Một số kiến thức về hàm số tuần hoàn

Một Số Kiến Thức Về Hàm Số Tuần Hoàn Cao Minh Quang THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long Trong chương trình THPT, kiến thức về hàm số tuần hoàn HSTH ñược ñề cập rất ít, chủ yếu khi

Một Số Kiến Thức Về Hàm Số Tuần Hoàn

Cao Minh Quang THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long

Trong chương trình THPT, kiến thức về hàm số tuần hoàn (HSTH) ñược ñề cập rất ít, chủ yếu khi học sinh ñược học về các tính chất của các hàm số lượng giác ở lớp 11 Tuy nhiên, trong các kì thi học sinh giỏi, vẫn thường hay xuất hiện những bài toán liên quan ñến nội dung này Bài viết sau sẽ trình bày một số kiến thức về lý thuyết cũng như các bài toán về HSTH

1 ðịnh nghĩa

Hàm số y= f x( ) có tập xác ñịnh D ñược gọi là HSTH nếu tồn tại ít nhất một số T≠ sao 0

cho với mọi x∈ ta có: D

i) x± ∈ T D

ii) f x( ±T)= f x( )

Số thực dương T thỏa mãn các ñiều kiện trên ñược gọi là chu kì (CK) của HSTH f x( ) Nếu HSTH f x( ) có CK nhỏ nhất T0 thì T0 ñược gọi là chu kì cơ sở (CKCS) của HSTH f x( )

Ta sẽ tìm hiểu một số tính chất cơ bản của HSTH

2 Một số tính chất

2.1 Giả sử f x( ) là HSTH với CK T Nếu x0∈ thì D x0+nT∈ , D x0∉ thì D x0+nT∉ , D với mọi n∈ ℤ

2.2 Giả sử f x( ) là HSTH với CK T và f x( )0 = , a x0∈D , khi ñó tồn tại vô số giá trị n∈ ℤ sao cho f x( 0+nT)=a

2.3 Nếu T T1, 2> là các CK của HSTH 0 f x( ) trên tập D thì các thực dương mT nT mT1, 2, 1+nT, với ,m n∈ ℤ , ñều là CK của + f x( ) trên tập D

2.4 Nếu f x( ) là HSTH với CKCS T0 thì T=nT n0, ∈ ℤ là một CK của HSTH + f x( )

2.5 Nếu T T1, 2 là các CK của các HSTH f x g x( ) ( ), và 1

2

T

T là số hữu tỉ thì các hàm số f x( ) ( )+g x ,

( ) ( ) ( ) ( ),

f x −g x f x g x cũng là các HSTH với chu kì T=mT1=nT m n2, , ∈ ℤ +

Việc chứng minh các tính chất 2.1 – 2.4 tương ñối ñơn giản Ta sẽ chứng minh tính chất 2.5

Chứng minh Vì 1

2

T

T là số hữu tỉ nên tồn tại ,m n∈ ℤ sao cho + 1

2

T = m ðặt T=mT1=nT2,

với mọi x∈ , ta có D

• f x( )= f x( +T1)= f x( +2T1)= = f x( +mT1)= f x( +T),

• g x( )=g x( +T2)=g x( +2T2)= = g x( +nT2)=g x( +T)

Do ñó,

f x+T ±g x+T = f x ±g x f x+T g x+T = f x g x

Vậy f x( )±g x( ) ( ) ( ),f x g x là các HSTH với chu kì T =mT1=nT m n2, , ∈ ℤ +

Việc kết luận một hàm số có phải là HSTH hay không phụ thuộc rất nhiều vào việc xác ñịnh

CK hoặc CKCS (nếu có) của hàm số Ta ñề cập ñến CK (CKCS) của một số hàm số thường gặp

