giáo trình luyện thi học sinh giỏi

Chiêu số 16đối xứng và vi phân phân tích tính đối xứng hình học đơn giản hoá phép tính tích phân trong việc xây dựng và phát 1 số triển vấn đề Trong các đề thi học sinh giỏi vật lý phổ

Giáo trình luyện thi học sinh giỏi

Phần cơ học chất điểm

Mục lục Chiêu số 1.Đổi hệ quy chiếu Chiêu số 2 Tiếp đất

Chiêu số 3 Vợt rào Chiêu số 4 Toán học hoá

Chiêu số 5 Hợp lực trong chuyển động cong Chiêu số 6 Hệ vật

Chiêu số 7 Vật dời sàn, máng Chiêu số 8 Phơng trình khối tâm Chiêu số 9 Phản lực lên vật rắn Chiêu số 10 Hệ vật

Chiêu số 11 Đứt dây Chiêu số 12 Lăn không trợt Chiêu số 13 Công của lực ma sát Chiêu số 14 Vật rắn

Chiêu số 15 Dây trùng Chiêu số 16 Đối xứng và vi phân Chiêu số 17 Nhu hoá cơng đề Chiêu số 18 Dĩ bất biến ứng vạn biến

Chiêu số 16

đối xứng và vi phân (phân tích tính đối xứng hình học đơn giản hoá phép tính tích phân

trong việc xây dựng và phát 1 số triển vấn đề)

Trong các đề thi học sinh giỏi vật lý phổ thông, các bài toán vật lý có sử dụng tích phân 3 lớp luôn là nỗi ám ảnh của học sinh và cũng là những trăn trở của không ít giáo viên, bởi vì các

em cha đợc trang bị đầy đủ công cụ toán học cần thiết, trong khi các giáo viên lý không dễ gì

bổ túc toán học kịp thời cho học sinh đợc Ngợc lại nhu cầu đào sâu kiến thức vật lý lại vô cùng, các em có thể tiếp thu những kiến thức vợt chơng trình tràn sang cả vật lý đại cơng, do

đó các bài tập cần phải sử dụng công cụ toán học nhiều hơn Để giải quyết mâu thuẫn này chúng ta cần đơn giản hoá công cụ toán học Một trong những giải pháp đó là khai thác triệt

để những phân tích vật lý và tinh tế trong việc vận dụng toán học.

Trớc khi đọc bài viết quý vị nên đọc 3 câu thần chú

Khai thác triệt để bản chất vật lý, đơn giản hoá tối đa công cụ toán học

Rời rạc xích ma, liên tục tích phân Ngợc thác lên đỉnh, xuôi dòng ra biển lớn Tác dụng của thần chú tuỳ mọi ngời thẩm ngộ do đó tôi không đa lời bình giải!

1 Kiến thức chung

a Cơ sở lý thuyết

Các đại lợng vật lý là một véc tơ và B là một vô hớng A và B là một hàm mà các giá trị vi phân của chúng là một phổ liên tục Ta có thể phân tích A, B thành chuỗi dới dạng

= (16.I)

Và B = (16.II)

b Sử dụng tích mô tả 1 số phơng trình vật lý

• Các đại lợng động học

v 2 v– 1 = (16.1) x2 x– 1 = (16.2)

ω2 –ω1 = (16.3) ϕ2 –ϕ 1 = (16.4)

• Dạng khác của định luật II Newton

- Nếu khối lợng không đổi thì: v2 v– 1 = (16.6)

Các phơng trình: (16.1;2;5;6) viết cho chuyển động thẳng, các phơng trình (16.3;4) viết cho chuyển động tròn

• Công cơ học

- Công suất trung bình: Ptb = (16.8)

- Thế năng: Wt2 - Wt1 = - (16.9)

• Phơng trình khối tâm

- Tổng quát: = (16.11)

- Các toạ độ :

• Mô men quán tính

- Tổng quát: : I = (16.13)

- Theo các thành phần: I = Ix + Iy + Iz (16.14)

- Định lý stennơ - Huyghen: Id = IC + md2 (16.15)

• Các đại lợng không thuộc cơ học cũng có thể dùng tích phân nh

q(i); i(j); E(dE); U(E); U(i); R(l); N(E); B(dB); φ(B) φ(ξ)…….

