Phương trình,hệ phương trình hay

Phương trình,hệ phương trình hayPhương trình,hệ phương trình hayPhương trình,hệ phương trình hayPhương trình,hệ phương trình hayPhương trình,hệ phương trình hayPhương trình,hệ phương trình hayPhương trình,hệ phương trình hayPhương trình,hệ phương trình hayPhương trình,hệ phương trình hayPhương trình,hệ phương trình hayPhương trình,hệ phương trình hayPhương trình,hệ phương trình hay

Ph.trình - Bất ph.trình - Hệ ph.trình

trong đề thi Tuyển sinh Đại học

Châu Ngọc Hùng

THPT Ninh Hải

25 - 06 - 2013

1 Đề thi Tuyển sinh Đại học 2010 - 2013

2 Đề toán ôn tập Tuyển sinh Đại học 2014

Đề thi Tuyển sinh Đại học khối A

Giải phương trình: 2√3

Giải bất phương trình: x −

√ x

Giải hệ phương trình:

( 5x2y − 4xy2+ 3y3− 2(x + y ) = 0

xy x2+ y2
+ 2 = (x + y )2 2011

Giải phương trình:







x3− 3x2− 9x + 22 = y3+ 3y2

x2+ y2− x + y = 1

2(x + y )

Giải phương trình:

(√

x + 1 +√4

x − 1 −py4+ 2 = y

x2+ 2x (y − 1) + y2− 6y + 1 = 0 2013

Giải hệ phương trình:

(

xy + x + 1 = 7y

x2y2+ xy + 1 = 13y2(x + y )2 2009

Giải phương trình: 2√3x + 1 − 3√6 − x − 14x − 8 = 0 2010

Giải phương trình: 3√2 + x − 6√2 − x + 4√4 − x2= 10 − 3x 2011

Giải bất phương trình: x + 1 +√x2− 4x + 1 ≥ 3√x 2012

Giải hệ phương trình:

( 2x2+ y2− 3xy + 3x − 2y + 1 = 0 4x2− y2+ x + 4 =√2x + y +√x + 4y 2013

Đề thi Tuyển sinh Đại học khối D

Giải hệ phương trình:







x (x + y + 1) − 3 = 0 (x + y )2− 5

Giải phương trình 42x +

√

x +2+ 2x3 = 4x +

√

x +2+ 2x3+4x −4 2010

Giải phương trình log2 8 − x2
+ log1

2

√

1 + x +√1 − x
− 2 = 0 2011

Giải hệ phương trình:

(

xy + x − 2 = 0 2x3− x2y + x2+ y2− 2xy − y = 0 2012

Giải phương trình 2 log2x + log1 1 −√x
= 1

2log

√

2 x − 2√x + 2
2013

Giải phương trình 4 2x2+ 1
+ 3 x2− 2x
√2x − 1 = 2 x3+ 5x

Điều kiện: x ≥ 1

2 Phương trình tương đương với 3x (x − 2)√2x − 1 = 2 x3− 4x2+ 5x − 2

Vì x3− 4x2+ 5x − 2 = (x − 2)(x2− 2x + 1)

nên phương trình ⇐⇒



x = 2 3x√2x − 1 = 2(x2− 2x + 1) (∗) (∗) ⇔ 2(2x − 1) + 3x√2x − 1 − 2x2= 0 ⇔ 22x − 1

