Phương pháp giải toán lượng giác lớp 12 Lê Hồng Đức

Các dạng toán sử dụng biến đổi lượng giác...2 ; Bài toán 1: Biến đổi biểu thức lượng giăc vể dạng tông - tích.... Các phương pháp d ai phương trình lượng giác...259 Bài toán 1: Giải phươ

LỜI GIỚI THIỆU

Xin tràn ĩ rọ II,Ị! ỊỊÌỚi i/tiện rời bạn CỈỢÍ' bộ tủi Hợtr

V ớ i Ỉìiiỉc ñ ích giúp c á c Thùy c ỏ giátí vó líưực bải iỉiiiiĩị’ c < ; hiệu qiui hơn r à c ú c em ró

ñược cái nhìn ỉữiiỵ quan, hiểu ñược bân chất a ìa mỏi vấn dề (ựư ra lìrổ ó ñưa ru pliươii?

p h á p g iã i m ạch lạ c p h ù hợp với niiững đ ò i lìõ i cù a ÌIỊỘỈ bùi ihi nên m ồi 11'OMỊ m oi lậ p rài

liẹu chiììiíỊ tỏi sấp xếp lự' ĩ hống cúc kiến thức ñược ñi’ cập tron ỉ* chương rrìiiỉi Toán Tniiiiỉ

h ọ c P h ơ ílìỏiig ỉìíimh cá c C h ít ñố.

ơ ỉ n o i cltii d ề

'i Với việc trình bày dưới dạng các bài Tộátì c ơ bán cũng ví dụ ninth hoạ tưịuy Stilt

đ ó x ẽ ý ú p lãn g c h ấ t litự/!.ẹ b ả i íịiờìig c h o c á c T h àv C ô íỊÌáo vù với cá c (’III họ c sin h s ẽ hiểu và b iế t cách Iiìnii bùx hài.

í t ' i>iúịj c á c Thàx C ó qiáo dản dằt c á c em h ọ c sình liếp cận nhanh cháiưi ró i ii/ìữiiỊỊ ñ ỏ i hói d ĩ a thực tế.

3 Dặc biệt lù nội íltttix cún cúc chú V sau m ội Y('li 17 dụ hoặc bài toán chọn lục s ẽ

g iíip c á c Th ày, C ù g iá o cittiiỊ cô những hiểu b iế t ch ua rhậl thẩn đ á o cíitìg với cách nhìn lìíựìn vẩn d ẻ d ậ t r a ch a c á c cut họ c sinh, đứ trã lứi IHỘI cíich rltũú d á nx cáu

h ó i " T ạ i sa o lạ i n g h ĩ và tàm nh ư v ậy 'ỉ

4 N ẵoởì rư có rổ! Jillicit bài toán itiíợc giãi hùiìĩỊ ni ti í’li cúcii khúc IIÌICIII sè gi lĩp lác

h ọ c sinh rrớ íéit Hull h o ạ t tro n? việc lựa chọn phươ ng p h á p íỊĨài.

Bộ tài liệu dược viết irèn inộr tư tưởiỉỊỊ lioủn toàn iìữỉí mé có ruth sư phạm, có tính lẩHỊỊ hợp cưa ỉịià i (Ịityéì lifting ñ ổ i triệ i ñẻ cú c vun ñẽ cún toán học s ơ cấp B ộ lài-liệu Iiìiy chất'

chảtt ph ù hợp với lìltiàìí ñói Itrợnỵ bạn ñ ụ c từ c a r Thày, c ó ỊỊÌán cỉến c á c cm H ọ c sinh ióị/

1 0 ỉ ỉ 1 2 và c á c CHÌ cỉtnàii bị d ự thi II lô ì I Toá n Tót nghiệp P T T H h o ặc I v o c á c Ĩ'ni'ứn-J

Đ ại ÌỈỌC.

Cuốn PlIL'tfAG PHÁP GIÃI TOÁN L lỉợ \íi Gí Ác được chia thành 3j)Ịìắu:

Xin được bảy tó lồng biết ƠII sáu sắc tới sự giúp đỡ động viên tinh thán cùa những người Thày mả tôi ỉĩằiìg kính trọng, gồm: GS.TS Trần Mạnh Tuấn nguyên Phó Giám Đốc Trung Tám KHIN & CNQỌ Nhà Giáo ưu tú Đào Thiện Khải nguyên Hiệu TrưàiigTrườiig PTTH Hà Nộỉ - Amsterdam PGS.TSKH Đinh Quang Lưa GS.TSKH Nguyễn Vãn Thu và người Thày thủa ilùếu {hời của tói Bác Ngô Lâm.

