Đề cương ôn tập vào lớp 10 môn toán

, , ,x b y c a c by ax + Nghiệm của hệ là nghiệm chung của hai phơng trình + Nếu hai phơng trình ấy không có nghiệm chung thì ta nói hệ vô nghiệm + Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đờng

ĐỀ CƯƠNG ễN TẬP VÀO THPT

Đại số CHủ đề 1: Căn thức rút gọn biểu thức– rút gọn biểu thức

I căn thức:

 Kiến thức cơ bản:

1 Điều kiện tồn tại : A Có nghĩa  A 0

2 Hằng đẳng thức: A2 A

3 Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phơng: A.B  A. B (A 0 ;B 0 )

4 Liên hệ giữa phép chia và phép khai phơng:

B

A B

A

 (A 0 ;B  0 )

5 Đa thừa số ra ngoài căn: A2 B A B (B 0 )

6 Đa thừa số vào trong căn: A B A2.B

 ( B 0 )

8 Trục căn thức ở mẫu:

B A

B A C B A

3

5 3

1 1 5

1 2

2 2

3 4

2 2

5 7 5 7

5 7

3    2)  2  2

3 2 3

2    3)  2  2

3 5 3

5    4)15

2

8  - 8  2 15 5) 5  2 6  + 8  2 15 6)

8 3

5 2

2 3

5 3

2 4 3

ĐỀ CƯƠNG ễN TẬP VÀO THPT

 Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu đợc)

Tìm ĐKXĐ của biểu thức: là tìm TXĐ của từng phân thức rồi kết luận lại

Quy đồng, gồm các bớc:

+ Chọn mẫu chung : là tích các nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất

+ Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để đợc nhân tử phụ tơng ứng

+ Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung

Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức

2) Tớnh giỏ trị của biểu thức A tại x  3 2 2

Bài 2 Cho biểu thức : P = 4 4 4

2) Tỡm giỏ trị của a sao cho P = a + 1

Bài 3: Cho biểu thức A = 1 2

3/.Với giỏ trị nào của x thỡ A< -1

Bài 4: Cho biểu thức A = (1 )(1 )

b) Tỡm x để A = - 1

Bài 5 : Cho biểu thức : B =

x

x x

x  2 21 

1 2

2 1

a; Tìm TXĐ rồi rút gọn biểu thức B

b; Tính giá trị của B với x =3

Bài 6: Cho biểu thức : P =

x

x x

x x

2 2 1

1 ( : )

1 1

a a a

a; Tìm TXĐ rồi rút gọn Q

b; Tìm a để Q dơng

c; Tính giá trị của Biểu thức biết a = 9- 4 5

2

1

a a a

a a a a

a/ Tìm ĐKXĐ của M

b/ Rút gọn M

ĐỀ CƯƠNG ễN TẬP VÀO THPT Bài 9 : Cho biểu thức : K =

3 x

3 x 2 x 1

x 3 3 x 2 x

11 x 15

2 x 1

1 1 x x

x 1

x x

b Chứng minh rằng P > 0 với mọi x≥ 0 và x ≠ 1

1 a a 2 2

1 a

2 2

1

2 2

Cho x=0 => y=b => điểm (0;b) thuộc đồ thị hàm số y= ax+b

Cho y=0 => x=-b/a => điểm (-b/a;0) thuộc đồ thị hàm số y= ax+b

Đờng thẳng qua hai điểm (o;b) và (-b/a;0) là đồ thị hàm số y= ax+b

Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số : y = 2x + 1

Giải: Cho x=0 => y=1 => điểm (0;1) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1

Cho y=0 => x=-1/2 => điểm (-1/2;0) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1

ĐỀ CƯƠNG ễN TẬP VÀO THPT

Đờng thẳng qua hai điểm (0;1) và (-1/2;0) là đồ thị hàm số y = 2x + 1

 Điều kiện để hai đờng thẳng: (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, :

+ Cắt nhau: (d1) cắt (d2) a  a,

*/ Để hai đờng thẳng cắt nhau trên trục tung thì cân thêm điều kiện b  b'

*/ Để hai đờng thẳng vuông góc với nhau thì : ' 1





a a

+ Song song với nhau: (d1) // (d2) aa, ;bb'

+ Trùng nhau: (d1)  (d2) aa, ;bb'

Ví dụ: Cho hai hàm số bậc nhất: y = (3 – m) x + 2 (d1)

Và y = 2 x – m (d2)

a/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số song song với nhau

b/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau

c/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm trên trục tung

Giải:

a/ (d1)//(d2)  1

2 1 2

2 3

đồ thị:

Ph

ơng pháp: Ví dụ: Cho hàm số bậc nhất: y = ax + b Điểm M (x1; y1) có thuộc đồ thị không?

