lý thuyết thế trong địa vật lý

Nếu người quan sát tại điểm P có tọa độ không gian là x, y, z và nguồn điểm là một đơn vị khối lượng hay một đơn vị điện tích tại điểm M ξ,η,ζ, thì hàm số :... • Thế là hàm số của toạ độ

LÝ THUYẾT THẾ TRONG ĐỊA VẬT LÝ

LỜI GIỚI THIỆU

Thế có bản chất là thế năng, chỉ khác thế năng một dấu trừ và gắn liền với một số trường lực dẫn suất từ thế mà ngành Địa vật lý thường gặp như điện trường, từ trường, trọng trường Trái đất Dựa vào các số liệu đo đạc các trường lực này mà người ta phân tích, giải đoán các cấu trúc địa chất, tìm kiếm khoáng mỏ hữu ích tiềm ẩn dưới đất Muốn giải đoán có hiệu qủa, cần phải nghiên cứu, nắm vững lý thuyết thế liên quan chặt chẽ tới các trường lực và các đối tượng Đia chất gây ra các trường lực đó

Giáo trình “ Lý thuyết thế trong địa vật lý “ hiện hữu là kết qủa biên soạn lại, bổ sung, sửa chữa của giáo trình trước : “ Lý thuyết thế và trường trong địa vật lý “ do tác giả biên soạn Tập I năm1997 và đã được Ban xuất bản “ Tủ sách Đại học Khoa học Tự nhiên TPHCM “ in thành sách 117 trang, được sử dụng giảng dạy liên tục từ đó đến nay ( Tập II liên quan đến trường điện từ do tác giả Nguyễn Thành Vấn biên soạn, nhưng hai người cùng đứng tên trên bìa sách)

Đối tượng sử dụng là sinh viên năm thứ 3 của Khoa vật lý bắt đầu vào học giai đoạn 2 ( chuyên ngành ), học viên cao học, nghiên cứu sinh của Bộ môn Vật lý Trái đất thuộc Khoa vật lý, Trường ĐHKHTN TPHCM và các trường ĐHKHTN khác, ĐH Bách khoa, ĐH Mỏ địa chất, là tài liệu tham khảo cho cán bộ cơ quan nghiên cứu, sản xuất có chuyên ngành liên quan đến Địa vật lý Để sử dụng giáo trình này được thuận lợi, hiệu quả, người đọc cần nắm kiến thức trước của các môn học như toán cao cấp, phương trình toán lý, phương trình tích phân, cơ học

Nội dung, chương trình giảng dạy được Nhà trường sắp xếp là môn học cơ sở của chuyên ngành Đia vật lý với số tiết học lý thuyết và bài tập là 45 tiết ( 3 học trình )

Mặc dù tác giả đã hết sức cố gắng hoàn thành giáo trình này trong một thời gian ngắn, nhằm hưởng ứng chủ trương phát triển, đa dạng hóa và nâng cao chất lượng giáo trình của Đại học Quốc gia Tp.HCM bằng cách chuyển đổi sang giáo trình điện tử, giáo trình không tránh khỏi còn thiếu sót Mong bạn đọc tha thứ và góp ý kiến

Tác giả

CHƯƠNG I

THẾ VÀ CÁC TÍNH CHẤT

§1 Khái niệm về thế Các dạng chủ yếu của thế

Thế là hàm vô hướng mà đạo hàm riêng của nó theo các trục tọa độ bằng hình chiếu của vectơ lực trên các tọa độ đó Việc đưa ra các khái niệm thế có nhiều thuận lợi Thay vì khảo sát 3 thành phần của lực theo 3 trục tọa độ, ta chỉ cần khảo sát một hàm số vô hướng Khi cần biết lực tác dụng theo một phương nào đó, ta chỉ việc lấy đạo hàm của thế theo phương đó

1 Thế tỉ lệ nghịch với khoảng cách quan sát

Hãy xét nguồn lực đơn giản nhất là nguồn điểm :

Trường lực hấp dẫn Newton, trường lực tĩnh điện Coulomb đều là những trường lực có thế tỉ lệ nghịch với khoảng cách kể từ nguồn điểm gây ra các trường lực đó đến người quan sát

Nếu người quan sát tại điểm P có tọa độ không gian là x, y, z và nguồn điểm là một đơn vị khối lượng hay một đơn vị điện tích tại điểm M (ξ,η,ζ), thì hàm số :

Lấy ví dụ cho trường hợp lực hấp dẫn Newton :

Giả sử nguồn là khối lượng m đặt tại M(ξ,η,ζ), còn tại điểm quan sát

P(x,y,z) đặt một chất điểm khối lượng m0 Theo định luật vạn vật hấp dẫn của

Newton, lực tác dụng của nguồn lên chất điểm là:

0

0 2

r

τ =

r uur là vectơ đơn vị hướng theo MP mà vectơ MP=r

uuur r

, f là hằng

số hấp dẫn, chọn m0 = 1, ta có:

0 2

= cos( , )=− 3 (z−ζ)

r

m f z F F

V i x

V gradV F

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

=

= (1.6)

Như vậy có nghĩa V là một hàm vô hướng mà đạo hàm riêng của nó theo

tọa độ nào đó thì bằng hình chiếu của vectơ lực trên trục tọa độ đó :

Ta có thể kiểm chứng (1.7) bằng cách lấy đạo hàm riêng của V theo x

Như vậy biểu thức (1.9) thỏa mãn (1.7) – định nghĩa của thế

Trong trường hợp trường lực do nhiều nguồn điểm với các khối lượng ví dụ là m1, m2, m3 tương ứng gây ra thì thế của chúng có tính chồng chất

