một số dạng toán về sự tương giao giữa đường thẳng và đường tròn nhằm nâng cao hiệu quả dạy học chuyên đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cho học sinh khối 10 trường thpt quảng xương 4

Các dạng toán về viết phương trình đường tròn và các bài toán về sự tương giao giữa đường thẳng và đường tròn, là các dạng bài tập chủ yếu mà các đề thi hay khai thác.. Trước thực tiễn đ

A ĐẶT VẤN ĐỀ

Kiến thức về đường tròn là một trong những phần kiến thức quan trọng trong chương trình lớp 10, những năm gần đây, các đề thi tuyển sinh vào Đại học, cao đẳng cũng thường ra vào phần này Các dạng toán về viết phương trình đường tròn

và các bài toán về sự tương giao giữa đường thẳng và đường tròn, là các dạng bài tập chủ yếu mà các đề thi hay khai thác Phần nữa, vì chuyên đề phương pháp tọa

độ trong mặt phẳng là hoàn toàn mới đối với học sinh khối 10 – THPT, do vậy khi gặp đến những kiến thức này ngay cả các em học sinh học khá tốt cũng vẫn thường hay lung túng trong việc tiếp cận các bài toán mới

Trước thực tiễn đó, tôi chọn nghiên cứu đề tài: “Một số dạng toán về sự tương giao giữa đường thẳng và đường tròn nhằm nâng cao hiệu quả dạy học chuyên đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cho học sinh khối 10 trường THPT Quảng Xương 4” để khắc sâu cho học sinh các kỹ năng viết phương trình

đường tròn, viết phương trình đường thẳng, kỹ năng xác định góc giữa hai đường thẳng, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng …và vận dụng linh hoạt các công thức trong quá trình làm toán

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I Cơ sở khoa học:

Đề tài nghiên cứu : “Một số dạng toán về sự tương giao giữa đường thẳng và đường tròn nhằm nâng cao hiệu quả dạy học chuyên đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cho học sinh khối 10 trường THPT Quảng Xương 4” là đề tài

khai thác các kiến thức toán học thuộc chương III - bộ môn Hình học lớp 10 Song

đề tài này còn giúp học sinh ôn tập lại khá nhiều các kiến thức về hình học tổng hợp mà các em đã học ở các lớp cấp THCS

II Cơ sở thực tiễn:

Khi học xong các kiến thức về phương trình đường tròn, SGK chỉ trình bày

về phương trình đường tròn, tiếp tuyến của đường tròn ở một trong ba bài toán cơ bản về tiếp tuyến, rất ít ví dụ về sự tương giao giữa đường thẳng và đường tròn, do vậy khi gặp những bài toán như thế (trong các đề thi đại học, cao dẳng hàng năm vẫn thường gặp dạng toán này) học sinh thường gặp lung túng và khó tìm hướng giải quyết Trong đề tài này tác giả muốn khai thác thêm các dạng toán khác nhằm khắc sâu cho học sinh các kiến thức về viết phương trình đường tròn, phương trình đường thẳng

Trong quá trình giảng dạy học sinh, nhất là học sinh các lớp đầu khá, tôi thường lồng ghép các bài tập dạng này trong các tiết lý thuyết về phương trình đường tròn, trong các buổi học theo yêu cầu và học tự chọn

III Kiến thức cơ sở và các ví dụ về sự tương giao:

3.1 Kiến thức chuẩn bị.

Phần này trình bày các khái niệm và các tính chất cơ bản về đường tròn, vị trí tương đối về đường thẳng và đường tròn, vị trí tương đối giữa hai đường tròn

a Phương trình chính tắc của đường tròn C(I, R) là x a 2  y b 2 R2,

với I(a, b)

b.Phương trình đường tròn dạng khai triển: phương trình

2 2 2 2 0

x  y  ax  by  c  là phương trình đường tròn khi a 2 + b 2 – c > 0 Khi đó, đường tròn có tâm I(-a, - b), bán kính R a2 b2  c

c Vị trí tương đối của một điểm với một đường tròn: Cho đường tròn C(I, R), và điểm M.

