Một số phương pháp lặp giải bài toán biên hỗn hợp

đại học tháI nguyên Tr-ờng đại học khoa học đinh từ sơn Một số ph-ơng pháp lặp giải bài toán biên hỗn hợp luận văn thạc sĩ khoa học máy tính Thái nguyên, năm 2013... Tuy nhiên trên

đại học tháI nguyên

Tr-ờng đại học khoa học

đinh từ sơn

Một số ph-ơng pháp lặp giải bài toán biên hỗn hợp

luận văn thạc sĩ khoa học máy tính

Thái nguyên, năm 2013

đại học tháI nguyên

Tr-ờng đại học khoa học

đinh từ sơn

Một số ph-ơng pháp lặp giải bài toán biên hỗn hợp

Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 60 46 01 12

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

Mở đầu 1

Chương 1 Các kiến thức cơ bản 3

1.1 Các kiến thức cơ bản về không gian hàm 3

1.1.1 Không gian C  k  3

1.1.2 Không gian L  P( ) 3

1.1.3 Không gian W ( )1,p  4

1.1.4 Khái niệm vết của hàm 5

1.1.5 Không gian Sobolev với chỉ số âm H 1  và H 1/2  7

1.1.6 Nghiệm yếu của phương trình 8

1.2 Lý thuyết về sơ đồ lặp 9

1.3 Phương pháp sai phân 11

1.3.1 Phương pháp lưới 11

1.3.2 Bài toán sai phân 11

1.3.3 Thuật toán thu gọn khối lượng tính toán 13

Chương 2 Một số kiến thức về phương pháp lặp giải bài toán cấp hai và cấp bốn 20

2.1 Phương pháp chia miền 20

2.1.1 Cơ sở của phương pháp 20

2.1.2 Sự hội tụ của phương pháp lặp 21

2.2 Phương pháp lặp song song giải bài toán biên hỗn hợp mạnh 26

2.2.1 Bài toán 26

2.2.2 Sự hội tụ của phương pháp 27

2.3 Phương pháp xấp xỉ biên giải phương trình song điều hòa 30

Chương 3 Mô hình bài toán biên hỗn hợp 35

3.1 Mô hình toán học 35

3.2 Một số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ đối với bài toán biên hỗn hợp

38

3.2.1 Phương pháp lặp tuần tự 39

3.2.2 Phương pháp lặp song song 43

3.2.3 Phương pháp lặp đối với bài toán biên hỗn hợp mạnh 44

Kết luận 49

Tài liệu tham khảo 50

Phần phụ lục 51

Các ký hiệu

L Toán tử Elliptic

n

 Không gian Euclid n chiều

 Miền giới nội trong không gian n

 Biên trơn Lipschitz

H  Không gian các hàm có vết bằng 0 trên 

Mở đầu

Trong thực tế, các bài toán cơ học và vật lý thường được mô tả bằng các bài toán biên với phương trình đạo hàm riêng dạng cấp hai và cấp bốn trong đó phương trình Elliptic và phương trình song điều hòa là các phương trình được các nhà khoa học kỹ thuật rất quan tâm bởi các phương trình đó liên quan đến các bài toán mô tả

độ uốn, dao động của các tấm và màng mỏng Đại đa số các trường hợp, các bài toán thực tế thường được mô hình hóa bằng chỉ một loại phương trình Tuy nhiên khi nghiên cứu mô hình chuyển dịch ngang của một tấm đàn hồi được cấu thành bởi hai thành phần khác nhau, một là màng mỏng và phần còn lại là bản cứng, thông qua mô hình toán học, dao động của hệ hỗn hợp trên sẽ được mô tả bởi bài toán biên tiêu biểu dạng hỗn hợp giữa phương trình cấp hai và cấp bốn với các điều kiện biên hỗn hợp hoặc hỗn hợp mạnh Trong tài liệu [5], tác giả đã mô tả bài toán, chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm và đồng thời và đưa ra một phương pháp lặp xác định nghiệm gần đúng của bài toán hỗn hợp trên cơ sở sơ đồ chia miền Dirichle-Neumann Tuy nhiên trên cơ sở phương pháp phân rã bài toán cấp bốn về hai bài toán cấp hai kết hợp với phương pháp chia miền cùng phương pháp toán tử biên, ta có thể xây dựng một số phương pháp lặp khác để giải bài toán trên