Thế tổng hợp là tổng các thế của từng chất điểm :

r

x m f F

r

y m f F

r

x m f F

• Biểu thức (1.8) và (1.10) sẽ vô nghĩa khi điểm quan sát trùng với một điểm gây ra trường, vì khi đó (1/r) → ∞

• Thế là hàm số của toạ độ điểm quan sát giới nội và liên tục nếu điểm quan sát không trùng với một trong những nguồn điểm là những chất điểm nói trên

• Tính giới nội và liên tục cùng thỏa mãn với lực (đạo hàm của thế) khi điểm quan sát không trùng với một trong các nguồn điểm

2 Thế khối

Trong trường hợp nguồn không phải là những chất điểm rời rạc, mà là một vât thể kết cấu bởi vô số các chất điểm liên tục, thì thế hấp dẫn Newton của vật thể đối với một đơn vị khối lượng được xác định bằng tích phân khối

Do tính chất cộng vô hướng của thế, ta có thể xác định thế của một vật thể có dạng tuỳ ý bằng cách chia nhỏ khối lượng của vật thể thành vô số những khối lượng nguyên tố dm và coi nó như chất diểm

Giả sử thể tích của từng nguyên tố ấy là: dτ = dξdηdζ và sử dụng mật độ khối là đại lượng :

r : khoảng cách từ khối lượng nguyên tố đến điểm quan sát P

Thế của cả vật thể có thể tích τ, quan sát tại điểm P được xác định bằng cách lấy tích phân hai vế (1.13), trong đó có thể mật độ δ ≠ const :

( , , )

r x

f x

Do : 1 12 12 12cos( , ) 12 cos(F,x)

r x r r r

x r x

r r r

r

x F f

d r

x r f

x

V

2 2

),cos(

),cos(

(1.14a)

Ở đây dFx = f cos( , )F x2

r dm là thành phần lực hấp dẫn của khối lượng nguyên tố dm theo trục x Như vậy (1.13b) thỏa mãn định nghĩa của thế

Tương tự, ta cũng chứng minh được :

3 Thế lớp đơn:

Lớp đơn là sự phân bố khối lượng dàn mỏng trên mặt σ nào đó Tức là coi toàn bộ khối lượng được nén mỏng vô cùng trên bề mặt σ ( không nhất thiết mặt phẳng ) Khái niệm về lớp đơn được sử dụng trong tĩnh điện khi các điện tích phân bố mỏng trên bề mặt của vật dẫn Điện lượng xác định trên một đơn vị diện tích gọi là mật độ điện bề mặt

Khái niệm về lớp kép có xuất xứ trong nghiên cứu từ tính, vì yếu tố từ không phải là một chất điểm, mà một lưỡng cực, tức một đoạn thẳng vô cùng nhỏ có từ lượng âm và dương phân bố trên hai đầu mút của đoạn thẳng đó

Trong địa vật lý, thế lớp đơn cũng như thế lớp kép có ý nghĩa quan trọng, bởi vì thế khối của một khối vật chất có thể biểu diễn bằng một trong hai loại thế ấy, hoặc bằng một tổ hợp của cả hai loại thế

Cách biểu diễn thế khối như vậy đơn giản hóa rất nhiều Thay vì lấy tích phân khối, ta chỉ lấy tích phân mặt Trong địa vật lý, thường ta đo trường trên mặt quan sát gắn liền với mặt đất mà không biết khối lượng phân bố ra sao

Để rút ra công thức cho thế lớp đơn, ta làm như sau :

Giả sử trong một thể tích τ giới hạn bởi hai mặt rất sát nhau là σ và σ’, bên trong chứa đầy khối lượng với mật độ δ Thế khối của khối lượng này, ta đã biết :

dσ là diện tích nguyên tố Còn khối lượng nguyên tố là :

dm = hδdσ (1.16) Công thức thế của khối lượng hấp dẫn có thể viết lại là :

r - khoảng cách từ diện tích nguyên tố dσ đến điểm P

Nếu cho 2 mặt σ và σ’ tiến sát lại vô cùng, thì h tiến tới 0, nhưng khối lượng

dm trong mỗi thể tích nguyên tố dτ sẽ không đổi

H.1

h

O

Rõ ràng ε là khối lượng trên một đơn vị diện tích

Đại lượng ε có tên gọi là mật độ mặt hay mật độ lớp đơn

Ta quan niệm khối lượng dm trong thể tích dτ bị nén mỏng trên diện tích nguyên tố dσ

Kết hợp hai đẳng thức (1.16) và (1.19), ta có mối liên hệ giữa mật độ khối và mật độ mặt Thật vậy :

dm = δhdσ = ε dσ

Ta suy ra mối liên hệ giữa hai mật độ : ε = δh (1.20)

Sự tiến tới giới hạn trình bày ở (1.18) được áp dụng cho toàn bộ khối lượng của lớp đơn, kết quả toàn bộ khối lượng được xem như bị nén mỏng trên mặt σ

Nhờ (1-20), biểu thức cho thế lớp đơn (1.17) có thể viết :

= ∫∫

σ

σε

r

d f z y x

V( , , ) . (1.21) Tích phân giờ đây là tích phân mặt

4.Thế lớp kép:

Bây giờ, ta hãy rút ra công thức cho thế lớp kép

Giả sử có hai mặt σ và σ’mà khoảng cách h giữa hai mặt tính theo phương pháp tuyến ngoại rất gần nhau Trên mặt σ’ lớp đơn phân bố với mật độ µ > 0 (thay đổi), còn trên mặt σ, lớp đơn phân bố với mật độ -µ, âm Trong đó, mật độ của hai lớp trên đoạn thẳng h tại cùng một pháp tuyến có trị số tuyệt đối như nhau

