Phương pháp lặp giải bài toán biên elliptic với hệ số gián đoạn

Phương pháp lặp giải bài toán biên elliptic với hệ số gián đoạn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ MAI PHƯƠNG

PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN ELLIPTIC

VỚI HỆ SỐ GIÁN ĐOẠN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2011

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ MAI PHƯƠNG

PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN ELLIPTIC

VỚI HỆ SỐ GIÁN ĐOẠN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Mục lục

1.1 Các kiến thức cơ bản về các không gian hàm 4

1.1.1 Không gian Ck(Ω) 4

1.1.2 Không gian LP(Ω) 5

1.1.3 Không gian W1,p(Ω) 5

1.1.4 Khái niệm biên liên tục Lipschitz Định lý nhúng 7

1.1.5 Khái niệm vết của hàm 8

1.1.6 Không gian Sobolev với chỉ số âmH−1(Ω)vàH−1/2(∂Ω) 10 1.2 Lý thuyết về phương trình elliptic 12

1.2.1 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình 12

1.2.2 Phát biểu các bài toán biên 13

1.2.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu 14

1.3 Phương pháp lặp và các sơ đồ lặp cơ bản 17

1.3.1 Phương pháp lặp giải phương trình toán tử 17

2 Phương pháp chia miền giải phương trình elliptic cấp 2 20 2.1 Giới thiệu về phương pháp chia miền 20

2.2 Phương pháp hiệu chỉnh hàm 24

2.3 Phương pháp hiệu chỉnh đạo hàm 27

3 Bài toán biên elliptic với hệ số gián đoạn 31 3.1 Đặt vấn đề 31

3.2 Mô hình thứ nhất 32

3.3 Mô hình thứ hai 34

3.4 Các sơ đồ lặp dựa trên chia miền 37

3.5 Một số kết quả thực nghiệm 40

Kết luận 51

Phụ lục 74

Các ký hiệu

L Toán tử elliptic

Rn Không gian Euclide n chiều

Ω Miền giới nội trong không gian Rn

∂Ω Biên trơn Lipschitz

Ck(Ω) Không gian các hàm có đạo hàm cấp k liên tục

L2(Ω) Không gian các hàm đo được bình phương khả tích

W1,p(Ω) Không gian Sobolev với chỉ số p

H1/2(∂Ω) Không gian Sobolev với chỉ số 1/2

H01(Ω) Không gian các hàm có vết bằng không trên ∂Ω

H−1(∂Ω) Không gian đối ngẫu với H01(Ω)

H−1/2(∂Ω) Không gian đối ngẫu với H1/2(∂Ω)

(.)V Tích vô hướng xác định trên không gian V

Cγ(Ω) Hằng số vết

CΩ Hằng số Poincare

Mở đầu

Khi nghiên cứu các bài toán cơ học và vật lý trong kỹ thuật, qua việc

mô hình hóa, các bài toán thường dẫn đến các dạng phương trình ellipticcấp hai với các hệ điều kiện biên khác nhau Trong trường hợp khi môitrường đang xét đối với các bài toán thực tế là môi trường đồng nhất thì

ta thường nhận được các dạng phương trình elliptic với hệ số là các hàmliên tục Đối với các dạng phương trình này, đã có nhiều phương pháp củacác tác giả trên thế giới tìm nghiệm gần đúng của các bài toán tương ứngnhư phương pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn với tư tưởng làchuyển bài toán vi phân về bài toán sai phân trong không gian hữu hạnchiều và từ đó xác định nghiệm xấp xỉ bằng các thuật toán trên cơ sởgiải các hệ đại số tuyến tính Tuy nhiên trong trường hợp khi môi trườngđang xét là các môi trường không đồng nhất thì ta sẽ gặp bài toán biênelliptic với hệ số là các hàm số gián đoạn trong miền đang xét Bài toánnày thường gặp trong các mô hình truyền dẫn nhiệt, khuyếch tán hoặctĩnh điện trong môi trường phân lớp không đồng nhất Năm 2006, các tácgiả Z.Muradoglu Seyidmamedo và Ebsu Ozbilge đã mô tả mô hình bàitoán biên elliptic với hệ số gián đoạn qua mặt phân cách trong môi trườngkhông đồng nhất và đưa ra phương pháp sai phân trên lưới không đều.Việc tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán biên elliptic với hệ số gián đoạn cũng

có thể xác định được bằng việc xây dựng các sơ đồ lặp trên cơ sở của lýthuyết chia miền