3 Chu kì và chu kì cơ sở của một số hàm số

3.1 Hàm số f x( )=c ( c là hằng số) là HSTH với CK là số dương bất kì nhưng không có CKCS

3.2 Hàm Dirichlet ( ) 1,

x

f x

x



= 

∈



ℚ

ℝ ℚ là HSTH với CK là số hữu tỉ dương bất kì nhưng không

có CKCS

3.3 Hàm số f x( ) { }= x = −x [ ]x là HSTH có CKCS T0= 1

3.4 Các hàm số f x( )=sin ,x f x( )=cosx là các HSTH có CKCS T0=2π Các hàm số

( ) tan , ( ) cot , ( ) sin , ( ) cos

f x = x f x = x f x = x f x = x là các HSTH có CKCS T0= π

3.5 Các hàm số f x( )=sin(ax+b) ( ),f x =cos(ax+b), a≠ là các HSTH có CKCS 0 T0 2

a

π

=

Các hàm số f x( )=tan(ax+b f x) ( ), =cot(ax+b), a≠ là các HSTH có CKCS 0 T0

a

π

=

Chứng minh. Ta sẽ chứng minh cho hàm số f x( ) { }= x = −x [ ]x và f x( )=sin(ax+b), các hàm số còn lại xin dành cho bạn ñọc như bài tập tự luyện

• Với mọi n∈ ℤ , ta có f x( + =n) {n+x} { }= x = f x( ) Do ñó f x( + =1) f x( ) Mặt khác,

nếu 0< = <T0 t 1 là CKCS của f x( ) thì vớ x= −1 t, ta có 0< <x 1, do ñó

f x+ =t f = ≠ f x = x = −t

Vậy hàm số f x( ) { }= x = −x [ ]x là HSTH có CKCS T0= 1

• Trước hết, ta chứng minh T0=2π a , a≠ là CK của 0 f x( )=sin(ax+b) Thật vậy, ta có

f x+ π a = a x+ π a + =b ax± π+ =b ax+ =b f x

Giả sử tồn tại số dương t<2π a sao cho f x( + =t) f x( ), với mọi x∈ ℝ Khi ñó, với

2 b

x

a

= , ta có

a

π

π

  −  

f x( ) sin a 2 b b sin( 2) 1

a

π

π

  −  

Do ñó, f x( + =t) f x( ) không xảy ra với mọi x∈ ℝ , tức là T0=2π a , a≠ là CKCS 0 của f x( )=sin(ax+b)

4 Một số bài toán

Bài toán 1 Xét tính tuần hoàn và tìm CKCS (nếu có) của các hàm số sau

a) f x( )=cosπx

b) f x( )=cos x

c) ( ) cos cos3

f x =

d) f x( )=cosx+cos 2x

sin

Lời giải

a) Theo tính chất 3.5, dễ thấy rằng f x( )=cosπx là HSTH với CKCS T= 2

b) Tập xác ñịnh của hàm số là D=[0,+∞ Giả sử ) f x( )=cos x là HSTH với CK T > 0 Nếu x0∈ thì D x0+nT ∈ , với mọi n D ∈ ℤ Tuy nhiên, ñiều này không thể xảy nếu cho n< 0

ñủ bé thì x0+nT< Do ñó 0 f x( )=cos x không là HSTH

c) Ta có ( ) cos cos3 1(cos cos 2 ) ( 2 )

f x = = x+ x = f x+ π Ta sẽ chứng minh T0=2π

là CKCS của hàm số này Thật vậy, với 0< <a 2π thì cosa<1, cos 2a≤ , suy ra 1

( ) 1(cos cos 2 ) 1 ( )0 2

f a = a+ a < = f

Do ñó, f x( +a)= f x( ) không thể xảy ra với mọi x∈ ℝ , tức là T0=2π là số dương nhỏ nhất sao cho f x( +T0)= f x( ) với mọi x∈ ℝ hay T0=2π là CKCS

d) Giả sử f x( )=cosx+cos 2x là HSTH, tức là tồn tại T> sao cho 0 f x( +T)= f x( ),

với mọi x∈ ℝ , hay cos(x+T)+cos 2(x+T)=cosx+cos 2x

Với x= , ta có cos0 T+cos 2T = , suy ra cos2 T =cos 2T = hay 1 T =2kπ, 2T =2mπ, trong ñó k m, ∈ ℤ Do + ñó 2 m