2 Xác định toạ độ khối tâm vật rắn

a Phơng pháp

B1 Chọn cách chia vật rắn thành các vi phân phần nhỏ)

- Đây là bớc cực kỳ quan trọng gần nh quyết định sự thắng bại

của bài toán

- Dựa vào tính đối xứng, biện luận để loại bớt 1 hoặc 2 toạ độ

B2 Lập biểu thức tính vi phân kích thớc từ đó suy ra vi phân

khối lợng

B3 áp dụng phơng trình khối tâm (công thức 16.11; 16.12)

B4 Chuyển các đại lợng về chung ẩn và tính tích phân vừa lập

b Xác định trọng tâm của vật rắn thuộc 1 số dạng hình học

Bài 1 Một thanh thép (hình 16.10 mảnh đồng chất thiết diện đều đợc uốn thành nửa vòng tròn

bán kính R Xác định trọng tâm của thanh

Giải mẫu

Trớc khi chia thanh thép thành các vi phân ta thấy rằng Thanh thép có tính đối xứng theo OY

do đó trọng tâm chắc chắn nằm trên OY nên hoành độ trọng tâm bằng không, ta chỉ phải tính tung độ

B1 Chia cung tròn thành các vi phân chiều dài, mỗi vi phân có chiều dài dl.Mỗi vi phân này

đ-ợc chắn bởi một góc chắn dα

B2 Chiều dài mỗi vi phân là dl ⇒ khối lợng mỗi vi phân là

Với ρ là mật độ khối lợng (chú ý: mật độ khối lợng khác khối lợng riêng)

Trong đó ρ = (2)

Thay (2) vào (1) ta có: dm = (3)

đa (3) vào (4) ta có yG = (5)

Trong phơng trình (5) có 2 biến: y và l Trong khi tích phân chỉ có 1 lớp Do đó phải chuyển về cùng một biến

B4 (quy l và y về α )

Ta có: y = R sin α và dl = Rdα Đa 2 biến này vào phơng trình (5) ta có:

yG =

Đến đây công việc của vật lý đã hết, quý vị tính Tích phân (6) theo cách của mình và cho kết quả yG =

Vậy trọng tâm của thanh nằm trên bán kính đi qua

điểm chính giữa thanh cách tâm một khoảng R/π

• Từ đây ta có thể phát triển thành nhiều bài ứng

dụng bài toán này

Phát triển 1: Tính lực hấp dẫn Cho một thanh mảnh

đồng chất thiết diện đều có dạng nửa đờng tròn bán

kính R, khối lợng M Ngời ta đặt ở tâm thanh một

chất điểm có khối lợng m Tính lực hấp dẫn giữa 2

vật

Phát triển 2: dao động của con lắc vật lý: Thanh

thép trên đợc uốn nhờ một sợi dây cớc mảnh bằng

cách buộc thật căng 2 đầu , ở chính giữa dây cớc có

một cái khuyên Ngời ta cho thanh dao động trong mặt phẳng thẳng đứng, trục quay nằm ngang, mặt thanh là mặt phẳng thẳng đứng Tính tần số góc của thanh khi đợc kích thích dao

động nhỏ (Muốn làm bài này ta xem mục 3 để tính mô men quán tính)

• Tiếp theo ta nâng cấp bài trên

Bài 2 Thanh thép trên đợc uốn thành một cung tròn có bán kính R góc chắn cung là 2α0 (tất

nhiên nếu cha cho góc chắn 2α0 ta có thể dựa vào chiều dài cung và bán kính để tính : 2 α0 = l/R) Xác định trọng tâm của thanh

Bài này hoàn toàn tơng tự bài trên Ta cũng dựa vào tính đối xứng của thanh

để xác định hoành độ trọng tâm bằng không

và công thức (6) bây giờ là

yG = (6)

Về mặt toán học chúng ta cũng có thể lấy α là góc hợp bởi trục tung với bán kính khảo sát Khi

