Tính chuẩn tắc của họ hàm phân hình một biến và bài toán duy nhất đối với đa thức vi phân

NGUYỄN VĂN THÌN TÍNH CHUẨN TẮC CỦA HỌ HÀM PHÂN HÌNH MỘT BIẾN VÀ BÀI TOÁN DUY NHẤT ĐỐI VỚI ĐA THỨC VI PHÂN TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016... Người hướng dẫn khoa

Trang 1

NGUYỄN VĂN THÌN

TÍNH CHUẨN TẮC CỦA HỌ HÀM

PHÂN HÌNH MỘT BIẾN VÀ BÀI TOÁN DUY

NHẤT ĐỐI VỚI ĐA THỨC VI PHÂN

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016

Trang 2

Người hướng dẫn khoa học: 1 PGS TSKH Trần Văn Tấn

Trang 3

Möc löc

1 Hå chu©n tc c¡c h m ph¥n h¼nh 111.1 Lþ thuy¸t Nevanlinna cho h m ph¥n h¼nh 111.2 Hå chu©n tc cõa c¡c h m ph¥n h¼nh 12

2 Mët sè ành lþ kiºu Lappan cho h m ϕ - chu©n tc v hå

2.1 H m ph¥n h¼nh ϕ - chu©n tc 182.2 ành lþ kiºu Lappan cho hå chu©n tc 20

3 Sü duy nh§t cõa c¡c h m ph¥n h¼nh vîi a thùc ¤o h m

v q - sai ph¥n chung nhau mët h m nhä 243.1 Sü duy nh§t cõa c¡c h m ph¥n h¼nh vîi a thùc ¤o h m

chung nhau mët h m nhä 243.2 Sü duy nh§t cõa c¡c h m ph¥n h¼nh vîi a thùc q - sai

ph¥n chung nhau mët h m nhä 27

Trang 4

Mð ¦u

1 Lþ do chån · t i

÷ñc h¼nh th nh tø nhúng n«m ¦u cõa th¸ k XX, vîi nguçn gèc

tø nhúng cæng tr¼nh cõa J Hadamard, E Picard, E Borel v °c bi»tcæng tr¼nh n«m 1925 cõa R Nevanlinna, Lþ thuy¸t Nevanlinna luæn thuhót ÷ñc sü quan t¥m cõa nhi·u nh to¡n håc trong v ngo i n÷îc, ng y

c ng ¤t ÷ñc nhi·u k¸t qu£ s¥u sc v câ nhi·u ùng döng trong mët sèl¾nh vüc kh¡c nhau cõa to¡n håc nh÷ h¼nh håc phùc, lþ thuy¸t sè.Cèt lãi cõa Lþ thuy¸t Nevanlinna chõ y¸u n¬m ð hai d¤ng ành lþ,

÷ñc gåi l c¡c ành lþ cì b£n thù nh§t v thù hai Sü k¸t hñp cõa hai

ành lþ n y cho ta thæng tin v· sü ph¥n bè gi¡ trà cõa c¡c h m (¡nh x¤)ph¥n h¼nh Méi th nh tüu ¤t ÷ñc v· c¡c ành lþ n y th÷íng k²o theoc¡c ùng döng trong vi»c nghi¶n cùu h m (¡nh x¤) ph¥n h¼nh Ng÷ñc l¤i

º gi£i quy¸t nhi·u b i to¡n v· h m (¡nh x¤) ph¥n h¼nh, ta công c¦n x¥ydüng nhúng d¤ng ành lþ cì b£n t÷ìng th½ch Trong thüc t¸ â, chóngtæi chån · t i T½nh chu©n tc cõa hå h m ph¥n h¼nh mët bi¸n

v b i to¡n duy nh§t èi vîi a thùc vi ph¥n º nghi¶n cùu haiùng döng ti¶u biºu v µp ³ cõa Lþ thuy¸t Nevanlinna º gi£i quy¸t

÷ñc c¡c v§n · trong luªn ¡n, nh÷ ¢ b¼nh luªn ð tr¶n, khæng ch¿ khaith¡c sû döng c¡c k¸t qu£ ¢ bi¸t cõa Lþ thuy¸t Nevanlinna, chóng tæiph£i thi¸t lªp nhúng d¤ng ành lþ cì b£n thù hai phò hñp vîi t¼nh huèngcõa b i to¡n ang °t ra