Thay giá trị của x1 vào hàm số; tính đợc y0 Nếu y0 = y1 thì điểm M thuộc đồ thị Nếu y0y1 thì điểm M không thuộc đồ thị

+ Giải hệ phơng trình ta tìm đợc giá trị của a và b

+ Thay giá trị của a và b vào y = ax + b ta đợc phơng tri9nhf đờng thẳng cần tìm

Bài 2: Cho hàm số bậc nhất y = (2 - a)x + a Biết đồ thị hàm số đi qua điểm M(3;1), hàm số đồng biến hay

nghịch biến trờn R ? Vỡ sao?

Bài 3: Cho hàm số bậc nhất y = (1- 3m)x + m + 3 đi qua N(1;-1) , hàm số đồng biến hay nghịch biến ? Vỡ sao? Bài 4: Cho hai đường thẳng y = mx – 2 ;(m 0 )và y = (2 - m)x + 4 ;(m 2 ) Tỡm điều kiện của m để haiđường thẳng trờn:

a) Song song

b) Cắt nhau

Bài 5: Với giỏ trị nào của m thỡ hai đường thẳng y = 2x + 3+m và y = 3x + 5- m cắt nhau tại một điểm trờn trục

tung Viết phương trỡnh đường thẳng (d) biết (d) song song với

(d’): y = x

2

1



và cắt trục hoành tại điểm cú hoành độ bằng 10

Bài 6: Viết phương trỡnh đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x và đi qua điểm A(2;7).

Bài 7: Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua hai điểm A(2; - 2) và B(-1;3).

Bài 8: Cho hai đường thẳng : (d1): y = 1 2

2x  và (d2): y = x2

a/ Vẽ (d1) và (d2) trờn cựng một hệ trục tọa độ Oxy

- Dạng1: Xỏc dịnh cỏc giỏ trị của cỏc hệ số để hàm số đồng biến, nghịch biến, Hai đường thẳng

song song; cắt nhau; trựng nhau

Phơng pháp: Xem lại các ví dụ ở trên

ĐỀ CƯƠNG ễN TẬP VÀO THPT

b/ Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Ox , C là giao điểm của (d1) và (d2) Tớnh chu vi và diện tớch của tam giỏc ABC (đơn vị trờn hệ trục tọa độ là cm)?

Bài 9: Cho các đờng thẳng (d1) : y = 4mx - (m+5) với m0

(d2) : y = (3m2 +1) x +(m2 -9)

a; Với giá trị nào của m thì (d1) // (d2)

b; Với giá trị nào của m thì (d1) cắt (d2) tìm toạ độ giao điểm Khi m = 2

c; C/m rằng khi m thay đổi thì đờng thẳng (d1) luôn đi qua điểm cố định A ;(d2) đi qua điểm cố định B Tính BA

?

Bài 10: Cho hàm số : y = ax +b

a; Xác định hàm số biết đồ thị của nó song song với y = 2x +3 và đi qua điểm A(1,-2)

b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc  tạo bởi đờng thẳng trên với trục Ox ?

c; Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với đờng thẳng y = - 4x +3 ?

d; Tìm giá trị của m để đờng thẳng trên song song với đờng thẳng y = (2m-3)x +2

I các kháI niệm:

Ph ơng trình bậc nhất hai ẩn:

+Dạng: ax + by = c trong đó a; b; c là các hệ số đã biết(a 0hoặc b 0 )

+ Một nghiệm của phơng trình là cặp số x0; y0 thỏa mãn : ax0 + by0 = c

+ Phơng trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm

+ Tập nghiệm đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d): ax + by = c Nếu a 0 ;b 0thì đờng thẳng (d) là đồ thị của hàm số bậc nhất:

b

c x b

) 1 (

, , ,x b y c

a

c by ax

+ Nghiệm của hệ là nghiệm chung của hai phơng trình

+ Nếu hai phơng trình ấy không có nghiệm chung thì ta nói hệ vô nghiệm

+ Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đờng thẳng biểu diễn tập nghiệm:

-Phơng trình (1) đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d)

-Phơng trình (2) đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d')

*Nếu (d) cắt (d') hệ có nghiệm duy nhất

*Nếu (d) song song với (d') thì hệ vô nghiệm

3 2

3

) 1 (

2 3

y x

ĐỀ CƯƠNG ễN TẬP VÀO THPT

L

u ý : Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau thì ta cộng vế theo vế của hệ

Khi các hệ số của cùng một ẩn bằng nhau thì ta trừ vế theo vế của hệ

Khi hệ số của cùng một ẩn không bằng nhau cũng không đối nhau thì ta chọn nhân với số thích hợp để

đa về hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau).( tạm gọi là quy đồng hệ số)

