Phương trình mặt phẳng trong không gian PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN I.. Nhận xét: Mặt phẳng α có vô số cặp véctơ chỉ phương và vô số véctơ pháp tuyến đồng thời n//[u v, ]..
Trang 1Phương trình mặt phẳng trong không gian
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỦA MẶT PHẲNG:
1 Hai véctơ u=(a a a1, 2, 3);v=(b b b1; 2; 3)
là một cặp véc tơ chỉ phương (VTCP) của mặt phẳng (α) ⇔ ,u v ≠0
; không cùng phương và các giá của chúng song song hoặc nằm trên mặt phẳng (α)
2 Véctơ n=(a b c; ; )
là véc tơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng (α)
⇔ (α) ⊥ giá của n
3 Nhận xét: Mặt phẳng (α) có vô số cặp véctơ chỉ phương và vô số véctơ pháp
tuyến đồng thời n//[u v, ]
Nếu
1 2 3
1 2 3
u a a a
v b b b
=
=
n u v
b b b b b b
II CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG
1 Phương trình tham số:
Phương trình mp(α) đi qua M0(x0, y0, z0) với cặp VTCP
1 2 3
1 2 3
u a a a
v b b b
=
=
0 1 1 1 2
0 2 1 2 2 1 2
0 3 1 3 2
,
x x a t b t
y y a t b t t t
z z a t b t
2 Phương trình tổng quát:
2.1 Phương trình chính tắc: Ax+By+Cz+D= với 0 A2 +B2 +C2 > 0 Nếu D = 0 thì Ax+By+Cz= ⇔ (α) đi qua gốc tọa độ 0
Nếu A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 thì (α): By+Cz+D = sẽ song song hoặc chứa với trục x’Ox 0 Nếu A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 thì (α): Ax+Cz+D = sẽ song song hoặc chứa với trục y’Oy 0 Nếu A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 thì (α): Ax+By+D = sẽ song song hoặc chứa với trục z’Oz 0
Trang 22.2 Phương trình tổng quát của mp(α) đi qua M0(x0, y0, z0) với cặp VTCP
1 2 3
1 2 3
u a a a
v b b b
=
=
n u v
b b b b b b
là:
0
b b − + b b − + b b − =
2.3 Phương trình tổng quát của mp(α) đi qua 3 điểm
( 1, 1, 1) (; 2, 2, 2) (; 3, 3, 3)
A x y z B x y z C x y z không thẳng hàng có VTPT là:
n AB AC
y y z z z z x x x x y y
nên phương trình là:
0
y y z z z z x x x x y y
y y z z z z x x x x y y
Đặc biệt: Phương trình mặt phẳng đi qua A a( ; 0; 0 ,) B(0; ; 0 ,b ) C(0; 0;c) là:
y
x z abc
a+ b + c = ≠
3 Phương trình chùm mặt phẳng:
Cho 2 mặt phẳng cắt nhau
( )α1 :a x1 +b y1 +c z1 +d1 =0 ;(α2):a x2 +b y2 +c z2 +d2 = với 0
( )∆ = α( ) (1 ∩ α2)
Mặt phẳng (α) chứa (∆) là p a x( 1 +b y1 +c z1 +d1)+q a x( 2 +b y2 +c z2 +d2)= 0 với p2 +q2 > 0
III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 MẶT PHẲNG
Cho 2 mặt phẳng (α1): A x1 +B y1 +C z1 +D1= có VTPT 0 n1=(A B C1, 1, 1)
và (α2): A x2 +B y2 +C z2 +D2 = có VTPT 0 n2 =(A B C2, 2, 2)
Nếu n n1,2 không cùng phương thì (α1) cắt (α2)
