Giáo trình lý thuyết thế trong địa vật lý phần 2 ĐHQG TP HCM

Các bài toán biên trong lý thuyết thế nhằm xác định hàm điều hòa thỏa mãn một số điều kiện biên.. Cần phải tìm hàm Vx,y,z, điều hòa trong miền giới hạn bởi mặt σ và có giá trị trên mặt n

CHƯƠNG III

CÁC BÀI TOÁN BIÊN

§1 Ba bài toán biên cơ bản

Các bài toán biên trong lý thuyết thế nhằm xác định hàm điều hòa thỏa mãn một số điều kiện biên

Các hàm điều hòa ở đây trong thực tế là thế của một trường lực nào đó Tùy theo điều kiện biên mà người ta chia ra làm ba loại bài toán biên :

+ Bài toán biên thứ nhất, còn gọi là bài toán Dirichlet Có thể phát biểu : Cho trước hàm V xác định tại mọi điểm trên bề mặt của mặt kín σ Cần phải tìm hàm V(x,y,z), điều hòa trong miền giới hạn bởi mặt σ và có giá trị trên mặt này bằng giá trị V cho trước

Ta cần phân biệt bài toán trong, tức tìm hàm điều hòa trong miền τ giới hạn bởi mặt σ và bài toán ngoài là tìm hàm đó trong miền vô hạn ở không gian bên ngoài mặt σ

+ Bài toán thứ hai, còn gọi là bài toán Neumann đặt ra nhiệm vụ sau :

- Trên mặtσ, cho trước giá trị đạo hàm

dn

dV của hàm điều hòa cần tìm V(x,y,z) Cần phải tìm hàm này trong miền giới hạn bởi mặt σ Tương tự ta cũng cần phân biệt hai trường hợp trong và ngoài đối vơi mặt σ

Trong ngành trọng lực và thuyết về hình dạng Trái đất, thế hấp dẫn là hàm điều hòa ở không gian ngoài và theo điều kiện biên, người ta chỉ có thể xác định ở không gian ngoài Vì nói chung, chúng ta găp bài toán ngoài (bên trong Trái đât thế không điều hòa, vì không thỏa phương trình Laplace Ta hãy đi sâu từng bài toán :

1 Bài toán biên thứ nhất

Mục đích là xác định tại mọi điểm P(x, y, z) ở không gian ngoài một hàm V(x, y,z) điều hòa ở ngoài mặt σ , chính qui ở vô cực và có các giá trị trên mặt σ bằng đúng tập hợp liên tục các V cho trước

Theo (2.27) ta có công thức Green :

không được cho trước nên bây giờ ta phải tìm cách loại nó ra khỏi tích phân

Hàm U là hàm điều hòa ngoài σ và chính qui ở vô cực Khi hàm U và V là các hàm điều hòa thì công thức Green thứ hai theo (2.15a) có dạng :

104

Phải chọn sao cho U = 1

r

− trên σ và điều hòa ở không gian ngoài

1( )4

Hàm [ ( ) ( ) ( ) ] 2

1 2 2

2

−+

−+

−

và chính qui ở vô cực

Tóm lại hàm Green là hàm phải thỏa mãn các điều kiện sau :

Điều hòa ở không gian ngoài, trừ P, chính qui ở vô cực, bằng 0 trên mặt σ

x, y, z - tọa độ điểm quan sát P

, ,

ξ η ζ - tọa dộ điểm chạy M của tích phân

Chú ý :Hàm U phải chọn sao cho nó điều hòa ở không gian ngoài, bằng

-r

1 trừ điểm P ( x, y, z) Bởi vì ở không gian ngoài, tại P hàm U(ξ η ζ, , ) mà bằng -

r

1thì U sẽ bị gián đọan, vì lúc đó M trùng với P và r = 0

2 Bài toán biên thứ hai

Giá trị đạo hàm của thế được cho trước trên mặt σ Vì vậy, trong công thức (3.2a), ta cần phải loại trừ giá trị của V Để làm việc này ta hãy dùng một hàm phụ là U điều hòa ngoài mặt σ , chính qui ở vô cực và thỏa mãn điều kiện sau :

Khi đó nghiệm của bài toán biên thứ hai theo (3.2a) sẽ là :

(3.4)

3.Bài toán biên thứ ba

Giả sử trên mặt σ hàm V có giá trị sao cho V dV f

Ký hiệu hàm E = 1 U

r+ và buộc hàm này trên mặt σ thỏa mãn điều kiện :