Lấy điểm P với toạ độ x, y,z và khoảng cách từ đó đến hai điểm chạy trên hai mặt σ và σ’là r và r’ Khi đó, tổng thế của hai lớp đơn trên các mặt σ và σ’ là :

+ = ∫∫ − ∫

σ σ

σεσ

ε

r

d f r

d f V V

'

' '

Do h bé, nên xem dσ = dσ’, vậy :

ε σ

σ

d r r f V

Đại lượng 1/r’ có thể khai triển thành chuỗi Taylor :

! 2

1

! 1

1 '

1

2

2 2

=

r dn

d h r dn

d h r r

Bỏ qua những đại lượng bé bậc cao, chúng ta sẽ có hiệu :

11

d h f V

ν – mật độ thế lớp kép Hai lớp đơn sẽ tiến tới một vị trí giới hạn gọi là lớp kép Khối lượng chung của lớp kép bằng 0 Giới hạn của tổng hai thế :

ν σ

σ

d r dn

d f V V

→

1 )

' ( lim

là thế lớp kép W(x,y,z) :

ν σ

σ

d r dn

d f z y x

Công thức (1.22) còn có thể viết dưới dạng khác Khoảng cách r phụ thuộc

vào tọa độ ξ,η,ζ lẫn tọa độ x,y,z, nhưng trong tích phân, tọa độ điểm chạy là biến,

cho nên đạo hàm theo pháp tuyến ngoài 

d 1 phải lấy theo tọa độ điểm chạy ξ,η,ζ Còn tọa độ x, y, z giờ là tham số

∂

∂ +

d r dn

d r r dn

dr r r dn

ζ

ηη

ξξ

2 2

1 1

Và lấy đạo hàm riêng biểu thức của r ở ( 1.1a ) theo ξ, ta có :

) z , n cos(

) z , r cos(

) y , n cos(

) y , r cos(

) x , n cos(

) x , r cos(

r

1 r

1

dn

d

= +

r

1 dn

Biểu thức (1.24) cho phép ta nhận được công thức khác cho thế lớp kép :

ν σ

σ

d r

n r f

z y x

W = ∫∫ cos(2, )

) , , ( (1.25)

Cuối cùng, thế lớp kép còn có thể viết dưới dạng thứ 3 Nhờ (1.24), ta viết :

Theo (1.14) ta có :

1 cos(2, )

r

x r r

5 Thế từ của một lưỡng cực:

Trái với khối lượng hấp dẫn, chỉ mang một dấu dương, khối lượng từ không

bao giờ mang một dấu Ứng với một khối lượng từ dương +m, bao giờ cũng có một khối lượng từ âm –m cùng trị số Chỉ khi nào có một cực (âm hoặc dương) nằm tại vô cực, thì ta mới có thể xem như chỉ có một cực duy nhất mà thôi Hai khối lượng từ khác dấu ở cách nhau một đoạn d tạo thành một lưỡng cực giống như một thanh nam châm vĩnh cữu Mômen từ của một lưỡng cực như vậy là một đại lượng vectơ

µ được định nghĩa như sau :

Trục l trùng với đoạn d gọi là trục lưỡng cực và hướng theo chiều dương

M gọi là tâm của lưỡng cực

M1, M2 là hai cực của lưỡng cực

Vectơ µ luôn luôn hướng theo chiều +, tức về phía khối lượng +m Còn giá trị tuyệt đối của mômen lưỡng cực bằng tích số md Trong đó m > 0

Tổng thế từ của hai chất điểm như vậy quan sát tại một điểm P nào đó, gọi là thế từ của lưỡng cực Ký hiệu khoảng cách PM = r, PM1= r1, PM2= r2, M1M2 = d

Áp dụng công thức thế của một chất điểm cho từng chất điểm có khối lượng từ m và -m, biết rằng thế từ không có hằng số hấp dẫn :

Cho d→0 ta sẽ có giới hạn là thế từ Coi d = ∆l, xét riêng giới hạn :

r d

r r

l d

1

1lim

11lim

0 2

1 0

Nhưng : 1 12 cos( , ) 12 cosθ

r l r r r dl

với θ- góc giữa phương của r và l Khoảng r không còn là hằng nữa

Sử dụng (1.29), biết rằng theo (1.28) lim(md) = µ là trị số tuyệt đối của mômen từ lưỡng cực, ta có :

d p

r p

U = −

Thế từ khác với thế hấp dẫn là nó tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách

Biểu thức (1.30) cho U(p) còn có thể viết dưới dạng tích vectơ vô hướng Đạo hàm 

d 1 trong (1.30), mà r là hàm của x,y,z có dạng :

dl

dz r z dl

dy r y dl

dx r x r dl

j r y

i r x

1 1

r grad k

α

Hãy xem xét các trường hợp đặc biệt của (1.30a) :

1 Giả sử θ = 0, tức r hướng dọc theo l U(p) = µ/r2 U(p) đạt giá trị cực đại

2 Giả sử θ = 90° tức r⊥ l Ta thấy U(p) = 0

Tức trong mặt phẳng xích đạo, thế từ lưỡng cực bằng 0

Để xác định từ lực, tức cường độ từ trường của lưỡng cực, ta chọn hệ tọa độ

x, y,z với trục x trùng với l Lúc đó cosθ = cos(r,x) = x/r ta có thế :

3

r

x

U = −µ và từ lực : 13 3 52

r

x r

)

5

r

xy

F y = −µ 5

r

xz

F y = −µ Trong mặt phẳng xích đạo x = 0, từ lực của lưỡng cực tỉ lệ nghịch với lập phương khoảng cách và hướng ngược trục x ( tức l ) :

các trục lưỡng cực từ định hướng khác nhau

Xét thể tích nguyên tố dτ của vật thể có mômen từ nguyên tố là d M

uur

Đại lượng :