Cuối cùng cho dù dã rổt cốgểttg bằng việc ỉìiam klìào mộĩ lượng rất lớn các Tài licit hiện nay để vừa viết, vừa mang dì giảng dạy ngay cho các học sinh của mình từ đó kiểm nghiệm và bổ xung thiếu sót, cùng với việc tiếp thu cố chọn ỉ ọc ỷ kiến cùa các bạn đóng Iighìép đề hoàn thiên bổ ỉài liêu nảy, nhưng rỉìáĩ khó tránh khỏi những thiểu sót, tác giá rất

£

mong ììhận được những ý kiến đóng góp qiiý bán của bạn đọc gần xa.

Hà nội, ngày 1 tháng 1 năm 2003

LÊ HỔNG ĐỨC

M ỤCLỤC GIỚI THIỆU CH UN G

PH Ầ N I

H Ệ T H Ứ C L tíỢ N G G ỈÁ C

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Chủ đề 1 Công thức cộng LI Chủ đề 2 Công thức nhân ỉ 5

Chủ đề 3 Công thức biến đổi 2 ■

Chủ đề 4 Các dạng toán sử dụng biến đổi lượng giác 2 ;

Bài toán 1: Biến đổi biểu thức lượng giăc vể dạng tông - tích 25

Bài toán 2: Rút gọn biểu thức lượng g iác 32

Bài toán 3: Chứng minh đẳng thức lượng giác độc lập đối với biến số 35

Bài toán 4: Tĩnh giá trị của biểu thức lượng g iác 37

Bài toán 5: Chứng minh đẳng thức lượng g iá c 43

Bài toán 6: Chứng minh bất đẳng thức lượng g iác 51

Bài toán 7: Giá trị ỉớn nhất và nhỏ nhất 59

CHƯƠNG II ^ H Ệ Th ứ c l ư ơ n g t r o n g t a m g i á c Chủ đề 1 Đẳng^thức lượng giác trong tam giác 73

Chủ đề 2 Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác 91

Chủ đề 3 Khai tháe hệ thức lượng giác 1L5 Chủ đề 4 Nhận dạng ram giác 119

Chủ đề 5 Hệ thức lượng trong tam giác vuông 131

Ghủ đề 6 Hệ thức ĩượng trong tam giác cán 137

Chủ đề 7 Hệ thức lượng trong tam giác đều A 14I Chỏ đề 8 Hệ thức lượng trong tam giác có dạng đặc b iệ t ,.145

PHẦN II P m íO lV G T R Ì N H - H Ệ P H Ư Ơ N G T R Ì M LƯ Ợ N G G IÁ C GHƯƠNGI \ C Á C PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Chủ đề 1 Phương trình lượng, giác cơ bản 147

Bài toán 1: Giải và hiện luận phương trình sinx=m 147

Bài toán 2: Giải và hiện luận phương trình cosx=m 148

Bài toán 3: Giải và hiện luận phương trìnk tgx-m 150 Bài toán 4: Giải và hiện luận phương trình cotgx=m ỉ 51 Bài toán 5: Giải và hiện luận số nghiệm thuộc Cạ, j5) cùa

■ BBW"