Nội dung chính của luận văn đặt vấn đề nghiên cứu mô hình toán học của bài toán hỗn hợp, trên cơ sở các kết quả về phương pháp phân rã, phương pháp xấp xỉ biên và phương phương pháp chia miền xây dựng một số phương pháp lặp để tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán, khảo sát sự hội tụ và tính toán tử nghiệm trên máy tính điện tử để kiểm tra sự hội tụ của các sơ đồ lặp Cấu trúc của luận văn gồm ba chương:

Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về các không gian hàm, các khái niệm cơ bản về nghiệm yếu của phương trình Elliptic, lý thuyết về sơ đồ lặp, phương pháp sai phân, thuật toán thu gọn khối lượng tính toán giải hệ phương trình vectơ 3 điểm Đây là những kiến thức quan trọng làm cơ sở nghiên cứu về mô hình bài toán được mô tả ở các chương tiếp theo của luận văn

Chương 2: Đưa ra các kết quả đã biết về phương pháp chia miền dưới dạng

biên giải bài toán song điều hòa Đây là cơ sở lý thuyết chính để đề xuất các sơ đồ lặp tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán biên hỗn hợp trình bày trong chương 3

Chương 3: Mô tả mô hình toán học của các bài toán biên hỗn hợp giữa phương trình cấp hai và phương trình cấp bốn Trên cơ sở các phương pháp đã trình bày trong chương 2, luận văn xây dưng một số phương pháp lặp xác định nghiệm xấp xỉ của bài toán hỗn hợp, tiến hành tính toán kiểm tra sự hội tụ của các sơ đồ lặp từ đó đưa ra kết luận về tính hữu hiệu của các phương pháp Các kết quả số trong luận văn được thực hiện trong môi trường MATLAB

Mặc dù đã cố gắng song nội dung bản luận văn không thể tránh được những sai sót Em rất mong nhận được sự chỉ bảo của các Thầy Cô giáo, đóng góp ý kiến bạn đồng nghiệp để luận văn thêm hoàn thiện

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn TS Vũ Vinh Quang đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình làm luận văn

Em cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô giáo, bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã luôn giúp đỡ, động viên em trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2013

Học viên

ĐINH TỪ SƠN

Chương 1 Các kiến thức cơ bản

Nội dung chương 1 của luận văn trình bày một số kiến thức cơ bản về các không gian hàm, đặc biệt là không gian Sobolev, khái niệm về nghiệm yếu của phương trình, các kiến thức về các sơ đồ lặp và đặc biệt là phương pháp sai phân và thuật toán thu gọn khối lượng tính toán Đây là các kiến thức nền tảng, là cơ sở cho việc trình bày các nội dung trong chương 2 và chương 3 của luận văn Các kiến thức trên được tham khảo trong các tài liệu [1, 2, 6, 7]

1.1 Các kiến thức cơ bản về không gian hàm

Giả sử  là một miền trong n và p là một số thực dương Ta kí hiệu L  P( )

là lớp các hàm đo được f xác định trên  sao cho

f x  g x  f x  g x     f x  g x   

nên rõ ràng L  P( ) là một không gian vectơ

Ta đưa vào L  P( ) phiếm hàm .

p xác định bởi

1/

( )

p p

Định nghĩa 1.1 Cho  là miền trong của n Hàm u x( ) được gọi là khả tích địa

phương trong  nếu u x( ) là một hàm trong  và với mỗi x  0 đều tồn tại một lân cận  của x0 để u x( ) khả tích trong 

Định nghĩa 1.2 Cho  là miền trong của n Giả sử u x v x( ), ( ) là hai hàm khả tích địa phương trong  sao cho ta có hệ thức

 

1 1

1 n

Kí hiệu

1 1

1.1.4 Khái niệm vết của hàm

Định nghĩa 1.4 Không gian Sobolev W ( ) 1,p  được định nghĩa như các bao đóng của không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong  tương ứng với chuẩn của W ( )1,p 