- Nếu IM < R thì điểm M nằm phía trong đường tròn,

- Nếu IM = R thì điểm M nằm trên đường tròn,

d Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn: Cho đường tròn C(I, R),

và đường thẳng 

- Nếu d M( , ) R thì đường thẳng  không giao với đường tròn,

- Nếu d M( , ) R thì đường thẳng  tiếp xúc với đường tròn, khí đó,  gọi là tiếp tuyến của đường tròn, giao điểm của  và đường tròn gọi là tiếp điểm

- Nếu d M( , ) R thì đường thẳng  cắt đường tròn tại hai điểm, Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ tạo bởi đường thẳng và đường tròn

e Vị trí tương đối giữa hai đường tròn Cho hai đường tròn C I R và , 

’ ’, ’

C I R

- Nếu II’ < |R – R’| thì hai đường tròn chứa nhau.

- Nếu II’ = |R – R’| thì hai đường tròn tiếp xúc trong nhau.

- Nếu |R – R’| <II’ < R + R’ thì hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt -Nếu II’ = R + R’ thì hai đường tròn tiếp xúc ngoài nhau

-Nếu II’ > R + R’ thì hai đường tròn ngoài nhau (không giao nhau)

3.2 Các bài toán về sự tương giao của đường thẳng và đường tròn.

Trong phần này tôi chia thành các dạng toán nhỏ như: đường thẳng cắt đường tròn, đường thẳng tiếp xúc với đường tròn, đường thẳng và đường tròn không giao nhau Mỗi dạng toán, dựa trên những kiến thức cơ bản đã nêu ở trên, tôi trình bày một số ví dụ và lời giải cho những ví dụ ấy, cuối mỗi dạng là các bài tập tương tự để giúp học sinh củng cố, khắc sau kiến thức phương pháp đã được học

DẠNG I CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ TIẾP XÚC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

Trong phần này, tôi nêu các ví dụ là các bài toán về lập phương trình đường tròn trong mối quan hệ tiếp xúc giữa đường thẳng và đường tròn, để giúp học sinh tiếp cận các kiến thức này, tôi cung cấp cho học sinh điều kiện để

một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn (đường thẳng tiếp xúc với đường tròn), ba bài toán cơ bản về tiếp tuyến đối với đường tròn, (gồm bài toán về tiếp tuyến tại một điểm thuộc đường tròn, bài toán về tiếp tuyến của đường tròn đi qua một điểm năm ngoài đường tròn và bài toán tiếp tuyến với đường tròn có hệ

số góc cho trước) …

Ví dụ 1 Lập phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng

 d1 : 2x y  1 0 ;  d2 : 2x y  2 0 , và có tâm thuộc đường thẳng

 d : x y  1 0.

Lời giải: Gọi I(t; t - 1) là tâm đường tròn (C) Vì (C) tiếp xúc với (d 1) và (d2) nên

 , 1  , 2 R | 3 2 | | 3| 5

d I d d I d   t  t  R

Giải ra ta được









Vậy có hai đường tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán đã cho là

C x  y  và ( ) :( 1)2 ( 5)2 121

C x  y 

Ví dụ 2 Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm A(4; 2) Lập phương trình đường tròn

(C) tiếp xúc với hai trục tọa độ và đi qua điểm A.

Lời giải: Gọi điểm I(a; b) là tâm của đường tròn (C) Vì (C) tiếp xúc với hai trục

tọa độ nên d I ,Ox d I , Oy  R | | | |a b R

Lại vì A4; 2 ( ) C nên I phải có tọa độ dương, do đó a 0b  , khi đó, đường tròn có phương trình : ( )C (x a )2 (y a )2 a2

  2 2 2 2

10

a

a

 Vậy có hai đường tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

( ) ( 10) ( 10) 100

Ví dụ 3 Cho đường tròn ( ) :C x2  y2  12x 4y36 0

a Xác định tâm và bán kính của (C).

b Lập phương trình đường tròn (C’), tiếp xúc với hai trục tọa độ và tiếp xúc ngoài với (C).

