TIỂU LUẬN lý THUYẾT dẻo

luận văn, khóa luận, chuyên đề, đề tài, báo cáo,

MỤC LỤC

I GIỚI THIỆU CHUNG

II XÂY DỰNG MÔ HÌNH

III KẾT LUẬN

I GIỚI THIỆU CHUNG

- Đất là một loại vật liệu mà ứng xử của nó rất phức tạp dưới tác dụng của tải trọng, lộ trình ứng suất- biến dạng diễn ra khác nhau tại những thời điểm khác nhau Đất có cả giai đoạn biến dạng đàn hồi lẫn biến dạng dẻo, trong đó phần biến dạng dẻo là chủ yếu Đất nền tự nhiên gánh đở công trình ứng xử như vật liệu đàn hồi nếu như tải tác động chưa vượt qua áp lực cố kết trước Đối với đất cố kết thường thực tế đó là đất yếu vì lọai đất này được định nghĩa là trong quá khứ chỉ chịu trọng lượng bản thân nên chỉ cần chịu thêm bất kỳ tải trọng gia tăng nào cũng đều gây

ra biến dạng dẻo Thông thường thì nền đất luôn ứng xử đàn hồi – dẻo là loại ứng xử không xét đến ảnh hưởng thời gian, để bổ sung thời gian thường được sử dụng bài toán cố kết thấm hoặc thoát nước Nếu trực tiếp xét ảnh hưởng của thời gian vào ứng

xử của đất có thể xem xét mô hình đàn hồi – nhớt Do đó rất khó để tìm ra được một

mô hình có thể diễn tả được hết quá trình ứng xử của đất đã có nhiều nghiên cứu của các tác giả khắp nơi trên Thế giới nhằm tìm ra mô hình có thể mô phỏng gần đúng các trạng thái ứng xử của đất, đó là các mô hình như mô hình đàn hồi tuyến tính theo định luật Hook, Mohr-Coulomb, Camclay & Camclay cải tiến, Drucker-Prager, Duncan-Chang, Hyperelastic, Hypoelastic, Plaxis Hardening soft soil, Viscoelastic…Tuy nhiên mỗi mô hình chỉ thích hợp mô tả cho loại đất nào đó ứng với từng công trình cụ thể

II XÂY DỰNG MÔ HÌNH HYPERELASTIC:

- Mô hình đàn hồi phi tuyến Hyperelastic được giới thiệu bởi hai nhà vật lý người Mỹ Ronald Samuel Rivlyn(1915-2005) và Melvin Mooney(1893-1968) Sau này được phát triển bởi Sain Venant-Kirchhoff, Piola, Yeoh, Ogden, Houlsby (1985), Borja (1997), Gent(1996) và một số tác giả khác Mô hình này diễn tả ứng suất trong vật liệu chỉ phụ thuộc vào biến dạng mà không phụ thuộc vào lịch sử biến dạng

- Đặc trưng của mô hình này là khi không có ngoại lực tác dụng thì gọi đó

là trạng thái tự nhiên, khi có ngoại lực tác dụng vào vật liệu thì ứng suất-biến dạng sẽ thay đổi không tuyến tính, nhưng khi dỡ tải thì vật liệu dễ dàng trở lại trạng thái ban đầu và không có sự hao tổn năng lượng cho quá trình biến dạng này

- Vì mô hình Hyperelastic được xây dựng dựa vào phương pháp của Green, sử dụng 2 quy luật cơ học là Nhiệt động lực học và Khả dĩ động Do đó đôi khi người ta gọi mô hình Hyoerelasitic là mô hình Green

Hyperelastic khởi đầu với hàm mật độ năng lượng biến dạng W, hoặc hàm mật độ năng lượng bù Ω

