PHẠM THỊ ÁNH HỒNGMỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN SONG ĐIỀU HÒA VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP MẠNH... 17 2.2 Phương pháp lặp giải bài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp.. Tro
Trang 1PHẠM THỊ ÁNH HỒNG
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN SONG ĐIỀU HÒA
VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP MẠNH
Trang 2Mục lục
1.1 Các kiến thức cơ bản về các không gian hàm 4
1.1.1 Không gian Ck( ¯Ω) 4
1.1.2 Không gian Lp(Ω) 5
1.1.3 Không gian W1,p(Ω) 5
1.1.4 Khái niệm vết của hàm 6
1.2 Lý thuyết về phương trình elliptic 10
1.2.1 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình 10
1.2.2 Phát biểu các bài toán biên 12
1.3 Phương pháp lặp và các sơ đồ lặp cơ bản 13
2 Một số phương pháp giải bài toán elliptic với biên kì dị 15 2.1 Phương pháp chia miền giải bài toán biên elliptic cấp 2 với điều kiện biên hỗn hợp mạnh 15
2.1.1 Cơ sở của phương pháp 15
2.1.2 Sự hội tụ của phương pháp 17
2.2 Phương pháp lặp giải bài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp 22
2.2.1 Mô hình bài toán 22
2.2.2 Phương pháp lặp 22
3 Bài toán Crack và một số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ 27 3.1 Phương pháp tích phân biên hàm kì dị cho bài toán song điều hòa với điểm đứt gãy kì dị 27
3.1.1 Mô hình bài toán 28
3.1.2 Phương pháp tích phân biên kì dị 30
Trang 33.1.3 Kết quả số 31
3.2 Phương pháp chia miền giải bài toán crack 37
3.2.1 Sơ đồ lặp chia miền 37
3.2.2 Các kết quả thực nghiệm 39
Trang 4Lời cảm ơn
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa học
- Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Vũ VinhQuang Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo,người hướng dẫn khoa học của mình, TS Vũ Vinh Quang, người đã đưa ra
đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của tác giả.Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán
- Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điềukiện cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính để tác giả hoàn thànhbản luận văn này Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình, BGH trườngTHPT Chu Văn An - Thái Nguyên và các bạn trong lớp Cao học K4A, đãđộng viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn
Trang 5Khi nghiên cứu bài toán cơ học và vật lý trong kỹ thuật, thông qua việc
mô hình hóa, các bài toán thường dẫn đến các dạng phương trình ellipticcấp 2 hoặc các dạng phương trình song điều hòa với các hệ số điều kiệnbiên khác nhau Trong trường hợp khi điều kiện biên của bài toán đangxét không tồn tại các điểm kì dị thì đã có nhiều phương pháp của các tácgiả trên thế giới tìm nghiệm gần đúng của các bài toán tương ứng nhưphương pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn Tuy nhiên, trongtrường hợp khi trên biên tồn tại các điểm kì dị là các điểm phân cách giữacác loại điều kiện biên hàm và đạo hàm, điều này thường xảy ra đối với
mô hình các bài toán cơ học và vật liệu đàn hồi thì chúng ta sẽ gặp cácbài toán elliptic hoặc các bài toán song điều hòa với điều kiện biên kì dị.Khi đó các phương pháp thông thường sẽ gặp nhiều khó khăn Đối với cácbài toán này, để tìm nghiệm xấp xỉ, người ta thường sử dụng một phươngpháp đó là phương pháp tích phân biên hàm kì dị tìm nghiệm dưới dạngkhai triển thông qua các hệ hàm cơ sở Một hướng nghiên cứu thứ hai đó
là xây dựng các sơ đồ lặp dựa trên tư tưởng chia miền
Mục đích chính của luận văn là tìm hiểu bài toán vết nứt hay còn gọi
là bài toán crack được các tác giả trên thế giới đưa ra Mô hình toán họccủa bài toán là bài toán song điều hoà với điều kiện biên kì dị Trình bày
cơ sở của phương pháp tích phân biên hàm kì dị giải bài toán này đồngthời xây dựng các sơ đồ lặp dựa trên tư tưởng chia miền tìm nghiệm xấp
xỉ của bài toán Đồng thời tiến hành thực nghiệm tính toán để kết luận sựhội tụ của các phương pháp lặp và so sánh tính hiệu quả của hai phươngpháp đã đưa ra Nội dung của luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về các không gian hàm vàđặc biệt là không gian Sobolev, các bất đẳng thức quan trọng, khái niệm
về nghiệm yếu, lý thuyết về các sơ đồ lặp hai lớp và định lý cơ bản về sựhội tụ của sơ đồ lặp
Trang 6Chương 2: Trình bày cơ sở của phương pháp chia miền để giải bài toánbiên elliptic cấp hai với điều kiện biên hỗn hợp mạnh và cơ sở của phươngpháp lặp giải bài toán song điều hoà với điều kiện biên hỗn hợp.
