phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Phần I Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Bài 1 Véctơ và tọa độ trong mặt phẳng I ư Nhắc lại lý thuyết những điều cơ bản cần nắm 1.. Hệ trục tọa độ Đềcác vuông góc Hệ thống hai trục

Phần I

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Bài 1

Véctơ và tọa độ trong mặt phẳng

I ư Nhắc lại lý thuyết (những điều cơ bản cần nắm)

1 Hệ trục tọa độ Đềcác vuông góc

Hệ thống hai trục tọa độ Ox, Oy chung gốc O, vuông góc với nhau

được gọi là một hệ trục tọa độ Đềcác vuông góc trong mặt phẳng Ta thường kí hiệu là Oxy hay {O, e , e } , ở đó 1 2 e , e là các véctơ đơn vị 1

định hướng các trục Ox, Oy tương ứng Trục Ox được gọi là trục hoành Trục Oy được gọi là trục tung (xem hình vẽ)

G G

2

G G

ph

JJG G JJJJG

2 Tọa độ của véctơ và của điểm Cho hệ trục tọa độ Oxy, a là một

vectơ trong mặt ẳng, khi đó có duy nhất điểm M sao cho

Phân tích véctơ theo hai véctơ

G O

JJ

M =a

OM e , e ta có : 1 2

G G

2

1 2

OM =OM +OM = a e +a e

JJJJG JJJJG JJJJG G G

Ta gọi cặp số có thứ tự (a , a ) là tọa độ của véctơ a

G trong hệ trục tọa

độ Oxy, và viết a(a , a ) hay aG 1 2 G ={a , a }1 2

Với điểm N thuộc mặt phẳng, tọa độ của véctơ ONJJJG

được gọi là tọa độ của điểm N

Như vậy N(x, y) nếu và chỉ nếu ONJJJG =xeG1+yeG2

3 Biểu thức tọa độ của các phép toán trên véctơ

a) Nếu M(x1, y1), N(x2, y2) thì MNJJJJG(x2 ưx , y1 2 ưy ).1

b) a(a , a ), b(b , b )1 2 1 2 , k là số thực thì :

1 1 2 2

a±b(a ±b , a ±b

G G

)

1 2

k.a(ka , ka ).G

c) Ta gọi tích vô hướng của hai véc tơ a, b

G G

là một số thực, kí hiệu , được xác định bởi

b = a b cos(a

a G G G G G G, b)

, ở đó (am

, b)

G G

là góc tạo bởi hai véc tơ a vG à b.G

Nếu a(a , a ), b(b , b )1 2 1 2 thì a

1 1 2 2

b =a b +a b

G G

Khi bG =aG, ta có

2

a a a

= = G = +

a aG G aG

Từ đó a = a12 +a2

2

G

; tương tự

bG = b +b Như vậy, khi aG ≠0, bG G ≠ 0G :

a b a b

a b cos(a, b)

a b a a b b

+

G G

2

G G

4 Chia đoạn thẳng theo tỷ số cho trước

Cho hai điểm A, B và một số k ≠ 1 Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k nếu MAJJJJG = kMBJJJG Giả sử A(x1, y1), B(x2, y2) và M(x, y) thì

dễ dàng tính được :

x = x1 kx2, y y1 ky2

Nhận xét :

a) Khi k = ư1, ta có MAJJJJG = ưMBJJJG, nghĩa là M là trung điểm của AB Khi đó x = x1 x2, y y1 y2

= Như vậy, tọa độ trung điểm của một

đoạn thẳng bằng trung bình cộng các tọa độ tương ứng của hai đầu mút của đoạn thẳng đó

b) Nếu aG = k.bG mà bG ≠0G, thì

a

G

cùng hướng với b

G khi và chỉ khi k ≥ 0, khi đó k = a

b

G

G

Nếu a, bG G

ngược hướng thì k < 0, khi đó k = a

b

ư G

G

c) Bốn điểm A, B, M, N được gọi là một hàng điểm đ

và chia đoạn AB theo hai tỷ số đối nhau Nghĩa là nếu

iều hòa nếu M

NA = ưkNB

JJJJG JJJG JJJG JJJG

II ư Luyện tập

1 Đề thi Đại học Luật Hà Nội (1998)

Cho h thang cân ABCD, đáy A và C ó n o

BAD =30

D theo a, b

Đặ

Hãy biểu diễn véc tơ

AB =a, AD = b BC, CD, AC, B

JG G JJJG JJJG JJJG JJ G

Lời giải :

