lý thuyết chuyển động của vật rắn

1 CHUYểN ĐộNG CủA VậT RắN Mở BàI Cơ học chất điểm nghiên cứu đến chuyển động của vật mà không chú ý đến các phần tử khác của vật , coi vật như là 1 chất điểm có thể làm như vậy nếu

1

CHUYểN ĐộNG CủA VậT RắN

Mở BàI

Cơ học chất điểm nghiên cứu đến chuyển động của vật mà không chú ý đến các phần tử

khác của vật , coi vật như là 1 chất điểm ( có thể làm như vậy nếu kích thước của vật rất

nhỏ so với quỹ đạo mà vật thực hiện được ) Vd : vật chuyển động tịnh tiến hoặc con tàu đi

trên đại dương Nhưng trong nhiều trường hợp không làm như vậy được Phần cơ học

nghiên cưú chuyển động của vật có chú ý đến hình dạng , kích thước của vật gọi là cơ học

vật rắn

1 Chuyển động khối tâm của vật rắn

a Khối tâm của vật rắn

Vật rắn tuyệt đối là vật có kích thước và hình dáng tuyệt đối không đổi

Xét hai chất điểm A, B có khối lượng m1 và m2,, trọng lực tương ứng là p1=m1g và

p2=m2g Trọng tâm của chúng là điểm đặt G của hợp lực P của p1 và p2

1

2 1

2

m

m P

P BG

AG

=

= Ta tìm tọa độ trọng tâm G (x,y)

) (

) (

1

2 1 1

2 1 1

2 1

m

m x OG OB m

m x BG m

m x AG x

OG

x = = + = + = + ư = + ư

suy ra

2 1

2 2 1

`

m m

x m x m x

+

+

= O A G B

Chú ý : G chỉ phụ thuộc vào khối lượng và tọa độ chứ

không không phụ thuộc vào gia tốc trọng trường g

Tương tự ta có tọa độ :

2 1

2 2 1

`

m m

y m y m

y

+

+

= Trường hợp có nhiều chất điểm thì:

∑

∑

=

i

i i G

m

x m x

.

∑

∑

=

i

i i G

m

y

m y

.

B.Chuyển động của khối tâm

Phân thành hai chuyển động :

- Chuyển động của khối tâm G ( thể hiện chuyển động toàn phần của vật )

- Chuyển động quay của vật quanh G ( thể hiện chuyển động của phần này đối với

phần khác)

C Định lý về chuyển động của khối tâm

Khối tâm vật rắn chuyển động như là 1 chất điểm mang toàn bộ khối lượng của

vật và chịu tác dụng của tổng các véc tơ ngoại lực tác dụng lên vật

Chúy ý : nếu ngoại lực khử lẫn nhau thì khối tâm của vật rắn hoặc đứng yên hoặc

chuyển động thẳng đều

D Động năng của vật rắn chuyển động tịnh tiến ( bao gồm chuyển

động tròn và thẳng )

2

. 2

∑

d

v

m W

W

2

Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến thì mọi chất điểm có cùng vận tốc tức thời =vận tốc

của khối tâm v = ri VG và ∑ mi = M suy ra

2

2

G d

MV

W =

Động năng của vật rắn chuyển động tịnh tiến thì bằng động năng của khối tâm

mang khối l−ợng của vật

E ĐộNG LƯợNG = ∑ mi vi= M VG

P . .

r

r

Vật rắn quay quanh một trục

(VD: chuyển động của cánh cửa quay quanh bản lề hoặc bánh xe)

1 CHUYểN ĐộNG CủA VậT RắN QUAY QUANH TRụC Cố ĐịNH

Một chất điểm quay tròn quanh trục OZ vuông góc với tâm O của quỹ đạo nh−

hình vẽ :

B M

M 0

C

Ban đầu chất điểm ở vị trí MO xác định bằng góc ϕo gọi là tọa độ góc ban đầu Tại

thời điểm t chất điểm ở vị trí M xác định bằng góc ϕ gọi là tọa độ góc lúc t

2 Vận tốc góc của vật rắn quay quanh 1 trục

Là góc mà chất điểm quay đ−ợc trong thời gian 1 giây (rad/s) Nếu gọi ϕ1 và ϕ2 là

tọa độ góc của chất điểm tại t1 và t2 thì :

Vận tốc góc tức thời :

dt

d ϕ

Nếu ω ≠ const thì vật rắn quay không đều

Vận tốc góc trung bình :

t t

t

TB

∆

∆

=

−

−

= ϕ ϕ ϕ ω

1 2

1 2

3 GIA TốC GóC

Là độ biến thiên của vận tốc góc trong thời gian 1 giây (rad/s 2 ) Gọi ω1 và ω2là vận

tốc góc tại t1 và t2 ta có :