x2 + 3

√ 2x − 1

⇐⇒



2

√

2x − 1

 √ 2x − 1



= 0 ⇐⇒

√ 2x − 1

1 2

⇐⇒ x2− 8x + 4 = 0 ⇐⇒ x = 4 ± 2√3

Vậy phương trình có ba nghiệm x = 2, x = 4 − 2√3, x = 4 + 2√3

Đề toán ôn tập 2

Giải hệ phương trình

(x + 1)2+ 3(y + 1) + 2



xy −px2y + 2y= 0 (2) Điều kiện x2y + 2y ≥ 0 ⇐⇒ y ≥ 0

Từ (1) ⇐⇒ xy = −x2− x − 3 Thế vào (2) ta được

(x + 1)2+ 3(y + 1)2− 2x2− 2x − 6 − 2px2y + 2y = 0

⇐⇒ −x2− 2 + 3y − 2p(x2+ 2)y = 0 ⇐⇒ 3 y

x2+ 2− 2

r y

x2+ 2− 1 = 0

⇐⇒

x2+ 2− 1

  3

x2+ 2+ 1



= 0 ⇐⇒

x2+ 2= 1

⇐⇒ y2 = x2+ 2 thay vào (1) được x2+ x (x2+ 2) + x + 3 = 0

⇐⇒ (x + 1)(x2+ 3) = 0 ⇐⇒ x = −1 =⇒ y = 3

Vậy hệ phương trình có một nghiệm là x = −1, y = 3

Giải bất phương trình 1

2log2(2 + x ) + log1 4 −

4

√

18 − x
≤ 0 Điều kiện 2 + x > 0, 18 − x ≥ 0, 4 −√4

18 − x > 0 ⇐⇒ −2 < x ≤ 18 BPT⇔ log2√2 + x ≤ log2 4 −√4

18 − x
⇔√2 + x ≤ 4 −√4

18 − x Đặt t = √4

18 − x , 0 ≤ t <√4

20 suy ra t4= 18 − x và BPT thành

p

20 − t4 ≤ 4 − t ⇐⇒

(

4 − t ≥ 0

20 − t4 ≤ (4 − t)2

⇐⇒

(

t ≤ 4

t4+ t2− 8t − 4 ≥ 0 ⇐⇒

(

t ≤ 4 (t − 2)(t3+ 2t2+ 5t + 2) ≥ 0

⇐⇒

(

t ≤ 4

t − 2 ≥ 0 ⇐⇒ 2 ≤ t ≤ 4 Suy ra √4

18 − x ≥ 2 ⇐⇒ x ≤ 2

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của BPT là −2 < x ≤ 2

Đề toán ôn tập 4

Giải bất phương trình x√x +7 − 2x√

x > 4

r

x + 4

x − 2 Điều kiện x > 0, x + 4

x − 2 ≥ 0 ⇐⇒ x > 0.

BPT tương đương x2+ 7 − 2x > 4√x2+ 4 − 2x

⇐⇒ x2+ 4 − 2x − 4√x2+ 4 − 2x + 3 > 0

⇐⇒ √x2+ 4 − 2x − 1 √x2+ 4 − 2x − 3



> 0

⇐⇒





√

x2+ 4 − 2x < 1 (vô nghiệm)

√

x2+ 4 − 2x > 3 ⇔ x2− 2x − 5 > 0 ⇔



x < 1 −√6

x > 1 +√6 Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của BPT là x > 1 +√6

Giải phương trình log2(6 − x ) = log2 x2− 2x
+ log√

2x Điều kiện 6 − x > 0, x2− 2x > 0, x > 0 ⇐⇒ 2 < x < 6

PT ⇐⇒ log2(6 − x ) = log2 x2− 2x
+ log2x2

⇐⇒ log2(6 − x ) = log2x2 x2− 2x


⇐⇒ 6 − x = x4− 2x3

⇐⇒ x4− 2x3+ x2− x2+ x − 6 = 0 ⇐⇒ (x2− x)2− (x2− x) − 6 = 0

⇐⇒ (x2− x − 3)(x2− x + 2) = 0 ⇐⇒



x2− x − 3 = 0

x2− x + 2 = 0 (vô nghiệm)

⇐⇒







x = 1 −

√ 13 2

x = 1 +

√ 13 2 Kết hợp điều kiện PT có một nghiệm là x = 1 +

√ 13 2

Đề toán ôn tập 6

Giải hệ phương trình

(

x2− y (x + y ) + 1 = 0

x2+ 1
(x + y − 2) + y = 0

HPT ⇐⇒

(

x2+ 1 = y (x + y ) (1)

y (x + y ) (x + y − 2) + y = 0 (2)

