Tổng hợp các tài liệu ôn thi Đại Học hay và có đáp án, giúp các em nắm chắc kiến thức, phát triển tư duy, các tài liệu đều được biên soạn kĩ càng, cô đọng nhất để gúp các em hiểu sâu vấn đề, với mong muốn mở rộng cánh cửa Đại Học với các em hơn, giúp các em thực hiện mơ ước của mìnhChúc các em học tốt Ban biên soạn tài liệu.
Trang 1HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT
2
19
2001 7
HH
2
0
19
* 1
6
x y
x y
xy
Giải (*) cho ta nghiệm x,y
2
3 2
2001 3
2
x y
x
TL
y x
y
+ =
+ =
Đây là hệ đối xứng kiểu 2 đã biết cách giải
Bài 2 Giải các hệ phương trình sau :
a
5
5
1 2
4
x y x y xy xy
KA
+ + + + = −
Hệ viết lại : ( )
2 2
u x y v xy
Học sinh giải tiếp ta được : ( )
2
2
x y
= −
1 7
08
1 13
KB
+ + =
−
( )
2 2
1
7
1
x
x
+ + =
2
1 0
2
x ty
t ty
y t
=
Giải (1) tìm được x,y.
Bài 3 Giải các hệ phương trình sau :
Trang 2a ( )
( )
1 1
1 2
x x y x y
x y x xy
Lấy (1) trừ cho (2) vế với vế ta được phương trình :
2
1
2
x xy
x xy
Thay lần lượt vào (2) : ( )
( )
2 2
2
2 3
1 1
1
0 0
x xy
x xy
x xy
x x
x xy
x y
− =
Học sinh giải tiếp
08
CD KB
( )
2 2
2 2
2
x x
Thay (4) vào (3) sau đó rút gọn ta có :
3
0
4
x
x
=
X=0 loại Vậy hệ có nghiệm duy nhấy : ( ; ) 4;17
4
x y = −
0
x y x y
• Khi x=y , thì x=-1 Vậy nghiệm của hệ là : (x;y)=(-1;-1)
• Khi x+y=1 , (2) có nghiệm duy nhất : x=1 , do đó hệ có nghiệm : (x;y)=(1;0)
2
2
1
2
3
2
x
y
−
.
1 2
1 2
x y
x
x xy
x
−
=
=
Thay vào phương trình (1):
2
1 1
2
x
⇔ − = − Phương trình này đã biết cách giải ở phần phương pháp giải phương trình mũ
Bài 4 Giải các phương trình sau :
Trang 3a ( )
3 3
2
2
1
19
19
6
y y
u v
y y
x x
Với : u 1;v y
x
Học sinh tự giải tiếp
b
2
2
÷
Với : 2
1
;
y
Giải tiếp tìm được u,v , sau đó tìm x,y
d
Lấy (1) trừ cho (2) vế với vế ta có :
Phương trình (2) : ( )2 ( )
Thay (*) vào ta được :
4
x y
x y
+ = −
+ =
Vậy hệ đã cho :
2
659
9
4 4
37
16 11.4 9
xy xy
x y
x y
xy xy
+ = −
Giải tiếp ta tìm được x,y
Bài 5 Giải các hẹ phương trình sau :
a ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) )
Từ (2) : ln 1( x) x ln(1 y) y f t( ) lnt t 1; '( )f t 1 1 0 t 0
t
số f(t) đồng biến Cho nên để có (2) thì chỉ xảy ra khi x=y
• Nếu : x=2y ( ; ) ( )0;0
• Nếu : x 10y (x y; ) ( )0;0
x y
=
=
b
( )
( ) ( ) ( )
2
x
Để (*) xảy ra khi và chỉ khi : x-1=y, hay : x=y+1, x-2=y-1 2 1
1
x y
−
−
Trang 4Thay vào (2) ta có : ( )2 ( )2
Do đó nghiệm của hệ phương trình là : (x;y)=(3;2).