Nội dung chính của luận văn là mô tả mô hình toán học của bài toánbiên elliptic với hệ số gián đoạn trong môi trường không thuần nhất tronghai mô hình, mối quan hệ giữa hai mô hình cơ bản, khái niệm về nghiệm

yếu của các bài toán và xây dựng các sơ đồ lặp xác định nghiệm gần đúngcủa bài toán trên tư tưởng chia miền Tiến hành thực nghiệm tính toán

và so sánh với phương pháp sai phân trên lưới không đều Luận văn đượcviết gồm 3 chương với những nội dung cơ bản như sau:

Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về các không gian hàm vàđặc biệt là không gian Sobolev, các bất đẳng thức quan trọng, khái niệm

về nghiệm yếu, lý thuyết về các sơ đồ lặp hai lớp và định lý cơ bản về sựhội tụ của sơ đồ lặp Các kiến thức này là cơ sở để trình bày các nội dungquan trọng trong chương 2

Chương 2: Luận văn đưa ra 2 sơ đồ chia miền dựa trên hai tư tưởnghiệu chỉnh hàm và hiệu chỉnh đạo hàm trên biên phân cách đối với bài toánbiên elliptic với hệ số là liên tục cùng với việc chứng minh sự hội tụ củacác sơ đồ lặp Các kết quả này đã được các tác giả công bố trong nhữngnăm trước đây Đây chính là các sơ đồ lặp quan trọng làm cơ sở cho việc

mở rộng các kết quả tương ứng trong trường hợp khi hệ số là gián đoạn.Chương 3: Luận văn đưa ra mô hình toán học của bài toán biên ellipticvới hệ số gián đoạn trong môi trường không đồng nhất, mối quan hệ giữacác mô hình, khái niệm nghiệm yếu của bài toán với hệ số gián đoạn Trên

cơ sở các kết quả trong chương 2 và mô hình bài toán elliptic với hệ sốgián đoạn đã được đưa ra, luận văn đề xuất hai sơ đồ lặp chia miền trên

tư tưởng hiệu chỉnh giá trị hàm hoặc đạo hàm trên biên phân cách đểchuyển bài toán trong miền không đồng nhất về hai bài toán trong miềnđồng nhất Tiến hành tính toán thử nghiệm trên các ví dụ cụ thể, từ đó

so sánh tốc độ và độ chính xác của hai sơ đồ lặp cũng như so sánh kếtquả với phương pháp sai phân trên lưới không đều do tác giả đã đưa ratrong tài liệu [1] Từ đó đưa ra kết luận về tính hữu hiệu của phương phápchia miền Các kết quả số trong luận văn được lập trình trên môi trườngMatlab version 7.0

Mặc dù đã rất cố gắng song nội dung bản luận văn không thể tránhkhỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến củacác Thầy Cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn thêm hoàn thiện

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn TS VũVinh Quang đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình làm luậnvăn.

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô, các bạn bè, đồngnghiệp và gia đình đã luôn giúp đỡ, động viên, khích lệ tác giả trong suốtquá trình học tập và nghiên cứu

Tác giả

Chương 1

Các kiến thức cơ bản

Trong chương này, chúng tôi trình bày những kết quả lý thuyết quantrọng về các không gian Sobolev, phương trình elliptic với khái niệmnghiệm yếu và định lý tồn tại duy nhất nghiệm, các bất đẳng thức Poincare,

lý thuyết về phương pháp lặp giải phương trình toán tử Những kiến thức

cơ sở và kết quả được tham khảo từ các tài liệu [ 2, 3, 4, 10, 11, 12]

Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian Euclid n chiều Rn và

Ω là bao đóng của Ω Ta ký hiệu Ck(Ω)(k = 0, 1, 2, ) là tập các hàm cóđạo hàm đến cấp k kể cả k trong Ω, liên tục trong Ω Ta đưa vào Ck(Ω)