Nếu y = 0 thì từ (1) không tồn tại x nên HPT vô nghiệm

Nếu y 6= 0 ta có

(2) ⇐⇒ (x + y ) (x + y − 2) + 1 = 0 ⇐⇒ (x + y )2− 2(x + y ) + 1 = 0

⇐⇒ x + y = 1 ⇐⇒ y = 1 − x thay vào (1) ta được

x2+ x = 0 ⇐⇒



x = −1 =⇒ y = 2 Vậy HPT có hai nghiệm x = 0, y = 1; x = −1, y = 2

Giải phương trình log2 4x4− 7x2+ 1
− log2x = log4 2x2− 1
2+ 1 Điều kiện 4x4− 7x2+ 1 > 0, x > 0, 2x2− 1 6= 0

PT ⇐⇒ log2 4x4− 7x2+ 1
= log22x2x2− 1

⇐⇒ 4x4− 7x2+ 1 = 2x2x2− 1

⇐⇒ 4x2+ 1

x2 − 7 = 2

2x −1 x

(∗) Đặt t =

2x −1

x

, t ≥ 0 ta có t2 = 4x2+ 1

x2 − 4

Nên (∗) thành t2− 2t − 3 = 0 ⇐⇒ t = 3 hay t = −1(loại)

Suy ra







2x − 1

3 ±√17 4 2x − 1

x = −3 ⇐⇒ x =

−3 ±√17 4 Kết hợp điều kiện PT có hai nghiệm x = 3 +

√ 17

4 ; x =

−3 +√17 4

Đề toán ôn tập 8

Giải bất phương trình √x + 3 + x2+ x ≤ 2 +√3x + 1

Điều kiện: x ≥ −1

3. BPT tương đương x2+ x − 2 ≤√3x + 1 −√x − 3

⇐⇒ (x − 1)(x + 2) ≤ √ 2(x − 1)

3x + 1 +√x − 3

⇐⇒ (x − 1)



3x + 1 +√x − 3



≤ 0 (∗)

Với x ≥ −1

3 ta có







x + 2 ≥ 5

2 >

√ 2

√ 3x + 1 +√x − 3 >√2 nên x + 2 − √ 2

3x + 1 +√x − 3 >

√

2 −√2

2 = 0

Do đó (∗) ⇐⇒ x − 1 ≤ 0 ⇐⇒ x ≤ 1

Kết hợp điều kiện BPT có nghiệm −1

3 ≤ x ≤ 1

Giải hệ phương trình

(

x2+ xy + y = 2 + 3x

x4+ 2x2y + 5xy + y2 = 4 + 15x

HPT ⇐⇒

(

x2+ y − 2 = 3x − xy

x4+ 2x2y + y2− 4 = 5(3x − xy )

⇐⇒

(

x2+ y − 2 = 3x − xy

(x2+ y )2− 4 = 5(x2+ y − 2) (∗)

(∗) ⇐⇒ (x2+ y )2− 55(x2+ y ) + 6 = 0 ⇐⇒ (x2+ y − 2)(x2+ y − 3) = 0 Với x2+ y = 2 ta có 3x − xy = 0 nên x = 0, y = 2

Với x2+ y = 3 ta có 3x − xy = 1 nên x = 1, y = 2

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là x = 0, y = 2; x = 1, y = 2