, phương irình ỉirợns giác cơ ban ỉ 52

\^phỏ đề 2 Phương trình bậc hai dối với mội hàm sô lượng giác 157

/ Bài toán 1: Giải và hiện luận phương trình a.sin2x+b sinx+c=0 157

B àitoản2: Giíii và hiện luận phương trinh a.ĩg:x+b.iax+c=0 161

Chủ đề 3 Phương trình bậc cao đối vói một hàm số ỉirợng g i á c 167

Chủ đề 4 Phươnc trình bạc nhất dối với sinx và cosx 173

Chu đề 5 Phương trình ĩhuíin nhất hục hai đối vói sinx vù c o sx 189

Chù đé 6 Phươntỉ ĩrình chuẩn nhìtĩ bạc ba đối với sinx và cosx 197

ỉ* Chủ đề 7 Phương irình đối xứnỉ» đối vói sinx và cosx 209

Bài tơán 1: Giải và hiện luận phương irình a(sinx-í-cosx)+bsinx.cosx+c=0 209

Bài toán 2: Giái và hiện ìuận pmrơns ỉ rình aísinx-cosxì+bsinx.cosx-K^O • 212

Chủ íìề 8: Phương trình đối xứns ùối với tgx và cotgx- 22 ỉ Bài toán i: Giái và hiện ỉ.uặn phươĩis trình a(ia:x+cotiTx.)+b(ígx+cotgx)+c= 0 22Ỉ Bài toán 2: Giải và hiện luận phương trình a(ĩg2x4-cotg'x)+bũgx-coĩgx)+c= 0 224

Chú đề 9 Loại níỊhiệm không thích hợ p ' 231

Chủ đề 10 Phương trình hrợiig 2íẩc hỗn hợp chứa các bỉéu thức đối xứng với siirnx và cos*’’x 24 í ■ Chú đề 11 Phương trình ỉuựng giác hỏn họp ' chứa các biểu thức đối xứng với ĩỉr!>x và cotg2’\ ■ 251

Chủ đề 12 Các phương pháp d ai phương trình lượng giác 259

Bài toán 1: Giải phươns trình lượng giác hồng phương pháp đật án p hụ .-26 i Bài toán 2: • Giải phương trinh Ìượniì giác bằng phươns pháp đổi biến T - 271

Bài toán 3: • Giải phương trình ìượng giác sử dụhg cóng thức hạ bậc 275

Bài toán 4: Biến đổi phương rrmh lượn2 giác thành phương trinh tích , 283

Bài toán 5: Biến đổi phương trinh ỉượng giác thành tổng các số hạng không âm 30 ỉ Bài toán 6: Giải phương ỉrình lượng giác bằng phương pháp đánh giá .304

Chủ để 13 Phương trình hệ quả và phương trình tương đương 313

Bài toán 1: Xác định tham số này là hệ quả của phương irình kia 313

Bài toán 2: Xác định tham số để hai phương trình tương đương 3 ỉ 6

C H Ư Ơ N G n

HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Chú đề 1 Các phircmg pháp giải hệ phươỉig uình lượng siiic cơ bán 32'

Bài toán 1: Giải và hiện luận hẹ'tổng, 32 > Bài toán 2: Giải và hiện luận hệ lích 32-^

Bài toán 3: Giải và hiện luận hệ thương

Chủ đề 2 Các phưcmg pháp siải hệ phươỉiíi trình lượng giác không mẫu mực 33 í Bài toán 1: Giải hệ phương trình lượng «ỊÌác bằng phương pháp cộns 33 i Bài toán 2: Giải hệ phương trình ỉượng siác bẳng phép khứ sau khi bình phương 3-\-> Bài toán 3: Giái hệ phưưng ĩrìnli Iượns íiìác bans phường pháp tỉặi án phụ 336

Bài toán 4: Hệ lặp h;t íip 340

Bài toán 5: Giải hệ phương ưình hrợng giác bàng phưong pháp điều kiện cần và đủ 341

Bài toán 6 : Giủị hệ phương trinh lượng giác bảng phươns pháp hàm s ố 343

Bài toán 7: Giãi hệ phương trình lượng ỳiác bãiiii phương.pháp đánh giá : 345

Bài toán 8: Giải hệ phươns trình lượng liiác băng phương pháp biến đối hồn họp 346

CHƯƠNG UI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG (Ĩ1ÁC DẠNG ĐẠI SỔ Chủ đề 1 Phương trình lượng giác chứa dấu trị tuyệt d ố i 355

Chủ đề 2 Phường trình lượng sùlc chứa càn th úc 365

Chủ đc 3 Phương trinh lượng giác chứa hàm số mũ .377

- Chủ đề 4 Phương trình lượng giác chứa hàm số lôgarit 383

Ghủ đề 5 Phương trình Itợng íĩiác kiên quan tới đạo hàm và tích phân 387

PHẨN III H Ệ T H Ứ C LƯ Ợ N G G IẤ C CHƯƠNG I PHƯ Ơ NG PH Á P LƯỢNG GIÁC H O Á GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ Chu để 1- Chứng minh đằng thức, bất đẳng thức 391

