skkn hệ thức vi - ét và ứng dụng

cho trước; tìm nghiệm kia8 Dạng 3 Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc 2 có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện cho trước... dạy cho học sinh nắm được phương pháp giải một số

cho trước; tìm nghiệm kia

8

Dạng 3 Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc 2 có hai nghiệm x1 ,

x2 thoả mãn điều kiện cho trước

dạy cho học sinh nắm được phương pháp giải một số dạng toán có tầm quan trọng đặc biệt – Đó là một trong những vấn đề trọng tâm của phương pháp dạy học toán

ở trường phổ thông Đối với học sinh THCS có thể coi việc nắm được phương pháp giải các dạng toán là một hình thức chủ yếu của việc dạy học toán

Một trong những dạng toán đó thì giải và biện luận phương trình bậc hai có chứa tham số là một dạng toán khó Làm thế nào để có tính chặt chẽ trong khi giải phường trình bậc hai ? Làm thế nào để tìm được các giá trị của tham số để xấy ra mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai? Từ đó giúp học sinh nắm được kiến thức về phương trình bậc hai và giải được các đề thi? Để góp phần giải quyết vấn đề này một cách đơn giản hơn nhờ “Hệ thức Vi – Ét” - Một phương tiện hiệu quả giúp học sinh giải dạng toán này

2 Cơ sở thực tiễn

Phương trình bậc hai là một loại toán khó Ngoài việc nắm được công thức nghiệm

để giải và biện luận phương trình bậc hai thì còn có một số bài toán yêu cầu tìm mối quan hệ giữa hai nghiệm , các phép tính trên hai nghiệm… và đặc biệt là giúp học sinh tổng hợp được một số dạng toán về phương trình bậc hai có chứa tham số nhằm phục vụ tốt cho tuyển sinh THPT, các trường chuyên, lớp chọn và tạo tiền đề vững chắc cho các em khi học lên THPT Trong bài viết này tôi đã tổng hợp lại một số bài toán có sử dụng hệ thức Vi- ét từ dễ đến khó nhằm giúp học sinh nắm được kiến thức và kỹ năng làm bài Tôi hy vọng rằng đề tài của tôi có phần góp ích cho bạn bè đồng nghiệp và cho học sinh

PHẦN II NỘI DUNG

I Thực trạng của vấn đề

Trong quá trình giảng dạy và ôn luyện cho học sinh lớp 9 để chuẩn bị tốt cho kì

thi tuyển sinh THPT Và cũng như qua nhiều tiết dự giờ của bạn bè đồng nghiệp

tôi thấy: Khi dạy bài “ HỆ THỨC VI - ÉT VÀ ỨNG DỤNG” Hầu hết HS đều nhận biết được kiến thức cơ bản của “ Hệ thức Vi - ét” Nhưng về việc vận dụng

“Hệ Thức” sao cho có hiệu quả trong từng bài toán, dạng toán thì HS gặp rất nhiều lúng túng và bỡ ngỡ Mà trong các đề thi tuyển sinh vào các trường THPT ( kể cả một số trường chuyên, lớp chọn) thì thường có bài toán giải phương trình bậc hai

và có câu sẽ vận dụng được hệ thức Vi - ét để làm bài Bên cạnh đó một số giáo viên khi giảng dạy chỉ chú trọng việc cung cấp kiến thức cho HS mà ít rèn cho HS

kĩ năng vận dụng kiến thức đó vào bài tập Chính xuất phát từ những vấn đề đó mà khi giảng dạy tôi luôn trăn trở và tìm tòi những phương pháp, biện pháp để phát huy tính hiệu quả

II Giải quyết vấn đề

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) và biệt thức ∆=b2 −4ac

+ Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1;2

2

b x

+ Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm

2 Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai

Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) và b= 2b’ biệt thức ∆ =' b'2 −ac

+ Nếu ∆ > ' 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1;2 b' '