τ

d

M d J

rr

= (1.31)

được gọi là vectơ từ hóa của vật thể Nó là một hàm vectơ liên tục tại khắp mọi điểm trong vật, cho tới bề mặt của vật và các vectơ J hướng trùng với µ

Nếu vật bị từ hóa đồng nhất (J =const), thì mômen từ của cả vật thể là :

M Jτ

r r

với τ là thể tích vật

Mômen từ nguyên tố dM ứng với từng thể tích nguyên tố dτ của vật thể có thể coi đồng nhất với mômen từ lưỡng cực µ :

d M µ J dτ

rr

=

= (1.31a) Thay µ ở (1.30b) bằng J dτ và ký hiệu lại U là dU ta có :

dτ

r grad J

Ta hãy thiết lập mối liên hệ giữa thế từ và thế hấp dẫn của cùng một vật

thể Hãy xét trường hợp vật thể đồng chất bị từ hóa đồng nhất Vectơ J là hằng về

trị số và hướng xác định trong toàn vật thể Theo (1.32a), ta có :

r

d dl

d J d r dl

d J p

)(

Vật thể đồng chất nên mật độ là hằng số, ta có :

d f dl

d f

J p

U( )

Kết qủa :

r

d f V

Như vậy thế từ của một vật thể đồng chất bị từ hóa đồng nhất bằng đạo

hàm của thế hấp dẫn theo hướng l hay vectơ từ hóa →J, nhân với nhóm hệ số

δ

f

J

§2 Ý nghĩa vật lý của thế, các mặt đẳng thế, đường sức

Định nghĩa toán học về thế, đã xác định thế như một hàm số của tọa độ của

τ θ

τ

d r J

J p U

δ

=)(

d J

τ

d r grad J

.r

Trước tiên ta hãy xác định ý nghĩa vật lý của số gia vô cùng nhỏ của thế,

sau đó đến số gia hữu hạn, và sau cùng là ý nghĩa vật lý của bản thân thế

Hãy xem thế thay đổi ra sao khi di chuyển một đơn vị khối lượng từ một

điểm P (x, y, z) đến một điểm P’(x + dx, y +dy, z+dz) ở lân cận Hãy ký hiệu đoạn

dịch chuyển PP’ ấy là ds

Thế sẽ có một số gia nào đó ∆V Với độ chính xác đến các số hạng bậc cao,

ta dùng vi phân dV thay cho ∆V Vi phân toàn phần của một hàm số được xác định

trong toán học :

dz

z

V dy y

V dx x

V dV

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

=Đạo hàm của thế V theo phương s sẽ là :

ds

dz z

V ds

dy y

V ds

dx x

V ds

dV

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

=trong đó :

),

,

cos( x F F

+

=

Kết qủa : dV = Fcos(F,s)ds=F s ds = dA (1.33)

Với F s là hình chiếu đại số của lực F trên phương s

Như vậy, một gia số vô cùng nhỏ của thế bằng tích của lực tác dụng theo

phương s với quãng đường đi là ds, tức bằng công dA của lực tác dụng vào một

đơn vị khối lượng trên khoảng dịch chuyển ds vô cùng nhỏ Công thức (1.33) cho

ta công thức xác định thành phần lực theo một phương s bất kỳ :

ý

Chúng ta hãy tìm hiểu ý nghĩa vật lý của hiệu số thế giữa hai điểm P và P0

cách nhau một khoảng hữu hạn Lấy tích phân hai vế của biểu thức (1.33) ta được

công A của lực hấp dẫn khi di chuyển một đơn vị khối lượng từ P0 đến P :

dm

r r f P V P V dV A

()(

0

r : khoảng cách từ dm đến điểm P, còn r0 - khoảng cách từ dm đến điểm Po Như vậy thế giữa hai điểm bằng công của lực hấp dẫn thực hiện được khi một đơn vị khối lượng di chuyển từ điểm này sang điểm nọ và không phụ thuộc vào đường đi mà chỉ phụ thuộc vào giá trị thế ở điểm đầu và điểm cuối Nếu r < r0,

di chuyển thực hiện về phía khối lượng hấp dẫn thì công dương, ngược lại công là âm ; và bằng không nếu đường đi khép kín ( P và P0 trùng nhau )

Bây giờ cho điểm P0 nằm ở vô cực, tức là : r0→ ∞ , khi đó :

Thế V là đại lượng ngược dấu với thế năng : V = - U Như vậy, có nghĩa thế năng bằng công của trường lực khi di chuyển một khối lượng đơn vị từ điểm quan sát về vị trí không của thế năng

Chúng ta hãy xét hai trường hợp đặc biệt của công thức (1.33) :

* Thứ nhất là phương di chuyển của khối lượng đơn vị vuông góc với phương của lực, lúc đó:

Góc ( = 900, cos(F,s) = 0, từ (1.33) ta có : dV = 0

suy ra : V(x,y,z) = const (1.34)

Đây là phương trình của một mặt mà trên đó, thế có giá trị không đổi, lực có phương vuông góc với mặt đó tại mọi điểm trên mặt (trùng với phương của pháp tuyến) Mặt này có tên là mặt mức hay mặt đẳng thế Công thực hiện được khi di chuyển một chất điểm trên mặt đẳng thế luôn luôn bằng không Thay đổi giá trị hằng số trong (1.34), ta sẽ nhận được một họ các mặt đẳng thế khác nhau

Các mặt đẳng thế không thể cắt nhau hay tiếp xúc với nhau, bởi vì nếu như vậy hóa ra thế là một hàm đa trị