Sau ¥y chóng tæi · cªp chi ti¸t hìn v· bèi c£nh n£y sinh tøng v§n

·

V§n · nghi¶n cùu v· hå chu©n tc ÷ñc khði nguçn tø nhúng n«m

Trang 5

¦u cõa th¸ k XX b¬ng c¡c cæng tr¼nh cõa P Montel, G Julia, P.Fatou N«m 1912, P Montel ÷a ra kh¡i ni»m hå chu©n tc: Mët hå Fc¡c h m ph¥n h¼nh tr¶n mi·n D ⊂ C ÷ñc gåi l chu©n tc n¸u vîi måid¢y {fn} ⊂ F luæn chùa mët d¢y con {fnk} hëi tö ·u tr¶n méi tªp concompact cõa D theo kho£ng c¡ch c¦u tîi h m ph¥n h¼nh f ho°c ∞.N«m 1931, F Marty ÷a ra ti¶u chu©n quan trång nhªn bi¸t hå chu©ntc: Mët hå F c¡c h m ph¥n h¼nh f tr¶n mët mi·n D ⊂ C l chu©ntc n¸u v ch¿ n¸u tr¶n méi tªp con compact K cõa D, ¤o h m c¦u

sü kiºm tra mët hå chu©n tc v· vi»c ch¿ ra sü khæng tçn t¤i c¡c d¢y connhi¹u hëi tö ·u tr¶n c¡c tªp con compact tîi mët h m kh¡c h¬ng N«m

1998, æng xem x²t l¤i v§n · tr¶n v ¤t ÷ñc k¸t qu£ quan trång sau:Cho hå F c¡c h m ph¥n h¼nh x¡c ành tr¶n ¾a ìn và U sao cho måikhæng iºm cõa c¡c h m trong hå F câ bëi ½t nh§t p v måi cüc iºm

câ bëi ½t nh§t q Cho α l sè thüc thäa m¢n −p < α < q Khi â hå Fkhæng chu©n tc t¤i z0 ∈ U n¸u v ch¿ n¸u tçn t¤i sè thüc 0 < r < 1,d¢y iºm zn : |zn| < r v zn → z0,d¢y h m fn ∈ F v d¢y sè thüc d÷ìng

ρn → 0+ sao cho gn(ξ) = ραnfn(zn + ρnξ) hëi tö ·u theo kho£ng c¡chc¦u tr¶n méi tªp con compact cõa C ¸n g(ξ), trong â g l h m ph¥nh¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C, måi khæng iºm v cüc iºm cõa g câ bëi t÷ìngùng ½t nh§t p v q Hìn núa g#(ξ) ≤ g#(0) = 1

K¸t qu£ tr¶n th÷íng ÷ñc gåi l Bê · Zalcman º þ r¬ng, khi phõ

ành k¸t luªn trong Bê · Zalcman, ta thu ÷ñc h m hëi tö g l h¬ng.Trong khi â mët trong nhúng ùng döng µp ³ cõa Lþ thuy¸t Nevan-linna l nâ cho ta ti¶u chu©n º kiºm tra mët h m l h¬ng, ch¯ng h¤n

tø ành lþ cì b£n thù nh§t v ành lþ cì b£n thù hai, ta d¹ d ng nhªn

Trang 6

l¤i ành lþ Picard b²: Mët h m ph¥n h¼nh tr¶n m°t ph¯ng phùc l h mh¬ng n¸u nâ khæng nhªn ba gi¡ trà ph¥n bi»t Nh÷ vªy, Bê · Zalcman

l c¦u nèi quan trång thuªn ti»n cho vi»c sû döng Lþ thuy¸t Nevanlinna

v o nghi¶n cùu Lþ thuy¸t hå chu©n tc

Theo quan iºm n¶u tr¶n cõa Bloch, ành lþ Picard b² ùng vîi ti¶uchu©n chu©n tc sau cõa Montel: Mët hå F c¡c h m ph¥n h¼nh tr¶nmi·n D l chu©n tc n¸u méi h m trong hå bä qua ba gi¡ trà ph¥n bi»tcho tr÷îc n o â

Nh¬m l m gi£m sè gi¡ trà m h m bä qua trong ành lþ Picard b²,n«m 1959, W Hayman ¢ chùng minh mët ành lþ kiºu Picard cho h m

v ¤o h m: Mët h m ph¥n h¼nh f l h m h¬ng n¸u f khæng ¥u tri»tti¶u v f(k) khæng nhªn gi¡ trà 1, trong â k l sè nguy¶n d÷ìng chotr÷îc Düa theo nguy¶n lþ Bloch, W Hayman ¢ ÷a ra gi£ thuy¸t v·t½nh chu©n tc cõa hå c¡c h m ph¥n h¼nh t÷ìng ùng vîi ành lþ tr¶n.K¸t hñp ti¶u chu©n Marty v Lþ thuy¸t Nevanlinna, D Drasin ¢ tr£líi gi£ thuy¸t n y trong tr÷íng hñp hå c¡c h m ch¿nh h¼nh Sau â, Y