0

dE E

Như vậy có nghĩa trên mặt σ ta có :

Như vậy hàm V có thể xác định tại điểm P bất kỳ trong không gian ngoài, dựa vào giá trị tổ hợp tuyến tính V dV

∆

dd

dTTd

)]

T,T(DTT[

Nhưng ∆ T = 0 ở khơng gian ngồi

Và T = 0 ở trên σ (vì đã cho trước : V = V’ trên σ)

Vậy kết quả :

∫∫∫D ( T , T ) d τ = 0

τðiều trên có được khi tại mọi điểm ở khơng gian ngồi :

1( )

4

σ

σπ

z

T y

T x

T = 0 , ta suy ra : V = V’ ở tồn khơng gian ngồi – điều cần chứng minh

Tính đơn trị của bài tốn Neumann cũng được chứng minh tương tự

§.2 Bài toán Dirichlet cho quả cầu

Chúng ta hãy tìm nghiệm cho bài toán Dirichlet ngoài cho những mặt σ cụ thể Trước hết phải chọn mặt cầu S bán kính R tâm tại O Phải xác định tại điểm ngoài bất kỳ P(ρ,θ,λ), hàm Ve điều hòa ngoài mặt cầu S, chính quy ở ∞ và lấy ở trên mặt S các giá trị bằng :

limρ V R e = f(θ ,'λ')

→

),

,

(ρθ λ - tọa độ cầu của điểm quan sát (có dấu phẩy là trên mặt S )

Như đã thấy, ta phải xác định hàm Green cho mặt cầu

Trên đường thẳng OP ở khoảng cáchρ'ta chọn điểm P’ sao choρ, thỏa mãn điều kiện sau :

ρρ' R= 2 (3.6)

Điểm P và P’ như thế gọi là liên hợp nhau Chọn điểm K ở không gian ngoài và xác định khoảng cách của nó đến các điểm liên hợp K là điểm di động

Ký hiệu r, r’ khoảng cách từ K đến các điểm liên hợp, ta có :

ψρ

2 2

d d

ψ ρ

ρ' 2 'cos

d d

Còn khi K trên mặt cầu S thì hiển nhiên là :

ψρ

2 2

R R

r s = + − (3.8)

ψρ

ρ'2 2 cos2

2

′

−+

=

r s (3.9)

Vì

ρρ

2'= R theo (3.6), nên công thức (3.9) có dạng :

2 2

2 2

2 2

2 3

2

4 2

r

ρψρρ

ρ

ψρ

+

=

Do vậy ta có: r s' (R)r s

ρ

=

(3.10)

Hàm Green chúng ta xây dựng như sau :

R r r

U r

G

'

111

−

=+

U

'

1

−

= sẽ thỏa mãn điều kiện chính qui ở vô cực, và điều

hòa trong toàn không gian ngoài Còn hàm

r

1

sẽ điều hòa trong toàn không gian

ngoài và chính quy ở vô cực trừ điểm P ( điểm kỵ ) Vì hàm

r

1

khi nằm trong tích

phân sẽ là hàm của điểm chạy K, khi K trùng với P thì =∞

r

1

)

Tóm lại hàm G thỏa mãn điều kiện của hàm Green

Bây giờ ta tính đạo hàm của G để đưa vào tích phân (3.2) :

dn

dr r

R dn

dr r dn

'

11

2

2 + ρ

−

= (3.12)

n là pháp tuyến ngoài, trùng với hướng của d Lấy đạo hàm hai đẳng thức

(3.7) theo pháp tuyến ta có :

= d−ρcosψ

dn

dr r

' '= d−ρ'cosψ

dn

dr r

Thế hai biểu thức trên đây vào (3.12) ta có :

'

cos'cos

r

d R r

d dn

d R R r s R r s

ρρ

2

3

coscos

S

R R R r

R dn dG

ρ

ψ ρ ρ

3

2 2

S

Rr

R dn

(3.15

Nghiệm này gọi là tích phân Poisson cho không gian ngoài

Tương tư,ï ta có thể chứng minh rằng nghiệm của bài toán Dirichlet trong :

(3.16)

§.3 Bài toán Dirichlet cho mặt phẳng vô hạn

Công thức cho trường hợp mặt phẳng nhận được bằng cách cho bán kính

quả cầu không ngừng tiến tới vô cực Lúc đó đại lượng trong dấu tích phân sẽ có

giới hạn sau:

1

2

)(

R

R

ρ

ρ cũng tiến tới ∞ khi R→∞ , ký hiệu ρ−R là z, tức chiều cao diểm

quan sát so với mặt phẳng vô hạn ta nhận được :

λ θ

Rr

R f

V

S

2 2

)','(4

1),,(

θπ

λθ

Rr

R f

V

S

2 2)','(4

1),,(

(3.17)

Bây giờ σ là mặt phẳng vô hạn, vàdσ là diện tích nguyên tố của mặt phẳng đó

d f

z

V e

CHƯƠNG IV

HÀM CẦU VÀ CÁC TÍNH CHẤT

§1 Giải phương trình Laplace trong tọa độ cầu

Hàm điều hòa là hàm thỏa mãn phương trình Lapcace theo định nghĩa Đương nhiên nghiệm của phương trình Lapcace là hàm điều hòa Dạng tổng quát của nghiệm này, ta sẽ nhận được sau khi giải phương trình Lapcace Trong tọa độ cầu, phương trình Laplace có dạng :

1sin

sin

11

2

2 2

2 2

λ θ θ

θ θ θ ρ

ρ ρ ρ

U U

0),(sin

1),(sinsin

1)()()

θθ

θθθρ

ρρρ

ρρλ

θ

f f d

d Y

(4.3) Nhân 2 vế của (4.3) bằng 2/ ( , ) ( )

ρ λ θ

ρ Y f để tách biến số, ta có:

0),(sin

1),(sinsin

1),(

1)()

(

1

2

2 2 2

θθ

θθθλθ

ρρ

(

ρρ

ρρ

Phần chứaθ,λ ta đặt bằng -k :

0sin

1sin

Y

λθθ

θθ

Sau khi lấy đạo hàm theoρta có :

k = n(n+1) (4.6a)

Thay n bằng -(n+1) vào (4.6a), kết quả k vẫn bằng n(n+1)

Vậy ta có 2 nghiệm Nhưng nghiệm ( ) − ( + 1 )

f ρ ρ có tính chính quy ở ∞, thích hợp cho bài toán ngoài.Đưa giá trị k này vào (4.6), ta có :

0)

1(sin

1sin

Y

λ θ θ

θ θ

Tách biến số một lần nữa bằng cách đặt nghiệm:

Y n(θ,λ) = P n(θ )L n(λ)

Sau khi thay (4.7a) vào (4.7) ta có:

n n

d

d P P

d

d

L

λθθ

θθ

Nhân 2 vế của (4.8) bằng sin2 /L n P n

θ thì phương trình (4.8) tách làm 2

phần Đặt chúng bằng l và - l, ta có :

d

θ θ

θ θ

m n

n dx

dP x dx

d

(4.11)

Đây là phương trình cơ bản của hàm cầu mà nghiệm riêng của nó bằng hàm liên kết Legendre :

(4.12)

3)

1 2

3)

2

3)

15)

15)

3 2

=++

−

P n n dx

dP x dx

P d x

12

3)

P

)cos33cos5(8

12

32

5)

)()

1()

x P dx

d x x

m m

nm = −

n n n

dx

d n x

!2

1)

nm mn

mn

) , ,

( ρ θ λ

n

U gọi là hàm cầu khối, còn Y n(θ,λ)gọi là hàm cầu mặt

Chú ý là P n (x)mới chỉ là nghiệm riêng của (4.14)

Nghiệm tổng quát là : Z = C1Pn(x) + C2Qn(x)

C1, C2 – hằng số

x

n n

n

x P x

dx x

P x Q

)(1

)()( 2 2 (4.17)

Hàm này gọi là hàm Legendre loại 2 Ví dụ :

x

x arcthx

10

11

1ln2

11)()(1

x Q x P

x x

Q x P

2

3)()(2

3

22

5)()

nm

x P x

dx x

P

)(1

)( (4.18)

§.2 Một số tính chất của đa thức Legendre

1 Đa thức Legendre là những hàm trực giao trong miền : -1≤ x ≤ 1

1

0)

()(x P x dx

P n m (4.19)

2 Tích phân của bình phương đa thức Legendre bậc n lấy từ -1 đến +1 bằng :

) , ( )

, , ( ρ θ λ ρn n θ λ

Y

(

n dx x

x

P

2

32

5)