Theo quy luật nhiệt động lực học có thể diễn tả:

dW

e + dQ = dT + dU Trong đó: dW

e là sự thay đổi công trong hệ thống do ngoại lực

dQ sự thay đổi nhiệt trong hệ thống

dT sự thay đổi năng lượng dịch chuyển của hệ thống

dU là sự thay đổi nội năng trong hệ thống Mặt khác, quy luật khả dĩ động có thể viết “Tổng gia số công ngoại và công nội trong

hệ thống bằng sự thay đổi dịch chuyển trong hệ thống”:

dW

e + dW

i = dT Trong đó: dWi sự thay đổi công trong hệ thống bởi nội lực

Thay dW

e = dT - dW

i vào biểu thức trên:

dW

i = dQ - dU Nếu sự thay đổi nhiệt trong hệ thống dQ = 0, thì:

dW

i = - dU Xét trường hợp khối vật liệu có thể tích V và diện tích mặt S chịu một chuyển vị nhỏ

du, sự thay đổi công do ngoại lực T

i = σ

jin

j và lực khối có thể diễn tả:

(3.12)

Trong đó nj là cosin chỉ hướng của vecteur pháp tuyến hướng ra ngoài của mặt S, với định lý Divergence, đại lượng đầu vế phải (3.12) có thể chuyển vào tích phân thể tích

(3.13) Trong đó chỉ số j sau dấu phẩy (,) diễn tả đạo hàm theo trục toạ độ tương ứng, thay (3.13) vào (3.12)

Theo hệ phương trình cân bằng có σ

ji,j + F

i = 0 nên (3.14) có dạng:

(3.15) Gradient của du

i,j có dạng là:

du

i,j = ½ (du

i,j + du

j,i)+ ½ (du

i,j - du

j,i) (3.16) trong đó hai đại lượng tuần tự đối xứng và tenseur, nên thay (3.16) vào (3.15) có

được:

(3.17)

ejijiii

SV

dWndudSFdudV

σ=+

∫∫

()

()

,,,jijijiijiijiji

jjSVVV

ndudSdudVdudVdudV

σσσσ

==+

∫∫∫∫

ejiij V dWddV

σε

=

∫

,, 1 [()()]

2

ejiijji V dWdududV

σ=+

∫

,,

1

[()()]

2

ejiijji

V

dWdududV

σ=+

∫

Sử dụng quan hệ ứng suất – biến dạng thơng đưa vào (3.17)

(3.18) với dε

ij là gia số của tenseur biến dạng, từ dQ (sự thay đổi nhiệt trong hệ thống) =0

dT (sự thay đổi năng lượng dịch chuyển của hệ thống) = 0 trong quá trình dịch chuyển

bé, (3.8) cĩ thể viết : dW

e = dU (3.19)

ký chú nội năng theo đơn vị thể tích (hàm mật độ nội năng hoặc là hàm mật độ năng

lượng biến dạng) là W, dU (là sự thay đổi nội năng trong hệ thống) cĩ thể diễn tả:

(3.20)

Từ (3.18; 3.19 và 3.20) cĩ thể viết:

(3.21)

Nĩ sẽ dẫn đến, hàm mật độ năng lượng biến dạng :

(3.22)

Vì hàm mật độ nội năng W phụ thuộc vào các thành phần biến dạng εij, thay đổi W có thể diễn tả theo dij W dWdεε∂=∂ εij,

(3.23)

So sánh (3.22) và (3.23), tenseur ứng suất σij (=σji)

ij

W

σε∂=∂

(3.24)

Là cơ sở của mô hình đàn hồi Green Đối với vật liệu đẳng hướng, W là hàm của cả

ba bất biến tenseur biến dạng εij:

1

I

ε ε=

;

2 1

ijji

I

ε εε

=

;

3 1

ijjkki

I

ε εεε

=

Phương trình (3.24) có thể viết lại:

123

ij

ijijij

III

WWW

III

εεε

σεεε

∂∂∂

=++

∂∂∂∂∂∂

(3.26)

Vì

1

I

ε

δε∂=∂

;

2

I

ε εε∂=∂

;

3

ikkj ij

I

ε εε ε∂=∂

Như vậy (3.26) có thể viết lại:

