanh một trục cố định nằm ngang trùng với trục của hình trụ Trên hình trụ có quấn một sợi dây không giãn, khối
lượng không đáng kể Đầu tự do của dây có buộc một vật nặng m2 = 4
B
C
A
O 1
2 m
m
Trang 7kg, như hình vẽ Tìm gia tốc của vật nặng và lực căng của dây Biết moment quán tính của hình trụ đối với trục quay là m R 1 2
I =
2 ; lấy g = 10 m/s2
ĐA
- Do tác dụng của trọng lực P2 = m2g, hệ chuyển động :
hình trụ quay và vật nặng tịnh tiến đi xuống
- Gọi a là gia tốc dài của vật nặng, γ là gia tốc góc của hình trụ
Ta có:a = Rγ
- Áp dụng định luật II Newton cho vật nặng: m2g – T = m2a (1)
(với T là lực căng dây tác dụng lên vật nặng)
- Phương trình chuyển động quay của hình trụ : M = Iγ, với M = T’R = TR
(với T’ là lực căng của dây tác dụng lên hình trụ, T’ = T)
m R 1 2
I =
2 , γ = a
R (2)
- Từ (1) và (2) ta có : a = 2
2m g 2m + m ; 2,86 (m/s2)
và T = m2(g – a) ; 286 (N)
Câu 9 : ( 4 điểm )(Đồng Nai 2010-2011-V2)
Trên một mặt bàn nhẵn nằm ngang có một thanh mảnh AB đồng chất có khối lượng m, chiều dài là 2l đang nằm yên Một viên
đạn nhỏ , có khối lượng 2m/3 bay ngang với tốc
độ V0 tới cắm vào đầu B theo phương vuông góc
của thanh và ghim chặt vào đó
a) Xác định chuyển động của hệ sau va chạm
b) Tìm độ giảm động năng của hệ do va chạm
ĐA
a.) Gọi O là trung điểm của thanh ;
G ; VG lần lượt là vị trí và vận tốc của
khối tâm của hệ sau va chạm
Vị trí của G được xác định bởi :
( .2 / 32 / 3) 25
l m
+
Theo định luật bảo toàn động lượng ta có :
0
3mV =3m m V+ ÷ G
0
2 5
G
⇒uur= uur (1) Momen quán tính đối với khối tâm của hệ
A
B
O G V uu r0
Trang 8( )2 2 2 2
Theo định luật bảo toàn momen động lượng ta có :
2
2 0
3 5 3 / 5 15
l
÷
0
6 11
V l
ω
Vậy sau va chạm khối tâm của hệ chuyển động tịnh tiến với vận tốc VuurG được xác định bởi (1) và toàn bộ hệ quay trong mặt phẳng ngang
quanh G với tốc độ góc được xác định bởi (2)
Động năng của hệ trước va chạm : 1 02 02
1 2
Động năng của hệ sau va chạm : 2 2 2
m
Hay : 2 02
8 33
Độ giảm của động năng của hệ trong quá trình va chạm :
2
1 11
Câu 10 : (4điểm) (Đồng Nai 2009-2010)
Trên một mặt bàn nhẵn nằm ngang có một thanh mảnh AB đồng chất có khối lượng m, chiều dài là 2l đang nằm yên Một viên đạn có khối lượng m/2 bay ngang với vận tốc v0 tới cắm vuông góc vào đầu A của thanh (va chạm là hoàn toàn không đàn hồi)
a) Tìm vị trí và vận tốc của khối tâm G của hệ thanh và đạn ngay sau va chạm
b) Tìm vận tốc góc quay quanh G của thanh sau va chạm
c) Tìm độ giảm động năng của hệ do va chạm
ĐA
Khi đạn cắm vào thanh thì vị trí của
khối tâm G được xác định:
/ 2 3
OG
m m
+
+ ; (với x1 =0 ;x2 =l)
Vị trí trọng tâm G cách trung điểm O của thanh một đoạn
3
l
Áp dụng định luật bảo toàn động lượng ta có : 0
3
m
G
Trang 93
v v
⇒ =
Mômen động lượng của hệ đối với G ngay trước va chạm 0
1 1 1
3
mlv
Momen quán tính của hệ thanh và đạn đối với trục quay qua G:
2 15
G d
(Định lí Hugens- Steinner)
Mômen động lượng của hệ đối với G ngay sau va chạm :
2
15 36
G d
Theo định luật bảo toàn mômen động lượng ta có:
0
4 5
v l
ω
⇒ =
Câu
c
Nội dung
Động năng của hệ trước va chạm là: 02
1
4
mv
Động năng của hệ sau va chạm là : 0 2 ( ) 2
2
3
v
÷
2
0 2
39 180
mv
Độ giảm động năng của hệ do va chạm :
2 0
30
mv