Kẻ BD1 // CD, D1 ∈ AD

Ta có : CDJJJG = BDJJJG1 = ADJJJG1ưABJJJG = ADJJJG1ư =aG k.bG ưa,G k =

o

AB cos 30 a 3

=

1

AD 2AH 2

AD b

JJJG

JJJG G

Như vậy CD 3 a b a

b

G JJJG G G

G

Dễ thấy BDJJJG = ADJJJGưABJJJG = ưbG a.G

b 3 a

b

 ư 

= + = +  

JJJG JJJG JJJG G G

G

b 3 a

b

ư

=

G ;

2 Đề thi học viện kỹ thuật mật mã (năm 1999)

Gọi AD là đường ân g trong của góc A của tam giác ABC Hãy biểu diễn theo

ph iác JJJG JJJG JJJG

AD AB và AC

Lời giải

Đặt ABJJJG =a, ACG JJJG = b.G Theo tính chất của đường phân giác, ta có :

DB AB

DC = AC Nhưng AD là đường phân giác trong, nên

ngược hướng Vì vậy :

DB và DC JJJG JJJG

DB DC DC

= ư = ư

G JJJG JJJG JJJG

G

⇒ AB AD a (AC AD) a AD AC

JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG

b

G

G

⇒ AD b a a b

a b

+

=

G G G G

JJJG

G G

3 Cho tam giác ABC có các góc A, B, C Dùng phương pháp véc tơ,

hãy chứng minh :

cosA + cosB + cosC ≤ 3

2

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều

Lời giải

Chọn lần lượt là các véc tơ đơn vị cùng hướng với các véc tơ

1 2 3

e , e , e

G G G

C, CA

JJG JJJG

AB, B

JJJG J

1

Ta có (e , e , e )G G1 2 G3 2 ≥0

hay : eG12 +eG22 +eG23 +2(e eG G1 2 +e eG G2 3 +e e )G G3 1 ≥ 0

Nhưng eG12 = eG22 =eG23 =

1 2

e e =cos(Π ưB)= ưcos B

G G

2 3

e e = cos(Π ưC)= ưcos C

G G

3 1

e e =cos(Π ưA)= ưcos A

G G

Như vậy : 3 ư 2(cosA + cosB + cosc) ≥ 0

hay cosA + cosB + cosC ≤ 3.

2

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi eG1+eG2 +eG3 = 0G, hay tam giác ABC

đều

4 ứng dụng véc tơ để chứng minh bất đẳng thức : Cho a1, a2, , an ;

b1, b2, , bn là 2n số tùy ý Hãy chứng minh

   + ≥   +

  

=







Lời giải Đặt O(0, 0), Mk(ak, bk), k = 1, 2, , n Ta có : có

tọa độ là (a

n k

k 1

OM

=

∑JJJJG

1 + + an, b1 + + bn) Theo tính chất của véc tơ, ta có :

≤

∑JJJJG ∑ JJ GJJ

hay

∑  ∑  ∑ +bk

III ư Bài tập tự giải

1 Đề thi Đại học giao thông vận tải (1998)

Cho hình thang cân ABCD, AB // CD Đặt

AB =a, AD = b, BAD = 60

JJJG G JJJG G

Hãy biểu diễn véc tơ BC theo a v Tìm quan hệ giữa độ dài

à b a

G

và b

G để AC ⊥BD

JJJG G G JJJG JJJG

Đáp số : a 3 1 b

2

+

=

2 o ABC là hình bình hành, m là m t số dương Lấy điểm M sao cho Lấy điểm N sao cho

JJJG JJJJG

DC = m.DM DB = (m+1)DN Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định

JJJG JJJG

3 Cho tam giác ABC, đặt a = BC, b = CA và c = AB Chứng minh

rằng

a.IAJJG +b.IBJJG+c.ICJJG = 0,G ở đó I là tâm vòng tròn nội tiếp tam giác ABC

4 Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3,

y3) Chứng minh rằng diện tích tam giác ABC có thể tính theo công thức :

dt(∆ABC) = 2 1 3 1

gttđ

ở đó : gttđ là viết tắt của "giá trị tuyệt đối"

5 Các đề 65, 101, 104 câu hình học Va, bộ đề thi tuyển sinh Nhà

xuất bản Giáo dục, 1996