CÔNG THỨC LOGARITH – P2 Thầy Đặng Việt Hùng... LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH 2 1 ...
Trang 13) Các công thức về logarith (tiếp theo)
Công thức 5: log m= log
a b m a b, (5)
Chứng minh:
Theo công thức (2) ta có = loga b⇒ m =( loga b)m= m.loga b
Khi đó log m=log m.loga b = log ⇒
Ví dụ 1:
( )
1
Ví dụ 2:
4 2
2 3
−
Ví dụ 3: log5 3 1log 125 log 505 log5 3 log5 12 log 505 log550 3 log 255 2
Ví dụ 4: Cho biết log 1;log 3
a b= a c= Tính giá trị của loga x với
a)
3 2
2 3
4
a b c
x
a bc
=
b)
3 3
3
ab a bc
x
bc
=
Công thức 6: loga n b=1loga b
n , (6) Chứng minh:
Đặt log n = ⇒( ) = ⇔ =
y
a a a b ny a b y a b
n
hay log n =1loga ⇒
n
Ví dụ 1 :
1 2
5
2 2
2
2 2
2
1
1 2 1
1 5
Hệ quả: Từ các công thức (5) và (6) ta có : log n m= log
a a
m
n
3
3
5
3
4
3
Tài liệu bài giảng:
02 CÔNG THỨC LOGARITH – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 2LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức
1
3 4
1 3
3
27
9
=
A
Hướng dẫn giải:
3 3 3 3
2
13 3
5
3
9
3
2
−
2
1
3
3
1 3
3
9
−
− +
A
Công thức 7: (Công thức đổi cơ số) log log
log
a
c
b b
a, (7) Chứng minh:
log
c
b
a
Nhận xét :
+ Để cho dễ nhớ thì đôi khi (7) còn được gọi là công thức “chồng” cơ số viết theo dạng dễ nhận biết như sau
loga b=loga c.logc b
+ Khi cho b = c thì (7) có dạng log log 1
a
b b
Ví dụ 1: Tính các biểu thức sau theo ẩn số đã cho:
a) Cho log 142 = a → =A log 492 =?
b) Cho log 315 = a → =B log 1525 =?
Hướng dẫn giải:
a) Ta có log 142 = ⇔ =a a log2( )2.7 = +1 log 72 ⇒log 72 = −a 1
Khi đó A=log 492 =2log 72 =2(a−1 )
b) Ta có
3 15
5
log 3
log 3
1
−
= − =
a
a a
3 25
1
a
Ví dụ 2: Cho loga b = 3 Tính
a) =log b
a
b A
a Hướng dẫn giải:
3
b
Trang 31 1 1 1 3 1 3 1
2
3
A
2 2
2
log
log
a
a b
a a
b
b
A
b
a
b
log
b
B b
a
Cách khác: Ta có
( )2
2
2 3 1
a
a ab
b
b
B
−
Ví dụ 3: Tính giá trị của các biểu thức sau :
1 1
log 4 log 8 log 2
4 2
+
4
1 log 3 3 log 5
1 log 5 2
1
log 9 log 6 log 4
2
+
log 5 1 lg 2 log 36
Hướng dẫn giải:
log 4 log 8 log 2 4 log 4 2log 2 2log 2
5
1
2 3log 2
1 log 4 3 log 4 3
4
−
4
1
log 3 3log 5 2 1 log 5 log 3 6log 5
1log 9 log 6
log 4 log 9 2 log 6 2 log 4
d) 36log 5 6 +101 lg2− −3log 36 9 =6log 25 6 +10log5= + =25 5 30
Ví dụ 4: Tính giá trị của các biểu thức sau :
1
2
6
1
2
4
D=
Hướng dẫn giải:
6
4
Ví dụ 5: Hãy tính :
b Chứng minh :
log
1 log
a
bx
x
+
=
+
Trang 4LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
2
1
k k
+
Hướng dẫn giải:
a)
A
Nếu x = 2011! Thì A=log2011!(2011!)=1
log
1 log
a
bx
x
+
= +
bx
x
+
2
1
k k
+
2 log
k
a
x
+
Ví dụ 6: Chứng minh rằng :
a +b =c a> b> c> c± ≠b , thì logc b+ a+logc b− a=2 logc b+ a.logc b− a
b) Nếu 0<N≠1thì điều kiện ắt có và đủ để ba số dương a,b,c tạo thành một cấp số nhân ( theo thứ tự đó ) là :
a b c
−
−
c) Nếu logx a, logy b,logz c tạo thành cấp số cộng (theo thứ tự đó) thì log 2 log .log
a c b
y
=
+
d) Giả sử a, b là hai số dương thỏa mãn : a2+b2 =7ab Chứng minh : ln ln ln
a+b = a+ b Hướng dẫn giải:
a = −c b = −c b c+b ⇒ = c− +b c+b
logc b− a logc b+ a c b− a c b+ a c b+ a c b− a
b) Nếu 3 số a,b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thì ta có : b2=ac
c) Nếu logx a, logy b,logz c tạo thành cấp số cộng thì log x a+logz c=2logy b
log
a c b
y
+
Ví dụ 7: Tính
a.A=log 166 Biết : log 2712 =x
b B=log12530 Biết : lg 3=a;lg 2=b
c C=log 1353 Biết: log 52 =a;log 32 =b
d D=log 356 Biết : log 527 =a;log 78 =b;log 32 =c
e Tính : log 32 Biết : 49 log 142 =a
Hướng dẫn giải:
Trang 5Do đó :
4
6
log 16
( ) ( )
=
2
log 3
C
+
6
log 3.log 5 log 7
log 35
b a
D
+ +
e) Ta có : log 142 = ⇔ +a 1 log 72 =a⇒log 72 = −a 1
Vậy :
( )
5 2
log 32
−
Ví dụ 8: Rút gọn các biểu thức
a) A=(loga b+logb a+2 log)( a b−logab b)logb a−1
1
2
c) C= loga p+logp a+2 log( a p−logap p) loga p
Hướng dẫn giải:
log
a
a
b
b
a
b
b
a
+
( )2 ( )2 ( )2
+
+
Ví dụ 9: Chứng minh rằng
2
a− b − = a+ b với : a>3b>0;a2+9b2=10ab
b) Cho a, b, c đôi một khác nhau và khác 1, ta có :
+ log2a b log2a c
+ loga b.logb c.logc a=1
loga ;logb ;logc
Hướng dẫn giải:
a> b> a + b = ab⇔a − ab+ b = ab⇔ a− b = ab
2
b) Chứng minh : log2a b log2a c
c = b
* Thật vậy :
−
Trang 6LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
* loga b.logb c.logc a= ⇔1 loga b.logb a=loga a=1
* Từ 2 kết quả trên ta có
2
Chứng tỏ trong 3 số luôn có ít nhất một số lớn hơn 1
Ví dụ 10: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) log 63.log 363 =
b) log 38.log 81 4 =
c) log2 1.log2532
Ví dụ 11: Cho loga b = 7 Tính
a)
3
A
b
b) =logb 3 2
a
Ví dụ 12: Tính các biểu thức sau theo ẩn số đã cho:
49
8
b) Cho logab a= 2 → =Q logab b =?
a
Công thức 8: logb c= logb a
Chứng minh:
1 log 27
log 2 log 49 2 log 2 2
Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) log 56 log 43 log 369
36 3 3
b)
2 3
3
log 3
2 log 2
log 4
27
B
−
c) log 5 3 log 36 9 4log 7 9
81 27 3