Chương 3: Nghiên cứu mô hình bài toán vết nứt, trình bày cơ sở phươngpháp tích phân biên hàm kì dị giải bài toán này Trên cơ sở của phươngpháp chia miền giải phương trình cấp 2 và phương pháp lặp giải phươngtrình cấp 4, luận văn đưa ra sơ đồ lặp giải bài toán vết nứt, tiến hành thựcnghiệm kiểm tra tính đúng đắn của phương pháp đưa ra Từ đó đưa ra kếtluận so sánh giữa hai phương pháp
Trong luận văn, các chương trình thực nghiệm được lập trình trên ngônngữ Matlab chạy trên máy tính PC
Mặc dù đã rất cố gắng song nội dung bản luận văn không thể tránhkhỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến củacác Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn thêm hoàn thiện
Tác giả
Trang 7Các kiến thức cơ bản
Trong chương này, luận văn trình bày những kết quả lý thuyết quantrọng về các không gian Sobolev, phương trình elliptic với khái niệm nghiệmyếu và định lý tồn tại duy nhất nghiệm, các bất đẳng thức Poincare, lýthuyết về phương pháp lặp giải phương trình toán tử
1.1 Các kiến thức cơ bản về các không gian
hàm
Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian Euclid n chiều Rn và ¯Ω
là bao đóng của Ω Ta kí hiệu Ck( ¯Ω)(k = 0, 1, 2, ) là tập các hàm có đạohàm đến cấp k kể cả k trong Ω, liên tục trong ¯Ω Ta đưa vào Ck( ¯Ω) chuẩn
Trang 8Sự hội tụ theo chuẩn này là sự hội tụ đều trong ¯Ω của các hàm và tất
cả đạo hàm của chúng đến cấp k kể cả k Rõ ràng tập Ck( ¯Ω) với chuẩn(1.1) là không gian Banach
Giả sử Ω là một miền trong Rn và p là một số thực dương Ta kí hiệu Lp(Ω)
là lớp các hàm đo được f xác định trên Ω sao cho
Ω Vì
|f (x) + g(x)|p ≤ (|f (x) + g(x)|)p ≤ 2p(|f (x)|p+ |g(x)|p)
nên rõ ràng Lp(Ω) là một không gian véc tơ
Ta đưa vào Lp(Ω) phiếm hàm || · ||p được xác định bởi
||u||p =
Z
x0 ∈ Ω đều tồn tại một lân cận ω của x0 để u(x) khả tích trong Ω
Định nghĩa 1.1.2 Cho Ω là một miền trong Rn Giả sử u(x), v(x) là haihàm khả tích địa phương trong Ω sao cho ta có hệ thức
Trang 9đối với mọi ϕ(x) ∈ C0k(Ω), k = k1 + + kn, ki ≤ 0(i = 1, 2, , n) Khi đó,v(x) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp k của u(x).
Với p = 2, ta kí hiệu W1,p(Ω) = H1(Ω), nghĩa là
Định nghĩa 1.1.5 Không gian Sobolev W1,p(Ω) được định nghĩa như cácbao đóng của không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ωtương ứng với chuẩn của W1,p(Ω)
Không gian H01(Ω) được định nghĩa bởi
Trang 10Định nghĩa 1.1.8 Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz Không gian
H1/2(∂Ω) được gọi là miền giá trị của ánh xạ vết γ, tức là
||γ(u)||H1/2 (∂Ω) ≤ Cγ(Ω)||u||H1 (Ω), ∀u ∈ H1(Ω)
Khi đó, Cγ(Ω) được gọi là hằng số vết
Bổ đề 1.1.10 Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz Không gian H1/2(∂Ω)
||u||H1 (Ω) ≤ C1(Ω)||g||H1/2 (∂Ω), ∀g ∈ H1/2(∂Ω)
Bổ đề 1.1.11 Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz Khi đó
H01(Ω) = {u|u ∈ H1(Ω), γ(u) = 0}
Trang 11Định lý 1.1.12 (Bất đẳng thức Poincare) Tồn tại hằng số CΩ sao cho:
||u||L2 (Ω) ≤ CΩ||∇u||L2 (Ω), ∀u ∈ H01(Ω)
Chứng minh Giả sử I là một khoảng trong Rn chứa ¯Ω, u ∈ H01(Ω) Ta kíhiệu u là mở rộng bởi 0 của u vào I Ta cóe u ∈ He 01(I) và
||u||L2 (Ω) = ||u||e L2 (I); ||∇u||L2 (Ω) = ||∇eu||L2 (I) (1.4)
Để chứng minh định lý đúng với Ω là khoảng bất kì trong Rn, khôngmất tính tổng quát ta chứng minh định lý đúng với Ω = (0, a)n
∂u
∂xn(x
0, t)
∂u
∂xn(x
0, t)
∂u
∂xn
... data-page="18">
Một số phương pháp giải toán elliptic với biên< /h2>
kì dị
2.1 Phương pháp chia miền giải toán< /h3>
biên elliptic cấp với điều kiện biên hỗn hợp mạnh< /h3>
Cho...
hịa với điều kiện biên hỗn hợp< /h3>
Trong mục luận văn xét mơ hình tốn cho phương trình song? ?iều hịa với điều kiện biên hỗn hợp Trong luận văn trình bày sởcủa phương pháp lặp dựa lý thuyết... nếutham số lặp τ thỏa mãn điều kiện (2.8) Giá trị tối ưu tham số lặp? ?ược cho (2.9) ước lượng cho sai số xác định bởi(2.10).
2.2 Phương pháp lặp giải tốn song điều< /h3>
hịa với điều