Nếu n n1,2 cùng phương và (α1), (α2) không có điểm chung thì (α1) // (α2) Nếu n n1,2 cùng phương và (α1), (α2) có điểm chung thì (α1) ≡ (α2)
Trang 3Phương trình mặt phẳng trong không gian
IV GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Góc giữa 2 mặt phẳng (α1): A x1 +B y1 +C z1 +D1 = và (α0 2):
A x+B y+C z+D = là ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 90°) thỏa mãn:
n n A B C A B C
V KHOẢNG CÁCH
1 Khoảng cách từ M0(x0, y0, z0) đến mặt phẳng (α): Ax+By+Cz+D= là: 0
d M
A B C
α =
2 Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song: d(α β =; ) d M( ;β ∀) M∈ α ( )
VI CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA
Bài 1 Lập phương trình tổng quát của mp(α) đi qua A(2; 1; −1) và vuông góc
với đường thẳng xác định bởi 2 điểm B(−1; 0; −4), C(0; −2; −1)
Mp(α) đi qua A nhận BC=(1; 2; 3− )
làm VTPT nên phương trình mp(α) là:
1 x−2 −2 y−1 +3 z+1 = ⇔ 0 x−2y+3z+ = 3 0
Bài 2 Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của mp(α) đi qua
(2; 1; 4)
A − , B(3; 2; 1− và vuông góc với ) ( )β :x+ y+2z− = 3 0
HD: AB=(1; 3; 5− )
, nβ=(1;1; 2) Do mp(α) đi qua A, B và ( )α ⊥ β nên (α) ( )
nhận AB n, b
làm cặp VTCP Suy ra VTPT của (α) là:
Mặt khác (α) đi qua A(2; 1; 4− ) nên
phương trình mp(α): 11(x−2)−7(y+1)−2(z−4)= ⇔0 11x−7y−2z−21 0=
Bài 3 Lập phương trình mp(α) đi qua A(1; 0; 5) và // mp(γ): 2x− + −y z 17 0=
Lập phương trình mp(β) đi qua 3 điểm B(1; −2; 1), C(1; 0; 0), D(0; 1; 0)
và tính góc nhọn ϕ tạo bởi 2 mp(α) và (β)
HD: mp(α) // (γ): 2x−y+ −z 17= có 0 n=(2; 1;1− ) ⇒ (α): 2x−y+ + = z c 0 (α) đi qua A(1; 0; 5) ⇒ 2 1 0 5⋅ − + + = ⇔ = − ⇒ PT (α): 2c 0 c 7 x−y+ − = z 7 0
Trang 4mp(β) nhận 2 véc tơ BC=(0; 2; 1 ,− ) BD= −( 1; 3; 1− ) làm cặp VTCP nên có
Vậy phương trình mp(β): x+(y−1)+2z= ⇔0 x+y+2z− = 1 0
Bài 4 Viết PT mặt phẳng chứa đường thẳng (∆): 2 0
x z
x y z
và vuông góc với mặt phẳng (P): x−2y+ + = z 5 0
HD: Phương trình chùm mặt phẳng chứa (∆) là:
m x− z +n x− y+ −z = m n∈ m +n >
⇔ (m+3n x) −2ny+(n−2m z) −3n= 0
⇒ mp(α) chứa (∆) có VTPT u=(m+3 ; 2 ;n − n n−2m)
Mặt phẳng (P) có VPPT v=(1; 2;1− ) nên để (α) ⊥ (P) thì u v ⋅ =0
Cho n= suy ra 1 m= , khi đó phương trình mp(α) là: 118 x−2y−15z− = 3 0
Bài 5. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa Oz và lập với mặt phẳng (α):
2x+y− 5z= một góc 60° 0
HD: Mặt phẳng (P) chứa Oz ⇒ (P) có dạng: mx+ny= (0 m2 +n2 > ) 0
⇒ VTPT u=(m n; ; 0) Mặt phẳng (α) có VTPT v=(2;1;− 5) suy ra
2
m n
u v
m n
3
Vậy ( )P : 3x−y= hoặc 0 ( )P :x+3y=0
Trang 5Phương trình mặt phẳng trong không gian