8

2 4

3

y x

y x

1 3

2

y x

10

7 11

2

y x

y x

3 3

y x y x

2

8 5

2

y x y x

3

2 2

6

4 2

5

y x

y x

4

11 3

2

y x y x

1 2

2 5 2

y x

y x

6

4 2

3

y x

y x

Đặt ẩn phụ rồi giải các hệ phặt ẩn phụ rồi giải các hệ phơng trình sau

2 )

(

4 ) (

3 ) (

2

y x y

x

y x y

5 4 1 1

y x

y x

2

2 1 1 2

1

y x

y x

Các bài tập tự luyện

Bài 1 Giải các hệ phơng trình sau :

2 2

y x y x

1 5 2

y x y x

3

y x

y x

5

4 3

2

y x

y x

2 4

3

y x

y x

1 3 2

y x

y x

Bài 2 : Giải các hệ phơng trình sau :

1

8 5 1

2 2 y 2 x 1

20

1 2 1 2

4

y x y x

y x y x

5 3

y x

y x m

a) Giải hệ phơng trình khi m = 1

b) Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình nhận cặp số ( x= 1 ; y =- 6) làm nghiệm

c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất Tìm nghiệm đó

ay x

y ax

2

a y x

a y ax

a) Giải hệ phơng trình khi a = -2

b) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất, khi đó tính x ; y theo a

c) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thoả mãn: x - y = 1

d) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thoả mãn x và y là các số nguyên

Bài 6 :a) Giải và biện luận hệ phơng trình: 

) 4 (

16 )

4 ( 2

y x

m

y m

x

(I) b) Trong trờng hợp hệ phơng trình (I) có nghiệm duy nhất hãy tìm m để x+y lớn hơn 1

Bài 7* : Giải phơng trình sau :

ĐỀ CƯƠNG ễN TẬP VÀO THPT

Vậy phơng trình đã cho có…….nghiệm ………

Vậy phơng trình đã cho có…….nghiệm ……… ; ………

??:Em hãy đề xuất một bài toán tơng tự rồi cùng nhóm bạn của mình cùng giải Xem ai nhanh

Với y1=………;……… thoả mãn điều kiện của bài toán => y1=………(loại)

y2=…………thoả mãn điều kiện của bài toán

d) x2 - 4x + 4= 0e) x2 + 3x - 1 = 0f) x2 - x + 2  2 = 0

Bài 3 : Giải các phơng trình sau bằng phơng pháp ẩn phụ

1) x4 - 5x2 - 6 = 02) x4 + 7x2 - 8 = 03) x4 + 9x2 + 2 = 0 4)

1

1 2 1

bài mẫu: Tìm giá trị của m để phơng trình: 5x2 + mx - m2 -12 = 0 (1)

có một nghiệm bằng 2.Tìm nghiệm còn lạiGiải: Để phơng trình(1) có một nghiệm x1=2 thì:

ĐỀ CƯƠNG ễN TẬP VÀO THPT

5.22 +m.2 -m2-12=0

 8+m.2 -m2=0

 m2-2m - 8 = 0(*)Giải (*)Ta có: ∆'=……… =…… > 0 =>  '=……

Bài 4 : Với giá trị của b thì các phơng trình

a) 2x2 + bx - 10 = 0 có một nghiệm bằng 5 Tìm nghiệm còn lạib) b2x2 - 15x - 7 = 0 có một nghiệm bằng 7 Tìm nghiệm còn lạic) (b-1)x2 + (b+1)2.x - 72 = 0 có một nghiệm bằng 3 Tìm nghiệm còn lại

Bài 5 : Cho các phơng trình ẩn x Xác định k để các phơng trình sau có nghiệm kép:

a) x2 + 5x + k = 0 c) x2 - (2k+3) + 4k + 2 = 0b) x2 + kx + 2 = 0 d) (k-1) x2 + kx + 1 = 0

Bài 6 : Xác định k để các phơng trình ở bài 5 vô nghiệm.

Bài 7 : Xác định k để các phơng trình ở bài 5 có hai nghiệm phân biệt

bài mẫu: Chứng minh rằng phơng trình: (m-3)x2 + m x +1= 0

có nghiệm với mọi giá trị của m

Nhận thấy: ( m - ….)2≥0 Với mọi m ≠ 3 ( m - ….)2 + 8 ≥…….>0 Với mọi m ≠ 3

Hay ∆>0 Với mọi m≠ 3 => phơng trình(*) có hai nghiệm Với mọi m ≠ 3 (2)

Từ (1) ;(2) => phơng trình(*) có nghiệm Với mọi m

Chú ý:Với những phơng trình có chứa tham số ở hệ số a ta cần xét hai trờng hợp a=0 và a ≠ 0

Bài 8 : Chứng minh rằng các phơng trình sau có nghiệm với mọi giá trị của m.