X Gu ¢ tr£ líi gi£ thuy¸t cõa Hayman nh÷ sau: Cho k l sè nguy¶nd÷ìng, mët hå F c¡c h m ph¥n h¼nh f tr¶n mi·n D trong m°t ph¯ngphùc, khæng ¥u tri»t ti¶u s³ chu©n tc n¸u f(k) 6= 1 (¤o h m c§p k cõa

f khæng nhªn gi¡ trà 1) vîi måi f ∈ F

Chó þ r¬ng trong k¸t qu£ cõa Gu, h m c¦n tr¡nh tîi hai gi¡ trà (méi

f v f(k) tr¡nh mët gi¡ trà) Trong mët sü cè gng nh¬m gi£m sè iºmxuèng mët, n«m 1989, W Schwick ¤t ÷ñc k¸t qu£ t÷ìng tü m ð â

i·u ki»n tr¶n v· ¤o h m ÷ñc thay th¸ bði (fn)(k) 6= 1, vîi n, k l sè

tü nhi¶n cho tr÷îc thäa m¢n n ≥ k + 3 Trong tr÷íng hñp hå c¡c h mch¿nh h¼nh, Schwick chùng minh i·u ki»n n ≥ k + 3 câ thº gi£m th nh

n ≥ k + 1 N«m 2010, J M Chang công ¢ têng qu¡t k¸t qu£ cõa Gu v nhªn ÷ñc k¸t qu£: Hå F c¡c h m ph¥n h¼nh khæng câ khæng iºm tr¶nmi·n D s³ chu©n tc n¸u f(k)− 1 câ nhi·u nh§t k khæng iºm ph¥n bi»tvîi méi f ∈ F, trong â k l sè nguy¶n d÷ìng Nhi·u cæng tr¼nh cõa c¡ct¡c gi£ kh¡c nh÷ X C Pang v L Zalcman, M L Fang v L Zalcman,

Trang 7

P C Hu v D W Meng, L Yang, W Bergweiler v J K Langley công

¢ nghi¶n cùu ti¶u chu©n cho hå chu©n tc c¡c h m ph¥n h¼nh d÷îi i·uki»n khæng iºm cõa c¡c a thùc ¤o h m cö thº

Trong bèi c£nh nh÷ vªy, chóng tæi °t ra v§n · thù nh§t trong luªn

¡n l : Nghi¶n cùu ti¶u chu©n cho hå chu©n tc ùng vîi i·u ki»n tr¶n

a thùc ¤o h m têng qu¡t V§n · n y ÷ñc gi£i quy¸t trong Ch÷ìng 1cõa luªn ¡n

Li¶n quan ch°t ch³ tîi kh¡i ni»m hå chu©n tc l kh¡i ni»m h m chu©ntc, nâ ÷ñc bt ¦u nghi¶n cùu tø c¡c cæng tr¼nh cõa K Noshiro, O.Lehto v K L Virtanen Mët h m ph¥n h¼nh f tr¶n ¾a ìn và U ÷ñcgåi l chu©n tc n¸u hå {f ◦ τ : τ ∈ T } chu©n tc tr¶n U, trong â

T l tªp t§t c£ c¡c ¡nh x¤ b£o gi¡c cõa U v o ch½nh nâ Lehto v Virtanen ch¿ ra r¬ng: H m ph¥n h¼nh f tr¶n ¾a ìn và U ⊂ C l chu©ntc khi v ch¿ khi supz∈U(1 − |z|2)f#(z) < ∞ K½ hi»u N l tªp c¡c

h m ph¥n h¼nh chu©n tc tr¶n U V· þ ngh¾a h¼nh håc, vîi mët h mchu©n tc f, ta luæn câ χ(f(z), f(w)) ≤ ||f||N supξ∈[z,w] |z − w|

1 − |ξ|2, trong

â ||f||N = supz∈U(1 − |z|2)f#(z)

Quan s¡t k¸t qu£ tr¶n cõa Lehto v Virtanen, C Pommerenke ¢

÷a ra c¥u häi: Cho sè thüc M > 0, li»u câ tçn t¤i tªp E húu h¤n saocho vîi méi h m ph¥n h¼nh f tr¶n ¾a ìn và U thäa m¢n i·u ki»n(1 − |z|2)f#(z) ≤ M vîi måi z ∈ f−1(E) th¼ f l h m chu©n tc? N«m

1974, P Lappan ¢ tr£ líi m¤nh m³ cho c¥u häi tr¶n, æng ch¿ ra tçn t¤itªp E ⊂ C gçm 5 iºm ph¥n bi»t

N«m 1995, A Hinkkanen v P Lappan ¢ ëc lªp chùng minh k¸tqu£ t÷ìng tü cho hå chu©n tc: Mët hå F c¡c h m ph¥n h¼nh tr¶n mi·n

D ⊂ C l chu©n tc khi v ch¿ khi vîi méi tªp compact K ⊂ D, tçnt¤i tªp con E ⊂ C chùa 5 iºm ph¥n bi»t v h¬ng sè d÷ìng M sao chosup{f#(z) : f ∈ F , z ∈ f−1(E) ∩ K} < M

V§n · nghi¶n cùu ch½nh thù hai trong luªn ¡n l : Thi¸t lªp c¡c d¤ng

ành lþ Lappan cho tr÷íng hñp ½t hìn 5 iºm V§n · n y ÷ñc gi£i

Trang 8

quy¸t trong Ch÷ìng 2 cõa luªn ¡n.