Bài 6 Viết phương trình tổng quát của mp(α) qua M(0; 0; 1), N(3; 0; 0) và tạo
với (Oxy) một góc 60°
HD: (α): Ax+By+Cz+D= qua M, N suy ra: 0 C+D=0; 3A+D= 0
⇒ C=3 ;A D= −3A Mặt phẳng (Oxy) có VTPT là (0; 0;1) suy ra
2 10
A A B
Cho A= suy ra mp(α): 1 x− 26y+3z− = hoặc 3 0 x+ 26y+3z− = 3 0
Bài 7 Cho A(a; 0; a), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c là 3 số dương thay đổi
luôn luôn thỏa mãn a2 +b2 +c2 = Xác định a, b, c sao cho khoảng cách từ O 3 đến mặt phẳng (ABC) đạt Max
a+ b + c − = Suy ra
;
d O ABC = a +b +c
d =a +b + c ⇒ ( 2 2 2)
3
d =
Bài 8 Cho chùm mặt phẳng ( )P m : 2x+y+ + +z 1 m x( +y+ +z 1)= 0
Chứng minh rằng: (Pm) luôn đi qua (d) cố định ∀m
Tính khoảng cách từ O đến (d) Tìm m để (P m) ⊥ ( )P0 : 2x+y+ + = z 1 0
1 0
x y z
x y z
Mặt phẳng 2x+y+ + = có VTPT: z 1 0 u=(2;1;1) và x+ y+ + = có z 1 0 VTPT v=(1;1;1) suy ra (d) có VTCP là: a=[u v ; ]=(0; 1;1− )
2
,
2
OM a
d O d
a
+ +
( )P m :(m+2)x+(m+1)y+(m+1)z+m+ = có VTPT 1 0 n1=(m+2;m+1;m+1); Trường hợp đặc biệt mặt phẳng ( )P0 có VTPT n2 =(2;1;1)
1 2
3
2
Trang 6Bài 9 Cho 3 điểm A(0; 1; 2), B(2; 3; 1), C(2; 2; −1) Viết phương trình mặt
phẳng (ABC) CMR: O ∈ (ABC) và OABC là một hình chữ nhật Cho S(9; 0; 0) Tính thể tích chóp S.OABC Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và đi qua trung điểm OS
HD: AB=(2; 2; 1 ,− ) AC=(2;1; 3− )
⇒ VTPT n= AB AC, = −( 5; 4; 2− )
Do (ABC) đi qua A(0; 1; 2) nên phương trình mặt phẳng (ABC) là:
O(0; 0; 0) và 5.0 4.0 2.0 0− + = nên O ∈ (ABC)
Ta có: OA=(0;1; 2)
,OC=(2; 2; 1− )
OC AB
⇒=
OA OC⋅ = + − =
suy ra OABC là hình chữ nhật
Gọi H là hình chiều của S lên (OABC) suy ra
V = S ⋅SH= ⋅ S ⋅SH = V 2 1 ,
6 AB AC AS
Ta có: AS=(9; 1; 2− − )
và AB AC, = − ( 5; 4; 2− )
Trung điểm của OS là (9 ;0;0)
2
2
AM = − −
2
n= AB AM = − − −
⇒ Phương trình mặt phẳng: 10x+y+22z−45= 0
Bài 10 Lập phương trình của mặt phẳng ( )α thuộc chùm tạo bởi hai mặt phẳng ( )P :x−3y+7z+36=0 ;( )Q :2x+y− −z 15= nếu biết khoảng cách từ 0 gốc tọa độ O đến α bằng 3
Giải
Mặt phẳng ( )α thuộc chùm tạo bởi (P) và (Q) nên có phương trình dạng:
m x− y+ z+ +n x+y− −z = m +n >
(m 2n x) (n 3m y) (7m n z) 36m 15n 0
Trang 7Phương trình mặt phẳng trong không gian
( )
m n
d O
m n n m m n
−
(n m) (19n 85m) 0 n m 19n 85m
+ Cho n = m = 1 thì nhận được ( )α1 : 3x−2y+6z+21 0=
+ Cho m = 19, n = 85 ta có (α2): 189x+28y+48z−591 0=
Bài 11 Lập phương trình mặt phẳng ( )α đi qua 2 điểm A(2; –1; 0), B(5; 1; 1)
và khoảng cách từ điểm (0; 0; 1)
2
Giải
Gọi phương trình mặt phẳng ( )α là: Ax+By+Cz+D=0(A2 +B2 +C2 >0)