k

= ∈ℚ (vô lý) Vậy f x( )=cosx+cos 2x không là HSTH e) Giả sử ( ) 2

sin

f x = x là HSTH, tức là tồn tại T>0 sao cho f x( +T)= f x( ), với mọi

x∈ ℝ, hay ( )2 2

sin x+T =sinx

Vớ x=0, ta có 2

sinT =0 hay 2

T =kπ, k∈ ℤ+ hay T= kπ Suy ra f x( + kπ)=f x( )

sin 2kπ+ kπ =sin 2kπ =sin 2kπ = , vô lý vì 0

sin 2kπ+ kπ =sin 2kπ+kπ+2kπ 2 = ±sin 2kπ 2 ≠ 0

sin

f x = x không là HSTH

Bài toán 2 Chứng minh rằng hàm số f x( ) ( )= −1[ ]x{ }x là HSTH

Lời giải Ta sẽ chứng minh T0= là CKCS c2 ủa hàm số Thật vậy, ta có

( ) ( )[ 2]{ } ( )2 [ ]{ } ( )[ ]{ } ( )

Giả sử tồn tại 0< < sao cho a 2 f x( +a)= f a( ), với mọi x∈ ℝ Ta sẽ xét ba trường hợp (i) 0< < Chọn a 1 x= − thì 12 a < < Do ñó x 2 f x( )= −{ }x ≠ ; 0 f x( +a)= f( )2 = , 0 suy ra f x( +a)≠ f x( )

(ii) a= Chọn 01 < < , ta có x 1 f x( ) { }= x =x f x; ( +a)= −{ }x = −x, f x( +a)≠ f x( ) (iii) 1< < Chọn a 2 x= − thì 02 a < < , ta có x 1 f x( ) { }= x =x f x; ( +a)= f( )2 =0, suy ra f x( +a)≠ f x( )

Vậy không tồn tại 0< < sao cho a 2 f x( +a)= f a( ), với mọi x∈ ℝ hay T0= là CKCS 2

Bài toán 3 [Việt Nam 1997, bảng B] Cho a b c d, , , là các số thực khác 0 Chứng minh rằng

f x =a cx+b dx là HSTH c

d

⇔ là số hữu tỉ

Lời giải

( )⇒ Giả sử f x( ) là HSTH, tức là tồn tại T> sao cho 0 f x( +T)= f x( ), với mọi x∈ ℝ Với x= ta có 0 f T( )= f( )0 hay asincT+bcosdT=b

Với x= − , ta có T f T( )=f( )0 hay −asincT+bcosdT=b

Cộng theo từng vế các ñẳng thức trên, ta nhận ñược cosdT= , suy ra 1 dT=2kπ,k∈ ℤ\ 0{ } Trừ theo từng vế các ñẳng thức trên, ta nhận ñược sincT= , suy ra 0 cT=mπ,m∈ ℤ\ 0{ }

Từñó suy ra

2

d = k∈ ℚ

( )⇐ Ngược lại, giả sử c

d là số hữu tỉ, tức là tồn tại m n, ∈ ℤ\ 0{ } sao cho c m

d = n Ta chọn số dương T 2 m 2 n

= = , khi ñó với mọi x∈ ℝ , ta có

Do ñó, f x( ) là HSTH với CK T 2 m 2 n

Bài toán 4 Chứng minh rằng nếu ñồ thị hàm số f x( ) có hai trục ñối xứng x=a x, =b a( ≠b), thì f x( ) là HSTH

Lời giải Trước hết, ta gọi ( )C là ñồ thị của hàm số Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng

a< Tịnh tiến b ( )C theo vector v= −( a, 0) Bài toán trở thành: “Chứng minh rằng nếu ñồ thị của hàm số f x( ) có hai trục ñối xứng x=0,x= = − thì c b a f x( ) là HSTH”

Vì ñồ thị của hàm số f x( ) ñối xứng qua x= nên 0 f x( )= f( )− Mặt khác, ñồ thị của x

hàm số f x( ) cũng ñối xứng qua x=c nên f x( )= f(2c− Suy rax) f( )− =x f(2c− , với x)

mọi x∈ ℝ , tức là f x( ) là HSTH với CK T =2c=2(b− a)

Bài toán 5 Cho hàm số f x( ) xác ñịnh trên D và ( ) ( )