Chủ đề 2 Giải phương trình, bất phương trình và hệ đại s ố 397

Ỏ N H Ấ T

r a

' P H Ù ầ ^ Ỡ P ỉ Ể ỹ t ư Ợ N G GIÁC H O Á T ÍN H TÍCH P H Â N

CHƯƠNG IV PHƯ Ơ N G P H Á P LƯỢNG GIÁC H O Á GIẢI CÁC BÀI TOÁ N H ÌN H H Ọ CChủ đề 1 Giải một số dạng toán của đường tròn 421Chủ đề 2 Giải một số dạng toán của EIíp 429Chủ đề 3 Giải một số dạng toán của HypeboL 441

c sừỊÍ2^-y)=sinx.cosý+cosx.siny £ Ig(x-y)= ~ tgy

d sin(x-y)= sinx.cpsy-cosx.siny 1 + tgx-tgy

sinx.siny=— [cosCxtyị^osíx+y)] d cosx.siny= Ỷ [sin(x+y)-sin(x-y)]

CÔNG THỨC BIẾN Đ ổi TỐNG THÀNH TÍCH

P h ấn 1: H £ ih ứ i iư ơ n ĩi giác* ' ^ /;.> ặ r ì £ ỉ ■"> - - - c* r 0 Chư* m u ĩ: CÓ ỊỊ^ ì hú y ÌựtH ì,

a asinx+bcosx = Va2 +b2 sin(x+ct) với tga= —

= Va2 +b2 cos(x-a) với tga= —

8 CÔNG THỨC TÍNH s in a , c o s a , t g a THEO t g —

Nếu đặt t=tg—, ta được:

& 2: - 2t

C H U Đ E 1 CỒNG THỨC CỘNGĩ.KIẾN THỨC CO BẢN

Việc sử dụng công thức cộng cho phép ta tiếp cận với các dạng ỉoán:

Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức lượn9; giác.

Phương pháp chuns dể thực hiện các dạn2 toán Irèn chúng ta đã được làm quen irons chương ỉ

ILVÍ DỤ MINH HOẠ

(Ĩg2a + lga)(tg2a - tga) _ tg2 a + tga tg2 a - tg a 3 t ( 1 + tg2 a.rga)(l - t g2 a.tga) l - t g2a.tga l-í-tg2 a.tga

Nhận xét: Như vậy trong ví dụ trên:

1 Với câu a) để thực hiện phép khai triển sin(a+b+c), chúng ta đã nhóm thành hai nhân tử góc ià ạ+b và c rồi sử dụng công thức cộng cho sin

2 Với câu b) chứng ta đã sử dụng phép biến đổi hằng đẳng thức rồi thực hiện phép gom các toán tử liên kết để làm xuất hiện các v p của công thức cộng.

Ví dụ 2: Chúng minh các biểu thức sau không phụ thuôc vào x:

giát.-các -W

1 cosa.cosb cos b cos c COS c COS a

Bài tập 4: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

a ‘ A=tg 110°.tg34Õ°+sinl60°.cos 110(,+sin2500.cos340‘’

COS

650° y/s sin(-ỉ 1 0°)_ tg225°-C 0tg81°.C0tg69°

c c = - : -

— -C0tg261° +tg201°

Ph:m i: He Ihữc lơaiv- '.'I

Bài tập 7: Biết COS;1= — với 7ĩ< a< -— 9 3ĩt

A=tg(a-71

- )- 4Bài tập 8: Tính giá tộ các hàm số,,lượng

t v%'

aiác của góc 7ĩt'

12 ’Bài tập 9: Tính ìúá ưị các hinụ số lượng siác của góc ỉ 1-

C H Ủ Đ Ẽ 2CÔNG THỨC NHÂN

b cos2x =cos'x-sin:x b sin3x=3siax-4sin;x

VịệG sử đụng còng thức nhán cho phép ta riếp cận với các dang toán:

Dạng ỉ: Chứng minh đẳng thức lượng giác.

Dạng 2: Rút gọn biểu thức lượng giác.

Dạng 3: Chứng minh một biểu thức lượng giác độc lập với biến số.

Dạng 4: Tính giá trị của biêu thức lượng giác.