Lời giải:

a Ta có tâm của đường tròn (C) là I(6; 2), bán kính R = 2.

b Gọi I a b'( , ) là tâm của (C’), theo bài ra, vì (C’) tiếp xúc với hai trục tọa độ

nên dI,Ox d I , Oy  R | | | |a b R'

- Nếu a b  I a a'( , ) II (a 6,a 2)

, vì (C) và (C’) tiếp xúc ngoài nhau nên

II  a  a  R R   a

2 16 4 | | 36 0 (1)

Khi a 0,

2

2 ( ') :( 2) ( 2) 4

18 ( ') :( 18) ( 18) 324

 Khi a 0, (1) a2  12a36 0  a6 không thỏa mãn

- Nếu a b I a a'( , ) II (a 6, a 2)



, vì (C) và (C’) tiếp xúc ngoài

nhau nên II'2 (a 6)2 (a2)2 (R R ')2  (2 | |)a 2

2 8 4 | | 36 0 (2)

Khi a 0, (2) a2  12a36 0  a 6 ( ') :(C x 6)2(y6)2 36

Khi a 0, (2) a2  4a36 0 , phương trình vô nghiệm.

Vậy có 3 đường tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán đã cho

( ') :( 2) ( 2) 4, ( ') :( 18) ( 18) 324, ( ') :( 6) ( 6) 36

Các bài tập tương tự:

Bài 1 Lập phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm A(1; 4), B(4; 4) và tiếp xúc

với Ox

Đáp số:

2

C x  y  

 

Bài 2 Lập phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc đường thẳng

: 5x 2y 31 0

    đồng thời tiếp xúc với hai trục tọa độ

Đáp số:

2

C x  y  

  và

2

C x  y  

 

Bài 3 Lập phương trình đường tròn (C) tiệp xúc với ba đường thẳng

Đáp số: ( ) :(C x 4)2 (y2 2 4) 2 42 và ( ) :(C x 4)2(y 2 2 4) 2 42

Bài 4 Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) :C x2  y2 2, viết phương trình tiếp tuyến  với (C) sao cho  cắt Ox, Oy tại hai điểm A, B mà diện tích OAB

 bé nhất

Bài 5 Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) : ( 2)2 2 4

5

C x  y  và các đường thẳng 1: x y 0; 2: x 7y0, Xác định tọa độ tâm K và bán kinh

đường tròn (C’) tiếp xúc với các đường thẳng  1, 2 và tâm K( )C

Với cách tiếp cận này tôi thấy, sau khi học xong dạng toán 1, các em đã có định hướng tốt cho bài toán lập phương trình đường tròn khi biết nó thỏa mãn điều kiện nào đó về sự tiếp xúc với đường thẳng, thông qua đó các em có dịp ôn tập các kiến thức về khoảng cách, bài toán về tiếp tuyến của đường tròn,…

DẠNG II CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ CẮT NHAU GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

Để dạy cho học sinh của mình hiểu được phần này, tôi ôn tập cho các em

về điều kiện để một đường thẳng cắt một đường tròn, công thức tính độ dài của dây cung, các công thức tính diện tích tam giác, các kiến thức về phép toán vectơ, …

Ví dụ 4 Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 - 4x - 8y + 11 = 0 và điểm M(1; 2)

a Kiểm tra vị trí tương đối của điểm M và đường tròn (C),

b Lập phương trình đường thẳng (d) qua M sao cho (d) cắt (C) tại hai điểm A,

B thỏa mãn M là trung điểm của AB.

c Lập phương trình đường thẳng () qua M sao cho () cắt (C) tại 2 điểm AB thỏa mãn MA = 2MB

Lời giải:

a Ta có tâm và bán kính của (C): I(2; 4), R= 3.