Áp dụng: Tính nhẩm nghiệm

+) Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có

một nghiệm x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 = c

a

+) Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có

một nghiệm x1 = -1, còn nghiệm kia là x2 = c

a

−

4 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình

x2 - Sx + P = 0 ( ĐK: S2 – 4P ≥ 0)

B BÀI TẬP VẬN DỤNG

Dạng 1: Loại toán tìm nghiệm; tìm hai số và xét dấu của các nghiệm

Bài 1 Tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:

a) 3x2 – 5x + 2 = 0 (1) b) 7 x2 + 13x + 6 = 0 (2)

c)(2 - 3)x2 – 5x + 3 + 3 = 0 (3) d) x2 – 7x + 12 = 0 (4)

e) ( m - 1) x2 - ( 2m + 3) x + m + 4 = 0 ( với m ≠1) (5)

Giảia) Phương trình (1) có dạng a + b+ c = 0 nên x1 = 1 ; x2 = là hai nghiệm của phương trình đã cho

b) Phương trình (2) có dạng a - b+ c = 0 nên x1 = - 1 ; x2 = - là hai nghiệm của phương trình đã cho

c) Phương trình (3) có dạng a + b+ c = 0 nên x1 = 1 ; x2 = 3 3(2 3)

hai nghiệm của phương trình đã cho

d) Vì (-3) + (-4) = -7 và (-3) ( -4) = 12 nên x1 = -3; x2 = -4 là hai nghiệm của

phương trình đã cho

e) với m ≠1 mà phương trình có dạng a + b + c = 0 nên x1 = 1 ; x2 = là hai

nghiệm của phương trình đã cho

Bài 2 Tìm hai số u và v biết

a) u + v = 15, uv = 56 b) u - v = 15, uv = 100

c) u2 + v2 = 25, uv = 12 d) u2 + v2 = 13, u + v = 5

e) u + v = -8 , u2 - v2 = 16

Giảia) Hai số u và v cần tìm là hai nghiệm của phương trình:

Như vậy từ bài toán tìm u và v ta đưa về bài toán tìm u2 và v2

Hai số u2 và v2 là hai nghiệm của phương trình

Nếu u2 = 16 ⇒ u = 4 hoặc u = -4

Với u = 4 thì v = 3

Với u = - 4 thì v = - 3Vậy các cặp số ( u, v) cần tìm là: ( 3; 4), (- 3; -4) , ( 4; 3) , ( -4 ; -3)

Cách 2:

712

u 25 (u ) 25 2

12

u v uv

Từ đó đưa bài toán đã cho thành bài toán tìm hai số biết tổng và tích

Bài 3 Không giải phương trình cho biết dấu các nghiệm:

a) x2 – 5x + 3 = 0 b) 3x2 – 5x - 2 = 0

c) 4 x2 + 15x + 2 = 0 d) 5x2 + 12x - 3 = 0

Giảia) Phương trình: x2 – 5x + 3 = 0

Do P > 0 nên hai nghiệm cùng dấu

S > 0 nên hai nghiệm cùng dấu dương

Do P < 0 nên hai nghiệm khác dấu

S > 0 nên nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn

Do P > 0 nên hai nghiệm cùng dấu

S < 0 nên hai nghiệm cùng âm

Do P < 0 nên hai nghiệm khác dấu

S < 0 nên nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn

Nhận xét: Qua bài toán trên cho ta biết mối quan hệ về dấu của nghiệm số của phương trình bậc hai mà không cần giải tìm nghiệm Cụ thể ta có:

DÊu cña nghiÖm sè cña ph¬ng tr×nh bËc hai.

Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Gọi x1 ,x2 là các nghiệm của

phương trình, đặt S = x1 + x2

P = x1x2 ta có các kết quả sau:

Hai nghiệm x1 vµ x2 tr¸i dÊu ( x1 < 0 < x2 ) ⇔ p < 0

Nếu S > 0 thì nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn

Nếu S < 0 thỡ nghiệm õm cú giỏ trị tuyệt đối lớn hơn

Hai nghiệm cựng dương( x1 > 0 và x2 > 0 ) ⇔

000

P S

P S

0 0 0

P S

P S

• Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x1 cho trớc có hai cách làm

+) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm:

+) Cách 2: - Không cần lập điều kiện∆ ≥ 0 (hoặc ∆ / ≥ 0) mà ta thay luôn

x = x1 vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị của tham số

- Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào phơng trình và

giải phơng trình

Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phơng trình đã cho mà phơng

trình bậc hai này có ∆ < 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phơng trình có nghiệm x1 cho trớc

Bài 4 ( Đề tuyển sinh tỉnh Nghệ An 2010 – 2011)

Cho phương trỡnh sau với tham số m: x2 - ( m +1) x + 2m – 2 = 0 (1)

a) Giải phương trỡnh (1) khi m = 2

b)Tỡm giỏ trị của tham số m để x = -2 là một nghiệm phương trỡnh (1) Tỡm nghiệm kia?

Giảia) Khi m = 2, phương trỡnh (1) trở thành: x2 - 3 x + 2 = 0 (1’)

Xột a + b + c = 1 + (-3) + 2 = 0 Nờn phương trỡnh ( 1’) cú hai nghiệm là:

⇔ m = -1 ( thoả món điều kiện (*))

Vậy với m = -1 thỡ phương trỡnh cú nghiệm x = -2

( chỳ ý: Trong bài này cú thể khụng cần phải xỏc định điều kiện để phương trỡnh

cú nghiệm)

Vậy nghiệm kia là x2 = 2

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc 2 có hai nghiệm x 1 , x 2

thoả mãn điều kiện cho trước

• Cách biến đổi một số hệ thức giữa các nghiệm của phương trình.

2 1 2 1

11

x x

x x x x

2 2

2 1 1

2 2

1

x x

x x x

x x

Bài 5 ( Đề tuyển sinh tỉnh Nghệ An 2006 – 2007)

Cho phương trình sau với tham số m: x2 - 2( m +2) x + m2 - 9 = 0 (1)

a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

b)Tìm giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả

Vậy: Với k1 =1 hoặc k2 = - 6 thỡ phương trỡnh cú nghiờmk kộp.

b) Điều kiện để phương trỡnh (1) cú hai nghiệm là: k ≤ − 6 hoặc k ≥ 1 (*)

Bài 7 Cho phơng trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0 (m là tham số)

a) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm với mọi m

b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia

Giảia)+ Nếu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi đó phơng trình đã cho trở thành;

5x – 5 = 0 ⇔ x = 1

+ Nếu : m + 2 ≠ 0 => m ≠ - 2 Khi đó phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt số :

∆ = (1 – 2m)2 - 4(m + 2)( m – 3) = 1 – 4m + 4m2 – 4(m2- m – 6) = 25 > 0

Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt

x1 =

)2(

2

512

4

2 =+

2 ( 2

) 3 ( 2 ) 2 ( 2

5 1 2

+

−

= +

−

= +

−

−

m

m m

m m

m

Tóm lại phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

b) Cỏch 1 ( Giải theo phương phỏp tỡm nghiệm)

Theo câu a) ta có m ≠ - 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để

nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia ta xét 2 trờng hợp

m x

m

−

=+Thay vào (2) ta cú:

2 2

m = (thoả mãn (*))

Bài 8 ( Đề tuyển sinh tỉnh Nghệ An 2009 – 2010)

Cho phương trình sau với tham số m: 2 x2 - ( m +3) x + m = 0 (1)

Tìm giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả

Dạng 4: Loại toán tính giá trị của biểu thức chứa tổng và tích hai nghiệm.

Bài 9 ( Đề tuyển sinh tỉnh Nghệ An 2009 – 2010)

Cho phương trình sau với tham số m: 2 x2 - ( m +3) x + m = 0 (1)

Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình (1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Nên

Tìm các giá trị của m để tổng bình phương hai nghiệm của phương trình (1) đạt giá trị nhỏ nhất.