123

ijijijikkj

WWW III

εεε σδεεε

∂∂∂

=++

∂∂∂

(3.28)

thể diễn tả theo dij W dWdεε∂=∂ εij,

(3.23)

So sánh (3.22) và (3.23), tenseur ứng suất σij (=σji)

ij W

σε∂=∂

(3.24)

ba bất biến tenseur biến dạng εij:

1

ii I

ε ε=

;

2 1

ijji I

ε εε

=

;

3 1

ijjkki I

ε εεε

=

Phương trình (3.24) có thể viết lại:

123

ij

ijijij

III

WWW

III

εεε

σεεε

∂∂∂

=++

∂∂∂∂∂∂

(3.26)

Vì

1

ij

I

ε

δε∂=∂

;

2

ij I

ε εε∂=∂

;

3

ikkj ij I

ε εε ε∂=∂

Như vậy (3.26) có thể viết lại:

123

ijijijikkj WWW III

εεε σδεεε

∂∂∂

=++

∂∂∂

(3.28)

jiij VV ddVdWdV

σε

=

∫∫

V dUdWdV

=

∫

jiij dWd

σε

=

jiij VV ddVdWdV

σε

=

∫∫

TIỂU LUẬN : LÝ THUYẾT DẺO GVHD: PGS TS CHÂU NGỌC ẨN

Dựa trên nhiều hàm tương quan của W theo bất biến biến dạng, Ω theo bất biến ứng

suất, quan hệ ứng suất – biến dạng đàn hồi phi tuyến theo dạng cát tuyến cĩ được từ

(3.28) hoặc (3.37) Hyperelastic đạt quan hệ một đối một giữa trạng thái ứng suất –

biến dạng, hồi phục và lộ trình độc lập ứng suất và biến dạng Ghi nhận là tenseur ứng

suất σ

ij (3.24) và tenseur biến dạng ε

ij (3.33) đều thẳng gĩc với mặt của hàm mật độ năng lượng biến dạng W và hàm mật độ năng lượng bù Ω

của cả ba bất biến tenseur biến dạng εij:

123

ij

ijijij

III

WWW

III

εεε

σεεε

∂∂∂

=++

∂∂∂∂∂∂

1

I

ε

δε

Như vậy (3.26) có thể viết lại:

123

ijijijikkj

WWW III

εεε σδεεε

∂∂∂

=++

∂∂∂

(3.28) (3.28) phụ thuộc vào các điều kiện tương thích (tích phân được)

2112

WW IIII

εεεε



∂∂∂∂

=

∂∂∂∂



3113

WW IIII

εεεε



∂∂∂∂

=

∂∂∂∂



3223

WW IIII

εεεε



∂∂∂∂

=

∂∂∂∂



Tương tự với (3.28) khi xét sự tồn tại của hàm mật độ năng lượng bù Ω là hàm theo

tenseur ứng suất σij Sử dụng biểu thức tương quan:

ijij

W

σε +Ω=

(3.30)

Đạo hàm (3.30) theo ijijijij klklklklijklkl WWεσεεσεσεσσσσεσσ∂∂∂∂∂Ω∂∂=−++=−+∂∂∂∂∂∂∂ (3.31)σkl

Từ (3.24) để rút gọn (3.31)

ij klkl

σεσσ

∂∂Ω

=∂∂

(3.32)

Vì

ij

ikjl

kl

σδδ

σ∂=∂

, sau cùng có được:

kl

εσ∂Ω

=∂

hoặc là

ij

εσ∂Ω

=∂

(3.33) Với vật liệu đẳng hướng, hàm mật độ năng lượng bù Ω là một hàm của ba bất biến

độc lập của tenseur ứng suất:

1

I

σ=

;

2 1

ijji

I

σσ

=

;

2 1

ijjkki

I

σσσ

=

Công thức (3.33) có thể diễn tả:

3 12 123

ij ijijij

III III

εσσσ

∂∂∂

∂Ω∂Ω∂Ω

=++

∂∂∂∂∂∂

(3.35)

Vì :

1

I

δσ∂=∂

;