5 3

MI    nên điểm M nằm trong đường tròn (C) R

b Vì M là trung điểm của AB nên ABMI Do đó, (d) là đường thẳng qua

M và nhận MI  (1,2)

làm vec tơ pháp tuyến, suy ra phương trình ( ) :d x2y 5 0

c Giả sử ( , '); ( , ')A a a B b b ta có MA(a 1; ' 2);a MB(b 1; ' 2)b

Do

2

MA MB nên

Lại vì A B, ( )C nên

(6-2b') 4(3 2 ) 8(6 2 ') 11 0 ' 4 8 ' 11

0







giải ra ta được

2; ' 1

; '







(2;1)

2 11 ( ; )

5 5

B B







 



BM x y

BM x y





Ví dụ 5 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng : mx y  2m 1 0 và đường tròn ( ) : (C x 1)2 (y 2)2 4

a Tìm m để  cắt ( )C tại hai điểm phân biệt A, B sao cho đọ dài AB ngắn

nhất

b Tìm quỹ tích trung điểm H của đoạn thẳng AB khi  thay đổi

Lời giải:

a Đường tròn ( )C có tâm I(1; 2) bán kính R = 2, ta thấy  luôn đi qua điểm

(2;1)

M và IM  2 2  nên điểm M nằm phía trong đường tròn R ( )C , vì vậy 

luôn cắt ( )C tại hai điểm phân biệt A, B.

Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB và d I( , ) IH Khi đó, AB ngắn nhất khi IH dài nhất Do IH AB M , AB nên IH IM , vì vậy IHmax IM xảy ra khi  IM Vậy  là đường thẳng qua M và nhận IM

làm véctơ pháp tuyến :x y 1 0

b Điểm H là trung điểm của AB nên IH IM do đó, H nằm trên đường tròn

( ')C đường kính IM Phương trình 3 2 3 2 1

C x  y 

Ví dụ 6 Xét hai số thực x y, thỏa mãn điều kiện x2 4x y 2  5 0 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức T 3x4y

Lời giải: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy điểm M(x, y) thuộc đường thẳng

:3x 4y T 0

Hai số x, y thỏa mãn x2 4x y 2  5 0 nên M x y( , ) ( ) : C x2  y2 4x 5 0

là đường tròn tâm I ( 2;0), bán kính R 3

M là điểm chung của ( ),C   d I( , )  R | 6T| 15  21 T 9 Đẳng thức xảy ra khi  là tiếp tuyến của ( )C .

Như vậy, Tmax 9 khi x, y thỏa mãn hệ

1

12

5

x











Tmin 21 khi x, y thỏa mãn hệ

19

12

5

x











Ví dụ 7 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn

( ) :C x  y 4x4y 6 0

và đường thẳng : x my  2m 3 0 Gọi I là tâm đường tròn ( )C Tìm m để 

cắt ( )C tại hai điểm phân biệt A B, sao cho diện tích IAB đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải: Đường tròn ( )C có tâm I  ( 2; 2) bán kính R  2 Ta có,

2

1

IAB

R

S  IA IB AIB  Vậy, SIAB max1 khi

2

0

15

m

IA IB d I

m m









Ví dụ 8 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho điểm A(0;1) và đường tròn

( ) :C x  y  2x4y 5 0 Viết phương trình đường thẳng  cắt ( )C tại hai

điểm M và N sao cho AMN vuông cân tại A.

Lời giải: Đường tròn (C) có tâm I(1; 2), bán kính R 10,IA (0; 2)

Ta có, IM

= IN và AM = AN nên AI MN nên phương trình : y m Gọi hai giao điểm

M(x1; m), N(x2; m)

trong đó x 1; x2 là nghiệm của phương trình x 2 – 2x + m 2 + 4m – 5 = 0 (1)

Để phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 phân biệt thì m 2 + 4m – 6 < 0 (2)

2

AM AN AM AN   x  x  m 

2

Áp dụng định lý Vi-et đối với phương trình (1) suy ra

2 4 – 6 0

3

m

m





 thỏa mãn (2)

Vậy phương trình :y 1 hoặc :y 3

Ví dụ 9 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x y 0 và

d x y  Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại B, C sao cho

 vuông tại B Viết phương trình đường tròn (T), biết rằng tam giác ABC có

diện tích bằng 3

2 và điểm A có hoành độ dương.