Việc sử dụng hệ thức Vi – ét cũng rất thuận tiện trong việc giải loại toán này

Bài 12 Cho phương trình ẩn x tham số m:

(m - 1)x2 - 2m x + m - 4 = 0 ( với m ≠ 1) (1)Hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình mà không phụ thuộc vào m?

GiảiGọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1)

P m

⇔ 3(S - 2) = 2( 1 – P) hay 3( x1 +x2) + 2 x1x2 – 8 = 0 – Đây là một hệ thức liên

hệ giữa hai nghiệm độc lập với m

Bài 13 Cho phương trình ẩn x tham số m: x2 - 2(m + 1) x + 2m = 0 (1)

Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình Chứng tỏ: M = x1 + x2 – x1x2 không phụ thuộc vào giá trị của m

Giải

Ta có: ∆ = ′ ( m + − 1)2 2 m m = 2+ > 1 0 ∀ ∈ m R nên phương trình luôn có hai

nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

Theo Vi-ét có: 1 2

1 2

2( 1)2

Vậy: M = x1 + x2 – x1x2 không phụ thuộc vào giá trị của m

Ngoài những dạng toán thường gặp ở trên Khi giải phương trình bậc hai có chứa tham số ta còn gặp những dạng toán khó hơn như “ Tìm nghiệm hữu tỉ , nghiệm nguyên của phương trình bậc hai”

Dạng 6: Tìm nghiệm hữu tỉ , nghiệm nguyên của phương trình bậc hai”

Bài 14 Cho phương trình: x2 + mx + 3 = 0 (1) ( với m là những số nguyên)

a) Chứng minh rằng nếu phương trình (1) có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm đó

là số nguyên

b) Tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình (1)

Giảia)Nếu x = 0 là nghiệm của (1) thì m = -3 ta có điều phải chứng minh

Nếu (1) có nghiệm hữu tỉ x a

b

= ≠ 0 ( với a Z a∈ , ≠0,b N∈ * , ( ; ) 1a b = )Thay vào (1) ta có:

Khi đó tìm được m = 4 hoặc m= -4

+) Với m = 4 thì ( 1) ⇔ x2 + 4x+ 3 = 0

+) Với m = -4 thì (1) ⇔ x2 - 4x+ 3 = 0

Giải ( I) tìm được m = 4 khi đó thì ( 1) ⇔ x2 + 4x+ 3 = 0

Giải (II) ) tìm được m =-4 khi đó thì ( 1) ⇔ x2 - 4x+ 3 = 0

C MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP VÀ BÀI TẬP Bài 1 Cho phương trình: ( m - x + 2(m - 1)x + 1 = 0 (1)

a) Giải phương trình (1) khi m = 2

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

c) Tìm m để x12+ x22 = 5

Giảia) HS tự giải

b) Hướng dẫn:

Xét các trường hợp:

TH 1: a = m2 - 1 = 0 ⇔ m = ± 1

Lại xét các trường hợp của m

+ Nếu m = 1 thì (1) ⇔ 1 = 0 nên phương trình (1) vô nghiệm khi m = 1

∆’ ≥ 0 ⇔ -2m + 2≥ 0 ⇔ m ≤ 1 (***)

Kết hợp (*), (**), (***) ta cú: Với m < 1 thỡ phương trỡnh (1) cú nghiệm

c) Giải tương tự bài 6 b)

Bài 2 Cho phương trỡnh:

2x2 – (4m + 3)x + 2m2 - 1 = 0 (1) ( Với m là tham số)a) Giải phương trỡnh đó cho với m = 1

b) Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm x1 = 1 Tỡm nghệm kia?

c) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh (1) cú hai nghiệm phõn biệt trong đú cú một nghiệm bằng 1?

d) Tỡm m để biểu thức A = x12+ x22 đạt giỏ trị nhỏ nhất ( với x1, x2 là hai nghiệm của phương trỡnh)