2

I

σσ∂=∂

;

3

ikkj ij

I

εε σ∂=∂

Phương trình (3.35) viết lại:

123

ijijijikkj

III

σδσσσ

∂Ω∂Ω∂Ω

=++

∂∂∂

(3.37)

(3.30)

Mặt khác, kết quả vi phân các phương trình (3.24) và (3.33) trong quan hệ gia số ứng suất – biến dạng viết như sau:

Từ hai công thức (3.38) cho thấy rằng các module cát tuyến giống nhau trong tăng và

dỡ tải Như vậy, mô hình hyperelastic có quan hệ cơ bản không thể mô tả được ứng

xử của vật liệu theo lịch sử gia tải Các công thức gia số của hyperelastic có thể diễn

tả được trang thái biến dạng hoặc ứng suất – dị hướng trong vật liệu Không ổn định trong vật liệu của mô hình này xảy ra khi

Nét đặc trưng chính của hyperelasticity không có năng lượng sản sinh trong quá trình

áp tải tuần hoàn và từ đó quy luật nhiệt động lực học luôn thỏa

III KẾT LUẬN

1 Ưu điểm:

- Mặc dù có nhiều thiếu sót, mô hình hyperelastic đã được sử dụng như quan

hệ cơ bản phi tuyến cho đất Đặc biệt là vào thời kỳ mới áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn vào việc giải quyết các vấn đề cơ học đất,những dạng đơn giản của mô hình này cũng đã được sử dụng để mở rộng lý thuyết đàn hồi tuyến tính

- Lý thuyết của mô hình Hyperelastic được áp dụng chủ yếu vào việc mô phỏng tính đàn hồi của vật liệu Polyme khi chịu biến dạng lớn mà vẫn có thể hồi phục hình dạng (xem hình trên) Thông thường, nó thích hợp cho loại vật liệu có ứng xử đàn hồi khi chịu biến dạng rất lớn

2

'ijklijklkl

ijkl ddHd

εσσ σσ

∂Ω

==

∂∂

2

ijklijklkl

ijkl

W

ddHd

σεε

εε

∂==

∂∂

det0

ijkl

H

- Mô hình Hyperelastic còn có thể mô phỏng khá chính xác biến dạng của đất khi chịu tải trọng tăng-giảm dần đều, và còn có thể thể hiện được một vài thông số đặc trưng cho trạng thái của đất như: Đàn hồi phi tuyến, tính nở, ứng suất không đẳng hướng và biến dạng mềm

2 Khuyết điểm:

- Không thể thấy được sự không đàn hồi của biến dạng trong đất vì lộ trình của nó độc lập, đó là kết quả của quan hệ một đối một của ứng suất và biến dạng

- Một khuyết điểm nữa của mô hình Hyperelastic là cần quá nhiều thông số

để tính toán, mô hình thế hệ thứ 3 cần 9 thông số, thế hệ thứ 5 cần đến 14 thông số do

đó đòi hỏi số lượng thí nghiệm nhiều, điều này dẫn đến tính áp dụng thực tế của mô hình này sẽ không hiệu quả

Dưới đây là bảng tổng hợp ưu nhược điệm của mô hình Hyperelastic của Chen:

TÀI LIỆU THAM KHẢO

ü Bài giảng “Lý thuyết deo” –PGS TS Châu Ngọc Ẩn

ü CHEN Nonlinear Analysis in Soil Mechanics- phần 3.2.3 Hyperelastic Model (từ trang 59 đến trang 65)

ü Bài báo trên tạp chí EJGE của các tác giả Kok Sien Ti, Bujang B.K Huat,

Jamaloddin Noorzaei, Moh’d Seleh Jaafar – Đại học Putra Malaysia, Serdang, Selangor, Malaysia

ü Bài báo “Fully nonliner Hyperelastic analysis of nearly incompressible solids: Elements and material models in MSC/NASTRAN” của tác giả Katerina-D Papoulia (Los Angeles-Hoa Kỳ)

ü Wikipedia