Không gian H 01( )được định nghĩa bởi

Bổ đề 1.2 Giả sử biên  là biên liên tục Lipschitz Không gian H1/2() có các tính chất sau:

i) Tập u ,u C ( n)

   trù mật trong H1/2(  ) ii) Nhúng H1/2(   ) L2(  ) là compact

iii) Tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục

1.1.5 Không gian Sobolev với chỉ số âm H 1  và H 1/2 

Định nghĩa 1.6 Kí hiệu H 1  là không gian Banach được định nghĩa bởi

     

   

 

1 1 1

H   H  ,

tức là không gian đối ngẫu của 1/2 

H  Chuẩn của phần tử 1/2 

F H được xác định như sau

     

   

 

1/2 1/2 1/2

u x được gọi là nghiệm cổ điển của phương trình (1.8)

Lấy hàm  bất kì thuộc D  C0   nhân hai vế của (1.8) rồi lấy tích phân ta được

Định nghĩa 1.8 Giả sử uH1  ,f L2  ,u được gọi là nghiệm yếu của phương trình (1.8) nếu (1.10) được thỏa mãn

Mệnh đề 1.1 Nếu u là nghiệm yếu của phương trình (1.8) và 2 

   trong L 2  Nhưng vì u liên tục nên   u f 0 trong C   Vậy

u là nghiệm cổ điển của phương trình (1.8)

1.2 Lý thuyết về sơ đồ lặp

Lược đồ lặp hai lớp

Xét bài toán

Trong đó A H: H là toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert thực n chiều

H với tích vô hướng  , và chuẩn y   y y,

Giả sử A là toán tử đối xứng, xác định dương, f H là vectơ tùy ý Trong mỗi phương pháp lặp, xuất phát từ y0 bất kỳ thuộc H, người ta đưa ra cách xác định

nghiệm xấp xỉ y y1, , , , 2 y k của phương trình (1.11) Các xấp xỉ như vậy được biết như là các giá trị lặp với chỉ số lặp k 1,2, Bản chất của những phương pháp này

là giá trị y k1 có thể được tính thông qua các giá trị lặp trước: y y k, k1,

Phương pháp lặp được gọi là phương pháp lặp một bước hoặc hai bước nếu xấp xỉ

+ Nếu B k E thì lược đồ lặp (1.12) được gọi là lược đồ lặp hiển

1 1

, 0,1,2,

k k

+ Nếu B k E thì lược đồ lặp (1.12) được gọi là lược đồ ẩn

Lược đồ dừng, định lý cơ bản về sự hội tụ của phép lặp

Lược đồ lặp (1.12) với toán tử B k B, tham số  k1  không đổi

k  0,1,2, còn được gọi là lược đồ lặp dừng

y Đặt x i =aih y, j =cjk i, 0, , ,N j 0, , M Mỗi điểm ( , )x y i j gọi là một nút lưới ký hiệu là nút ( , )i j Tập tất cả các nút trong ký hiệu là hk Nút ở trên biên

 gọi là nút biên, tập tất cả các nút biên ký hiệu là hk, tập hk =   hk hk gọi là một lưới sai phân trên 

Hàm lưới: Mỗi hàm số xác định tại các nút của lưới gọi là một hàm lưới, giá trị của

hàm lưới u x y( , ) tại nút lưới ( , )i j viết tắt là u i j, Mỗi hàm u x y( , ) xác định tại mọi ( , )x y   tạo ra hàm lưới u xác định bởi u i j,

1.3.2 Bài toán sai phân

Kí hiệu =  , Xét bài toán Lu f, giả sử bài toán có nghiệm 4

( , )max ( , ) =

x y

u

x y C const x

( , )max ( , ) =

x y

u

x y C const y

Số hạng O h 2 k2 là một vô cùng bé bậc hai Ta nói toán tử kh xấp xỉ toán

tử , điều đó cho phép  thay phương trình vi phân bằng phương trình sai phân:

nghiệm xấp xỉ của bài toán vi phân (1.17) với độ chính xác cấp hai được đưa về việc giải bài toán sai phân (1.18) với điều kiện (1.19) bằng các phương pháp đại số