( )

1

1

f x

f x

−

+ Chứng minh rằng f x( ) là HSTH

Lời giải Với mọi x∈D a, ≠ , ta có 0

( ) ( ) ( )

( )

( )

2

f x a

Suy ra, ( )

1 4

2

−

+ Do ñó f x( ) là HSTH

Bài toán 6 Cho hàm số f x( ) xác ñịnh trên ℝ , thỏa mãn các ñiều kiện f x( + ≤3) f x( )+ , 3

f x+ ≥ f x + , với mọi x ∈ ℝ Chứng minh rằng g x( )= f x( )− là HSTH x

Lời giải Ta sẽ chứng minh g x( + =6) g x( ), với mọi x∈ ℝ Thật vậy, ta có

g x+ = f x+ − − =x f x+ + − − ≤ x

≤ f x( + + − − ≤3) 3 x 6 f x( )+ + − − =3 3 x 6 f x( )− =x g x( )

Mặt khác, g x( + =6) f x( + − − =6) x 6 f x( + + − − ≥4 2) x 6 f x( + + − − ≥ 4) 2 x 6 ≥ f x( + + − − ≥2) 4 x 6 f x( )+ − − − =6 x 6 x f x( )− =x g x( ) Suy ra g x( + =6) g x( ), với mọi x∈ ℝ hay g x( )= f x( )−x là HSTH với CK T = 6

Bài toán 7 Chứng minh rằng nếu HSTH f x( ) thỏa mãn ñiều kiện kf x( )= f kx( ), với mọi

x∈ ℝ , k∈ℝ,k≠0,k≠ ±1 thì f x( ) không có CKCS

Lời giải Giả sử T0 là CKCS của HSTH f x( ) Khi ñó, với mọi x∈ℝ,k ≠1,k≠0, ta có

0

    

+ =  +  =  + 

Do ñó, ( ) T0

k



=  +  Ta sẽ xét hai trường hợp sau:

(i) k > Nếu 1 k> thì 1 0

0

T T

k < (vô lý vì T0 là CKCS) Nếu k< − hay 1 − > , bằng cách k 1

y x

k

k



=  −  (vô lý vì

0 0

T T k

− < )

(ii) k < V1 ới mọi x∈ ℝ, ta có ( 0) 0 0 ( )

       

+ =  +  =  + =  =

ðặt k' 1

k

= , ta nhận ñược ( ) 0

'

T

f x f x

k



=  + , với k'> Theo (i), ta cũng nhận ñược ñiều vô lí 1

Tóm lại, f x( ) không có CKCS

Bài toán 8 Cho a>0 và hàm số :f ℝ+→ℝ thỏa ñiều kiện ( ) 1 ( ) 2( )

2

với mọi x>0 Chứng minh rằng f x( ) là HSTH

Lời giải Vì ( ) 1 ( ) 2( )

, 2

f x+ = +a f x − f x với mọi x>0 nên ( ) 1

2

f x+ ≥ a

Do ñó, ( ) 1

2

f x ≥ Suy ra

( ) 1 ( ) 2( ) 1 ( ) ( )

f x+ a = + f x+ −a f x+a = + f x+a  −f x+a 

1 ( ) 1 1 ( ) 1 ( )

Vậy tồn tại T =2a> sao cho 0 f x( +T)= f x( ), với mọi x∈ ℝ nên + f x( ) là HSTH

Bài toán 9 Tồn tại hay không các hàm số , :f g ℝ→ℝ , với g là HSTH thỏa mãn ñiều

kiện 3 ( ) [ ] ( )

x = f x +g x , với mọi x∈ ℝ , kí hiệu [ ]i chỉ phần nguyên

Lời giải Giả sử tồn tại các hàm ,f g thỏa mãn yêu cầu bài toán Gọi T0 là CKCS của g Với mọi x∈ ℝ , ta có

x+T = f x+T +g x+T = f x+T +g x Suy ra ( [ ] ) ( ) [ ] ( )3 3 2 2 3( )

f x+T − f x = x+T −x = T x + T x+T

Với mọi x∈0,[ ]T0 + −1 T0)

 thì vế trái của (*) là hằng số, do ñó (*) là ña thức bậc 2 có vô số nghiệm, suy ra 2 3