Gia tốc góc trung bình :

t

t t

t

TB

∆

∆

=

−

−

=

1 2

1

2 ω ω β

Gia tốc góc tức thời :

dt

d ω

β =

3

Do

dt

d ω

dt

d ϕ

2

dt

d ϕ

β >O , ω>O(tăng) : vật quay nhanh dần

β >O , ω <O(giảm) : vật quay chậm dần

β =O , ω =O : vật rắn quay đều

Chú ý : khi gia tốc gócβ và vận tốc góc ω cùng dấu thì chuyển động nhanh dần, còn ngược lại là chậm dần

4 Phương trình chuyển động của chất điểm quay quanh một trục cố

định

a Khi vật rắn quay đều : ϕ = ϕ0 + ω t

2 0

t

t ω ω ϕ

c Nếu β = o và ω = const thì vật rắn quay đều với ϕ0là tọa độ góc ban đầu

0

ω là vận tốc góc ban đầu

5 Gia tốc tiếp tuyến, gia tốc pháp tuyến

Khi chất điểm quay không đều quanh trục OZ thì gia tốc a không hướng tâm và gồm hai thành phần:

a Gia tốc hướng tâm (gia tốc pháp tuyến): an = ω2 R đặc trưng về biến đổi phương

của vận tốc

dt

d R dt

dv

dài

6 so sánh các đại lượng đặc trưng của chuyển động quay và chuyển động thẳng

Chuyển động quay Chuyển độngthẳng

Vận tốc góc

dt

d ϕ

dt

dx

Gia tốc góc :

dt

d ω

dt

dv

a =

4

Vận tốc v=const

Pt tọa độ : x = xo + v t

Phương trình chuyển động quay biến đổi

đều

Phương trình chuyển động thẳng biến đổi

đều

pt tọa độ góc :

2

. 2

0

t

t ω ω ϕ

ϕ = + +

pt vận tốc góc : ω = ω0 + β t

pt tọa độ :

2

.

2 0

t a t v x

x = o + +

pt vận tốc : vt = vo + a t

7 Mô men của lực

A Mô men của lực đối với một trục quay cố định:

Là đại lượng đặc trưng cho khả năng của lực làm vật rắn quay quanh trục đó

Xét lực F nằn trong mặt phẳng vuông góc trục quay OZ Mô men của lực F đối với trục quay OZ là : M = ± F R(N m)

Vậy MÔ MEN CủA LựC F : đối với trục quay là tích của thành phần tiếp tuyến với

bán kính của điểm đặt

Lấy dấu dương nếu F làm vật quay theo chiều kim đồng hồ và ngược lại

4.MÔ MEN QUáN TíNH CủA CHấT ĐIểM ĐốI VớI MộT TRụC :

Một chất điểm m ở cách trục cố định ∆một khoảng R Mômen quán tính của chất

điểm m đối với trục quay là :

I=m.R 2 (kg.m 2 )

Sau đây ta xét mômen quán tính của một số vật đồng chất có trục quay đối xứng :

a Vật rắn là vành tròn :

I=m.R 2

b Vật rắn là đĩa tròn :

2

R2 m

I =

.

2 m R2

I =

5

d Vật rắn là thanh dài L ( có tiết diện nhỏ so với chiều dài )

12

L2 m

8 phương trình động lực học của chất điểm trong chuyển

động quay

Một chất điểm có khối lương m quay quanh trục ∆với gia tốc là β , khoảng cách

giữa chất điểm và trục quay là R ta có :

M=I β =m.R 2β (1)

Công thức (1) gọi là pt động lực học của chất điểm trong chuyển động quay quanh một trục , dạng tương ứng với định luật II niwtơn mà thay thế cho lực là mômen lực , còn mônem quán tính I đặc trưng cho mức quán tính(sức ì) của chất điểm đối với chuyển động quay quanh trục

9 MÔMEN ĐộNG LƯợNG CủA VậT RắN

Pt (1) viết lại như sau :

dt

d I I

β =

= khi I không đổi ta có thể viết lại :

dt

I d

M ( ω )

quay ký hiệu L ta có : P = I ω (kg.m 2 /s)

vậy

dt

dP

M =

10 Định luật bảo toàn mômen động lượng

Nếu M=O thì cho ta P=const nghĩa là mômen động lượng được bảo toàn

11 Động năng của vật rắn :

a Vật rắn chuyển động tịnh tiến :

2

. G2

d

v m

W =

b Vật rắn quay quanh một trục :

2

ω2

I

Wd =

c Động năng của vật rắn trong chuyển động song phẳng (Trong chuyển động này

tất cả các điểm của vật đều chuyển động trong những mặt phẳng song song ) VD: chuyển động của một quyển sách trên mặt bàn , của bánh xe Chuyển động phẳng của vật rắn có thể phân tích thành hai chuyển động:

Chuyển động tịnh tiến (thẳng hoặc cong ) của khối tâm G

Chuyển động quay của vật rắn quanh trục G Z đi qua tâm G vuông góc mặt phẳng chứa quỹ đạo G Vì vậy động năng này bao gồm :

ω2

I

2

. G2

d

v m

W =