a)x2+(m+1)x+m=0 b) x2 -mx + m - 4 = 0c) -3x2 + 2(m-2)x+ 2m + 5 = 0 d) x2 + 4x - m2 + 4m - 9 = 0e) (m+1)x2 + x - m = 0

bài mẫu:Tìm m để phơng trình bậc hai: x2 +(3m+59)x - 5m + 30 = 0 có hai nghiệm trái dấu

Giải: phơng trình bậc hai: x2 +(3m+59)x - 5m + 30 = 0 (1)

Để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu thì a.c < 0 Hay 1.(30-5m) < 0

 30-5m < 0 ……….<=> m > 6

Vậy m………

Chú ý:Trong dạng toán này Với những phơng trình có chứa tham số ở hệ số a ta

không phải xét hai trờng hợp a=0 và a ≠ 0

Bài 9: Tìm m để các phơng trình bậc hai sau có hai nghiệm trái dấu.

a) x2 + 2x + m - 1 = 0 b) x2 + mx + 7 = 0 c)-3x2 + 2(m-2)x+ 2m + 5 = 0 d) 3x2 - 2(2m+1)x+ m2 -2 5 = 0 e) (m2 + 4 m +4)x2 + mx - 1 = 0

Bài 10 : Cho phơng trình : (m+3)x2 - m(m+5)x + 2m2 = 0 (1)

ĐỀ CƯƠNG ễN TẬP VÀO THPT

a) Giải phơng trình khi m = 5

b) Chứng minh rằng : x = m là một nghiệm của phơng trình (1)

c) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép

bài mẫu: Giải và biện luận phơng trình: (m-3)x2 + 2(m-2) x +m = 0 (ẩn x , tham số m)

Giải: phơng trình: (m-3)x2 + 2(m-2)x +m = 0(*)

( a=…….; b=………; c=………)

+) Xét a= 0 hay m - 3 = 0  m =……… lúc đó phơng trình(*) trở thành: ….x+1=0  x=…………

=> m = …… thì phơng trình(*) có một nghiệm x=……

+) Xét a ≠ 0 hay m - 3 ≠ 0  m ≠……

Ta có: ∆'=………=……… = -m +4 -Khi ∆'>0 hay -m+4 >0 ………  m<4 kết hợp vơí điều kiện ta đợc lúc đó phơng trình(*) có hai nghiệm phân biệt x1= 3 m m 4 ) 2 m (      ;………

-Khi ∆'=0 hay -m+4 =0 ………  m= 4 lúc đó phơng trình(*) có nghiệm kép x1=….= 3 m ) 2 m (    =2 (do m= 4) -Khi ∆'>0 hay -m+4 <0 ………  …… kết hợp vơí điều kiện ta đợc………

lúc đó phơng trình(*) vô nghiệm Vậy m = …… thì phơng trình(*) có một nghiệm x=……

………

………

………

………

………

Bài 11 : Cho phơng trình ẩn x: mx2 - 2(m-2) x + m - 3 = 0 a) Giải phơng trình khi m = 3 b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 3 Tìm nghiệm còn lại c) Giải và biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình Bài 12 : Lập phơng trình ẩn x có hai nghiệm là a) 3 và 5 b) 3- 5 và 3 + 5 c) 3- 2 và 3 + 2 d) 2 2 3 1  và 2 2 3 1  e) b a  1 và b a  1 với a   b bài mẫu: Lập phơng trình ẩn x có hai nghiệm là: 1- 5 và 1 + 5 Giải: Đặt x1=3- 5 và x2= 3 + 5 Ta có: x1+x2=………+………= 6

x1.x2=(………….).(……… )=………….= 4

áp dụng định lý Vi-et đảo ta có x1,x2 là nghiệm của phơng trình: ……….= 0

Vậy phơng trình cần lập là:………

Bài 13 : Cho phơng trình : x2 + 5x - b = 0 có hai nghiệm x1 ; x2

Lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 và y2 thoả mãn :

y1 = x1 + 1 và y2 = x2 + 1

Bài 14:Cho phơng trình : x2 - 2010 2005x +1 = 0

Có 2 nghiệm x1và x2 Lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 và y2 thoả mãn :

y2 = x1 + 1 và y1 = x2 + 1

Bài 15: Giải hệ phơng trình :

a) 









35 y

.

x

5 y

x

b) 





 60 y

x

11 y x

c) 





 12 y x

25 y

x 2 2

bài mẫu: Không giải phơng trình hãy xác định dấu các nghiệm (nếu có) của phơng trình

a) 5x2 - 7x - 1 = 0

Giải: có : a.c = ………….=-5 < 0 => phơng trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu

b) 5x2 - 7x + 2 = 0

m <4 m≠3

ĐỀ CƯƠNG ễN TẬP VÀO THPT

Giải: phơng trình: 5x2 - 7x+2 = 0 (a=… ; b=…….; c=…….)