* Thứ hai là cho khối lượng đơn vị di chuyển dọc theo phương và theo chiều tác dụng của lực ( trùng với chiều của pháp tuyến trong n’)

Lúc đó :

Góc (F,s) = 00, cos(F,x) =1, dV= Fds = Fdn’ với dn’ là một đoạn của pháp tuyến trong (ds = dn’)

Biểu thức (1.36) ứng với phương của pháp tuyến ngoài, còn (1.35) ứng với phương của pháp tuyến trong

Thông thường, trong lý thuyết thế, người ta sử dụng pháp tuyến ngoài, vì vậy cho nên lực sẽ được biểu diễn bằng (1.36)

Qua (1.37), ta rút ra rằng : khoảng cách theo phương pháp tuyến giữa hai mức vô cùng sát nhau không phải hằng số cho mọi vị trí mà tỉ lệ nghịch với lực

Ký hiệu h là khoảng cách hữu hạn tính dọc theo phương đường sức giữa hai mặt mức V = C1 và V = C2 nào đó không sát nhau, trong đó chiều dương của h trùng với chiều pháp tuyến ngoài n

Ta có :

F

dV

dh=−

Lấy tích phân dọc theo đường sức của lực :

∫ =− ∫

2

1

10

C

C m

h

dV F

h 1− 2

=

Trong đó Fm là trị giá trung bình của lực trên đoạn h của đường sức

Như vậy, nếu biết hiệu thế giữa hai mặt đẳng thế, ta có thể xác định được đoạn đường sức nói trên Mặc dù đoạn này có thể cong, nhưng luôn vuông góc với cả hai mặt đẳng thế và được xem là độ cao của mặt này so với mặt nọ

§.3 Thế và trường lực của một số vật thể có dạng đơn giản

Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu phương pháp xác định thế và trường lực của một số vật thể có dạng đơn giản Qua đó, chúng ta sẽ rút ra kết luận có tính chất đặc trưng, đúng cho trường hợp tổng quát

Chúng ta sẽ xác định các loại trường thế, vì biết được trường thế, chúng ta sẽ biết được giá trị của lực và hướng của lực tại một điểm bất kỳ và biết được phương trình các mặt đẳng thế nữa

Việc xác định thế chung quy là chọn một hệ tọa độ thích hợp sau đó tiến hành lấy tích phân

1.Thế lớp cầu :

Đây là trường hợp đặc biệt của lớp đơn với mật độ ε, có dạng hình cầu Như vậy quả cầu ở đây vô cùng mỏng và rỗng ở bên trong

Chúng ta hãy xét các trường hợp :

a/ Điểm quan sát P nằm ở không gian ngoài quả cầu

Chọn góc tọa độ O trùng với tâm quả cầu bán kính R Khối lượng hấp dẫn được dàn mỏng vô cùng trên mặt quả cầu σ với mật độ mặt đều ε, còn

điểm quan sát P ở ngoài quả cầu cách tâm O một khoảng là ρ

Điểm chạy M trên mặt cầu được xác định bằng tọa độ cầu ρ, θ, λ

Trục xuyên tâm mặt cầu qua hai cực N và S được chọn trùng với OP là trục tính tọa độ góc θ (hình 4) Thế của lớp đơn được áp dụng là :

= ∫∫

σ

σε

r

d f V

Ở đây r = MP, dσ = R2sinθdθdλ

Trong tam giác OMP (hình 5), ta có :

R f

V

ρ

ε π

ρεπ

So sánh với thế của một chất điểm, ta có nhận xét rằng môt lớp cầu vô cùng mỏng có thế giống trường hợp giá như dồn hết khối lượng lớp cầu vào tâm quả cầu Thế giảm tỷ lệ nghịch với khoảng cách

Lực hấp dẫn của lớp cầu này đối với một khối lượng đơn vị đặt tại P cách tâm một khoảng ρ bằng :

σ

H.5

ρ

θ

2

ρρ

M f

Ta có thể nhận được lực bằng cách lấy đạo hàm của (1.42) :

F = 4 22

ρεπρ

R f V

−

=

∂

∂ (1.44a)

b/ Điểm quan sát P nằm bên trong lớp cầu :

Hãy lấy tích phân theo r, có sự thay đổi so với trường hợp thứ nhất Ở đây :

rmax= R+ρ còn rmin = R − ρ, hiệu số : rmax - rmin = 2ρ Công thức (1.41) sau khi thay giá trị trên đây vào sẽ có dạng :

Trong đó M là khối lượng của lớp cầu

Như vậy thế của lớp cầu đối với điểm bên trong không phụ thuộc vào vị trí của điểm đó bên trong lớp cầu Lực hấp dẫn :

V

ρ ρ=R

Thay ρ = R vào (1.42) và (1.43), ta có thế trên và trong lớp cầu :

R

fM R

f

V = 4π ε = là hằng số (1.48)

- Thế là hàm đơn trị, liên tục khi đi qua lớp cầu

Chúng ta hãy khảo sát xem khi xuyên qua mặt cầu thì lực diễn biến ra sao

Xét giá trị giới hạn khi chúng ta tiến từ bên ngoài đến cận một điểm P0 trên mặt cầu

Dùng ký hiệu sau :

P

V V

0

lim

Còn từ bên trong tiến đến điểm P0 trên mặt cầu :

P

V V

0

lim

Theo (1.44a) khi cho ρ = R và (1.47), ta có :

επ

∂ V tại điểm Po ở ngay trên lớp cầu

Thành phần lực theo một trục bằng đạo hàm của (1.21) :

σ ε

σ

d r

z r f

r

2),cos( = ( trên mặt cầu ), kết qủa :