Vi»c nghi¶n cùu sü x¡c ành duy nh§t h m ph¥n h¼nh d÷îi i·u ki»nv· nghàch £nh cõa mët tªp hñp iºm ÷ñc khði nguçn tø cæng tr¼nh cõaNevanlinna n«m 1926, æng chùng minh r¬ng: N¸u hai h m ph¥n h¼nhtr¶n m°t ph¯ng phùc câ còng £nh ng÷ñc khæng t½nh bëi cõa 5 iºmph¥n bi»t th¼ chóng tròng nhau v chóng l biºu di¹n ph¥n tuy¸n t½nhcõa nhau n¸u câ còng £nh ng÷ñc t½nh c£ bëi cõa 4 iºm ph¥n bi»t Kº

tø â, v§n · n y thu hót ÷ñc sü quan t¥m cõa nhi·u nh to¡n håctrong v ngo i n÷îc nh÷: H H Kho¡i, D D Th¡i, T V T§n, T T H

An, H T Ph÷ìng, S Quang, V H An, G Gundersen, C C Yang,

M Shirosaki, S Mori

Khi x²t b i to¡n duy nh§t h m ph¥n h¼nh d÷îi i·u ki»n nghàch £nhcõa a thùc ¤o h m d¤ng fnf0, n«m 1997, C C Yang v X H Huachùng minh r¬ng: N¸u hai h m ph¥n h¼nh f v g kh¡c h¬ng sao cho c¡c

a thùc ¤o h m fnf0− 1 v gng0− 1 câ còng khæng iºm t½nh c£ bëi (vîi

nnguy¶n d÷ìng n o â, n ≥ 11) th¼ f = c1ecz v g = c2e−cz ho°c f = tg,trong â c¡c h¬ng sè c1, c2, c v t thäa m¢n 4(c1c2)n+1c2 = −1, tn+1 = 1

Kº tø ¥y, nhi·u nh to¡n håc ¢ thu ÷ñc c¡c k¸t qu£ theo h÷îngnghi¶n cùu n y cho c¡c d¤ng a thùc ¤o h m kh¡c nhau: K Boussaf,

A Escassut v J Ojeda, R S Dyavanal, J Grahl v S Nevo, C C Yang

v H X Yi, M L Fang, Chó þ r¬ng khi x²t nhúng d¤ng a thùc

¤o h m kh¡c nhau, c¡c t¡c gi¢ công ¢ thi¸t lªp ÷ñc c¡c kiºu ành lþ

cì b£n thù hai t÷ìng th½ch

N«m 2007, Lþ thuy¸t Nevanlinna ¢ ÷ñc nghi¶n cùu cho to¡n tû q

- sai ph¥n trong cæng tr¼nh cõa R G Halburd v c¡c cëng sü Kº tø

â, vi»c nghi¶n cùu ùng döng cõa Lþ thuy¸t Nevanlinna cho to¡n tû q

- sai ph¥n ¢ thu hót ÷ñc sü quan t¥m cõa nhi·u nh to¡n håc tr¶nth¸ giîi nh÷ J Zhang v R Korhonen, A Fletcher, J K Langley v

J Meyer, T B Cao, K Liu v N Xu, K Liu v X Qi Hi»n nay, c¡cnghi¶n cùu theo h÷îng n y tªp trung v o c¡c v§n ·: sü duy nh§t cõac¡c h m ph¥n h¼nh k¸t hñp vîi a thùc q - sai ph¥n, ph¥n bè gi¡ trà cõa

Trang 9

a thùc q - sai ph¥n, ph÷ìng tr¼nh q - sai ph¥n V· v§n · ph¥n bè gi¡trà cõa a thùc q - sai ph¥n, n«m 2010, J Zhang v R Korhonen chùngminh mët k¸t qu£ ph¥n bè gi¡ trà kiºu Hayman cho a thùc q - sai ph¥nd¤ng fn(z)f (qz) çng thíi c¡c æng công chùng minh k¸t qu£ duy nh§tkiºu Yang - Hua cho a thùc q - sai ph¥n: Cho f(z) v g(z) l hai h mph¥n h¼nh (nguy¶n) si¶u vi»t vîi bªc khæng Gi£ sû r¬ng q l h¬ng sèphùc kh¡c khæng v n l mët sè nguy¶n d÷ìng thäa m¢n n ≥ 8 (n ≥ 6).N¸u fn(z)f (qz) − 1 v gn(z)g(qz) − 1 câ còng sè khæng iºm v cüc iºm