Bài 3 Cho phương trỡnh:

x2 – 2mx + 2m – 5 = 0

a) Giải phương trỡnh khi m = 1

b) Chứng minh rằng phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt với mọi giỏ trị của m c) Tỡm điều kiện của m để phương trỡnh cú hai nghiệm trỏi dấu

d) Gọi hai nghiệm của phương trỡnh là x1,x2, tỡm cỏc giỏ trị của m để:

ài 4 : Cho phơng trình : x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m là tham số)

a) Giải phương trỡnh khi m = 0

b) Xác định m để phơng trình có một nghiệm là bằng 2 Tìm nghiệm còn lại

c) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 + x2 ≥ 0

HD : x1 + x2 ≥ 0 ⇔x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) ≥ 0

⇔ (x1 + x2)[(x1 + x2)2 – 3x1x2 ] ≥ 0

⇔ ( m + 4) ( m2 + 5m + 7) ≥ 0 ⇔ (m + 4)[(m + ) + ]≥ 0

⇔ m + 4 ≥ 0 vỡ (m + ) + ≥ 0 ⇔ m ≥ 4

Bài 5: Cho phơng trình : x2 – 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số)

a) Giải phơng trình (1) với m =

b) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với mọi m

c) Tìm m để x1 −x2 đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là hai nghiệm của phơng trình)

Bài 6: Cho phơng trình : mx2 + (2m - 1)x + m – 2 = 0 (1) (m là tham số)

a) Giải phơng trình (1) với m = 1

b) Xỏc định m để phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt

c) Gọi hai nghiệm của phương trỡnh là x1, x2 , tỡm m thoả món

b) Chứng tỏ rằng phương trỡnh cú nghiệm khi và chỉ khi: 0 ≤ ≤ m 1

c) Gọi hai nghiệm của phương trỡnh là x1, x2 , chứng minh: 1 2 1 2 9

b) Chứng tỏ rằng phương trỡnh cú hai nghiệm trỏi dấu với mọi m

Suy ra Min -A = 2 ⇔ m = 1 nên MaxA = - 2 ⇔ m = 1

Vậy với m = 1 thì A dạt giá trị lớnn nhất là - 2

∆ = m2-2m+1= (m-1)2≥0 mäi m=> pt cã nghiÖm víi mäi m

ta thÊy nghiÖm x=1 kh«ng thuéc (-1,0)

víi m≠ 1/2 pt cßn cã nghiÖm x=

1 2

=

1 2

0 1 1 2

0 1 2 2

m m

m

=>m<0

VËy Pt cã nghiÖm trong kho¶ng (-1,0) khi vµ chØ khi m < 0

Bài 10 Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = mx - 1

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt

b) Gọi x1, x2 lần lượt là hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) Tìm giá trị của m để:

- Như người ta thường nói: “ Vụ mùa của người nông dân thì trông chờ hạt lúa;

Vụ mùa của người giáo viên thì trông chờ kết quả ở những kỳ thi”

Thật vậy: Kết quả của những kỳ thi không những chỉ đánh giá tố chất của người học mà còn đánh giá năng lực giảng dạy của người thầy Sự thành công hay thất bại của HS phụ thuộc rất nhiều vào khả năng và phương pháp truyền thụ tri thức của thầy Kết quả này không phải một sớm một chiều là có được mà phải là qua một quá trình rèn luyện dài lâu

Học sinh trường tôi có nhiều hoàn cảnh khó khăn; việc học thêm ở trường đã

là khó chứ chưa nói đến việc đi học thêm nơi khác Thế nhưng bằng sự nỗ lực của

cả thầy và trò thì trong năm qua trường tôi cũng gặt hái được một số thành công đáng kể đặc biệt là về mặt chất lượng đại trà cụ thể:

Những năm trước đây qua các kì thi KSCL của phòng, của sở trường tôi thường đứng ở tốp cuối, qua kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thì thường đứng thứ 16