!62

5 Công thức truy hồi cho đa thức Legendre :

Công thức bắc cầu, dùng để tính đa thức Legendre bậc cao hơn khi đã biết hai đa thức Legendre bậc thấp hơn kế cận :

1)

n

n x

P n

n x

+

++

+

=Từ đó rút ra:

(n +1)P n+1(x) = (2n +1)xP n(x) −nP n+1(x) (4.23)

§.3 Một số tính chất của hàm liên kết Legendre

1 Tính chất trực giao trong miền [-1, +1] :

+∫

−

=1

1

0)

()(x P x dx

=1

2)

(

m n

m n n dx x

P nm (4.25)

3 Công thức truy hồi :

P n,m+2 = 2(m +1)P n,m+1 cot gθ −(n − m)(n + m +1)P nm (4.26) Hoặc :

m n m

n m

)(

11

ςη

x r

r V

Hàm r có thể biểu diễn qua tọa độ cực :

2 ρ2 2 ρ cosθ

R R

r = + − (4.27)2

21

1)

(

θρρ

ρ

R U R

α

cos21

1)

(U

2

−+

Khai triển U(α) thành chuỗi Mac-Laurin :

!

)0(

!2)0(

!1)0()

n

n

αα

θ α

cos0

'

)cos21

(

cos)

−

−

=U

1cos3r

1r

)cos(

3)

0

(

3 5

θ α

cos3cos5

3r

)cos(

9r

)cos(

15)0

(

''

5 2

Thay thế giá trị đạo hàm này vào (4.28), ta có :

2

cos3cos52

1cos3cos

1)

(

3 2

++

α

θ α

θ α α

U

Hoặc :

)(cos)

(cos)

(cos)

Nếu α >1 thì chuỗi này không hội tụ nhưng chuỗi của

=

0 1

)(cos)

(

n

n n

n

P

R r

ρ

θ α α

θ ρ

11

cos21

1)

(

2

2

−+

=

R R

R R

r V

Ta suy ra :

= +

n

n n

n

P R

(4.31a)

Miền hội tụ của chuỗi là 1 <1

α hay α > 1, tức ρ <R , không gian bên trong quả cầu

bán kính R

§.5.Các hệ thức tích phân cho hàm cầu

Giả sử U và V là hai hàm điều hòa tồn tại trong miềnø τ cho tới mặt giới hạn S Theo công thức Green thứ hai cho hàm điều hòa ( 2.15a) , ta có :

dU V dn

θ

ρ, ,

-tọa độ của điểm mà U và V tồn tại trong quả cầu

Chú ý, n là pháp tuyến ngoài nên

dR

d dn

(

n

n n

n

P R r

2

0

0sin

),(),

Điều này nói lên tính chất trực giao trên mặt cầu của hàm cầu, khi m ≠ n

Bây giời xét trường hợp

l

= , trong đó :

ψ ρρ

ρ

ρ2 + '2−2 'cos

=

Ý nghĩa hình học của ρ,ρ ,'ψ thể hiện ở hình 18

Chọn điểm N cố định trên mặt cầu, còn điểm P và P’ bên trong mặt cầu Đối với P, xét tam giác PNO theo (4.31) ta có :

n

P R

1

n

n n

=

0 1

)(cos'

1

n

n n

n

P R

l ρ ψ (4.39)

Aùp dụng (2.21 b) và (4.39) cho điểm quan sát P’ bên trong S, ta có :

dS l dn

Vd dn

dV l P

θ π

n

n n

n m

m

P R Y

mR P

n

n n

n m

m

d d R

P R n

0'

4

1),('

n

n m

n m n m

m

P mY

R Y

π π

ψ λ

ρ π λ

θ ρ

] θ θ λ ψ

(cos)

1(

4'

)','('

n

n m

n m n m

m

d d P

Y m

n R

Y

π π

λ θ θ ψ

ψ π

ρ

λ θ ρ

H 18

So sánh hệ số cạnh ρ' ở hai vế trên ta có :

Khi m ≠ n vế trái chỉ có duy nhất ρ'n , có nghĩa các số hạng còn lại với lũy thừa m ≠ n đều bằng 0 :

λ θ θ ψ

λ θ

2

0

0sin

)(cos)

,(4

)1(

d d P

Y m

n

Tức P n(cosψ)và Y m(θ,λ)trực giao với nhau

Còn khi m = n, từ (4.40) ta rút ra :