σε

d R

f r

d R

r f

V z

λ λ

r

r

R

R dr

drd drd

r d

Vậy,trên mặt σ : π ε

Tóm lại môđun lực F =

ρ

επρ

f V

V

f V

i e

204

Đường cong biểu diễn đạo hàm của thế của lớp cầu

Khi đi qua lớp cầu, hàm số này bị gián đoạn và biến đổi một lượng bằng

± 4πfε, dấu tùy thuộc vào chiều đi từ trong ra ngoài hay từ ngoài vào trong

2 Thế khối cầu

Chúng ta xét quả cầu đặc và đồng chất và cũng phân biệt hai trường hợp điểm quan sát ở trong và ngoài quả cầu

a/ Trường hợp điểm quan sát P ở ngoài và cách tâm quả cầu một khoảng ρ :

Hãy tưởng tượng quả cầu này là một tập hợp của vô số những lớp cầu đồng chất vô cùng mỏng Khi đó, thế của toàn thể khối cầu có thể xem bằng tổng các thế của các lớp cầu Nói chính xác là lấy tích phân thế lớp cầu theo công thức (1.42) Ta sẽ thay ε bằng mật độ khối như sau, gọi khoảng cách giữa hai lớp cầu vô cùng gần nhau là h = dR thì (1.20) sẽ có dạng :

ε = δdR (1.49)

với δ là một hằng số cho mọi lớp cầu

Ký hiệu lại V bằng dV, công thức (1.42) cho thế lớp cầu sẽ có dạng:

dV f R dR

ρδπ

2

4

= Để có thế của khối cầu, ta lấy tích phân từ 0 đến R0 theo bán kính :

3

44

R

R f dR

R f

V

ρδπρ

δ

δ

π 033

Như vậy, thế của khối cầu đặc có dạng giống trường hợp giá như toàn bộ khối cầu đó được dồn hết vào tâm thành chất điểm Lực hấp dẫn đối với điểm quan sát có khối lượng đơn vị đặt tại P bằng :

2

ρρ

fM V

∂

∂

= (1.52)

Lực hấp dẫn cũng tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách đến tâm quả cầu, tỷ lệ thuận với khối lượng M, hướng vào tâm quả cầu, ngược chiều với ρ

b/ Trường hợp điểm quan sát P ở trong khối cầu, cách tâm một khoảng ρ.

Dựng một mặt cầu bán kính ρ, chia đôi khối cầu làm hai phần Phần trong là một quả cầu có bán kính ρ cho ta thế ký hiệu là V1 Phần thứ hai là một lớp cầu

bị giới hạn giữa hai bán kính ρ và R0 có thế bằng V2 Vì thế có tính chất chồng chất, nên thế của khối cầu có thể coi bằng tổng của V1 và V2 :

2

0 2

R

R f RdR f

V

ρ

ρδ

πδ

π

Thế của khối cầu kết quả cuối cùng là:

(1.53)

V = Vmax = 2 π f δ R02 khi ρ = 0

)3

(3

0 2

V

Sử dụng (1.53), lực hấp dẫn trong khối cầu bằng :

δρπ

V F

3

4

R f F

F = = π δ khi ρ = R0

Theo (1.54), lực bên trong quả cầu tỉ lệ thuận với khoảng cách ρ Tại tâm

quả cầu ρ = 0, lực tác dụng F = 0

π f

F = (1-55)

m là khối lượng của khối cầu (phần thứ nhất), bán kính ρ

Lực hấp dẫn chung tương đương với lực hấp dẫn của qủa cầu bán kính ρ, là

phần thứ nhất, hay của chất điểm có khối lượng bằng khối lượng của phần thứ nhất

đặt tại tâm O Phần thứ hai coi như không gây nên một tác dụng lực nào

Chú ý : Lực F không phải tỷ lệ nghịch với ρ2 vì m ≠ const

Chúng ta xác định thế của một cái thanh dài vô tận và đồng chất L Dùng hệ tọa độ x, y, z, hướng trục z trùng với L Mặt phẳng xoy vuông góc với thanh, chứa vectơ tổng lực hấp dẫn hướng vuông góc với thanh Ta có bài toán hai chiều x,y (không phụ thuộc z)

Gọi mật độ dài là λ là hằng số

Lực hấp dẫn của một đoạn ∆z đối với điểm quan sát P(x,0) nằm trên trục x

OP = x ( hình10 ) được tính như lực hấp dẫn của chất điểm theo phương r và bằng :

z f F

(

cos

z x

x Z

f F

2

)(

π

π

λ α

α λ

λ

x

f d

x

x f z

x

dz x

f F

Ta có :

ρ

λρ

ρ là khoảng cách từ L đến P

Ta suy ra thế của thanh L : V = - 2λf lnρ (1-57b)

4 Thế từ của khối cầu

Giả sử m, δ, R là khối lượng, mật độ, bán kính của khối cầu đặc đồng chất

bị từ hóa đồng nhất có mômen từ là M

Thế hấp dẫn của khối cầu tại khoảng cách ρ từ tâm khối cầu, ta đã biết :

),3(

2

)(

f

R m

f p

V

ρ

ρ δ

π

ρ ρ

d f dl

d V dl

Góc giữa ρ và trục l ( hay J ) là θ

Biết M = Jτ và (1.32c) liên hệ giữa thế hấp dẫn và thế từ, ta có :

2

3

cos ,( )

θ ρρ

( ) ( 2)cosθ

R

M p

U Z

+ Ghi chú : Ngoài ra, thế ly tâm, thế và lực lực hấp dẫn của một số vật thể có hình dạng đơn giản được đề cập dưới dạng bài tập ở phần phụ lục như : Đĩa tròn mỏng, đĩa tròn dầy, hình vành khuyên, lớp đơn vô hạn, hình trụ đặc, hình trụ rỗng

