luận văn thạc sĩ lý thuyết sóng nhỏ

Chương 1 trình bày và giới thiệu về một cái nhìn tổng quan của các khía cạnhbiến đổi của sóng nhỏ như là: Sự cục bộ hóa tần số thời gian; các biến đổi vềsóng; các loại biến đổi sóng nhỏ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐỖ THỊ THỦY

LÝ THUYẾT SÓNG NHỎ

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số: 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS NGUYỄN VĂN MINH

THÁI NGUYÊN - NĂM 2014

Mục lục

1.1 Sự cục bộ hóa tần số thời gian 3

1.2 Các phép biến đổi sóng nhỏ: Sự giống nhau và khác nhau với các biến đổi Fourier dạng cửa sổ 4

1.3 Các loại biến đổi sóng nhỏ khác nhau 8

1.3.1 Biến đổi sóng nhỏ liên tục 9

1.3.2 Các khung biến đổi sóng nhỏ dư nhưng riêng biệt 9

1.3.3 Các cơ sở sóng nhỏ trực chuẩn: Phân tích đa phân giải 12

1.4 Tín hiệu và khôi phục tín hiệu 20

1.4.1 Tín hiệu 20

1.4.2 Biến đổi Fourier 20

1.4.3 Xấp xỉ 22

2 Ứng dụng của wavelets vào xử lý ảnh 37 2.1 Phân loại các kỹ thuật nén 38

2.1.1 Nén tổn hao và không tổn hao: 38

2.1.2 Mã hóa dự đoán và mã hóa dựa trên phép biến đổi: 39

2.1.3 Mã hóa băng con: 39

2.2 Tiêu chuẩn đánh giá chất lượng mã hóa ảnh 39

2.3 Chuẩn nén ảnh tĩnh dựa trên biến đổi sóng nhỏ - JPEG2000 40

2.3.1 Lịch sử ra đời và phát triển chuẩn JPEG2000: 40

2.3.2 Các tính năng của JPEG2000: 402.3.3 Các bước thực hiện nén ảnh theo chuẩn JPEG2000: 41

Lời cảm ơn

Trong suốt quá trình làm luận văn, tác giả luôn nhận được sự hướng dẫn vàgiúp đỡ của TS Nguyễn Văn Minh Thầy đã giành nhiều thời gian chỉ bảo rấttận tình hướng dẫn và giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làmluận văn Tác giả xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy và kínhchúc thầy luôn luôn mạnh khỏe

Tác giả cũng xin cảm ơn các quý thầy, cô khoa Toán - Tin, viện Toán học,phòng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên cũng như cácthầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2012 - 2014, lời cảm ơn sâu sắc nhất

về công lao dạy dỗ mang đến cho tôi nhiều kiến thức bổ ích không chỉ trongkhoa học mà còn cả trong cuộc sống

Tác giả xin chân thành cảm ơn các anh chị em học viên lớp Cao học toán K6

và bạn bè đồng môn đã giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập tại trường Đạihọc Khoa học - Đại học Thái Nguyên và trong quá trình hoàn thiện luận vănthạc sĩ

Cuối cùng, con xin cảm ơn bố mẹ Nhờ có bố mẹ không quản gian khó, vất

vả sớm khuya nhưng vẫn tạo mọi điều kiện tốt nhất để con có được thành quảngày hôm nay

Thái Nguyên, tháng 8 - 2014Người Viết Luận Văn

Đỗ Thị Thủy

Mở đầu

Lý thuyết sóng nhỏ là môn khoa học phát triển gần đây trong ngành toánhọc ứng dụng Tên của chúng đã được ra đời cách đây gần 3 thập kỷ (Morlet,Arens, Fourgeau và Giard (1982), Morlet (1983), Grossmann và Morlet (1984)).Trong 30 năm qua, từ khi ra đời sóng nhỏ đã thu hút đươc nhiều sự chú ý và đã