kº c£ bëi th¼ f ≡ tg, trong â t l h¬ng sè thäa m¢n tn+1 = 1 N«m

2015, Q Zhao v J Zhang chùng minh r¬ng: (fn(z)f (qz + c))(k) − 1 câ

væ h¤n khæng iºm n¸u f(z) l h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t vîi bªc khæng,trong â q 6= 0, c l c¡c sè phùc v n, k l c¡c sè nguy¶n d÷ìng thäam¢n n > k + 5 Hìn núa, Q Zhao v J Zhang công chùng minh ành lþduy nh§t t÷ìng ùng: N¸u hai h m nguy¶n si¶u vi»t f(z) v g(z) vîi bªckhæng thäa m¢n (fn(z)f (qz + c))(k)− 1 v (gn(z)g(qz + c))(k)− 1 câ còng

sè khæng iºm kº c£ bëi th¼ f ≡ tg, trong â q 6= 0, c l c¡c sè phùc, n, k

l c¡c sè nguy¶n d÷ìng v t l h¬ng sè thäa m¢n tn+1 = 1, n > 2k + 5.V§n · nghi¶n cùu thù ba trong luªn ¡n l : Mð rëng k¸t qu£ cõa Zhao

v Zhang khi thay fn bði mët a thùc P (f) V§n · n y ÷ñc gi£i quy¸ttrong Ch÷ìng 3 cõa luªn ¡n

2 Möc ½ch cõa · t i luªn ¡n

2.1 Möc ½ch thù nh§t cõa · t i luªn ¡n l thi¸t lªp ti¶u chu©n chu©ntc cho hå c¡c h m ph¥n h¼nh èi vîi tr÷íng hñp a thùc ¤o h m têngqu¡t, thay v¼ c¡c a thùc ¤o h m cö thº nh÷ c¡c t¡c gi£ i tr÷îc.2.2 Möc ½ch thù hai cõa · t i luªn ¡n l thi¸t lªp ti¶u chu©n chu©ntc cho h m ph¥n h¼nh v cho hå c¡c h m ph¥n h¼nh d÷îi i·u ki»n ¤o

h m c¦u bà ch°n tr¶n tªp t¤o £nh cõa mët sè gi¡ trà

2.3 Möc ½ch thù ba cõa · t i luªn ¡n l nghi¶n cùu b i to¡n x¡c ànhduy nh§t h m ph¥n h¼nh d÷îi i·u ki»n £nh ng÷ñc cõa a thùc ¤o h m

v q - sai ph¥n, ph¥n bè gi¡ trà cõa a thùc q - sai ph¥n k¸t hñp vîi ¤o

h m

Trang 10

3 èi t÷ñng v ph¤m vi nghi¶n cùu

Hå chu©n tc cõa c¡c h m ph¥n h¼nh, h m ph¥n h¼nh chu©n tc, b ito¡n duy nh§t h m ph¥n h¼nh vîi a thùc ¤o h m v q - sai ph¥n, ph¥n

bè gi¡ trà cõa a thùc q - sai ph¥n k¸t hñp ¤o h m

¤o h m

6 C§u tróc v k¸t qu£ luªn ¡n

Ngo i c¡c ph¦n mð ¦u, k¸t luªn, t i li»u tham kh£o, Luªn ¡n ÷ñcchia l m ba ch÷ìng t÷ìng ùng vîi ba v§n · nghi¶n cùu ch½nh:

Ch÷ìng 1 d nh cho vi»c nghi¶n cùu ti¶u chu©n chu©n tc cho hå c¡c

h m ph¥n h¼nh d÷îi i·u ki»n v· tªp khæng iºm cõa a thùc ¤o h m.Trong ch÷ìng n y, chóng tæi nghi¶n cùu hå chu©n tc theo quan iºmcõa Bloch Bê · Zalcman âng vai trá quan trång trong c¡c k¸t qu£cõa chóng tæi º chùng minh c¡c k¸t qu£ cõa m¼nh, mët m°t chóngtæi thi¸t lªp c¡c ành lþ kiºu Picard, m°t kh¡c chóng tæi ph£i sû lþ khâkh«n g°p ph£i trong vi»c ¡p döng Bê · Zalcman trong t¼nh huèng ành

lþ kiºu Picard cõa chóng tæi khæng cho ti¶u chu©n h m h¬ng ành lþ1.8, ành lþ 1.10 v ành lþ 1.12 l c¡c ti¶u chu©n cho hå chu©n tc cõac¡c h m ph¥n h¼nh, ch¿nh h¼nh d÷îi i·u ki»n khæng iºm cõa a thùc

¤o h m têng qu¡t Trong ành lþ 1.8, cho q = 1 v `1 = +∞, chóngtæi nhªn ÷ñc H» qu£ 1.9 Khi n = 0, k = 1, H» qu£ 1.9 nhªn l¤i k¸tqu£ cõa Schwick cho hå c¡c h m ph¥n h¼nh Trong ành lþ 1.10, cho

q = 1 v `1 = +∞, chóng tæi nhªn ÷ñc H» qu£ 1.11 H» qu£ 1.11 v

ành lþ 1.12 l têng qu¡t k¸t qu£ cõa Schwick cho hå c¡c h m nguy¶n.Nh÷ vªy ành lþ 1.8, ành lþ 1.10 v ành lþ 1.12 l nhúng mð rëng