đó công thức 6 có thể về công thức “hơi” gọn hơn

Việc sử dụng toán học là tuỳ thói quen mỗi ngời

• Ta tiếp tục nâng cấp bài toán 1

Bài 3 Bây giờ ta thay nửa vành tròn bằng bán nguyệt

Giải

Tơng tự các bài trên trọng tâm nằm trên OY nh hình vẽ

Ta chia bán nguyệt thành các vi phân theo các lát cắt song song với đáy, mỗi vi phân có chiều cao

dy Với cách chia này mỗi vi phân có khối lợng dm và trọng tâm nằm ngay trên OY

Ta có chiều dài mỗi vi phân bằng 2x Với x là hoành độ giao điểm của vi phân với đờng tròn giới hạn bán nguyệt

Để thay đổi không khí bây giờ ta lấy α là góc nh hình vẽ

⇒ chiều diện tích vi phân là dS = 2x.dy = 2 R.sin α dy

Mặt khác: y = Rcosα ⇒ dy = - R.sinα dα

Thay lên trên ta đợc dS = -2 R2 sin 2α.dα

⇒ khối lợng vi phân: dm = sin2α dα

Ta có: tung độ trọng tâm là: yG =

• Bài 3 đợc phát triển tơng tự bài 1 ( thanh nửa đờng tròn) Ta cho góc chắn là 2α sẽ đợc bài mới

• Nâng cấp bài 3 thành bán cầu

Làm tơng tự bán nguyệt ta có độ cao của trọng tâm so với đáy là: 3R/8

Bài toán xác định toạ đọ khối tâm bằng phơng pháp đối xứng và vi phân còn

Rất nhiều vấn đề cần khái thác quý vị tự phát triển theo sở trờng của mình

Ta tạm kết thúc phần này ở đây Bây giờ ta chuyển sang một vấn đề hấp dẫn hơn

Trong vấn đề này chúng ta sẽ thấy rõ đợc vai trò của việc hiểu kỹ bản chất vật lý lớn lao đến

cỡ nào

3 tính mô men quán tính của vật

rắn

Bài toán dạng này về cơ bản cũng dùng 4 bớc gần nh

giống hệt bài toán khối tâm, chỉ có điều trong bớc 3

chúng ta dùng công thức 16.13 và có thể dùng đến

(16.14)

Bây giờ ta bắt đầu từ những bài dễ trớc

a Xuất phát từ vành tròn đơn giản

Bài 4 Chứng minh rằng mô men quán tính của vành

tròn có khối lợng M, bán kính R đối với trục quay trùng với trục của vành (trục vật lý trùng với

Tơng tự bài 1

B1 ta chia đờng tròn thành các vi phân chiều dài dl

B2 Khối lợng mỗi vi phân là dm = ρ.dl =

B3 áp dụng công thức: I =

Trong công thức này r đúng bằng bán kính vành tròn R nên ta có: I = R2 = MR2

Nh vậy bài toán này thậm chí không cần thiết phải tính dm nh bớc (2) Khi làm bài các em Hs không cần làm bớc này Tuy nhiên chúng ta đang nghiên cứu bài toán ở góc độ khác, bớc này có vai trò nh một nấc thanh trong mạch t duy mà chúng ta sẽ phát triển phía sau

• nâng cấp 1

Bài 5 Tính mô men quán tính của trụ rỗng đối với trục hình học

Giải

Khoan hãy chia hình trụ Ta hãy bình tĩnh phân tích đã

Có một tồn tại khá phổ biến Khi ta chia vật thành các vi phân thông thờng ta cứ nghĩ vi phân là những phần vật rất nhỏ (kiểu nh cái bánh mì có thể chia thành vi phân là các hạt bột hay nhỏ hơn nữa) Điều này thật máy móc, và nếu ta không tinh tế trong vật lý sẽ khiến chúng ta phải

gặp phiền hà với toán học

Quay lại với cái bánh mình Ta có thể chia bánh mình thành các vi phân dạng lát cắt, mà lát cắt thì có muôn hình vạn trạng những cách thức cắt chia

Vậy bài toán trụ rỗng ta sẽ chia thế nào? Để trả lời đợc câu

này ta hãy để ý rằng nếu cắt hình trụ bằng những lát cắt

vuông góc với trục thì 2 lát cắt rât gần nhau cho ta một vành

tròn Vậy ta phải nghĩ đến việc kế thừa kết quả từ bài trớc

B1 Chia hình thành các vi phân có dạng vành tròn, mỗi vành

có chiều cao dh

B2 Chú ý rằng mỗi vi phân này chính là một vành tròn có

khối lợng

dm = ρ dh =

và mô men quán tính là I = R 2 dm

B3 Đối với dạng bài có tính kế thờng hình học từ các bài

khác bớc này quan trọng nhất

áp dụng công thức: I =

Nh vậy bài này ta dùng ngay công thức cao nhất của tích phân trong phần có sở lý thuyết