Phương pháp.chtmg để thực hiện các dạnỵ toán -trẽn chúng ta đã (.1 ược iàm

•quen trong chương ĩ

=2cos2x-l

d C0ts3a=:3 c o t s a - c o i s 1 2 a

i - 3 c o t 2 a

2 CÔNG THỨC BĩỂu DIÊN

B iểu d iều ĩỉie o (= t £ —

- - » 2 Biểit diễn theo t=cos2iì

Phãn V HS thức lương giác Chương 1: Cón g thức lương giác

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Qách ỉ: Sử dụng ngay công thức góc nhân đôi để biến đổi A về dạng:

Phán I: Hê thức luơn»: uiác Chư<mir I: cỏnthức Ilítm'J giác

Ví dụ 7: Tính gíá ưị của biểu thức:

Nhẫn cả hai vế của (1) với sin20(1, ta được:

A.sin20f,= — sin20tl.cos20').cos40(1.cos80°= — sin 160"= ■— sin20‘’

Áp dụng tính giá ưị của biểư thức:

A=s in20° s in40° sin 80''

b cosx.cos( — -x).cos( — +x)=—cos3x

Phán I: He thức lương siiifc

, _ 4 371 _ 4 5n 4 7 t z

c c=sin +sin — +sin — +sm

Chưtmụ 1: cỏnir thức iưcrn;

Bài tập 7: Tính giá trị các hàm số iượng giác của góc ——

Bài tập 8: Tính giá trị các hàm số lượng giác của góc —

C H Ú Đ Ẻ 3 CỒNG THỨCBIẾN ĐỔII.KIẾN THÚC C ơ BẲN

Việc sử dụng công thức cộng cho phép ta tiếp cận với các dạng toán:

Dạng ỉ : Chứng minh đẳng thức ỉượng giác.

Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức lượng giác.

Phương pháp chung để thực hiện các dạng toán trên chúng ta đã được làn quen trong chương I

Phán I: Hê thức lương iĩiác Chưtmĩĩ 1: Ciinii Ihức lưtTnu giác

II v í DỤ MINH HOẠ

.'Cfeú ỷ Như đã thấy trong chủ đề 2, chúng ta đã thực hiện phép biến đổi cho

1 + sm 2a kằng vj£C sủ dung đẳng thức cơ bản sin2a+cọs2ẩ= l và cóng thức

Ví dụ 3: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vẳ x:

_ cos a - cos a cos b _ I-co sb _ 2 _ t<y2 b

cos a cos b + cos a 1 + cosb „ ? b 2

Phiirt 1: Hê thức lương giác Chtfiffi'j h Cõng ihức lựttn*: dác

c Nhân cả hai vế của biểu thức với 2sin Ị , ta được:

Nhận xét: Trong ví dụ trên để tính giá trị 'của các biểu thức A, B, c chúng ta

đã sử dụng ba cách biến đổi cơ bản là:

“ Với A ta sử dụng phép biến đổi tích thành.tổng

■ vởi B ta sử dụng phép nhóm thành đôi rồi biến đổi tổng thành tích

» Với c chúng ta sử dụng phần tử trung gian 2sin — để tạo ra các tích rồithực hiên phép biến đổi tích thành tổng

Các em học sinh cần thiết phải linh hoạt lựa chọn hướng biến đói phù hợp, đặc biệt là xác định được phần tử trung gian

A_ sin (a -b ) sin(b-c) sin(c-a).

Dạng ỉ : Thực hiện các yêu cẩu biến đổi biểu thức thành tích hoặc thành

tông

Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức lượng giác.

= — [ — (sin2a+sin4a)- — sin6a]= — (sin2a+sin4a-sin6a)

b Biến đổi biểu thức về dạng:

B=2(cos3a+cosa).sin — =2cos3a.sin — +cosa.sin—

lla a 7a 3a

Nhận xét: Như vậy trong ví dụ trên để thực hiện mục đích biến đổi biểu thức

về dạng tổng chúng ta đã sử dụng hai lần liên tiếp công thức biến đổi tích thành tổng Tuy nhiên trong những ưường hợp riêng cần lựa chọn hai đối tượng phù hợp để giảm thiểu độ phức, tạp, chúng ta sẽ minh hoạ thông qua ví

du sau:

25

P h á n h H e ih ứ ^ lư a n i: g iác C h u n m g 'I: C ftnt: ihức; lưiffiii ĩiiát:

c = ts tg a =

cos —.cos a3

Ví dụ 2: Biến đổi các biểu thức sau thành tổng:

a A=8sin(a- —).cos2a.sin(a+-^-)

A=Ssin(a-— ).sin(a+ — ).cos2a=4[cosi(- — )-cos2a].cos2a

Trước hết chúng ta làm quen với các ví dụ sử dạng phép biến đoi tong, hiệu Ithành tích

Chủ đè 4: Các bài toán sử dung biến đổi iưon>_' Lriac

A=cosa+cos2a+cos3a+cos4a

Giải

Biến đổi biểu thức về dạng:

A=(cosa+cos3a)+(cos2a+cos4a)=2cos2a.cosa+2cos3a.cosa

=2(cos2a+cos3a).cosa=4cos — -COS — cosa.

Nhận xét: Trong lời giải ưên ta lựa chọn cách gom theo hìêu (hiệu hai góc

bằng nhau) đo đó đương nhiên có -thể nhóm:

A=(cosa+cos2a)+(cos3a+cos4a)

Ngoài ra còn có thể gom theo tons (tổng hai góc bằng iihau)

Ạ=(cosa+cos4a)+(cos2a+cos3a)

Chúng ta sẽ sử dụng lại ý tưởng này trong ví dụ tiếp theo

A=sina+sin2a+sin3à+sin4a+sỉh5a+sin6a

Giải

Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:

" Cách 1: Biến đổi biểu thức về dạng:

= (2 sin a+ 1 -4sina cosa-2cosa) sina=(2s in a+ 1)(l - 2 cosa).sina

=4(sina+—)(—-cosa).sina=4(sina+sm — )(cos —-cosa).sina

Nhận xét:- Trong lời giải trên sở dĩ ta lựa chọn cách gom như vậy bởi nhận

thấy rằng chúng đều có chung nhân tử sina

A=2cos cosx.cos — -2sin — sinx.sin — -1

= V2 sin(a+ — ).[cos2a-cos( — -a)]

=-2 V2 s in(a+ —) sin( — + —) ,siĩi(— - —)

Nhận xét: Trong lời giải trên để biến đổí biểu thức về dạng tích trước tiên

chúng ta đã sử đụng phép biến đổi tích thành tổng Ví dụ này được trình bày

với mục đích minh hoạ cho Dạng 2 - Biến đổi tích thành tổng.

Ví dụ tiếp theo sẽ minh hoạ Dạng 3 - Lựa chọn phép biến đổi cho cos2x.

A=2cos:,a+cos2a+sina

Giải

Biến đổi biểu thức về dạng:

A=2cos;?a+2cos2a-1 +sina=2(cosa+l ).cos2a+sina-1

=2(cosa+1)(1 -sin2a)+sina-1=( I 'SÌna)[2(cosa+l)(1+sina)-13

bởi 2 nhân tử còn lại là 2cos3a (cos có" hệ số 2) và sina (sin có hệ số 1)

2 Như vậy trong trường hợp trái lại, ta sẽ lựa chọn phép biến đổi:

Chù đè 4: Cát; bai toán SỪ dung biến đổi lương giác

.Ví dụ 9: Biến đổi biển thức sau thành tích:

A=4sin2a-3cos2a-3(4sina-l)-6sin2a

Giải

Biến đổi biểu thức về dạng:

A=4sin2a-3cos2a- 12sina+3-6sm2a=4sin2a-3( 1 -2sin2a)- 12sinx+3-6sin2a

=8sina.cosa-12sina=4(2cosa-3)sina

N hận xét:

1 Trong lời giải trên khi chuyển biểu thức về dạng đơn, ta lựa chọn phép biến đổi cos2a=l-2sm2a bởi khi đó sẽ khử được số hạng tự đo và cùng với nhận xét các toán tử còn lại đều chứa sina

2 Ví dụ tiếp theo sẽ minh hoạ Dạng 4 - Phương pháp luận hệ số.

Ví dụ 10: Biến đổi biểu thức sau thành tích:

(2 sin a - I)(sin a - COS a - 2 sin a COS a)

sin a

Chú ý: Ví dụ tiếp thèo sẽ minh hoạ Dạng 5 - Phương pháp hằng sổ biển thiên

Ví dụ 12: Biến đổi biểu thức sau thành tích:

Phi'in I: H e th ứ c H rg n s g iác C h m v n i:): C ô n g [hứ c lư im a

và chúng ta nhận thấy công việc đó thật đơn giản hơn nhiêu so vó'1^ nhưng lạp Ị

ỉu ậ n tro n g lờ i g iả i c ủ a c á c v í d ụ - x o n g đ â y lu ồ n là ý tư ở n g h a y đ ê sư đ ụ n g c h o I

v iể c -g iả i c á c p h ư ơ n g ư ì n h đ ạ i s ố c ũ n g n h ư lư ợ n g g iá c I

V í d ụ tiế p th e o s ẽ m in h h o ạ D ạ n g 6 - P h ư ơ n g p h á p n h â n Ị

C h u đ e 4 : C á c b ài Toán s ử d u n g b iế n -đ ồ i ĩu ơ ri‘T *Tiúc

Bài tập 4: Biến đổi các biểu, thức sau thành tích:

Biến đổi biểu thức về dạng:

(sin 2 2 x + cos 2 2 x ) 2 - 2 sin 2 2 x.cos 2 2 x _ * 2 sin

t g ( - - x ) c o t g [ ~ - ( - + x)] t g ( y - x ) c o r g ( y - x )

=1- —sin24x

2

Chừ đè 4: Gíc bùi loán sù duriii biến (.loi Imrn” <*iác

A= — 2cos — = COS — 2 2n 2n

Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức:

V1 + sin 2x + VĨ ~sin2x 71A= - p : - — r = , vơi - - <x<0

Vl + s in 2 x - V l- s in 2 x 4

Giải

■ Biến dổi biểu rbức về dạng:

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức:

Phiin h Hẻ thức lươn;; aiác ChưoTiu 1: Cúniĩ Ihúc lưon'^ ĩiac

1 + sin 2x + 2i/l"-"sin 2x + 1 - sin 2x

1-r sin 2x - 1 + sin 2x

= - — -= -— - = —— — =

-— -sín2x sin2x sìn2x 2 sin X COS X

Chủ ý: Người ĩa có thể sử dụng kết quả của ví dụ trên đế tạo ra những yêu cẩu

khá thú vị, đế minh hạo ta xét đòi hòi:

1 _ l + cos2ka"-cos2ka _ 1+cos2ka cos2ka

sin 2 k a sin2'k a sin2 ka sin2ka

Chủ đẽ 4: Cát: b;Yi máo xử duni-’ bicn đồi luifn^ -aiácBài tập 2: RÚI gọn các biểu thức:

', _ _ cos2a cos3a COS na

§ Lựa chọn một ưong hai cáeh sau:

Cách ỉ : Sử dụng các phép biến đổi lượng giác đế’ thực hiện phép rút gọn

I,;' biểu thức ỉượng giác

Cách 2: Sử đụng đạo ham.

Philn 1: Hê thức iươni: iiiái' C h ư titt” 1: C ó n » thư c lin in g 1: 1.1c

A= — [ 1 -COS (2x- — )]+-(I-cos2x)+ — [l-cos(2x-í-— )]

= —- — [cos(2x- — )+cos(2x+ — )]- — cos2x

=sin(2x- — )+sin2x+sìn(2x+ — )=2sin2x.cos — +sin2x=0

o Hàm số không đổi

Ngoài ra ta còn có A=A(0)= —

3

Vậy A =— không phụ thuộc vào X

Chủ y: Như đã đặt vấn đề trong bài toán " Chứng minh đẳng tỉáíc lượng giác ",

đối với các em học sinh đã biết tới khái niệm đạo hàm, chúng ta còn có được một phương.pháp được gọi là

" Sử dụng đạo hàm tìm điều kiện cãa tham số' đ ế biểu thức không phụ thuộc vào X "

Khi đó tá thực hiện theo các bước sau:

Bước í : Tính A'(x), rồi tìm điều kiện để A'(x)=0, với Vx.

Bước 2: Kết luận.