Bài 16 : Không giải phơng trình hãy xác định dấu các nghiệm (nếu có) của

các phơng trình sau :

1) 3x2 + 5x - 1 = 0 3) 5x2 - 14x + 1 = 0

2) 7x2 -3x + 1= 0 4) 2x2 - 4x - 3 = 0

5) 4x2 - 3x +2 = 0 6) x2 +5x +1 = 0

bài mẫu: Cho phơng trình : x2 - 2x + m-3 = 0 (m là tham số ) tìm m để phơng trình có

hai nghiệm cùng dấu dơng ?

Giải : phơng trình : x2 - 2x + m-3 = 0 (*)

(a=… ; b=…….; c=…….)

Để phơng trình(*)có hai nghiệm cùng dấu dơng thì: .

0 x

x

0 x

x

0 '

2 1

2 1

) 2 (

) 1 (

Giải(2):  2 > 0 luôn đúng

Giải(3): …… > 0 ……….<=>………

Kết hợp ba điều kiện trên ta đợc:………

Vậy m………

Bài 17 : Cho phơng trình : x2 - 2x + m = 0 (m là tham số ) tìm m để phơng trình

1) có 2 nghiệm trái dấu

2) có 2 nghiệm cùng dấu

3) Có ít nhất 1 nghiệm dơng

4) Có 2 nghiệm cùng dấu dơng 5) Có 2 nghiệm cùng âm

Bài 18 : Tìm giá trị của m để phơng trình:

1

 ; C =

1

2 2

1

x

x x

b) Tìm điều kiện của n để phơng trình (1) có nghiệm

c) Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phơng trình ; tìm n để phơng trình có nghiệm thoả mãn

1) x1 - x2 = 2 ; 3) 2x1 + 3x2 = 362) x1 = 3x2 ; 4) x1 + x2 = 50

Bài 21 : Cho phơng trình : 3x2 - 4x + m = 0

Tìm để phơng trình có nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn

a) Nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia

b) Hiệu hai nghiệm bằng 1

ĐỀ CƯƠNG ễN TẬP VÀO THPT Bài 22 : Cho phơng trình x2 - 2(m-2)x - 6m = 0 (ẩn x)

a) Giải phơng trình với m = -3

b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 = 5, tìm nghiệm còn lại

c) Chứng minh rằng phơng trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

d) Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phơng trình Hãy tính A = x1 + x1 theo m

từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của A

bài mẫu: dạng toán về tìm giá trị lớn, nhất nhỏ nhất của một biểu thức nghiệm

Ví dụ 1: Cho phơng trình x2 + 2(m-3)x + 2m -15= 0 (1) (ẩn x)

a) Chứng minh rằng phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Hãy m để biểu thức A= x2 x2 + x2 x1 đạt giá trị Lớn nhất tìm giá trị Lớn nhất đó

Nhận thấy: (… -……)2 ≥ 0 với mọi giá trị của m

=> (… -……)2 +………≥…… > 0 với mọi giá trị của m

Hay ∆'> 0 với mọi giá trị của m => phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Theo a) phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Nhận thấy: (… -……)2 ≥ 0 với mọi giá trị của m

<=> (… -……)2 -………≥…… với mọi giá trị của m

Hay -4A ………… với mọi giá trị của m  A……… với mọi giá trị của m

Dấu "=" xảy ra khi ………=0  m=………

Dấu "=" xảy ra khi m =

Vậy A có giá trị nhỏ nhất là khi m=

Bạn hãy tự phân chia các bớc của bài toán tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất một biểu thức nghiệm của phơng trình bậc hai

Bài 23 : Cho phơng trình x2 + (m+1)x + m = 0 (ẩn x)

a) Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi m

b) Hãy tính x2 x2 + x2 x1 theo m

c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :E = x2 x2 + x2x1

d) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt trong đó 1 nghiệm gấp đôi nghiệm kia

Bài 24 : Cho phơng trình: x2 + mx + m - 2 = 0 (1) (ẩn x)

a) Chứng minh rằng Phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi m

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2(x2 + x2 ) - x1(x1-x2)- x2(x2+x1)