Vậy dI là gì Chính là mômen quán tính của các vi phân đã chia ở trên do đó dI = R2 dm

Từ đây ta hoàn toàn có thể kết luận đợc:

Hệ quả 1

Một vật rắn đồng chất thiết diện đều, trục quay vuông góc với thiết diện này thì mô men quán tính không đổi nếu bề dày của vật thay đổi

• nâng cấp 2

Bài 6 Tính mô men quán tính của trụ rỗng đối với trục hình học biết khối lợng trụ là M, bán

kính R

Hình 16.4

Hớng dẫn

Chia cầu thành các vành tròn, mỗi vành có bán kính r, chiều cao dh

• Nâng cấp 3

Bài 7 Tính mô men quán tính của đĩa tròn đồng chất có bán kính R, khối lợng M

Hớng dẫn

Tơng tự bài 6 ta chia đĩa thành các vành tròn, mỗi vành có bán kính r, bề rộng dr

Lặp lại 4 bớc cơ bản ta tính đợc I = 0,5M.R2

• Nâng cấp 3.1 (nâng cấp từ bài 7 - đĩa tròn)

Bài 8 Tính mô men quán tính của trụ đặc đồng chất có khối lợng M, bán kính r

Hớng dẫn

Sử dụng hệ quả 1 ta cũng chứng minh đợc mô men quán tính của trụ đặc bằng mô men quán

tính của đĩa tròn

Bây giờ ta chuyển sang nhóm hình học khác

• Nâng cấp 3.2 (nâng cấp từ bài 7- đĩa tròn)

Bài 9 Tính mô men quán tính của cầu đặc đồng chất có bán kính R, khối lợng M đối với trục

cố định đi qua tâm

Hớng dẫn: chia quả cầu thành các đĩa tròn có bán kính r, bề dày dh

b Đến các hình dạng phức tạp

Bài 10 Viên phân

Tính mô men quán tính của hình viên phân Biết khối lợng của vật là M,

bán kính trong là R1; bán kính ngoài là R2 Trục quay cố định là trục

hình học

Bài 11 Cắt gọt quả cầu

Tính mô men quán tính của một quả cầu đặc, rỗng (hai bài) có bán kính

R, khối lợng M khi bị cắt bằng 2 mặt phẳng song song nhau và song

song với một mặt phẳng xích đạo, các mặt phẳng cách xích đạo lần lợt

những khoảng h1; h2

Bài 12 Làm rỗng quả cầu

Tính mô men quán tính của một quả cầu có khối lợng M, biết quả cầu đợc giới hạn bởi 2 mặt cầu, mặt ngoài có bán kính R2; mặt trong có bán kính R1 2 mặt cầu này đồng tâm Trục quay

cố định là trục hình học

………

Khả năng khai thác của chuyên đề còn rất nhiều, quý vị tự

phát triển theo sở trờng của mình Bây giờ ta chuyển sang

nhóm hình học khác

c Đề xuất: Khai thác bài toán thanh mảnh

Bài 13 Tính mô men quán tính của thanh mảnh, đồng

chất thiết diện (nhỏ)đều đối với trục đi qua trung điểm thanh và vuông góc với thanh

- Bài này không có gì khó (quý vị tự giải)

- Dùng hệ quả 1 để nâng cấp

Hình 16.4

Hinh 16.5

Hình 16.6

Bµi 14 TÝnh m« men qu¸n tÝnh cña c¸c h×nh sau, cho trôc quay vu«ng gãc víi vËt vµ

®i qua träng t©m

˜ V.P ™.

T¸c gi¶

Vò Duy Ph¬ng G§ C«ng ty TNHH Trung T©m Hoa Tö - §T: 0984 666 104

§/C: 08 ngâ 286 §éi Cung P Tr – êng Thi TP Thanh Ho¸ –

Email: hoatutiensinh@gmail.com

Facebook: facebook.com/trungtamhoatu ; facebook.com/hoatutiensinh

H×nh 16.7