Trang 11

thüc sü c¡c k¸t qu£ cõa W Schwick n«m 1989 Ti¸p theo l ành lþ1.19 v· hå chu©n tc cõa c¡c h m ph¥n h¼nh khæng câ khæng iºm Cho

n = 0, k = 1, n1 = 1, uI(z) = 0 vîi måi I, khi â ành lþ 1.19 nhªn l¤imët k¸t qu£ cõa J M Chang

Nëi dung Ch÷ìng 1 ÷ñc cæng bè trong c¡c cæng tr¼nh [1, 2]

Ch÷ìng 2 nghi¶n cùu h m ph¥n h¼nh chu©n tc theo quan iºm cõaLappan Cö thº, chóng tæi thi¸t lªp c¡c ành lþ kiºu Lappan cho h mchu©n tc vîi sè iºm ½t hìn n«m

N«m 2011, R Aulaskari v J Rattya ¢ ÷a ra kh¡i ni»m h m ϕ chu©n tc nh÷ sau: Cho h m t«ng ϕ : [0, 1) → (0, ∞) thäa m¢n ϕ(r)(1 −r) → ∞ khi r −→ 1− v Ra(z) = ϕ(|a + z/ϕ(|a|)|)

-ϕ(|a|) hëi tö ·u tr¶nméi tªp con compact cõa C ¸n 1 khi |a| → 1− (ta gåi ϕ l h m t«ngtrìn) Mët h m ph¥n h¼nh f tr¶n ¾a ìn và U ÷ñc gåi l ϕ - chu©ntc n¸u supz∈U

f#(z)ϕ(|z|) < +∞. K½ hi»u Nϕ l tªp c¡c h m ph¥n h¼nh

ϕ - chu©n tc tr¶n U V· m°t h¼nh håc, vîi mët h m ϕ - chu©n tc

f, ta luæn câ χ(f(z), f(w)) ≤ ||f||N ϕsupξ∈[z,w]ϕ(|ξ|)|z − w|, trong â

||f ||Nϕ = supz∈U f

#(z)ϕ(|z|).Kh¡i ni»m ϕ - chu©n tc nh÷ tr¶n khæng bao h m kh¡i ni»m chu©ntc Trong Ch÷ìng 2, chóng tæi mð rëng kh¡i ni»m h m ϕ - chu©n tcnâi tr¶n tîi mët lîp c¡c h m ϕ - chu©n tc rëng hìn v trong tr÷ínghñp °c bi»t cõa ϕ, chóng tæi nhªn l¤i kh¡i ni»m h m chu©n tc thængth÷íng Sau â, chóng tæi thi¸t lªp c¡c ành lþ kiºu Lappan cho c¡ctr÷íng hñp m tªp E chùa 1, 3 v 4 iºm ành lþ 2.5 v ành lþ 2.6 l c¡c ành lþ kiºu Lappan cho h m ϕ - chu©n tc vîi ba iºm, bèn iºm.Khi chån ϕ(|z|) = 1

1 − |z|, chóng tæi nhªn ÷ñc c¡c H» qu£ 2.7 v 2.8cho h m chu©n tc theo ngh¾a thæng th÷íng

èi vîi hå chu©n tc, chóng tæi thi¸t lªp ành lþ 2.9, ành lþ 2.10,

ành lþ 2.11 v ành lþ 2.12, chóng l c¡c k¸t qu£ kiºu Lappan vîi mët,

ba v bèn iºm ành lþ 2.10 v ành lþ 2.12 çng thíi têng qu¡t ti¶u

Trang 12

chu©n chu©n tc cõa Montel.

C¡c ành lþ kiºu Lappan cho c¡c tr÷íng hñp 3 v 4 iºm ÷ñc thi¸tlªp düa tr¶n i·u ki»n bà ch°n cõa ¤o h m c¦u cõa c¡c h m ang x²t

v ành lþ cì b£n thù hai cõa Nevanlinna âng vai trá quan trång trongchùng minh (l÷u þ r¬ng º sû döng ành lþ n y, chóng ta c¦n ½t nh§t 3

iºm) ành lþ kiºu Lappan cho tr÷íng hñp câ óng 1 iºm ÷ñc düatr¶n i·u ki»n bà ch°n cõa ¤o h m c¦u cõa mët a thùc ¤o h m ºchùng minh k¸t qu£ n y, chóng tæi c¦n sû döng mët d¤ng ành lþ cìb£n thù hai kiºu Hayman cho h m v ¤o h m K¸t qu£ kiºu Lappanvîi óng 1 iºm ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau: Vîi c¡c sè nguy¶n d÷ìng n, kthäa m¢n n > k + 3 + 2