Sự hội tụ theo chuẩn này là sự hội tụ đều trong Ω của các hàm và tất

cả đạo hàm của chúng đến cấp k kể cả k Rõ ràng tập Ck(Ω) với chuẩn(1.1) là một không gian Banach

1.1.2 Không gian LP(Ω)

Giả sử Ω là một miền trong Rn và p là một số thực dương Ta ký hiệu

LP(Ω) là lớp các hàm đo được f xác định trên Ω sao cho

Ω Vì

|f (x) + g(x)|p ≤ (|f (x) + g(x)|)p ≤ 2p(|f (x)|p+ |g(x)|p)

nên rõ ràng LP(Ω) là một không gian vectơ

Ta đưa vào LP(Ω) phiếm hàm ||.||p được xác định bởi

đều tồn tại một lân cận ω của x0 để u(x) khả tích trong ω.

Định nghĩa 1.2 Cho Ω là miền trong Rn Giả sử u(x), v(x) là hai hàmkhả tích địa phương trong Ω sao cho ta có hệ thức

đối với mọi ϕ(x) ∈ C0k(Ω), k = k1+ + kn, ki ≤ 0(i = 1, 2, , n) Khi đó,

v(x) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp k của u(x)

Định nghĩa 1.3 Giả sử p là một số thực, 1 < p < ∞, Ω là miền trong

Rn Không gian Sobolev W1,p(Ω) được định nghĩa như sau:

W1,p(Ω) = {u|u ∈ LP(Ω), ∂u

∂xi ∈ LP(Ω), i = 1, 2, , n},

trong đó các đạo hàm trên là các đạo hàm suy rộng

Với p = 2, ta kí hiệu W1,p(Ω) = H1(Ω), nghĩa là

1.1.4 Khái niệm biên liên tục Lipschitz Định lý nhúng

Định nghĩa 1.4 Miền Ω được gọi là có biên liên tục Lipschitz nếu nógiới nội và tồn tại các hằng số dương α, β và một số hữu hạn m các tọa độđịa phươngx(r)1 , x(r)2 , , x(r)n vàm hàmar(x(r)1 , x(r)2 , , x(r)n−1), r = 1, 2, , m

liên tục trong các khối n chiều K(r)

nằm trong hoặc nằm ngoài Ω

iii) Mỗi hàmar(x(r)1 , x(r)2 , , x(r)n−1), r = 1, 2, , m thỏa mãn điều kiện chitz trên khốiK(r), tức là với mọi(x(r)1 , x(r)2 , , x(r)n−1),(y1(r), y2(r), , yn−1(r) ) ∈

Lips-K(r), tồn tại hằng số dương L sao cho

ii) Nếu p = n thì W1,n(Ω) ⊂ Lq(Ω) là nhúng compact nếu q ∈ [1, +∞)

iii) Nếu p > n thì W1,p(Ω) ⊂ C0(Ω) là nhúng compact

1.1.5 Khái niệm vết của hàm

Định nghĩa 1.5 Không gian Sobolev W1,p(Ω) được định nghĩa nhưcác bao đóng của không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong

Ω tương ứng với chuẩn của W1,p(Ω)

Không gian H01(Ω) được định nghĩa bởi

ii) Nếu p = n thì W01,n(Ω) ⊂ Lq(Ω) là nhúng compact nếu q ∈ [1, +∞)

iii) Nếu p > n thì W01,p(Ω) ⊂ C0(Ω) là nhúng compact

Định nghĩa 1.6 Giả sử biên∂Ωlà liên tục Lipschitz Không gianH1/2(∂Ω)

được gọi là miền giá trị của ánh xạ vết γ, tức là

ii) Tồn tại một hằng số Cγ(Ω) sao cho:

||γ(u)||1/2H (∂Ω) ≤ Cγ(Ω)||u||H1 (Ω), ∀u ∈ H1(Ω)

Khi đó, Cγ(Ω) được gọi là hằng số vết.