c
-Trường hợp 1: y= 2
x , thay vào (2) : (x+2) x2+ =1 (x2+ +1 2x) ⇔ − +t2 (x 2)t+2x= ⇒ =0 t 2;t=x
2
1
⇔
-Trường hợp : 2x2+y2+yx2+x4 = ⇔0 y2+yx2+(2x2+x4) =0
Do đó hệ có hai nghiệm : (x;y)= (− 3;3 ,) ( )3;3
d
2
x
y
0
y
≤
Thay vào (2) ⇔ x−2y =4y2+5y− ⇔ −2 2y=4y2+5y− ⇒2 4y2+7y− =2 0
Thay vào (2) : ⇔ 9y2+2y+3y =9y2+2y+3y− ⇔2 9y2+5y =9y2+5y− =2 0
2
2 2
2
1 2
y t
y
t t
= −
=
=
Thay lần lượt các giá trị của y vào (*) ta tìm được x
Bài 6 Giải các hệ phương trình sau :
( )
2
2
1 1 2
xy
x y
x y
Từ (2) viết lại : ( )2
x y x y x+ + + = + ⇔x x y+ + x y+ =x +x
Ta xét hàm số f(t)=t2+t t( ≥ ⇒0) f t'( ) = + > ∨ ≥2t 1 0 t 0 Chứng tỏ f(t) là một hàm số
đồng biến , cho nên ta có : 2
x y+ = ⇔ =x y x −x (*) Thay vào (1) :
2 2
xy
−
1 0
3 0
x
− =
Trang 5Giải (**) ta tìm được x , thay vào (*) tìm được y , từ đó suy ra nghiệm của hệ
( ) ( )
2
y x y
Thay (3) vào (4) ta có : 2 2 576 96 480
2
36
64
y
y
=
Vậy : (x;y)=(10;-6),(10;6),(10;-8),(10;8)
( )2 ( ) ( ( ) ( ) (2 ) ) ( )
xy x y
-Trường hợp : x+2=0 , thay vào (2) : ( )
7
2
y
x y y
= −
=
-Trường hợp : 2y+3=0 hay : 2y=-3 , thay vào (2) :
x
x
=
2
2 2
2
u y
y
v
x y
x x
xy y x
= − +
.
Với u=x-y và v=2 y
x Học sinh giải tiếp
Bài 7 Giải các hệ phương trình sau :
( )
2
Lấy (1) cộng với (2) vế với vế :
4
=
• Với : x=2y thay vào (2) :
( )
2
5 3 5
20
5 3 5 20
y
y
=
=
• Với x=4y, thay vào (2) : 2 ( )
1
11
2
y
y
=
=
( )
2
+ =
Học sinh giải theo cách : Đặt x=ty
Cách khác :
Trang 6Lấy (1) trừ cho hai sau khi nhân hai vế với x ( Khử x y2 2 ở hai phương trình của hệ ) :
• Nếu : (y2+1) ( y2+ − =y 1) 2y⇔ y4+ − − = ⇔y3 y 1 0 (y+1) (y3− =1) 0
• Với : x=y y− 2+1, thay vào (2) ta được : (y−1) (y3+ = ↔ = ±1) 0 y 1
Vậy nghiệm của hệ là : (x;y)=(-1;-1),(1;1).
( )
2
2
1
3 2
x y y
x
Cách 1:
Lấy phương trình (2) trừ cho phương trình (1) sau khi nhân hai vế của nó với 2
x y, ta
( )
2 2
2
2
2
1 1
1
x
xy x a
xy x
x xy b x
− = −
-Thay a) vào (1) : 2 ( ) ( )
3 2
1
− +
+
-Tương tự thay b) vào (1) Học sinh tự làm
Cách 2:
Do x=0 không là nghiệm cho chia hai vế phương trình (1) cho xy≠0.