có bước phát triển nhanh chóng Có một số lý do dẫn đến sự thành công hiện tạicủa chúng Một mặt, khái niệm về những sóng nhỏ có thể được xem xét như làmột sự tổng hợp của những ý tưởng mà được bắt nguồn trong suốt khoảng thờigian qua trong ngành kỹ thuật (subband coding), vật lý (tình trạng gắn kết,nhóm renormalization) và ngành toán học (nghiên cứu của toán từ Calderón -Zygmund) Là kết quả của những nguồn gốc liên quan đến những lĩnh vực họcthuật, sóng nhỏ thu hút nhiều nhà khoa học và các kỹ sư ở nhiều lĩnh vực khácnhau Mặt khác, sóng nhỏ là công cụ toán học khá đơn giản mà có nhiều ứngdụng có thể Sóng nhỏ đã có những ứng dụng lý thú trong xử lý tín hiệu.Mục đích của đề tài luận văn nhằm tìm hiểu và giới thiệu về lý thuyết sóngnhỏ và ứng dụng của nó

Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương

Chương 1 trình bày và giới thiệu về một cái nhìn tổng quan của các khía cạnhbiến đổi của sóng nhỏ như là: Sự cục bộ hóa tần số thời gian; các biến đổi vềsóng; các loại biến đổi sóng nhỏ khác nhau; tín hiệu và khôi phục tín hiệu.Chương 2 trình bày ứng dụng của wavelets vào xử lý ảnh

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2014

Học viên

Đỗ Thị Thủy

Chương 1

Nhập môn lý thuyết sóng nhỏ

Các phép biến đổi wavelet (sóng nhỏ) là công cụ chia nhỏ số liệu, hàm sốhoặc toán tử thành các phần khác nhau sau đó nghiên cứu mỗi thành phần vớimột độ phân giải phù hợp với quy mô của nó Tiền thân của kỹ thuật này đãđược phát minh một cách độc lập trong toán học thuần túy (Nhận biết độ phângiải của Calderón trong phân tích hàm điều hoà - xem ví dụ, Caderón (1964)),vật lý học (trạng thái nhất quán của (ax + b) - nhóm trong cơ học lượng tử, lầnđầu tiên được xây dựng bởi Aslaksen và Klauder (1968) và liên kết với nguyên

tử hidrô Hamilton bởi Paul (1985)) và kỹ thuật (phục hồi lại bộ lọc QMF bởiEsteban và Galland (1977) và sau đó bộ lọc QMF với tính chất được phục hồichính xác bởi Smith và Barnwell (1986), Veterli (1986)trong kỹ thuật điện, sóngnhỏ đã được đề xuất để phân tích các dữ liệu địa chấn bởi J.Morlet (1983)).Nhiều năm qua đã cho thấy một sự tổng hợp giữa tất cả các phương pháp khácnhau được coi là tiềm năng cho tất cả các lĩnh vực liên quan đến nó

Chúng ta hãy xem xét trong khuôn khổ phân tích tín hiệu Các phép biếnđổi sóng nhỏ của một tín hiệu phát triển bằng thời gian (VD: Các biên độ áplực lên màng nhĩ, các ứng dụng cho âm thanh) phụ thuộc vào hai biến: Thang(hoặc thang tần số) và thời gian Các sóng nhỏ cung cấp một công cụ cho sựkhoanh vùng tần số thời gian Phần đầu cho chúng ta biết sự khoanh vùng tần

số thời gian nghĩa là gì và lý do tại sao nó lại được quan tâm Các phần còn lại

mô tả các dạng khác nhau của các sóng nhỏ

1.1 Sự cục bộ hóa tần số thời gian

Trong nhiều ứng dụng tín hiệu f (t) đã được đưa ra (quan sát chúng, ta giảđịnh t là một biến liên tục) là mối quan tâm về dung lượng khoanh vùng tần sốthời gian Điều này cũng tương tự như ký hiệu âm nhạc Ví dụ: Nó nói cho cácnhạc công biết nốt nhạc nào (bằng thông tin tần số) để chơi vào thời điểm nào

đó Tiêu chuẩn biến đổi Fourier:

Twinf
(ω, t) =

Z

dsf (s) g (s − t) e−tωs. (1.1)Đây là sự biến đổi Fourier dạng cửa sổ, đó là kỹ thuật chuẩn cho sự khoanhvùng tần số thời gian.1 Nó thậm chí còn quen thuộc hơn với các phân tích tínhiệu trong phiên bản riêng biệt của nó, trong đó t và ω được gán các giá trịkhông gian chính quy (giá trị khoảng trống đều đặn) t = nt0, ω = mω0, trong đó

m, n trên miền Z và ω0, t0 > 0 được cố định Vậy (1.1) trở thành:

Tm,nwin(f ) =

Z

dsf (s)g(s − nt0)e−imω0 s (1.2)Phương pháp này được minh họa trong hình 1.1: n cố định Tm,nwin(f ) tươngứng với các hệ số Fourier của f (·)g(· − nt0) Chẳng hạn, nếu g là hỗ trợ có giácompact thì rõ ràng là với lựa chọn thích hợp ω0, các hệ số Fourier của T·,nwin(f )

đủ để mô tả và nếu cần thiết để tái tạo lại f (·)g(· − nt0) Thay đổi số lượng n

để dịch chuyển các “miếng” bằng các bước của t 0 và bội số của nó, cho phépphục hồi tất cả f từ Tm,nwin(f ) Có nhiều sự lựa chọn và được đề xuất cho chứcnăng cửa sổ g trong các phân tích tín hiệu, hầu hết trong số đó giá compact cótính trơn hợp lý Trong vật lý (1.1) có tính thống nhất tới trạng thái biểu diễn;

gω,t(s) = eiωsg(s − t) được thống nhất các trạng thái liên kết với nhóm Weyl Heisenberg Trong trường hợp này, sự lựa chọn rất phổ biến là một Gaussian g

-Trong tất cả các ứng dụng,g được cho là tập trung cao độ trong cả thời gian vàtần số; nếu g và ˆ g đều tập trung xung quanh giá trị 0, thì Twinf
(ω, t) có thểđược giải thích là "dung lượng" của f gần thời điểm t và gần tần số ω Hơn thếnữa sự biến đổi Fourier dạng cửa sổ là một mô tả của f trong các mặt phẳngtần số thời gian.

Hình 1.1: Fourier dạng cửa sổ: Hàm f (t) là bội số với cửa sổ chức năng và các hệ số Fourier của tích

f (t) g (t); các qui trình sau đó được lặp đi lặp lại cho các dịch chuyển của cửa sổ g (t − t 0 ) , g (t − 2t 0 )

với các biến đổi Fourier dạng cửa sổ

Các biến đổi sóng nhỏ cung cấp tần số thời gian tương tự với một vài sự khácbiệt quan trọng Các công thức biến đổi sóng nhỏ tương tự với (1.1) và (1.2) là:

(Twavf ) (a, b) = |a|−1/2

Z

dtf (t) ψ



t − b a

ψa,b(s) = |a|−1/2ψ a−ba
trong (1.3) Các hàm ψa,b được gọi là “sóng nhỏ”; hàm ψ

đôi khi được gọi là “sóng nhỏ mẹ” (lưu ý rằngψvàgđược ngầm giả định là có thậtmặc dù điều này không cần thiết; thì các liên hợp phức tạp phải được giới thiệutrong (1.1)(1.3)) Một sự lựa chọn tiêu biểu cho ψ làψ (t) = 1 − t2
exp −t2/2
,đạo hàm cấp hai của Gaussian, đôi khi được gọi là chức năng mũ Mexican bởi

vì nó giống như một mặt cắt ngang của một chiếc mũ Mexican Chức năng mũMexican được xác định tốt cho cả thời gian và tần số và đáp ứng (1.5) Như

là một biến đổi, ψa,0(s) = |a|−1/2ψ (s/a) bao phủ các phạm vi tần số khác nhau(các giá trị lớn của tham số tỷ lệ |a| tương ứng với các tần số nhỏ hoặc thanglớn ψa,0, các giá trị nhỏ của|a| tương ứng với tần số cao hoặc thang chuẩnψa,0).Thay đổi các tham số b cũng cho phép chúng ta di chuyển các trung tâmkhoanh vùng thời gian Mỗi ψa,b(s) được xác định xung quanh s = b Vậy là(1.3), giống (1.1) cũng cung cấp tần số thời gian của f Sự khác biệt giữa sóngnhỏ và các biến đổi Fourier dạng cửa sổ nằm trong các hình dạng của hàm phântích gω,t, và ψa,b như thể hiện trong hình 1.2

Hình 1.2: Hình dạng đặc trưng (a) của biến đổi Fourier dạng cửa sổ của hàm g ω,t và (b) sóng nhỏ

ψ a,b Các g ω,t (x) = e−iωxg (x − t) có thể được xem như là hình bao "đổ vào" g với tần số cao hơn,

ψ a,b là bản copi của tất cả các chức năng tương tự, dịch chuyển và nén hoặc kéo dài.