Bổ đề 1.2 Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz Không gian H1/2(∂Ω) cócác tính chất sau:

Tồn tại hằng số CΩ sao cho:

||u||L2 (Ω) ≤ CΩ||∇u||L2 (Ω), ∀u ∈ H01(Ω)

Chứng minh

Giả sử I là một khoảng trong Rn chứa Ω, u ∈ H01(Ω) Ta kí hiệu ue là

mở rộng bởi 0 của u vào I Ta có eu ∈ H01(I) và

||u||L2 (Ω) = ||eu||L2 (I); ||∇u||L2 (Ω) = ||∇eu||L2 (I) (1.6)

Để chứng minh định lý đúng với Ω là khoảng bất kì trong Rn , khôngmất tính tổng quát ta chứng minh định lý đúng với Ω = (0, a)n

Với ∀u ∈ C0∞(Ω) ta có

u(x) = u(x0, xn) =

Z xn0

||u||L2 (Ω) ≤ a||∇u||L2 (Ω), ∇u ∈ C0∞(Ω).

Do đó đẳng thức trên đúng với ∀u ∈ H1

Nhận xét 1.1 Bất đẳng thức Poincare có ý nghĩa rằng: ||u|| = ||∇u||L2 (Ω)

là một chuẩn trên H01(Ω), tương đương với chuẩn của H1(Ω) được xácđịnh bởi

||u||2H1 (Ω) = ||u||2L2 (Ω) + ||∇u||2L2 (Ω)

Định lí 1.9 (Bất đẳng thức Poincare mở rộng)

Giả sử biên ∂Ω liên tục Lipschitz, ∂Ω = Γ1S Γ2, trong đó Γ1, Γ2 là cáctập đóng, rời nhau, Γ1 có độ đo dương Khi đó, tồn tại hằng số C(Ω) saocho

||u||L2 (Ω) ≤ CΩ||∇u||L2 (Ω)

∀u ∈ H1(Ω), γ(u) = 0 trên Γ1

Định nghĩa 1.7 Kí hiệu H−1/2(∂Ω) là không gian Banach được địnhnghĩa bởi

H−1(∂Ω) = (H01(Ω))0,

tức là không gian đối ngẫu của H01(Ω) Chuẩn của phần tử F ∈ H−1(Ω)

được các định như sau

Định nghĩa 1.8 Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz Kí hiệu H−1/2(∂Ω)

là không gian Banach được định nghĩa bởi

H−1/2(∂Ω) = (H1/2(∂Ω))0

tức là không gian đối ngẫu của không gian H1/2(∂Ω) Chuẩn của phần tử

1.2 Lý thuyết về phương trình elliptic

Xét phương trình

Giả sử u ∈ C2(Ω), f ∈ C(Ω) và phương trình (1.8) thỏa mãn trongmiền Ω Khi đó, u(x) được gọi là nghiệm cổ điển của phương trình (1.8).Lấy hàm ϕ bất kỳ thuộc D(Ω) = C0∞(Ω) nhân với hai vế của (1.8) rồilấy tích phân ta được

−Z

ta cần mở rộng khái niệm khi f ∈ L2(Ω)

Định nghĩa 1.9 Giả sử u ∈ H1(Ω), f ∈ L2(Ω), u được gọi là nghiệm yếucủa phương trình (1.8) nếu (1.10) được thỏa mãn

Mệnh đề 1.1 Nếu u là nghiệm yếu của phương trình (1.8) và u ∈

C2(Ω), f ∈ C(Ω) thì u là nghiệm cổ điển, tức là −4u = f

Chứng minh

Giả sử u là nghiệm yếu của phương trình (1.8), tức là u ∈ H1(Ω) và ta

có (1.10) với mọi hàm ϕ ∈ D(Ω), kết hợp với điều kiện u ∈ C2(Ω) ta suy

Z

Ω

Vì D(Ω) trù mật trong L2(Ω), 4u + f trực giao với mọi ϕ ∈ D(Ω) nên

C(Ω) Vậy u là nghiệm cổ điển của phương trình (1.8) 

Bài toán Dirichlet

-Nghiệm yếu của bài toán (1.11) là nghiệm yếu của phương trình−4u =

f vì ta đã định nghĩa nghiệm yếu của phương trình này là hàm u ∈ H1(Ω)

thỏa mãn (1.13) với mọi v ∈ C0∞(Ω) ⊂ H01(Ω)

- Nếuulà nghiệm yếu của bài toán (1.11) vàu, f, ϕ đủ trơn thìulà nghiệmtheo nghĩa cổ điển

Bài toán Neumann

trong đó h ∈ C(∂Ω), f ∈ C(Ω), u ∈ C2(Ω) là nghiệm cổ điển.