Lời giải: Ta có A d 1 A a a( , 3), (a0) Từ AC d1 AC x:  3y 4a0

C là giao điểm của d 2 và AC, suy ra C(-2a; -2 3 a)

BA d  BA x y a

B là giao điểm của d2 và BA, suy ra ( ; 3)

a a

B  

Ta có,

( ; 1), ( ; 2)

ABC

Đường tròn (T) có tâm ( 1 ; 3)

2

2 3

I   (I là trung điểm của AC) và bán kính

1

R IA  Vậy phương trình đường tròn cần tìm là

2

2 3

Các bài tập cũng cố.

Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho đường tròn ( ) :C x2  y2  4x 8y11 0

và đường thẳng d x y:   1 0

a Chứng minh rẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt AB, Tìm tọa độ A, B

b Tìm m thuộc (C) sao cho tam giác MAB vuông

Đáp số: a A(5; 4), B(4; 5) hoặc ngược lại

b - Tam giác vuông tại M (19 7; )

12 12

M



- Tam giác MAB vuông tại B  M( 1;4) hoặc M(2;1)

- Tam giác MAB vuông tại A  M(2;7) hoặc M(5;4)

Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho đường tròn ( ) :C x2  y2 2x 4y0 và đường thẳng d x y:   1 0 Lập phương trình đường thẳng / /d sao cho  cắt

( )C tại hai điểm MN thỏa mãn MN = 2.

Đáp số: Phương trình đường thẳng  cần tìm là x y  3 2 2 0

Bài 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) :C x2 y2  4x6y 3 0

và đường thẳng :x my  2 0 Gọi I là tâm đường tròn ( )C

a Chứng minh rằng  luôn cắt ( )C tại hai điểm phân biệt A B,

b Tìm m sao cho diện tích IAB đạt giá trị lớn nhất

Đáp số: b m 2 2

Bài 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) :C x2 y2 9 và điểm

1; 2

A Lập phương trình đường thẳng  qua A, cắt (C) tại hai điểm B, C sao cho BC đạt giá trị bé nhất.

Đáp số: :x 2 5 0 y  

Sau khi được học dạng toán 2, tôi thấy các em có tư duy tốt về mối quan

hệ về vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn, thông qua các ví dụ các

em đã có thể nhận dạng và định hướng lời giải cho các bài tập, điều này có nghĩa các em đã chủ động giải quyết được các bài tập về sự tương giao về đường thẳng và đường tròn.

DẠNG III CÁC BÀI TOÁN ĐƯỜNG THẲNG KHÔNG GIAO VỚI ĐƯỜNG

Đây là mối quan hệ cuối cùng của sự tương giao của đường thẳng và đường tròn, Để học sinh tiếp cận được dạng toán này, tôi cung cấp cho các em bất đẳng thức cơ bản về hình học bất đẳng thức tam giác, trong quá trình giải bài tập, tôi cố gắng vẽ hình trực quan giúp các em dễ dàng hơn trong việc tiếp thu kiến thức

Ví dụ 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn

( ) :C x  y  2x 2y 7 0

và đường thẳng :3 x4y13 0 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

khoảng cách từ một điểm M trên (C) đến đường thẳng 

Lời giải: Đường tròn (C) có tâm I(1; 1) và bán kính R = 3, ( , ) 4 d I   R nên đường thẳng  không cắt đường tròn (C).

Ta viết các tiếp tuyến của (C) song song với  Có hai tiếp tuyến là:

với hai tiếp điểm lần lượt là: 1( 4; 7), 2(14 17; )

khi đó, d( , ) 1;  1 d( , 2) 7 Với mọi điểm M thuộc đường tròn (C) ta có

1d( , )  d M( , ) d( ,  ) 7

Như vậy: min d(M, ) = 1 khi M M (1 4; 7)

1

14 17 Max d(M, ) = 7 khi M M ( ; )

5 5

Nhận xét: Ta có thể thấy ngày rằng hai điểm M 1; M2 là giao của đường thẳng d qua

I và vuông góc với 

M 1

I