k, hå F c¡c h m ph¥n h¼nh f tr¶n mi·n D, måikhæng iºm cõa f câ bëi khæng b² hìn k s³ chu©n tc n¸u vîi méi tªpcompact K ⊂ D, tçn t¤i a ∈ C\ {0} v h¬ng sè d÷ìng M = M(K) saocho (fnf(k))#(z) ≤ M, vîi måi f ∈ F v måi z ∈ K ∩ {fnf(k) = a}.Mët i·u thó và l m°c dò ÷ñc nh¼n nhªn theo mët h÷îng kh¡c, k¸tqu£ tr¶n çng thíi mð rëng k¸t qu£ cõa Pang-Zalcman tîi tr÷íng hñp

fnf(k)− a câ khæng iºm

Nëi dung Ch÷ìng 2 ÷ñc cæng bè trong cæng tr¼nh [3]

Ch÷ìng cuèi còng cõa luªn ¡n tªp trung v o vi»c nghi¶n cùu b i to¡nx¡c ành duy nh§t h m ph¥n h¼nh d÷îi i·u ki»n v· £nh ng÷ñc cõa athùc ¤o h m v a thùc q - sai ph¥n, ph¥n bè gi¡ trà cõa a thùc ¤o

Trang 13

ph¥n d¤ng [P (f(z))f(qz + c)](k), ph¥n bè gi¡ trà kiºu Hayman cho athùc ¤o h m k¸t hñp q - sai ph¥n d¤ng [P (f(z))f(qz + c)](k), trong â

P (f ) l a thùc kh¡c h¬ng v q 6= 0, c l c¡c h¬ng sè phùc

K¸t qu£ ¦u ti¶n cõa ch÷ìng n y l ành lþ 3.10 v· sü duy nh§t cõac¡c h m ph¥n h¼nh vîi a thùc ¤o h m chung nhau mët h m nhä C¡ck¸t qu£ ti¸p theo cõa Ch÷ìng 3 l ành lþ 3.14 v ành lþ 3.14 v· ph¥n

bè gi¡ trà cõa a thùc q - sai ph¥n v ¤o h m cõa c¡c h m ph¥n h¼nh,

ành lþ 3.16 v· sü duy nh§t cõa c¡c h m ph¥n h¼nh vîi a thùc q - saiph¥n v ¤o h m chung nhau mët h m nhä Trong ành lþ 3.14, khi

m = 1, n ≥ 2k + 6, chóng tæi nhªn l¤i k¸t qu£ cõa Zhao v Zhang Khi

m = 1, n ≥ 5, ành lþ 3.15 l c£i ti¸n mët k¸t qu£ cõa Zhao v Zhang

ành lþ 3.16 l mët mð rëng k¸t qu£ duy nh§t cho a thùc ¤o h m k¸thñp q - sai ph¥n cõa Zhao v Zhang

Nëi dung cõa Ch÷ìng 3 ÷ñc cæng bè trong cæng tr¼nh [4]

K¸t qu£ nghi¶n cùu cõa luªn ¡n âng gâp mët ph¦n v o · t i nghi¶ncùu cì b£n Nafosted Lþ thuy¸t Nevanlinna v hå chu©n tc c¡c ¡nh x¤ph¥n h¼nh cõa PGS TSKH Tr¦n V«n T§n v · t i c§p ¤i håc Håchu©n tc cõa c¡c h m ph¥n h¼nh v ùng döng cõa t¡c gi£ C¡c k¸t qu£cõa luªn ¡n ÷ñc b¡o c¡o t¤i hëi nghà: ¤i sè - tæpæ - h¼nh håc, Qu£ngNinh 2015, Seminar Gi£i t½ch - ¤i håc S÷ ph¤m Th¡i Nguy¶n 2012 -

2016, Seminar nhâm nghi¶n cùu t¤i Vi»n To¡n håc

Trang 14

Ch÷ìng 1

1.1 Lþ thuy¸t Nevanlinna cho h m ph¥n h¼nh

Cho ν l mët divisor tr¶n C H m ¸m cõa divisor ν ÷ñc ành ngh¾abði

Trang 15

trong â log+

x = max{log x, 0} vîi måi x ≥ 0

H m °c tr÷ng cõa f ÷ñc ành ngh¾a bði

T (r, 1

f − a) = T (r, f ) + O(1).