36

Chù tie 4: Các b;ìi to;in sứduni.' hiến <l»j ÌỊỊưns giác

■ " Để minh hoạ chúng ta xem xét ví dụ sau:

A=cos2x-a.sin2x+2cos2x không phụ thịiộc X

Giải

Ta có:

A không phụ thuộc X <=> A'x=0 Vx

<=> -2sin2x-2a.cosx-$inx-4sinx.cosx=0 Vx <=> -(a+4)sin2x=0 Vx <=> a=-4

Vậy với ạ=-4 thì A không phụ thuộc X.

Chủ ý: Đương nhiên chúng ta cũng có thể thực hiện bài toán trên bằng phương

phlp biến đổi lượng giác, cụ thể:

A=tg 110°.tg340í)+sin 160“xos 1100+sin250(,.cos340a.

Giải

Ta có:

, A=-cotg20(,.tg(-2ơ’)+sin200.cos 1 lO'-sinl 10°.cos20(1=I -sin90° =0

37

Phần I: Hẽ thức luong-giác Chưmiii 1: jjim: mill]" iiim.

Nhận xét: Như vậy trong ví dụ trên để tính giá trị cùa biểu thức trước hết

, chúng ta đã sử dụng các cõng thức của các cung liên kết dể chuyển biểu thức

A về dạng:

A=cotg20<).tg20íl+sin201,.cosl lơ -sin l 10°xos20l’

Bước tiếp theo chúng ta sử đụng tính chất tgx.cotgx=l và công thức cộng,

Nhận xét: Như vậy trong ví dụ ưèn để tính giá trị của biểu thức ttước h êi

ch ú n g ta thực h iệ n v iệc h ạ b ậc c h o biể u thứ c d ự a ữ ê n h ằ n g đ ẳ n g thứ c: I

Ví dụ tiếp theo ngoài việc sử dụng công thức biến đổi tích thành tổnp

A= - ( i -COS I46(>)+ “ (1-COS940)- — (cos26°-cos 120”)

=1 - — (cos 146“+cos94°)- — (cos26(l+ — )=—-COS 120°.cos26( - — cos26°=:Ệ38

Cu í í s? milí h?? việc sử d™ một cách linh hoạt công'thức

£ 1 1 “ 1 c“a “ & * ã e l i « giác và yêu cỉu quan trộiic l i cic

A = tg ‘ | - 3 3 t g ' f + 2 7 [g= | - 3 ơ/C/7

Ta có:

tg3a= Y _a ~ ^ a =* (ls*a-3tga)2=(3tg2a-1)2.tg23a

l~3tg~aVới kết quả đó ta biến đổi A về đạnơ;

A = (tg '| -3tg2| )2-3(3tg2I -0*=(3tg*1 -1 )!.tg23 ĩ -3(313* i -1

= 3 ( V | - l ) 2-3(3lg! |-I)= = 0.

Chù.dè 4: Các bìii loán si» duni; biốn ilỏi iưonọ

iiÌỊ-A = c o s -| c o s ^ c o 3 c o s S ,cos iẼĨ. ,cos 3 ? ĩ

ptựởng này chúng ta đã được làm quen trong chủ đề công thức nhân cũng như

trong tro n g bài to á n rú t g ọ n b iểu thức.

3 9

Nếu bài toán pháĩ biểu lại dưới dạng::

” Tính giá trị của biểu thức:

< 1 - 7t 5 t t : - 1 1 1 7 ĩ t+2sin — COS —- + +2sin — -COS ——-

1 Như vậy ưong ví dụ trên để tính giá trị của biểu thức chúng ta đã sử dụng

nhân tử phụ sin — để tạo ra các tích

Ỉ9cosa.sinb=- [sin(a+b)-sin(a-b)]

tạo thuận ÌỢ1 cho việc rút gọn VP.

Từ đó các- em học hinh dề nhận thấy rằng ý tưởng này cũng sẽ được áp dụng cho biểu thức bao gồm tổng các sin, bởi:

sina.sinb= —[cos(a-b)-cos(a+b)].

2 Chúng ta đã từng biết tới việc tính giá trị của biểu ứiức lượng giác bằng việc giải phương trĩnh,’ ví dụ tiếp theo sẽ minh hoạ thêm ý tuởng nàý, chỉ có điều ở đây chúng ta sẽ sử dụng tính chất nghiêm của các phương trình đại số