,(

m m

§.6 Khai triển hàm số f(θ,λ) thành chuỗi hàm cầu

Giả sử ta có hàm số nào đó f (θ,λ)có thể khai triển thành chuỗi hội tụ sau :

f(θ,λ)=Y0(θ,λ)+Y1(θ,λ)+ +Y n(θ,λ) (4.42)

),

m A

P A Y

(4.43) Nếu như các hệ số A0, Anm, Bnm xác định được thì coi như ta đã triển khai xong f(θ,λ)thành chuỗi Tính các hệ số :

Nhân 2 vế của (4.43) với coskλdλ và lấy tích phân từ 0 đến2 π (k ≠ 0) :

sincos

cos

cos)coscos

),

(

1

2 0

2 0

2

2 0

θλ

λλλ

λλ

λλθ

λλλ

θ

nm n

P d k m B

d k m A

d k P

A d

k f

4

12)','(

Số hạng đầu bằng 0, vì ∫ =

π

λλ

2

0

0cos

2

0

0cos

sinm k d (4.44) Kết quả là :

λλλ

θ

2

)(coscos

),(

n

nm

nm P A d

1

cos)

(coscos

)(coscos

),(

π

θ θ

π λ

θ θ

λ λ

2cos

)(cos

2 1

m n n d

P nm

−

++

=

∫+

=

π π

λθθθλ

),0()!

(2

)!

(12

d d P

m f

m n

m n n

Tương tư ï:

∫ ∫+

−+

=

π π

λ θ θ θ λ

λ θ

2

0

sin)(cossin

),()!

(2

)!

(12

d d P

m f

m n

m n n

Để xác định A0, lấy tích phân đẳng thức (4.43) theoλ từ 0 đến 2π Vì :

∫ =

π

λλ

2

0

0sinm d

λ θ λ

λ θ

,(

n

P A d

1

0 (cos (cos )2

cos)(cos)

,(

π

θ θ

π λ θ θ

λ

Rút ra :

= + ∫ ∫

π π

λ θ θ θ λ

12

d d P

f

n

(4.48a)

§.7 Công thức cộng hàm cầu

Nhân chuỗi (4.43) vớiP n(cosψ)sinθdθdλ và lấy tích phân mặt trên quả cầu bán kính đơn vị

Bên vế phải các tích phân chứa tích Y m(θ,λ)P n(cosψ) bằng 0 hết khi m ≠ n, còn m = n thì theo (4.41) ta có :

)(cos)

,(

n

Y d

d P

n n

1n2)','

1n2)!

mn

(

)!

mn

(

1

m

'cossin

)(coscos

),(0

λλ

θθθλ

λθ

π

m d

d P

sinsin

)(cossin

),(0

2

0

θλ

λθθθλ

λθ

π π

nm

P m f

θ λ

θ

λ θ θ θ θ

λ θ π

π λ

θ

π π

π π

d d m

P P

f m n

m n

d d P

P f

Y

nm n

m

nm

n n

n

sin)'(cos)'(cos)

(cos)

,()!

,(4

12)','

λθ

θ

θθ

λθλ

θθψλ

θ

π π

π π

d d m

P P

m n

m n

P P

f d

d P

f

n

m

nm nm

n n

n

sin)'(cos)'(cos)

(cos)!

(

)!

(2

)'(cos)(cos)

,(sin

)(cos),(

1

0

2

0 0

−+

(4.50a) Theo lượng giác cầu :cosψ =cosθcosθ'+sinθsinθ'cos(λ−λ')

Công thức (4.50) và (4.50a) giúp biến đổi từ tọa độ cực sang tọa đồ cầu

§.8.Chuẩn hóa hàm cầu Phương trình tích phân cho hàm cầu chuẩn hóa

Chúng ta hãy tìm một hệ số rnm sao cho hàm cầu : rnmP nm(cosθ')cosmλ' và

rnmP nm(cosθ')sinmλ' , ký hiệu chung là F nm(θ ,'λ') thỏa mãn điều kiện trên mặt cầu đơn vị :

∫∫ [ [ ] = ]

σ

σλ

θ ,' ' ' 1

d

F nm (4.51 )

∑

=

−+

−+

=

n m

nm nm

n n

n

m P

P m n

m n

P P

P

1

)'(cos)(cos)

'(cos)!

(

)!