Bài 25 : Cho phơng trình: x2 - (k+1)x + k = 0 (1) ẩn x tham số k

a) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi k

ĐỀ CƯƠNG ễN TẬP VÀO THPT

b) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình (1) Tính biểu thức

A = x2 x2 + x2 x1 +2007 theo m Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Bài 26 Cho phơng trình: : x2 + 2mx + m2 + 4m + 8 = 0 (1) (ẩn x)

a)Tìm giá trị của m để phơng trình (1)có nghiệm

b)Tìm giá trị nhỏ nhất của :A=x1+x2

c)Tìm giá trị nhỏ nhất của :B=x1+x2+x1.x2+2007

Bài 27 *: Cho phơng trình: x2 - (m+1)x + m2 -2m + 2 = 0 (ẩn x)

a) Tìm giá trị của m để phơng trình vô nghiệm

b) Tìm giá trị của m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm đó

c) Tìm giá trị của m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt Viết nghiệm đó theo m

a) Với giá trị nào của k thì phơng trình (1) có 2 nghiệm

b) Với điều kiện phơng trình (1) có nghiệm hãy tính P = x1 + x2 ; S = x1 x2

c) Viết hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 độc lập với k

Bài 30 : Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 độc lập với m của mỗi phơng trình sau

a) x2 - (2m+5)x + m + 3 = 0 b) x2 -2(m-3)x - 2(m-1) = 0

c) x2 + (m-1) x+ m2 + 5m = 0 d) (m-1)x2 - 2mx + m + 1 = 0

Bài 31 : Cho phơng trình: x2 - (2m-1)x+ m2 - m - 2 = 0 (1) (m là tham số)

a) Tính  để chứng tỏ phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt Tìm 2 nghiệm đó

b) Tính A = 2x1x2 + x1 + x2 theo m

c) Tìm m để A  3

Bài 32 : Cho hai phơng trình : x2 - 7x + 6 = 0

x2 + (m+1)x + 24 = 0

Xác định m để hai phơng trình trên có nghiệm chung

Bài 33 : Cho hai phơng trình : x2 + x + m = 0 và x2 + mx + 1 = 0

a)Với giá trị nào của m thì hai phơng trình có nghiệm chung, tìm nghiệm chung đó

b) Với giá trị nào của m thì hai phơng trình trên tơng đơng

Bài 34 : Xác định m để hai phơng trình sau có nghiệm chung

2x2 - (3m+2) x + 12 = 04x2 - (9m-2)x + 36 = 0

Bài 35 : Xác định m và n để hai phơng trình sau tơng đơng

x2 +(3m+2n)x - 4 = 0

x2 + (2m-3n)x + 2n = 0

Bài 36 : Cho hai phơng trình x2 + p1x + q1 = 0 và x2 + p2x + q2 = 0

Biết rằng: p1p2 = 2(q1 + q2) CMR: ít nhất một trong hai phơng trình có nghiệm

Bài 37 : Chứng minh rằng hai phơng trình

ax2 + bx + c = 0 (1)

và a1x2 + b1x + c1 = 0 (2)

Có ít nhất một nghiệm chung thì (ac1 - a1c)2 = (ab1 - a1b) (bc1-b1c)

Một số bài toán tổng hợp về phơng trình bậc hai

Bài 38: Cho phơng trình: x2 - 2(m+1) x +m-4 = 0 (1)

a)Giải phơng trình khi m=1

b)CMR phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

c)Gọi x1,x2 là nghiệm của phơng trình(1).CMR A= x1(1-x2)+ x2(1-x1) không phụ thuộc vào m

d)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M= x12 +x2

Bài 39: Cho phơng trình: x2 - (k+1) x +k = 0 (1)

a)Giải phơng trình khi k = 2004

b)CMR phơng trình luôn có nghiệm

c)Gọi x1,x2 là nghiệm của phơng trình Tính B= x1 + x2 - 16 x1.x2 theo k

Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của B

d)Tìm k để phơng trình có nghiệm thoả mãn x1 + x2 =5

e)Tìm k để phơng trình có nghiệm kép Tìm nghiệm đó

Bài 40:Cho phơng trình: x2 - (a-1) x - a2 +a - 2 = 0 (1)

1) CMR phơng trình (1)luôn luôn có nghiệm trái dấu với mọi a

2)Gọi x1,x2 là nghiệm của phơng trình Tính S= x1 + x2 theo a

Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của S

3)lập hệ thức liên hệ giữa x1,x2 độc lập với a

ĐỀ CƯƠNG ễN TẬP VÀO THPT

b)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu

c)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu trong đó có một nghiệm bằng 4

Bài 42:Cho phơng trình ẩn x : (a+1)x2 - 2(a-1) x - a - 3 = 0 (1)

1.Giải phơng trình khi a=1

2 CMR phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi a khác -1

3 Tìm a để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu

4 Tìm a để phơng trình có 2 nghiệm cùng dấu và nghiệm nọ gấp đôi nghiệm kia

5.Tìm a để phơng trình có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn một nghiệm lớn hơn 1 và

3x(

1x

1x

2

2





d)Giả sử p+q = 1 CMR phơng trình (1)và phơng trình ở câu (c) có nghiệm chung

e)CMR nếu phơng trình (1) và phơng trình: x2 + n x +m = 0 có nghiệm chung thì

(n+p)2 +(m- p)(mq-np) = 0

Bài 44: Cho phơng trình ẩn x: x2 + 2m x +2m-1 = 0 (1)

1)CMR phơng trình (1)luôn có nghiệm với mọi m

2)Giả sử x1,x2 là các nghiệm của phơng trình (1)

a.Tìm hệ thức liên hệ giữa x1,x2 là độc lập với m

b Tìm m để x1- x2 =6

c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A= x1 x2 + x2 x1

3)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm lớn hơn 3

4)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm nhỏ hơn 1

CHủ đề 5:

giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình và phơng trình

dạng toán chuyển động.