Ta có A∈ α ⇒( ) 2A−B+D=0 1 ;( ) B∈ α ⇒( ) 5A+B+C+D=0 ( )2
2
d M α = ⇔ C+D = A +B +C
Từ (1) và (2), ta có C= −3A−2 ,B D=B−2A ( )4
27.49A =49A +B + 3A+2B
5
B + AB− A = ⇔B=A∨ B= − A
+ Chọn A = B = 1 ⇒ C = –5, D = –1 thì nhận được ( )α1 :x+ y−5z− = 1 0 + Chọn A = 5, B = 17 ⇒ C = 19, D = –27 thì (α2): 5x−17y+19z−27= 0 VII CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI
Bài 1 Viết PT mp(α) chứa gốc tọa độ O và vuông góc với
( )P :x− y+ − = , z 7 0 ( )Q : 3x+2y−12z+ = 5 0
Bài 2 Viết PT mp(α) đi qua M(1; 2;1) và chứa giao tuyến của
( )P :x+ y+ − =z 1 0,( )Q : 2x− y+3z= 0
Bài 3 Viết phương trình mặt phẳng chứa ( ): 3 0
x y z
x y z
và vuông góc với mặt phẳng (P): x+ y+2z− = 3 0
Trang 8Bài 4 Cho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4) Viết PT mp(ABC)
Tính khoảng cách từ gốc O đến (ABC) Viết PT mặt phẳng:
a Qua O, A và // BC; Qua C, A và ⊥ (α): x−2y+3z+ = 1 0
b Qua O và ⊥ (α), (ABC); Qua I(−1; 2; 3) và chứa giao tuyến của (α), (ABC) Bài 5. Xác định các tham số m, n để mặt phẳng 5 x+ny+4z+m= thuộc 0
chùm mặt phẳng có phương trình:
(3x 7y z 3) (x 9y 2z 5) 0
Bài 6 Cho 2 mặt phẳng ( )α : 2x−y+3z+ = , 1 0 ( )β :x+y− + = và điểm z 5 0
M(1; 0; 5) Tính khoảng cách từ M đến mp(α)
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến (d) của (α) và (β) đồng thời vuông góc với mặt phẳng (Q): 3x− y+ = 1 0
Bài 7 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(1; 1; 3), B(−1; 3; 2),
C(−1; 2; 3) Tính khoảng cách từ gốc O đến (P)
Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện OABC
Bài 8 Cho A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3) Các điểm M, N lần lượt là trung
3
OP
OC = và
2 đường thẳng MN, PQ cắt nhau
AB
Bài 9. Cho A(a; 0; 0), B(0; a; 0), C(a; a; 0), D(0; 0; d) với a, d > 0 Gọi A’, B’
là hình chiếu của O lên DA, DB Viết phương trình mặt phẳng chứa 2 đường OA’, OB’ Chứng minh mặt phẳng đó vuông góc CD
Tính d theo a để số đo góc A OB′ ′ =45°
Bài 10. Tìm trên Oy các điểm cách đều 2 mặt phẳng
( )α :x+y− + =z 1 0,( )β :x− y+ − = z 5 0
Bài 11 Tính góc giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) cùng đi qua điểm I(2; 1; −3) biết
(P) chứa Oy và (Q) chứa Oz
Tìm tập hợp các điểm cách đều 2 mặt phẳng (P) và (Q)
Bài 12. Cho ∆OAB đều cạnh a nằm trong mặt phẳng (Oxy), đường thẳng AB // Oy
Điểm A nằm trên phần tư thứ nhất trong mp(Oxy) Cho điểm (0; 0; )
3
a
S Xác định A, B và trung điểm E của OA Viết phương trình mặt phẳng
(P) chứa SE và song song với Ox Tính d O P( , ) từ đó suy ra d Ox SE( ; )