(2

)'(cos)

(cos)

(cos

λ λ θ

θ

θ θ

ψ

Dựa vào tính chất (4.25) của hàm P nm(θ ,'λ') rồi rút r2

nm từ (4.51 ) ra, ta có hệ số chuẩn hóa :

)! ( )! ( 2 1 2 m n m n n r nm + − + = π với m = 1, 2 3, 4 … và hàm cầu chuẩn hóa :

        + − + + − + = λ θ π λ θ π λ θ m P m n m n n m P m n m n n F nm nm nm sin ) (cos )! ( )! ( 2 1 2 cos ) (cos )! ( )! ( 2 1 2 ) , ( (4.52) Trường hợp m = 0, hệ số rn phải rút ra từ đầu cho Fn(θ) = rnP(cos θ’), ta có : F n(θ') 2n4π+1P n(cosθ') = (4.53)

Công thức cộng cho hàm cầu chuẩn hóa có thể rút ra từ (4.50) :

(4.54)

Khi ρ < R ta có (4.31) :

∑∞

= + = 0 1 ) (cos 1 n n n n P R r ρ ψ Nhờ (4.54) ta có : ∑∞ ∑

= + + = = 0 2 0 1 ( , ) ( ,' ') ) 1 2 ( 4 1 n n m nm nm n n F F R n r πρ θ λ θ λ Nhân 2 vế trên với F nm(θ ,'λ')và lấy tích phân trên toàn mặt cầu đơn vị và nhờ tính trực giao ta có :

) , ( )

1 2 (

4 ' ) ' ,' (

1 θ λ

πρ σ

λ θ

nm n

n nm

F R n

d r

F

+ +

=

∫∫

(4.55)

∑

=

+

=

n

m

nm nm

n

P

0

) ' ,' ( ) , ( 1

2

4 )

Khi ρ >R tương tự :

),()

12(

4')','(

1 θ λρ

πσ

λθ

nm n

n nm

F R n

d r

F

++

=

∫∫

(4.56) Khi ρ=R :

R

F n

d r

)12(

4')','

σλθ

+

=

∫∫

(4.57)

§.9 Phân loại hàm cầu

Giả sử ta có hàm f(θ,λ) phụ thuộc vào góc cựcθ và kinh độäλ Một hàm như vậy có thể là hàm phân bố giá trị dị thường trọng lực hoặc từ trên mặt địa cầu Như ta biết, hàm f(θ,λ) có thể khai triển thành chuỗi hàm cầu :

(4.58)

)

(cos)

sincos

(

)(cos)

sincos

()(cos

)(cos)

2cos(

)(cos)

sincos

(

)(cos)

(cos)

sincos

()(cos)

(cos)

,

(

1 1

1 0

0

22 22

22 21

21 21

20 20 11

11 11

10 10 0

0

θλ

λ

θλ

λθ

θλ

λθ

λλ

θθ

λλ

θθ

λ

θ

kk kk

kk

k k

k k

k

P k B k

A

P B

A P

A

P sìn B A

P B

A

P A P

B A

P A P

++

++

++

+

++

++

=

Các hệ số khai triển được xác định bởi chính hàm f(θ,λ)đo được trên thực tế, và theo công thức tích phân (4.47), (4.48) và (4.48a) Tuy nhiên, về mặt thực tiễn, ta không lấy được tích phân theo lý thuyết, vì hàm f(θ,λ) không được cho trước dưới dạng biểu thức giải tích, mà nhận được một cách rời rạc qua từng lần quan sát tại các vị trí khác nhau trên mặt địa cầu Các vị trí quan sát càng nhiều càng tốt và phải phủ đều khắp mặt địa cầu

Phương pháp xác định thực nghiệm các hệ số nói trên là phương pháp tối thiểu bình phương Số phương trình phải nhiều hơn số ẩn số, là số các hệ số nói trên ( về lý thuyết n = ∞ nhưng trong thực tế chỉ có thể có một số hữu hạn) Chuỗi (4.58) là một chồng chất các sóng trên mặt địa cầu với đủ loại các tần số khác nhau (theo kinh độ λ và θ )

Một sóng bậc n (theo θ) và m ( theoλ) có dạng chung là :

)(cos)

(cossin

)sincos

θ θ

λ

m m

nm

d

d m

B m

(4.59) Hàm (4.59) có thể tách ra làm 2 phần, chứa cos và chưa sin nhân với