Bài 1 : Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến

chậm mất 2 giờ Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến nơi sớm hơn 1 giờ Tính quãng đờng AB và thời gian dự

định lúc đầu

Bài 2 : Hai ngời ở hai địa điểm cách nhau 3,6 km và khởi hành cùng một lúc, đi ngợc chiều nhau, gặp nhau ở

vị trí cách một trong hai địa điểm khởi hành 2 km Nếu vận tốc không đổi nhng ngời đi chậm xuất phát trớc

ng-ời kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đờng Tính vận tốc ở mỗi ngng-ời

Bài 3 : Quãng đờng AB dài 270 km Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B ô tô thứ nhất chạy nhanh

hơn ô tô thứ hai 12 km/h nên đến trớc ô tô thứ hai 42 phút Tính vận tốc của mỗi xe

Bài 4 : một xe gắn máy đi từ A đến B cách nhau 90 km Vì có việc gấp phải đến B tr ớc dự định là 45 phút nên

ngời ấy phải tăng vận tốc mỗi giờ là 10 km Hãy tính vận tốc dự định của ngời đó

Bài 5 : Một ngời đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 24 km/h Lúc từ B về A, ngời đó có công việc bận cần đi

theo con đờng khác dễ đi nhng dài hơn lúc đi là 5 km Do vận tốc lúc về là 30 km/h Lên thời gian về ít hơn thờigian đi là 40 phút Tính quãng đờng lúc đi

Bài 6 : một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 km sau đó 1h30’ một ngời đi xe máy cũng đi từ A đến B

và đến B sớm hơn ngời đi xe đạp 1 giờ Tính vận tốc của mỗi xe Biết rằng vận tốc của xe máy gấp 2,5 lần vậntốc xe đạp

Bài 7 : Hai ngời cùng khởi hành lúc 7 giờ từ hai tỉnh A và B cách nhau 44 km và đi ngợc chiều nhau họ gặp

nhau lúc 8 giờ 20 phút Tính vận tốc của mỗi ngời biết rằng vận tốc ngời đi từ A hơn vận tốc ngời đi từ B là 3km/h

ĐỀ CƯƠNG ễN TẬP VÀO THPT Bài 8 : Từ hai địa điểm cách nhau 126 km Có một ngời đi bộ và một ngời đi ô tô cùng khởi hành lúc 6 giờ 30

phút Nếu đi ngợc chiều nhau họ sẽ gặp nhau lúc 10 giờ, nếu đi cùng chiều(ô tô đi về phía ngời đi bộ) thì ô tô

đuổi kịp ngời đi bộ lúc 11 giờ Tính vận tốc ngời đi bộ và của ô tô

Bài 9 : Hai tỉnh A và B cách nhau 150 km Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi ngợc chiều nhau, gặp nhau ở C

cách A 90 km Nếu vận tốc vẫn không đổi nhng ô tô đi từ B đi trớc ô tô đi từ A 50 phút thì hai xe gặp nhau ởchính giữa quãng đờng Tính vận tốc của mỗi ô tô

Bài 10 : Một ô tô dự định đi 120 km trong một thời gian dự định trên nửa quãng đờng đầu Ô tô đi với vận tốc

dự định Xong do xe bị hỏng lên phải nghỉ 3 phút để sửa Để đến nơi đúng giờ xe phải tăng vận tốc thêm 2km/htrên nửa quãng đờng còn lại Tính thời gian xe lăn bánh trên quãng đờng

Bài 11 : Một ô tô đi dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian dự định sau khi đợc 1 giờ Ô

tô bị chặn bởi một xe lửa 10 phút, do đó để đến B đúng giờ, xe phải tăng vận tốc 6 km/ giờ Tính vận tốc ô tô lúc

đầu

Bài 12 : Một quãng đờng AB gồm 1 đoạn lên dốc dài 4 km, đoạn xuống dốc dài 5 km Một ngời đi từ A đến B

hết 40 phút, còn đi từ B đến A hết 41phút(vận tốc lên dốc lúc đi bằng vận tốc lên dốc lúc về vận tốc xuống dốc