ành lþ 1.3 (ành lþ cì b£n thù hai) Cho f l h m ph¥n h¼nh kh¡ch¬ng tr¶n C Cho a1, , aq l q sè phùc ph¥n bi»t trong C Khi â

óng vîi måi r ∈ [1, ∞) ngo i mët tªp câ ë o Lebesgue húu h¤n, trong

â S(r, f) = o(T (r, f)) khi r −→ ∞

i·u ki»n khæng iºm cõa a thùc ¤o h m

Trong ph¦n n y chóng tæi tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ ÷ñc cæng bè trong[1] Möc ½ch cõa chóng tæi l chùng minh mët sè ti¶u chu©n chu©n tccho hå c¡c h m ph¥n h¼nh trong tr÷íng hñp a thùc ¤o h m ð d¤ngtêng qu¡t Mð rëng k¸t qu£ cõa Schwick, chóng tæi ¤t ÷ñc k¸t qu£nh÷ sau

Trang 16

ành lþ 1.8 Cho q (q ≥ 1) gi¡ trà phùc ph¥n bi»t kh¡c khæng a1, , aq

v q sè nguy¶n d÷ìng (ho°c + ∞) `1, , `q Cho n l mët sè nguy¶nkhæng ¥m v cho n1, , nk, t1, , tk l c¡c sè nguy¶n d÷ìng (k ≥ 1).Cho F l mët hå c¡c h m ph¥n h¼nh x¡c ành tr¶n mi·n D trong m°tph¯ng phùc sao cho vîi måi f ∈ F v vîi måi m ∈ {1, , q}, måi khæng

iºm cõa fn(fn1)(t1 )· · · (fn k)(tk )− am câ bëi ½t nh§t `m Gi£ sû r¬ng

a) nj ≥ tj vîi måi 1 6 j 6 k, v `i ≥ 2 vîi måi 1 6 i 6 q;

Cho q = 1 v `1 = +∞, chóng tæi nhªn ÷ñc h» qu£ sau ¥y

H» qu£ 1.9 Cho a l mët sè phùc kh¡c khæng, cho n l mët sè nguy¶nkhæng ¥m v n1, , nk, t1, , tk l c¡c sè nguy¶n d÷ìng Cho F l mët

hå c¡c h m ph¥n h¼nh tr¶n mi·n D sao cho måi f ∈ F, fn(fn1)(t1 )· · · (fn k)(tk )−

a khæng ¥u tri»t ti¶u tr¶n D Gi£ sû r¬ng

a) nj ≥ tj vîi måi 1 6 j 6 k;

b) n +Pk

j=1nj ≥ 3 +Pk

Trong H» qu£ 1.9, cho k = 1, n = 0, chóng tæi nhªn l¤i k¸t qu£ cõaSchwick cho hå c¡c h m ph¥n h¼nh

Trong ành lþ 1.8, khi F l hå c¡c h m nguy¶n, chóng tæi chùng minhc¡c k¸t qu£ sau

ành lþ 1.10 Cho q (q ≥ 1) gi¡ trà phùc ph¥n bi»t kh¡c khæng a1, , aq

v q sè nguy¶n d÷ìng (ho°c +∞) `1, , `q Cho n l mët sè nguy¶nkhæng ¥m v cho n1, , nk, t1, , tk l c¡c sè nguy¶n d÷ìng (k ≥ 1).Cho F l mët hå c¡c h m ch¿nh h¼nh x¡c ành tr¶n mi·n D cõa m°tph¯ng phùc sao cho vîi måi f ∈ F v vîi måi m ∈ {1, , q}, måikhæng iºm cõa fn(fn1)(t1 )· · · (fnk)(tk ) − am câ bëi ½t nh§t `m Gi£ sûr¬ng

a) nj ≥ tj vîi måi 1 6 j 6 k, v `i ≥ 2 vîi måi 1 6 i 6 q;

j=1 n j

Trang 17

H» qu£ 1.11 Cho a l sè phùc kh¡c khæng, cho n l sè nguy¶n khæng ¥m

v n1, , nk, t1, , tk l c¡c sè nguy¶n d÷ìng Cho F l mët hå c¡c h mch¿nh h¼nh x¡c ành tr¶n D sao cho måi f ∈ F, fn(fn1)(t1 )· · · (fnk)(tk )−akhæng ¥u tri»t ti¶u tr¶n D Gi£ sû r¬ng

a) nj ≥ tj vîi måi 1 6 j 6 k;

b) n +Pk

j=1nj ≥ 2 +Pk

Trong H» qu£ 1.11, cho k = 1, n = 0, chóng tæi nhªn l¤i k¸t qu£ cõaSchwick cho hå c¡c h m ch¿nh h¼nh ngo¤i trø tr÷íng hñp n = k + 1.Ti¸p theo, chóng tæi ÷a ra chùng minh mîi ìn gian hìn k¸t qu£ cõaSchwick trong tr÷íng hñp n = k + 1

ành lþ 1.12 Cho k l mët sè nguy¶n d÷ìng v a h¬ng sè kh¡c khæng.Cho F l mët hå c¡c h m ch¿nh h¼nh x¡c ành tr¶n mi·n D cõa m°tph¯ng phùc sao cho vîi måi f ∈ F, (fk+1)(k)(z) 6= a tr¶n D Khi â hå

nI +Pk

j=1njI < α =

Pk j=1tj

n +Pk

iºm

Định dạng
Số trang	34
Dung lượng	503,4 KB