tiểu luận lý thuyết tương đối

yêu cầu sóng phải trực giao với trục thời gian giống với phương truyền sóng trong không gian... Dạng tenxơ của chúng làm cho sự phân cực phức tạp hơn so với phân cực tuyến tính đã gặp tr

MỞ ĐẦU

Chương 9

Bức xạ hấp dẫn

(Trang 173 - 175 trong sách: Bài giảng Lý thuyết tương đối - TS Võ Tình tương ứng với trang 127 - 130 trong sách General Relativity - I R Kenyon)

Cuối cùng chúng ta có thể sử dụng hαβ là đối xứng, ta có

A0β = Aβ0 = Aβ3= A3β = 0 (9.1)

Do đó sóng chỉ có các thành phần khác không dọc theo phương x(1) và y(2) và theo chiều

ngang của phương chuyển động z(3) Từ điều kiện đường chéo của phương trình (??) ta có

Sử dụng tính đối xứng của hαβ ta sẽ có

Bây giờ từ phương trình (9.1); (9.2); (9.3) ta dễ dàng viết lại Aαβ một cách đầy đủ

Aβδ=

0 A11 A12 0

0 A12 −A11 0

(9.4)

Cách chọn tọa độ đã tạo ra biên độ sóng Aβδ và có đường không chéo bằng 0 (đường biên ngoài); do đó giới hạn của tọa độ được gọi là "đường không chéo bằng 0" Chú ý rằng phương

trình (??) yêu cầu sóng phải trực giao với trục thời gian giống với phương truyền sóng trong không gian Dạng nghiệm tổng quát sử dụng trong (??) là tổ hợp tuyến tính của 2 trạng

thái trực giao:

hβδ= h+(e+)βδcos(ωt − kz) (9.5) và

hβδ = h×(e×)βδcos(ωt − kz + ϕ) (9.6)

trong đó ϕ là góc pha bất kì và

(e+)βδ =

0 0 0 0

0 1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 0

(9.7)

0 0 0 0

trong đó h+ = A11; h× = A12 và e+ và e× là 2 trạng thái phân cực của bức xạ hấp dẫn Dạng tenxơ của chúng làm cho sự phân cực phức tạp hơn so với phân cực tuyến tính đã gặp trong trường hợp ánh sáng Lúc này cần khảo sát sự chuyển động giống như khảo sát khối lượng nghỉ theo đường truyền của sóng hấp dẫn để có thể xây dựng thành bức tranh về các hiệu ứng của 2 trạng thái phân cực này

Xét trong một mặt phẳng z = 0 với hai vạch gần nhau tại A(x = ξ, y = 0) và

B(x = y = 0) Khoảng cách riêng của chúng được tính

ds = ξ0 ≈ [|g11(t, 0)|]1/2ξ ≈

h

1 + h11(t, 0)

2

i

(9.9)

áp dụng phương trình (9.5) khoảng thời gian riêng giữa A và B chịu tác dụng của biên độ biến dạng

ε = ξ

0− ξ

ξ =

h11(0, 0)

2 =

h+

Do đó h+/2 là biên độ biến thiên vi phân theo độ dài giữa các điểm gần nhau dọc

theo hướng x Giả sử khoảng cách từ A(−l/2, 0) đến B(l/2, 0) là lớn Khi đó khoảng cách

riêng của chúng là

`(t) =

Z

dx[g11(t − x/c, 0)]1/2 =

Z

dx[1 + 1

2h11(t − x/c, 0)].

Sử dụng phương trình (9.5) ta có

`(t) = `0+ h+

2

Z

dxcos(ωt − kx)

trong đó `0 là khoảng cách trước khi sóng hấp dẫn đến Khi đó sự biến thiên theo chiều dài là

∆`(t) = h+

2

h

sin



ωt + k`0

2



− sin



ωt − k`0

2 i

= h+

k cos(ωt)sin

k`0

2

 Biên độ của sự dịch chuyển này

∆` = λh+

2π sin

π`0

λ



Vì vậy, biên độ biến dạng

ε = ∆`

` =

λh+

2π` sin

π`0

λ



phương trình này trở về phương trình (9.10) khi `0 → 0 Ta thu được kết quả tương tự dọc theo trục y; so sánh với (9.10) biên độ của hiệu ứng thủy triều dọc theo trục y là

ε = − h+

Vì vậy khối lượng khảo sát được đặt gần với gốc tọa độ di chuyển trong mặt phẳng thẳng góc với hướng sóng

x = x0



1 +h+cosωt

2



y = y0



1 − h+cosωt

2



với e+ là trạng thái phân cực Chuyển động này được biểu diễn ở bên trái của hình (9.1) với tập hợp các khối lượng khảo sát ban đầu là đứng yên trong một vòng tròn của mặt phẳng

xy: độ dời của chúng theo một chu trình khép kín Có hai trục đối xứng trực giao và vì

vậy chuyển động là tứ cực Sự chuyển động thu được cho trạng thái phân cực trực giao của

phương trình (9.6) với ϕ = 0 là

x = x0+ y0h×cosωt

2

y = y0+x0h×cosωt

2 ,

Hình 9.1: Hiệu ứng sóng hấp dẫn trên một vòng tròn của khối lượng khảo sát theo một chu kỳ Người quan sát nhìn về phía nguồn sáng Hai trạng thái trực giao của bức xạ tứ cực được minh họa

từ đó cho ta

x + y = 

1 + h×cosωt

2



(x0+ y0)

x − y =



1 −h×cosωt

2



(x0− y0).

Hình 9.2: Hiệu ứng sóng hấp dẫn trên một vòng tròn của khối lượng khảo sát theo một chu kỳ Người quan sát đối mặt với nguồn sáng Bức xạ tứ cực phân cực theo tay phải và tay trái được minh họa

Một chu trình kín của sự chuyển động được vẽ ra ở bên phải của hình (9.1) Không

thể xây dựng mô hình e+ từ mô hình e× hoặc ngược lại: chúng là các trạng thái phân cực

trực giao Tương tự với sóng điện từ các biên độ e+ và e× có thể được cộng thêm các pha là

−π/2(+π/2) để thu được biên độ phân cực tròn phải (hoặc trái).

hβδ = h[(e+)βδcos(ωt − kz) ± (e×)βδsin(ωt − kz)]