đi bằng vận tốc xuống dốc về) Tính vận tốc xuống dốc và vận tốc lên dốc

Bài 13 : Một ngời đi xe đạp từ A đến B gồm một đoạn lên dốc AC và một đoạn xuống dốc CB Thời gian đi

AB là 4 giờ 20’, thời gian về BA là 4 giờ Tính quãng đờng AC, CB Biết vận tốc xuống dốc là 15 km/h, vận tốclên dốc là 10 km/h (Vận tốc lên dốc lúc đi bằng vận tốc lên dốc lúc về, vận tốc xuống dốc lúc đi bằng vận tốcxuống dốc lúc về)

Bài 14 : Một chiếc thuyền khởi hành từ một bến sông A sau 5 giờ 20 phút một ca nô chạy từ bến A đuổi theo

và gặp thuyền cách bến A 20 km Hỏi vận tốc của thuyền Biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền là 12 km mộtgiờ

Bài 15 : Một ca nô xuôi một khúc sông dài 90 km, rồi ngợc về 36 km Biết thời gian xuôi nhiều hơn thời gian

ngợc dòng là 2 giờ, vận tốc khi xuôi dòng hơn vận tốc ngợc dòng là 6 km/h Hỏi vận tốc của ca nô lúc xuôidòng và lúc ngợc dòng

Bài 16 : Một ca nô đi từ A đến B với thời gian đã định Nếu vận tốc ca nô tăng 3 km/h thì đến sớm 2 giờ, nếu

ca nô giảm vận tốc 3 km/h thì đến chậm 3 giờ Tính thời gian dự định và vận tốc dự định

Bài 17 : Một ca nô xuôi trên một khúc sông từ A đến B dài 80 km và trở về từ B đến A tính vận tốc thực cuả ca

nô Biết tổng thời gian ca nô xuôi và ngợc hết 8 giờ 20 phút và vận tốc của dòng nớc là 4 km/h

Bài 18 : Một ca nô chạy trên một khúc sông trong 7 giờ, xuôi dòng 180 km, ngợc dòng 63 km Một lần khác

ca nô cũng chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81 km, ngợc dòng 84 km Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc củadòng nớc

Bài 19 : Trên một khúc sông một ca nô xuôi dòng hết 4 giờ và chạy ngợc dòng hết 5 giờ Biết vận tốc của

dòng nớc là 2 km/h Tính chiều dài khúc sông và vận tốc ca nô lúc nớc yên lặng

Bài 20 : Hai ca nô khởi hành cùng một lúc từ A đến B , ca nô I chạy với vận tốc 20 km/h, ca nô II chạy với

vận tốc 24 km/h Trên đờng đi ca nô II dừng lại 40 phút, sau đó chạy tiếp Tính chiều dài khúc sông, biết hai cônô đến nơi cùng một lúc

Bài 21 : Hai ca nô khởi hành từ hai bến A và B cách nhau 85 km và đi ngợc chiều nhau Sau 1 giờ 40 phút 2

ca nô gặp nhau Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô Biết vận tốc ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc ca nô ng ợc dòng

là 9 km/h Và vận tốc dòng nớc là 3 km/h

Bài 22 : Hai bến sông A, B cách nhau 40 km, cùng một lúc với ca nô xuôi từ bến A có một chiếc bè trôi từ bến

A với vận tốc 3 km/h sau khi đến B ca nô trở bến A ngay và gặp bè trôi

đợc 8 km Tính vận tốc riêng của ca nô, biết vận tốc riêng của ca nô không đổi

Bài 23 Một ôtô đi từ A và cần tới B lúc 10 giờ khi còn cách B 40 km.

Ngời lái xe thấy rằng nếu giữ nguyên vận tốc đang đi thì đến B lúc 10 giờ 10 phút Ngời đó đã tăng vậntốc thêm 10 kkm/h do đó đến B lúc 10 giờ kém 10 phút Tính vận tốc lúc đầu của ô tô

Bài 24 Một ôtô đi từ Hà Nội tới Hải Phòng đờng dài 100 km , lúc về vận tốc tăng 10km/h Do đó thời gian về

ít hơn thôừi gian đi là 30 phút Tính vận tốc lúc đi

Bài 25 Một ca nô đi xuôi dòng 44 km rồi ngợc dòng trở lại 27 kmhết 3 giờ 30 phút Biết vận tốc thực của ca

nô là 20 km/h Tính vận tốc dòng nớc

Bài 26 Hai ngời cùng đi quãng đờng AB dài 450 km và cùng khởi hành một lúc Vận tốc ngời thứ nhất ít hơn

vận tốc của ngời thứ hai.là 30 km/h, nên ngời thứ nhất đến B sau ngời thứ hai là 4 giờ Tính vận tốc và thời gian

đi quang đờng AB của mỗi ngời