Đề toán ôn tập 10

Giải phương trình x + 1 +√x2− 4x + 1 = 3√x

Điều kiện: x ≥ 0 Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình

Với x > 0 chia 2 vế phương trình cho √x ta được

√

x + √1

x +

r

x + 1

x − 4 = 3

Đặt t =√x + √1

x, t ≥ 2 =⇒ t

2= x + 1

x + 2 phương trình thành

t +pt2− 6 = 3 ⇐⇒ pt2− 6 = 3 − t ⇐⇒

(

t ≤ 3

t2− 6 = 9 − 6t + t2

⇐⇒ t = 5

2 Nên

25

4 = x +

1

x+ 2 ⇐⇒ x

2−17

4 x + 1 = 0 ⇐⇒

" x = 4

x = 1 4

Giải phương trình x2+√3x4− x2 = 2x + 1

Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình

Với x 6= 0 chia 2 vế phương trình cho x ta được

x − 1

x +

3

r

x − 1

x − 2 = 0 Đặt t = 3

r

x − 1

x ta được t

3+ t − 2 = 0

⇐⇒ (t − 1) t2+ t + 2
= 0 ⇐⇒ t = 1

Nên 1 = 3

r

x − 1

2− x − 1 = 0 ⇐⇒







x = 1 +

√ 5 2

x = 1 −

√ 5 2 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 −

√ 5

2 , x =

1 +√5 2

Đề toán ôn tập 12

Giải phương trình √2 − x2+

r

2 − 1

x2 = 4 −



x + 1 x



Ta thấy x < 0 phương trình không thỏa mãn

Với x > 0 phương trình tương đương











4 −



x + 1 x



> 0 √

2 − x2+

r

2 − 1

x2

!2

=



4 −



x + 1 x

2

Đặt y = x + 1

x ta được

(

4 − y2− 2
+ 2p5 − 2 (y2− 2) = 4 − y2
2 (2)

(2) ⇐⇒ p9 − 2y2 = y2− 4y + 5 ⇐⇒ y4− 8y3+ 28y2− 40y + 16 = 0

⇐⇒ (y − 2) y3− 6y2+ 16y − 8
= 0

Mà y3− 6y2+ 16y − 8 = (y − 2) y2− 4y + 8
+ 8 > 0 với 2 ≤ y < 4 Nên (2) ⇐⇒ y = 2 ⇐⇒ 2 = x + 1

x =⇒ x = 1.

Vậy phương trình có một nghiệm x = 1

Đề toán ôn tập 13

Giải phương trình

x4+ x3+ 2x 3

q

x (x2− 2)2+ 4 = 6x2+ 2x + x2+ x − 2
√3x4− 2x2

Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình

Với x 6= 0 chia 2 vế phương trình cho x2 ta được

x2+ x + 23

s



x − 2 x

2 + 4

x2 = 6 + 2

x +



x − 2

x + 1



3

s



x − 2 x



⇐⇒



x − 2

x

2

−



x − 2

x + 1



3

r

x − 2

x+



x − 2 x

 +23

s



x − 2 x

2

= 2 Đặt t = 3

r

x − 2

x ta được t

6− t3+ 1
t + t3+ 2t2− 4 = 0

⇐⇒ t6− t4+ t3+ 2t2− t − 2 = 0 ⇐⇒ t2− 1

t4+ t + 2
= 0

⇐⇒ t2− 1

"



t2−1 2

2 +



t2+1 2

2 +5 2

#

= 0 ⇐⇒



t = 1

t = −1 Với t = 1 ⇐⇒ 1 = 3

r

x − 2

2− x − 2 = 0 ⇐⇒



x = −1

x = 2 Với t = −1 ⇐⇒ −1 = 3

r

x − 2

x ⇐⇒ x

2+ x − 2 = 0 ⇐⇒



x = 1

x = −2 Vậy phương trình có 4 nghiệm x = −2, x = −1, x = 1, x = 2

Giải phương trình x + +√x2− 4x + = 3√x

Điều kiện: x ≥ Ta thấy x = khơng nghiệm phương trình

Với x > chia vế phương trình cho √x... data-page="16">

Giải phương trình x2+√3x4− x2 = 2x + 1

Ta thấy x = không nghiệm phương trình

Với x 6= chia vế phương trình cho... 12

Giải phương trình √2 − x2+

r

2 − 1

x2 = −



x + 1 x



Ta thấy x < phương trình