1.3.3 Thuật toán thu gọn khối lượng tính toán

Thuật toán thu gọn khối lượng tính toán được đề xuất bởi Samarski – Nicolaev Bằng các phép biến đổi đơn giản về véctơ và ma trận, các bài toán sai phân luôn được đưa về hệ phương trình véctơ ba điểm thuộc một trong các dạng sau đây:

Bài toán biên thứ nhất

Xét bài toán biên thứ nhất đối với phương trình véc tơ ba điểm

Y CY Y F

    , 1 j N 1, Y0 F0, Y N F N (1.20) Trong đó Y j là các véctơ cần tìm, C là ma trận vuông, F j là véctơ cho trước

Giả sử N 2n, n 0 Ký hiệu C(0) C F, j(0) F j j; 1,2, ,N 1 Khi đó (1.20) được viết dưới dạng

Nhân 2 vế của phương trình thứ hai với   0

C vào bên trái rồi cộng cả 3 phương trình lại ta được

(0) (0)

1 1, 1, 3, , 1

C Y F Y Y j  N  (1.23) Như vậy hệ (1.21) tương đương với hệ gồm (1.22) và (1.23)

Bước khử thứ hai: Ở bước khử này ta sẽ tiến hành khử các Y j của hệ (1.22) với j là bội của 2 nhưng không là bội của 4 Muốn vậy ta viết 3 phương trình liên tiếp của (1.22)

Nhân 2 vế của phương trình thứ hai với   1

C vào bên trái rồi cộng cả 3 vế phương trình ta lại được

k k

 k 1

thì với việc giải lần lượt các phương trình

1 , 1 1, 1,2, ,2 ,k 0

sẽ cho nghiệm của bài toán (1.33) là v v2k1

Dựa vào các bước phân tích ở trên, thuật toán rút gọn hoàn toàn giải bài toán biên thứ nhất như sau

 Quá trình xuôi

Bước 1: Cho các giá trị ban đầu p(0)j ,q(0)j F j j, 1,2, 3, ,N 1

Bước 1: Với k 1 giải phương trình: Cp(1)j q(0)j và tính

Bài toán biên thứ hai

Xét bài toán thứ hai

Kí hiệu:

( )k ( ) ( )k k ( )k, 2 ,2.2 , ,k k 2 , ,k 1,2, ,

F C p q j  N  N k  n Bằng các phép biến đổi đơn giản và cách chọn p( )j k và q( )j k thích hợp, ta nhậnđược quá trình sau để xác định các véctơ ( )k

k j

Bước 1: Xác định các giá trị ban đầu p(0)j 0;q(0)j F j j, 1,2, ,N

Bước 2: Với k 1,2, ,n1 xác định các véctơ:

( 1) ( 1) (0) ( 1) ( 1) ( 1)

Sau đó, với l  1,2, ,2 (k 1) , giải phương trình

( ) ( 1) , 1

Chương 2 Một số kiến thức về phương pháp lặp giải bài toán cấp

hai và cấp bốn

Trong chương này, luận văn sẽ trình bày một số kết quả nghiên cứu về các phương pháp lặp giải bài toán cấp hai và cấp bốn, các kết quả được tham khảo trong các tài liệu [8, 9, 10, 11]

2.1 Phương pháp chia miền

2.1.1 Cơ sở của phương pháp

Cho   2 là miền với biên Lipschitz , xét bài toán

trơn gồm cả hai điều kiện biên Dirichlet (l là toán tử hàm) và Neumann (l là toán tử

đạo hàm hướng) Ta áp dụng phương pháp chia miền để xác định nghiệm của bài toán biên hỗn hợp mạnh

Giả sử  cho bởi

Hình 2.1

u f x u

x v

tưởng của phương pháp là tìm ra các xấp xỉ của 1

1

u g

Mô tả thuật toán chia miền

Bước 1 Cho trước  0

0,

g  x  Bước 2 Với g k k 0,1,2  trên  tiến hành giải hai bài toán

, ,,

k k k

k

d

u f x u

,,,,

k k

Trong đó  là tham số cần lựa chọn

2.1.2 Sự hội tụ của phương pháp lặp

Sơ đồ lặp (2.3) viết lại dưới dạng

   