Nhân hai vế của phương trình −4u = f với v ∈ H1(Ω) rồi lấy tíchphân ta được

−Z

|B(v, u)| ≤ k||v||||u||, ∀u, v ∈ H

và tồn tại α > 0 sao cho

B(v, u) ≥ α||v||2, ∀v ∈ H

Khi đó, mỗi phiếm hàm tuyến tính F giới nội trên H có thể biểu diễn trongdạng

trong đó z ∈ H là duy nhất được xác định bởi F và

trong đó ϕ ∈ H1/2(∂Ω) nên tồn tại w ∈ H1(Ω) sao cho w|∂Ω = ϕ.

Khi đó, nghiệm yếu của bài toán (1.19) là hàm u ∈ H1(Ω) thỏa mãnđiều kiện u − w = H01(Ω) và

Ta đi đánh giá nghiệm : Theo định lý Lax-Milgram, từ (1.20) ta có

Lược đồ lặp hai lớp

Xét bài toán

trong đó A : H → H là toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert thực

N chiều H với tích vô hướng (, ) và chuẩn ||y|| = p(y, y)

Giả sử A là toán tử đối xứng, các định dương, f ∈ H là vectơ tùy ý.trong mỗi phương pháp lặp, xuất phát từy0 bất kỳ thuộc H, người ta đưa

ra cách xác định nghiệm xấp xỉy1, y2, , yk, của phương trình (1.22) Cácxấp xỉ như vậy được biết như là các giá trị lặp với chỉ số lặp k = 1, 2,

Bản chất của những phương pháp này là giá trị yk+1 có thể được tínhthông qua các giá trị lặp trước : yk, yk+1,

Phương pháp lặp được gọi là phương pháp lặp một bước hoặc hai bướcnếu xấp xỉ yk+1 có thể tính được thông qua một hoặc hai giá trị trước đó

Dạng chính tắc của lược đồ lặp hai lớp là

Bkyk+1 − yk

Lược đồ (1.23) cho ta xấp xỉ chính xác nghiệm u của phương trình

Au = f với bất kỳ toán tử Bk và cách chọn tham số θk+1

+Nếu Bk = E thì lược đồ lặp (1.23) được gọi là lược đồ lặp hiển

+ Nếu Bk 6= E thì lược đồ lặp (1.23) được gọi là lược đồ ẩn

Lược đồ dừng, định lý cơ bản về sự hội tụ của phép lặp

Lược đồ lặp (1.23) với toán tử Bk = B, tham số θk+1 = θ không đổi

(k = 0, 1, 2, ) còn được gọi là lược đồ lặp dừng

là điều kiện đủ cho sự hội tụ của lược đồ lặp (1.30) trong không gian HA

với tốc độ hội tụ cấp số nhân

||zk+1||A ≤ ρ||zk||A, k = 0, 1, 2, , ρ < 1, (1.26)trong đó

Với Bk = B cố định, định lý đã đưa ra qui tắc lựa chọn giá trị θ đểlược đồ lặp hội tụ Trong trường hợp B = E , điều kiện hội tụ sẽ đượcđảm bảo nếu tất cả các giá trị riêng thỏa mãn

Ta kí hiệu: Γ = Ω1T Ω2, Γ1 = ∂Ω1\Γ, Γ2 = ∂Ω2\Γ Ta cũng giả sử Γ làbiên liên tục Lipschitz (d - 1) chiều.