§.4 Các tính chất của thế Newtơn

r → ∞ và ta cảm giác rằng tích phân không giới nội Thực tế không phải như vậy Chọn điểm P ở trong thể tích τ làm gốc tọa độ cầu

Trong hệ tọa độ cầu :

Thế do quả cầu có bán kính R gây ra ta gọi là V1 Thế của phần còn lại của vật là V2 Như vậy thế của một vật thể V được coi là bằng tổng thế : V1 + V2

Thế V2 quan sát tại P là hàm liên tục vì r không bao giờ bằng 0 Thế V1quan sát tại P, tâm quả cầu (ρ = 0) áp dụng công thức (1.53), ta có :

2 3

V −V = π δ ρf (1-61)

Rõ ràng khi R > tới 0 thì ρ > 0 vì ρ < R và hiệu 2 * 2

0.

3π δ ρf → Như vậy ta đã chứng minh xong tính liên tục của thế trong toàn bộ vật thể

Ta cũng có thể chứng minh được rằng đạo hàm bậc 1 của thế cũng có đầy đủ tính chất như trên trong toàn bộ không gian

Bây giờ chúng ta sẽ rút ra thêm những tính chất khác của đạo hàm bậc 2 của thế Ở đây, ta lần lượt xét trường hợp ở không gian ngoài và trong Ở không gian ngoài, r ≠ 0 tại mọi vị trí nên đạo hàm mọi bậc của thế sẽ liên tục và giới nội

Tính đạo hàm bậc 2 của thế theo tọa độ x,y,z :

x

r f

( )

5

2 3

2

2

)(311

r

x r

f x

V

5

2 3

f y

V

5

2 3

Cộng lại 3 đạo hàm bậc hai nói trên, ta có :

03

3

)()()(33

3 3

5

2 2

2 3

2

2 2

τζη

ξδ

τ

τ

d r r

f

d r

z y

x r

f z

V y

V

x

V

(1.67 ) Vậy : 2 0

2 2

2 2

2

=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

z

V y

V x

V

(1.68)

Đây là phương trình Laplace thiết lập quan hệ giữa ba loại đạo hàm bậc hai

của thế khối, hay viết dưới dạng gọn : ∆V = 0 (1.69)

Hàm số nào thỏa mãn phương trình Laplace trong không gian nào đó được

gọi là hàm điều hòa trong không gian đó Như vậy thế khối là hàm điều hòa của

tọa độ điểm quan sát trong toàn không gian ngoài

Trong không gian trong, chứa khối lượng, thế khối không thỏa mãn phương

trình Laplace Biểu thức sau dấu tích phân (1.62) có dạng 0/0 Ta có thủ thuật sau :

Bọc điểm quan sát P ở không gian trong bằng một quả cầu có bán kính rất

bé so cho mật độ trong đó là một hằng số Quả cầu chia đôi không gian trong,

tương tự như đã chứng minh:

V = V1 + V2 (1.70)

V1 : Thế khối của phần trong quả cầu

V2 : Thế khối của phần ngoài quả cầu

Tác dụng toán tử Laplace vào hai vế của (1.70) :

∆V = ∆V1 + ∆V2

V2 bây giờ là thế quan sát ở không gian ngoài đối với P nên : ∆V2 = 0

V1 là thế của quả cầu quan sát ở không gian trong đối với P

Áp dụng công thức thế (1.53) cho P bên trong quả cầu ta có :

V = π δf R −ρ (1.71)

Với R = const

Trong đó ρ là khoảng cách giữa tâm quả cầu O (x1, y1, z1) và điểm quan sát

P ở trong quả cầu, dĩ nhiên ρ < R

2 1 *

2

43

2 1 *

2

43

V π δf

∆ = − (1.74)

Kết quả biểu thức ∆V có dạng : ∆V = −4π δf * (1.75)

δ* được hiểu là mật độ tại điểm P (x, y, z) Dấu * không cần thiết nữa

Rõ ràng : limV = 0 (1.77)

2 Thế lớp đơn :

Cũng như thế khối, thế lớp đơn liên tục, giới nội trong toàn không gian, thỏa mãn phương trình Laplace ở không gian ngoài, có đạo hàm mọi bậc liên tục, có tính chính quy ở vô cực

Chúng ta hãy đi sâu khảo sát đạo hàm theo phương tùy ý l của thế lớp đơn :

ε σ ε σ

σ σ

d r

l r f

d r l

f l

V

2

) , cos(

Ký hiệu điểm ngoài lớp đơn là A, điểm ở phía trong lớp đơn là B, còn điểm nằm ngay trên mặt lớp đơn là C

Giả sử bây giờ hai điểm A, B tiến không ngừng về C Chúng ta sẽ thấy đạo hàm của thế sẽ có những giới hạn khác nhau

Ký hiệu giới hạn của đạo hàm ngoài tại C là :

ε σ

σ

d r

l r dl

dV dl

dV

A

A C

A

A e C A

l r dl

dV dl

dV

B

A C

B B C B

C

lim lim

l r f

dl

dV

C C C

Giá trị của các đạo hàm nay sẽ bị tách ra làm 2 phần : ngoài đĩa và trong

d r

l r f

d r

l r f

dl

dV

A

A C C A A

A C

A

C

e

σ σ

σ

σ

εσ

ε

2 2

) , cos(

lim )

, cos(

d r

l r f

d r

l r f

dl

dV

B

B C C B B

B C

B

C

i

σ σ

σ

σ

εσ

ε

2 2

) , cos(

lim )

, cos(

d r

l r f

d r

l r f

dl

dV

C

C C C A C

C C

o

σ σ

σ

σ

εσ

ε

2 2

) , cos(

lim )