3T =3T =T = hay 0 T0= (vô lý) 0 Vậy không thể tồn tại các hàm ,f g thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài toán 10 Giả sử f x( ) là một HSTH có CKCS T0 Tồn tại hay không ( )1

0

lim x

x f

Lời giải Trước hết, ta nhận thấy rằng f x( )≠ ( c là hằng số), vì hàm hằng không có CKCS c

Do ñó, sẽ tồn tại hai số thực a b, sao cho f a( )≠ f b( ) ðặt a n = +a nT b0, n= +b nT0 Khi ñó, ta

→ → Do ñó

1

n

a

 

1

n

b

 

Suy ra, lim 1 lim 1

    hay không tồn tại ( )1

0

lim x

x f

Bài toán 11 Cho f x( ) là HSTH và liên tục trên ℝ , có CK 2T Chứng minh rằng tồn tại

0

x ∈ ℝ sao cho f x( 0+T)= f x( )0

Lời giải ðặt g x( )= f x( + −T) f x( ) Ta có g x T( + =) f x( +2T)−f x T( + =) f x( )−f x T( + )

g x g x+T = −f x+T − f x  ≤

Vì f x( ) là hàm số liên tục nên g x( ) cũng là hàm số liên tục, do ñó, theo ñịnh lý Cauchy – Bolzano, tồn tại x0∈[x x, + sao cho T] g x( )0 = hay 0 f x( 0+T)= f x( )0

Một số bài tập tự luyện

Bài 1 Xét tính tuần hoàn và tìm CKCS (nếu có) của các hàm số sau

a) f x( )= sinx+ cosx

b) f x( )=cosπx+sin 2πx

cos

d) f x( ) x n x

n

 

 

= −

 

e) ( ) ( )1 cos

3

x



= −  + 

Bài 2 Chứng minh rằng nếu ñồ thị hàm số f x( ) có tâm trục ñối xứng E a b( ), và có trục ñối xứng x=c c( ≠a), thì f x( ) là HSTH

Bài 3 Cho f x( ) là HSTH và liên tục trên ℝ , có CKCS T0 Chứng minh rằng, với mọi

a∈ ℝ thì 0 ( ) 0 ( )

0

a

f x dx f x dx

+

=

Bài 4 Cho f x( ) là HSTH, liên tục trên ℝ và lim ( ) ,

→+∞ = ∈ ℝ Chứng minh rằng với

mọi x∈ ℝ , ta có f x( )= a

Bài 5 Cho f x g x( ) ( ), là các HSTH, liên tục trên ℝ và lim ( ) ( ) ,

minh rằng f x( )=g x( )+ , va ới mọi x∈ ℝ

Bài 6. Cho hàm số f x( ) thỏa mãn ñiều kiện f x( )≤2008 và f x( + +2) f x( )=2f x( + , 1)

v i mọi x∈ ℝ Chứng minh rằng nếu f x( + −1) f x( )= thì a f x( + −n) f x( )=na, vớ n là

một số nguyên dương Hàm số f x( ) có tuần hoàn không?

Tài liệu tham khảo

[1] Doãn Minh Cường, Nguyễn Huy ðoan, Ngô Xuân Sơn “Những bài toán sơ cấp chọn

lọc (tập 1)” NXB Giáo Dục, 1986

[2] Nguyễn Vũ Thanh “Phương pháp chọn lọc giải toán lượng giác” NXB Cà Mau, 1993 [3] Nguyễn Vũ Thanh “Chuyên ñề bồi dưỡng số học” NXB Tiền Giang, 1993

[4] Nguyễn Quý Dy, Nguyễn Văn Nho “Tuyển tập 200 bài toán giải tích” NXB Giáo Dục,

2000

[5] Phan Huy Khải “Toán nâng cao cho học sinh THPT – ðại Số (tập 1)” NXB Giáo Dục,

2000

[6] Nguyễn Việt Hải “Khai thác ñịnh nghĩa hàm số tuần hoàn” Tạp chí Toán Học và Tuổi

Trẻ, số 1/2000