Hình 2.1:

Kí hiệu ui là giá trị của nghiệm u của bài toán (2.1) trong miền Ωi, ni

là hướng pháp tuyến ngoài trên ∂ΩiT Γ(i = 1, 2)

Khi đó, bài toán (2.1) có thể viết lại dưới dạng đa miền như sau:

Ω1 và Ω2

Như vậy, việc giải bài toán trong miền Ω được đưa về việc giải bài toántrong hai miền con phải đảm bảo điều kiện chuyển tiếp qua biên phânchia Điểm mấu chốt là phải xác định được điều kiện trên biên phân chiagiữa hai miền con

Kí hiệu g là giá trị chưa biết của u trên Γ Với i = 1, 2, ta xét hai bàitoán biên Dirichlet

So sánh (2.2) và (2.3) ta thấy : ωi = ui(i = 1, 2) khi chỉ khi

Định nghĩa 2.1 Toán tử Si được gọi là toán tử Steklov-Poincare tươngứng với miền Ωi(i = 1, 2) nếu

Siξ = ∂Hiξ

∂ni ,

trong đó Hiξ là mở rộng điều hòa của ξ vào Ωi,

ξ ∈ H01/2(Γ) = {v|Γ : v ∈ H01(Ω)}

Phương trình (2.6) được gọi là phương trình Steklov-Poincare Ta cũng

sử dụng các toán tử Si−1(i = 1, 2) và gọi là các toán tử Poincare-Steklov.Xuất phát từ công thức đa miền, phương trình Steklov-Poincare, toán

tử Steklov-Poincare, một số nhà toán học trên thế giới đã đề xuất các

phương trình lặp cơ sở để xét một dãy các bài toán trong các miền con

Ω1, Ω2 với các điều kiện biên Dirichlet hoặc Neumann tương ứng Cácphương pháp đó được thực hiện bởi một trong các sơ đồ lặp sau đây:Các sơ đồ lặp cơ bản:

trong đó γ1, γ2 là các tham số gia tốc không âm thỏa mãn γ1+ γ2 ≥ 0.

Xuất phát từ cơ sở của phương pháp chia miền cùng các sơ đồ lặp cơbản, nhiều tác giả trên thế giới đã đề xuất hàng loạt phương pháp lặp giảibài toán biên elliptic Phần tiếp theo của luận văn trình bày hai phươngpháp khác nhau tiếp cận đến việc giải bài toán biên cho phương trìnhelliptic với điều kiện biên Dirichlet của 2 nhóm tác giả Nhật Bản và ViệtNam trong những năm gần đây

Cho Ω là miền trong R2 với biên Lipschitz ∂Ω Xét bài toán (2.1)

Tư tưởng của phương pháp là tìm ra xấp xỉ g = u|Γ nhận được bởi sơ

đồ lặp sau:

1.Cho trước g(0) xác định trên Γ

2.Với g(k) xác định trên Γ(k ≥ 0), tiến hành giải hai bài toán

(2.8)

3 Hiệu chỉnh giá trị của g(k) theo công thức :

trong đó θ là tham số cần lựa chọn để dãy lặp hội tụ, 0 < θ < 1

Ta thấy rằng, điều kiện liên tục của đạo hàm qua biên phân chia Γ đãthỏa mãn, còn điều kiện liên tục của hàm qua biên phân chia Γ phụ thuộcvào sự hội tụ của dãy lặp (2.9)

∂n1 + ∂G2f

∂n1 + ∂G2f

∂n1 ) =

= S2−1[−∂H

(k) 1

(2.12) chính là sơ đồ lặp đối với sai số Ta có

ξ(k+1) − ξ(k)

−1

2 S1)ξ(k) = 0

trong [2], các tác giả đã chứng minh sơ đồ lặp trên là hội tụ

Như vậy, trong phương pháp Saito-Fujita trình bày ở trên, mỗi lần lặpcần giải quyết một bài toán Dirichlet (2.7) trong Ω1, sau đó giải một bàitoán Neumann (2.8) trong Ω2

Xuất phát từ tư tưởng hiệu chỉnh giá trị đạo hàm trên biên phân chia,năm 2004, các tác giả Việt Nam đã đề xuất một phương pháp chia miềnmới Nội dung chính của phương pháp như sau :

Cho Ω là miền trong R2 với biên Lipschitz ∂Ω Xét bài toán (2.1)