, cos(

d r

l r d

r

l r

B

B C

B A

A C

A

σ σ σ

σ

σ

εσ

ε

2 2

) , cos(

lim )

, cos(

σ σ

d r

l r

( Giá trị quan sát tại cận A và cận B bằng giá trị ngay tại C )

Các số hạng thứ 2 của ( 1.81 ) có thể xem như là thành phần lực hấp dẫn do đĩa tròn gây ra theo phương l Đối với A và B nó bằng2πfεccos( )n,l ( bài tập 11 ở phụ lục ), còn đối với C (tâm đĩa), nó bằng 0

Cho σ0 → 0, ta có :

cos(2 , )d 2 f cos(n,l)

r

l r f

dl

dV

c C

C C

dl

dV

c C

C C

l r f

dl

dV

C C C

dV e o

επ

dV e o

επ+

=

Cộng hai đẳng thức ( 1.83), ta có :

dV dl o = 2dV dl e + dV dl i

1

(1.84)

Đây là công thức của Plemeli, được áp dụng để tính giá trị của đạo hàm

ngay trên mặt lớp đơn thông qua các giá trị giới hạn

Khi trừ đi hai đẳng thức ở (1.83) cho nhau ta có :

(1.84a)

Công thức (1.84a)ø là công Poisson Nó cho phép ta tính độ chênh lệch của

giá trị đạo hàm khi đi qua xuyên lớp đơn Nếu đạo hàm lấy theo phương pháp

tuyến ngoại thì cos (n,l) = 1, ta có :

πfε

dl

dV dl

Tóm lại đạo hàm mất tính liên tục khi đi xuyên lớp đơn Cần phải phân biệt

ba giá trị của đạo hàm ở lớp đơn Kết quả trên đây phù hợp với kết quả ở trường

hợp lớp cầu đã khảo sát

3 Thế lớp kép :

Thế lớp kép có thể xem như tổng các đạo hàm của thế lớp đơn theo tọa độ

như (1.27a)

- Thực vậy, nếu xem -vcos(n,x), -vcos(n,y), -vcos(n,z) là những mật độ

mặt thì 3 tích phân trong vế phải của (1.27a) là các thế lớp đơn

- Trong không gian ngoài, đạo hàm của thế lớp đơn luôn luôn liên tục,

thỏa mãn phương trình Laplace và chính quy ở vô cực Vậy trong không gian ngoài

thế lớp kép cũng phải có các tính chất ấy

- Khi xuyên mặt lớp đơn, các đạo hàm bậc nhất của thế lớp đơn bị gián

đoạn cho nên thế lớp kép cũng bị gián đoạn Ta đã phân biệt thành ba giá trị của

đạo hàm, thì nay cũng phải phân biệt thành ba giá trị của thế lớp kép Hai giá trị

giới hạn của We , Wi và một giá trị trực tiếp W0 trên lớp kép

Tương tự :

W e =W0+2π fv

2

( )n l f

dl

dV dl

dV e i

,cos

4πε

−

=

−

§.5 Các tính phân Gauss

Tích phân Gauss có dạng : Ω ( x,y,z) = σ

σ

d r dn

Các tích phân trên đây ta đã gặp trong thế lớp kép, nếu bỏ qua fν

Để giải thích ý nghĩa hình học của biểu thức đứng sau dấu tích phân ta đưa

ra một quả cầu đơn vị bao quanh điểm quan sát P(x, y, z) với bán kính bằng 1

Ký hiệu dω là diện tích của phần trên mặt quả cầu đơn vị bị giới hạn bởi hình nón có đỉnh tại P và có đáy là diện tích nguyên tố dσ

Góc khối ω là hay góc trông, là góc mà từ P ta trông thấy diện tích dσ Góc khối ω là đại lượng dương, vậy :

d d .cos( , )2 r n

r

σω

± = (1.87)

Dấu âm hoặc dương, tùy thuộc vào cos(r,n)

Ta hãy tính Ω cho một điểm quan sát bên trong mặt σ, trên mặt và bên ngoài mặt Từ (1.82) và (1.83) ta suy ra :

( , , )x y z d

σω

Ω = ±∫ (1.88) Đối với điểm P bên trong mặt σ, cos(r,n) luôn luôn âm tại mọi vị trí trong :

2.cos( , )

d r

Đối với điểm P ngoài mặt σ, mỗi một hình nón nguyên tố cắt mặt σ làm hai diện tích nguyên tố dσ1 và dσ2 (hình 13) Góc giữa n và r sẽ nhọn tại M1 và tù tại M2

Kết quả là :

Tích phân Ω(x,y,z) giúp xác định thế lớp kép (1.25) và có tên gọi là tích phân Gauss Như vậy tích phân Gauss có độ chênh lệch là 4π khi đi từ trong ra ngoài bất kỳ một mặt kín σ nào đó

CÁC CÔNG THỨC GREEN

§.1 Hai công thức Green cơ sở

Để làm sáng tỏ các tính chất quan trọng khác của thế, chúng ta phải sử dụng một công cụ toán học áp dụng cho các hàm tọa độ không gian

Giả sử có hai đạo hàm Ui(x, y, z) và Vi(x, y, z) liên tục cùng với đạo hàm bậc hai trong thể tích τ và trên cả mặt σ giới hạn thể tích τ

Ta hãy xét đẳng thức sau :

2 2

x

V U x

V x

U x

V U

x

i i i i i

i

∂

∂ +

Chuyển vế , rồi lấy tích phân theo x ta có :

dxdydz x

V U dydz

x

V U dxdydz

x

V x

y z

z

x

x y

y z

z

i i x

x

i i i