Câu 11 (4,0 đ) (Thái Nguyên 2010-2011-Dự Thi QG)
Một thanh mảnh đồng chất, có khối lượng m chiều dài L, có trục
quay O cố định nằm ngang vuông góc với thanh và đi qua đầu trên
của thanh (Hình bên) Bỏ qua mọi ma sát và lực cản không khí, gia
tốc rơi tự do là g
1 Thanh đang đứng yên thì một chất điểm có khối lượng m1 =
3 m bay ngang với vận tốc v0 theo phương vuông góc với trục quay đến
O
m1v 0
Trang 10cắm vào trung điểm của thanh Tính tốc độ góc của thanh ngay sau va chạm và cơ năng mất mát lúc va chạm
2 Cho v0 = 10 gL Tính góc lệch cực đại của thanh
ĐA
+ Tính mô men động lượng của hệ " chất điểm+ thanh" ngay trước và ngay sau va chạm:
1 0 2
1
L
m v 2
m L
4
+ Áp dụng định luật bảo toàn mô men động lượng của hệ " thanh + chất điểm" đối với trục quay:
0
0
mv L
3 12
+
(3) + Cơ năng mất mát khi va chạm biến thành nhiệt lượng toả ra lúc va chạm:
15
mv 2 2
4
L 3
m 3 mL 6
mv 2
.I 2
v m
2 0
2 2
2 0
2 0
2 0
ω
−
=
ω
−
+ Vị trí khối tâm của hệ cách trục quay một đoạn: 1
1
m m. L
OG
+
+
+ Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng sau va chạm ta được:
2
0 2
2
0 0
4v
mL m L
3 3 4 25L
.g (1 cos ) cos 1 1
v
20gL
Câu 12 (Thái Nguyên 2010-2011-V1)
Một vật nhỏ khối lượng M =100g treo vào đầu sợi dây lí
tưởng, chiều dài l = 20cm như Hình 1 Dùng vật nhỏ m = 50g có
tốc độ v0 bắn vào M Bỏ qua sức cản của không khí Lấy g =
10m/s2 Coi va chạm là tuyệt đối đàn hồi
a/ Xác định v0 để M lên đến vị trí dây nằm ngang
b/ Xác định v0 tối thiểu để M chuyển động tròn xung quanh O
c/ Cho v0 =
2
7
3 m/s, xác định chuyển động của M Hình 1
ĐA
a/ Va chạm đàn hồi:
Mv mv
mv
Mv mv
mv
2 2
2
1
2
0
2 1
0
+
=
+
=
=> 2 v 0
M m
m 2 v
+
=
v0
O
M m
l
Trang 11Khi dõy nằm ngang:
2
gl m
M m v Mgl 2
Mv
0
2
Thay số: v0 = 3m/s
b/ Để M chuyển động hết vũng trũn, tại điểm cao nhất E: vE = gl
m 2
M m v 2
Mv l 2 Mg
2
Mv
0 E
2
Thay số: v0 =
2
10
3 m/s
c/ Khi
2
7 3
v0 = m/s <
2
10
3 => M khụng lờn tới điểm cao nhất của quĩ đạo trũn
Lực căng của dõy:
l
mv cos
mg T
2 + α
= Khi T = 0 => M bắt đầu rời quĩ đạo trũn tại
D với vận tốc vD, cú hướng hợp với phương ngang gúc 600
Từ D vật M chuyển động như vật nộm xiờn Dễ dàng tớnh được gúc COD = 300
* Nếu HS tớnh kỹ hơn ý c/ cú thể thưởng điểm
C
õ u 13: (Dành cho học sinh thí điểm phân ban) (H T à ĩnh 06-07)
Một thanh nhẵn đồng tính AB có khối lợng M và độ dài AB = d, quay tự do với tốc độ góc ω 0 trong một mặt phẳng nằm ngang xung quanh một trục thẳng đứng
cố định đi qua đầu A của thanh
1 Xác định động năng của thanh AB
2 Từ đầu A có một vòng nhỏ khối lợng m bắt đầu trợt dọc theo thanh Tìm tốc độ dài điểm B của thanh tại thời điểm khi vòng nhỏ trợt tới B
3 Biết t là thời gian vòng nhỏ khối lợng m trợt từ A đến B và trong thời gian
đó thanh AB quay biến đổi đều Xác định góc quay của thanh AB trong thời gian t
đó
ĐA
động năng của hệ :
Mô men quán tính đối với trục quay qua khối tâm I1 =
12
2
d
M
Mô men quán tính đối với trục quay qua A: I = M
4
2
d + I1 = M
3
2
d
Động năng: Wđ =
2
2 0 ω
6
2 2
0d
Tốc độ dài của đầu B khi m trợt tới B
- Gọi lần lợt ω0 ;I0là tốc độ góc, mô men quán tính đối với trục quay của hệ thanh
AB và vòng nhỏ m khi vòng ở tại A
- ω;I là tốc độ góc, mô men quán tính của hệ thanh AB và vòng nhỏ m khi vòng ở tại B
Ta có: I0 = M
3
2
d ;