( )
2
2 2
2
2 2
3 2
1
5
x
x xy
xy x
Từ (4) suy ra : 2 2 2 2
x y = ∨x y = ( loại ) Cho nên :
2 2
1
2
2
xy
x
x xy
x
x x x
x xy
2 2
1
2
2
xy
x
x xy
x
x x x
x xy
Trang 7Vậy hệ có nghiệm : (x,y)=(-1;-1),(-1;1)
( )
3
3 2
y
x
−
Điều kiện : x>0;x y+ ≥0
Phương trình (1) : 3 3 3 0
3 3
y
− =
⇔
• Với y=3 , thay vào (1) : 2 x+ = → = − <3 0 x 3 0( loại )
3
Bài 8 Giải các hệ phương trình sau :
( )
1 2
Điều kiện : x>0,y>0,x> y
Phương trình (1) ⇔ x y+ + x y− − −1 x y x y+ − = ⇔0 ( x y− −1 1)( − x y+ )=0
1
1
x y
b
( )
2
3
1
x y x
x y
Điều kiện : x y+ ≠0
Phương trình (1) : ( 2 2) ( 2 2) ( )
2
3
x y
+
( )2 ( ) ( )2
2
3
x y
+
Phương trình (2) : (x y) 1 (x y) 3
x y
+
2
Hệ trở thành : ( 2 ) 2 ( )
2
+ =
2 7
2
x y
x y
x y
⇔
− =
Hệ vô nghiệm
( )2
2
1
x y
x y
y
x y
=
Trang 8c
2
2
2
4
x x
x y x
2
1
1 1
x
x y y
y
=
d
( ) ( )
2
3 2
2 2
3
2
1
2
2
xy
xy
Lấy (1) cộng với (2) vế với vế , ta được : ( ) ( ) ( )
3
x y
Do : ( )
( )
3
2 3
2
2 2
xy
xy
VT xy xy
;VP x= 2+y2 ≥2xy
Cho nên để xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi : VT=VP=2xy và : x=y=1 Do đó hệ có nghiệm duy nhất : (x,y)=(1;1).
Bài 9 Giải các hệ phương trình sau :
( ) ( )
1 1
1 1
x y
y x
+ + + =
Thay vào (2) : 2y− + +1 y y(2y−1 5) ( y− =3) 4 2( y− ⇔1) 10y3−19y2+10y− =1 0
1
y
=
4
2
2
9
x y xy
x y
+ = ±
• TH1: xy x y+ = ±=2 3⇔x x== −1,1,y y= ∨ == − ∨ = −2 2x x2,y=2,1y= −1
(x y; ) ( 1; 2 , 2; 1 1; 2 2;1) ( ) ( ) ( )
5
2
3
xy
t t
x y
=
+ = ±
.Hệ vô nghiệm
Trang 9c ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2
2
4
1 4
2 2
y x
y y
+ + + =
3
x y
x y
+ = −
( )
2
3
x y
=
( ) ( )
2
Đặt : t x
y
= (*) Từ (3) và (4) :⇒ + −t3 (1 5t2) (1 4− t)= ⇔1 21t3−5t2− =4t 0
2
1
4
7
t t
t t
t
= −
=
Thay t vào (*) để tính x theo y , sau đó thay vào (1) ta sẽ
tìm đượcnghiệm của hệ (x,y)=(1;-3),(-1;3)
Bài 10 Giải các hệ phương trình sau :
( ) ( ( ) )
( ) ( )
2
1 4
u v uv
Với : u=x-y,v=xy Từ (3) và (4) , tính uv theo u+v thay vào (3) ta có :
{
2
,
u v
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x y
( )
( ) ( )
2
2 2
1
x
Từ (3) : ( 2 )
2
1
y
x
+ =
+ , thay vào (4) ta được :
2 2
1
x
+
Trang 10( ) ( ) ( )
2 2
2
2
t t
2
1
1
;
1
x x y
x
+
( )
2
2 2
3 1
1 3 3 3
x xy y
Với :
2
1
x u y v y
=
=
lấy (3)trừ cho (4) :
- Với u=1 thay vào (3) : 3v=3 suy ra v=1 2 ( ) ( ) ( )
2
1
x
x y y
x y y
y
=
- Với : 2 1
2
u
v= − , thay vào (3) : 2
u u
u
= −
= +
2
Do đó ta có hệ :
2 2
2 2
1
1
y
y
y
y
= +
Cách khác :
Lấy phương trình (2) trừ cho phương trình (1) sau khi đã nhân hai vế của (1)với y , ta được phương trình : x3+y3−x y xy2 − 2 = − +2y 2x⇔(x y x+ ) ( 2+y2−2xy)=2(x y− )
* Với : x-y=0 thay vào (1) ta có x2 = ⇒1 (x y; ) = − −( 1; 1), 1;1( )
Trang 11* Với : ( )
( )
2 3
3 4
x y
x y xy
Lấy (3) nhân với 2 trừ cho (2) nhân với 3 ( Khử số hàng tự
6
x y y
x y y
= −
− +
Trở về như trên
2
Đặt : a=x+y,b=xy Lấy (1) cộng với (2) vế với vế ta được :