Tư tưởng của phương pháp là tìm ra xấp xỉ của g nhận được bởi sơ đồlặp sau:

3 Hiệu chỉnh giá trị của g(k) theo công thức :

g(k+1) = (1 − θ)g(k)− θ∂u

(k) 2

trong đó θ là tham số lặp cần lựa chọn để dãy lặp hội tụ (0 < θ < 1)

Ta thấy rằng, điều kiện liên tục của hàm qua biên phân chia Γ đượcthỏa mãn, còn điều kiện liên tục của đạo hàm qua biên phân chia Γ phụthuộc vào sự hội tụ của dãy lặp (2.17)

Ta đi nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp: (2.17) được viết lại dướidạng

g(k+1) − g(k)

(k) 2

Ta xét các toán tử Steklov-Poincare S1, S2:

Siξ = ∂Hiξ

∂ni , x ∈ Γ(i = 1, 2)

Ta đã biết Hiξ là nghiệm của bài toán

(2.23) chính là sơ đồ lặp đối với sai số

Trong [3], các tác giả đã chứng minh sơ đồ lặp trên là hội tụ

Kết luận chương 2

Nội dung chương 2 đã giới thiệu phương pháp chia miền, phương trìnhSteklov-Poincare, toán tử Steklov-Poincare, phương pháp chia miền giải

bài toán biên elliptic với điều kiện biên Dirichlet của các tác giả Nhật Bản

và phương pháp hiệu chỉnh đạo hàm của các tác giả Việt Nam Phươngpháp chia miền giải phương trình elliptic cấp 2 được đưa ra ở trong chươngnày là cơ sở quan trọng để nghiên cứu các bài toán biên elliptic với hệ sốgián đoạn sẽ được đưa ra ở chương 3

Au = −∇(k(x)∇u) = F (x), x = (x1, x2) ∈ Ω ∈ R2,

(3.1)Trong đó

k(x) = (k1(x), k2(x)); Ω = {(x1, x2) ∈ R2, x1 ∈ (−l1, l1), x2 ∈ (0, l2)}

Trong trường hợp khi hệ số k(x) của phương trình là hàm số liên tụctrong miền đang xét thì bài toán trở thành bài toán biên elliptic với điềukiện biên Dirichlet Bài toán này đã được xem xét nhiều trong lý thuyếtphương trình đạo hàm riêng bởi nhiều tác giả Bây giờ chúng ta xét trongtrường hợp khi k(x) là hàm số gián đoạn qua một mặt phân cách trongmiền đang xét Do tính chất gián đoạn của hệ số phương trình, nghiệmyếu của bài toán là hàm u ∈ H01(Ω) = {u ∈ H1(Ω)|u|∂Ω=0} thỏa mãn hệthức tích phân :

Nghiệm cổ điển u(x) thỏa mãn phương trình (3.1) trong miền Ω vớiđiều kiện biên Dirichlet trên ∂Ω đồng thời cũng thỏa mãn các điều kiệntruyền dẫn qua mặt phân cách Γξ = {x1 = ξ} ∈ Ω như sau :

[u]x1=ξ = u(ξ+0, x2) − u(ξ−0, x2) = 0, ξ ∈ (−l1, l1)

đó nhiệt lượng là gián đoạn

Sau đây chúng ta đưa ra một số kết quả khi nghiên cứu các mô hình cụthể

u(x) = 0, x ∈ ∂Ω (3.8)Trong miền Ω = Ω1 ∪ Γξ ∪ Ω2 Hệ số dẫn nhiệt cho bởi

Định lý 3.1 Cho u ∈ C2(Ω1 ∪ Ω2) ∩ C0(Ω) là nghiệm của bài toán biên

(3.6 )-(3.9) Khi đó u(x) cũng là nghiệm của bài toán biến phân (3.2) Với

hệ số gián đoạn cho bởi công thức (3.9)

Chứng minh Nhân hai vế của (3.5) với v(x) sau đó lấy tích phân trong

Chứng tỏ u(x) là nghiệm của bài toán biến phân.

Định lý này cho thấy sự tương đương giữa bài toán biên (3.1) với bài

toán truyền nhiệt (3.6)-(3.8) với hệ số gián đoạn