1

2 2

0, ,, ,0,

k k k

0, ,

0, ,, ,

0, ,

k k

0, ,

0, ,, ,

0, ,, ,0,

x

x x

   Có thể kiểm tra rằng trong trạng thái phát biểu yếu toán tử S1

được định nghĩa bởi

  2 1

Bây giờ ta xét tính chất của toán tử S2 Giả sử 12 

2 2

2

0,0,,

0, n

x x x x

Do S S1, 2 là các toán tử đối xứng nên toán tử B cũng là toán tử đối xứng

Giả sử rằng đối với phép chia miền  thành các miền con  1, 2 tồn tại các hằng

Từ lý thuyết tổng quát của lược đồ lặp hai lớp ta suy ra rằng nếu

20

i

e C  e (2.10)

Ở đây các hằng số dương C C C C C21, 31, 22, ,1 chỉ phụ thuộc vào i và  Ta phát biểu kết quả thu được ở trên về sự hội tụ của phương pháp bởi định lý sau đây

Định lý 2.1 Với giả thiết (2.7), phương pháp lặp (2.1) - (2.3) hội tụ nếu tham số lặp

 thỏa mãn điều kiện (2.8) Giá trị tối ưu của tham số lặp được cho bởi (2.9) và khi

đó ước lượng cho các sai số được xác định bởi (2.10)

2.2 Phương pháp lặp song song giải bài toán biên hỗn hợp mạnh

Lu f x x u

Để giải bài toán (2.11) , ta chia miền  thành hai miền con  1, 2bởi đường thẳng

Bài toán (2.11) sẽ được giải nếu chúng ta tìm được 1

 trên  và sơ đồ lặp song song tìm  được đề xuất như sau:

(i) Cho trước  0 2 

L

   , chẳng hạn   0,x   (ii) Với mỗi giá trị  k,k 0,1,2,  trên  tiến hành giải song song các bài toán hỗn hợp yếu

,

k k

k

k

D

Lu f trong u

N k

D k

k

Lu f trong u

tr n

u g tr n u

   

 

  và  là tham số lặp tối ưu cần lựa chọn

2.2.2 Sự hội tụ của phương pháp

Để nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp lặp song song, ta đưa vào toán tử biên B xác định trên L 2  bởi công thức:

1

1 1 1

hoàn toàn liên tục từ L 2  vào H 1 

Chứng minh Cho h và h thuộc L 2  Ký hiệu  1, 2 và     1, 2 là các nghiệm tương ứng của các bài toán (2.17) và (2.18) ứng với h và h

Theo định nghĩa toán tử B ta có:

Tính hoàn toàn liên tục của B suy ra từ độ trơn của nghiệm của bài toán biên hỗn

hợp và các định lý nhúng của không gian Sobolev

Tiếp theo, ta đưa bài toán tìm hàm  u1/ 1 trên  về một phương trình toán

tử với toán tử B Để làm điều này ta nhận xét rằng nghiệm của bài toán (2.11) có thể

biểu diễn dưới dạng:

,

0 ê

ê D

Lu f trong u

ê

0 ê D

Lu trong u

Từ các kết quả trên ta có mệnh đề sau

Mệnh đề 2.2 Hàm  u1/ 1, trong đó u1 là nghiệm của bài toán (2.11) trên

Mệnh đề 2.3 Quá trình lặp (2.13) – (2.15) là sự thực hiện lược đồ lặp (2.24)

Chứng minh: Để chứng minh, ta biểu diễn  k

   Với các kết quả đã chứng minh

ở trên về tính chất của toán tử B, ta có định lý về sự hội tụ của phương pháp lặp như

2.3 Phương pháp xấp xỉ biên giải phương trình song điều hòa

Phương trình song điều hòa là một lớp phương trình quan trọng trong cơ học

Để giải bài toán này, phương pháp thông thường là tìm cách phân rã bài toán, đưa

về hai bài toán cấp hai Tuy nhiên khi điều kiện biên của bài toán song điều hòa là đặc biệt, dẫn tới việc không xác định được điều kiện biên của hai bài toán cấp hai thì việc giải bài toán gặp khó khăn Một trong những hướng nghiên cứu giải quyết