Tất cả các hàm gω,t bao gồm chức năng hình bao g giống nhau, tịnh tiến đếncác giá trị thời gian thích hợp và “đổ vào ” dao dộng với tần số cao hơn Tất cả

gω,t không phụ thuộc vào các giá trị của ω có cùng chiều rộng

Ngược lại, ψa,b có độ rộng thời gian phù hợp với tần số của chúng: Tần số cao

ψa,b thì rất hẹp, trong khi tần số thấp ψa,b rộng hơn nhiều Kết quả là các phépbiến đổi sóng nhỏ thì có thể tốt hơn so với biến đổi Fourier dạng cửa sổ để “thunhỏ” hiện tượng tần số cao diễn ra rất ngắn, chẳng hạn như trong các tín hiệunhất thời (hoặc điểm kì dị trong các hàm số hoặc các hạch tích phân) điều nàyđược minh họa bằng hình 1.3, hình này cho thấy biến đổi Fourier dạng cửa sổ

và các biến đổi sóng nhỏ của cùng tín hiệu f được xác định bởi

f (t) = sin (2πv1t) + sin (2πv2t) + γ [δ (t − t1) + δ (t − t2)]

Trong thực tế tín hiệu này không biểu diễn sự liên tục, nhưng bằng các mẫu

và thêm một chức năng δ thì tính được xấp xỉ bằng cách thêm một hằng số vớimẫu duy nhất Trong bản mẫu thì ta có

f được tính toán hóa bằng các giá trị trung bình của sóng nhỏ Morlet (phứchợp)ψ(t) = Ce−t2/α2(eiπt− e−π2λ2/4), vớiα = 4để so sánh các đồ thị của hàm phổ

dễ dàng hơn, một trục tần số tuyến tính (tần số loga) đã được sử dụng nhiềuhơn Người ta thấy rằng 2 xung được giải thức thậm chí rất tốt với các cửa sổHamming 8,2 ms (bên phải trong hình 1.3b), trong khi độ phân giải tần số với

2 tông màu thuần túy có thể so sánh với những gì thu được từ cửa sổ Hamming

Hình 1.3: Tín hiệu f (t) Biến đổi Fourier dạng cửa sổ của f với 3 của sổ có độ rộng khác nhau Đây gọi là hàm phổ: Chỉ T win (f ) là đồ thị (giai đoạn không được vẽ ra trên đồ thị) sử dụng các mức xám (giá trị cao màu đen, 0 màu trắng, mức xám trung gian được chỉ định tỷ lệ loga T win (f ) trong

t (đường ngang), ω(tọa độ) phẳng (c) biến đổi sóng nhỏ của f thực hiện so sánh với (b) chúng tôi cũng đã vẽ Twin(f ) với cùng một phương pháp thì mức độ màu xám và tần số tuyến tính trục, (VD: Các tọa độ tương ứng với a−1) (d) so sánh độ phân giải tần số giữa 3 phổ và biến đổi sóng nhỏ.

6,4 ms (ở giữa trong hình 1.3b) Sự so sánh các độ phân giải tần số này đượcminh họa rõ ràng hơn bời hình 1.3d: Đây là các lát cắt đồ thị của hàm phổ(ví dụ: đồ thị của (Twinf )(·, t) ... nhaucủa sóng nhỏ Có nghĩa riêng biệt tham số tịnh tiến b nên phụthuộc vào m: Các sóng nhỏ hẹp (tần số cao) tịnh tiến bước nhỏ để baophủ toàn phạm vi thời gian, sóng nhỏ. .. loại biến đổi sóng nhỏ khác nhau, tất bắt đầu từnhững công thức (1.3), (1.4) Trong ghi chép này, phânbiệt giữa:

A Sóng nhỏ biến đổi liên tục (1.3),

B Biến đổi sóng nhỏ rời rạc (1.4)... dạng riêng biệt biến đổi sóng nhỏ gần với "φ - biếnđổi" Frazier Jawerth (1998).

Sự lựa chọn sóng nhỏ ψ sử dụng biến đổi sóng nhỏ liên tụchoặc khung họ